8.6.3平面与平面垂直导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦平面与平面垂直，核心内容涵盖二面角的概念及平面角求法，面面垂直的定义、判定定理与性质定理。课堂导入通过类比平面几何中角的概念，结合“开门大小”“砌墙铅锤线”等生活实例，搭建从线线垂直到面面垂直的学习支架，衔接前后知识。 资料以问题链驱动探究，通过“门与墙的半平面角”“铅锤线判断墙面垂直”等问题引导学生抽象出二面角及面面垂直的定义与定理，培养数学抽象与直观想象。例题与练习结合正方体、棱锥等几何模型，强化逻辑推理能力，习题层次分明，助力学生掌握判定与性质的应用，提升核心素养。

8.6.3平面与平面垂直 【学习目标】 通过学习二面角、平面与平面垂直的证明与应用培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养. 【学习重难点】 1. 理解二面角的概念并会做二面角的平面，会求简单的二面角的平面角．（重点） 2. 掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．（重点） 3. 掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题．(重点) 【学习过程】 一、情景引入 在平面几何中,我们先定义了角的概念,利用角刻画两条相交直线的位置关系,进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.类似地,我们需要研究两个平面的相对位置状态。 二、探究新知 问题1　日常生活中,我们常说“把门开大一些”,是用什么辅助判断的？平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.，门、墙所在的两个半平面形成的角有大小之分吗？范围是什么？ 提示　门与墙面形成的角，有，0°≤θ≤180°. 问题2　建筑工地上，砌墙时，泥水匠为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，思考过此线的每个墙面都跟和与已知平面与水平地面垂直吗？由上述过程抽象出判断两平面是否垂直的方法。 提示　垂直。如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直。 问题3　教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 提示　不一定：可能平行或相交（垂直或不垂直）。要保证所画的线与两面的交线垂直。 结论形成： 一、二面角 1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 4．二面角的平面角： (1)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角． 二、面面垂直 1．面面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直． (2)画法： 记作：__α⊥β__． 2．两平面垂直的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面过另一个平面的__垂线__，那么这两个平面垂直． (2)图形语言：如图． (3)符号语言：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. (4)作用：由线面垂直证明面面垂直． 3. 两平面垂直的性质定理 (1)文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线__垂直__于这两个平面的__交线__，那么这条直线与另一个平面垂直． (2)图形语言 (3)符号语言：⇒a⊥β. (4)作用 ①由面面垂直证明__线面__垂直； ②作面的垂线． 二、例题解析 例1.如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. (1)求二面角B­PA­D平面角的度数； (2)求二面角B­PA­C平面角的度数； (3)若PA＝AD，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小． 解(1)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA. ∴∠BAD为二面角B­PA­D的平面角． 又由题意∠BAD＝90°， ∴二面角B­PA­D平面角的度数为90°. (2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角． 又四边形ABCD为正方形， ∴∠BAC＝45°. 即二面角B­PA­C平面角的度数为45°. (3) ∵CD∥平面PAB，过P作CD的平行线l，如图所示，由PA⊥CD，CD⊥AD， 解PA∩AD＝A 知CD⊥平面PAD， 从而CD⊥PD. 又CD∥l，∴l⊥PD. ∴∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，为45°. 　 练习1. （1）如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值． 解如图，取CD的中点M，连接AM，BM， 则AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角． 设点H是△BCD的中心，连接AH， 则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上． 在Rt△AMH中，AM＝×2＝， HM＝×2×＝， 则cos∠AMB＝＝＝， 即所求二面角的平面角的余弦值为. （2）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小． 解　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P－BC－A的棱， ∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角． 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°. 例2. 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面ACD′⊥平面BDD′B′. 解∵ABCD－A′B′C′D′是正方体， ∴BB′⊥平面ABCD，∴BB′⊥AC， 又AC⊥BD，BD∩BB′＝B，BD，BB′⊂平面BDD′B′， ∴AC⊥平面BDD′B′， ∵AC⊂平面ACD′， ∴平面ACD′⊥平面BDD′B′. 练习2. 如图，是的直径,所在的平面，是圆周上不同于的任意一点,求证:平面平面. 分析:要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面.而由直线和平面垂直的判定定理,还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中,由题意可知,,从而平面,进而平面平面. 解平面,平面, . 点是圆周上不同于的任意一点,是的直径, ,即. 又平面平面, 平面. 又平面, 平面平面. 例3.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB. 解(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形， ∵G是AD的中点，∴BG⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. (2)如图，连接PG. ∵△PAD是正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD. 又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG. 而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB. 练习3.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 解如图，在平面PAB内， 作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC＝PB， AD⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 四、布置作业 如图所示，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC. 证明　∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB. ∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA， 又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B， ∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC. ∴平面VBC⊥平面VAC. 第 7 页 共 5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.3平面与平面垂直 【学习目标】 通过学习二面角、平面与平面垂直的证明与应用培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养. 【学习重难点】 1. 理解二面角的概念并会做二面角的平面，会求简单的二面角的平面角．（重点） 2. 掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．（重点） 3. 掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题．(重点) 【学习过程】 一、情景引入 在平面几何中,我们先定义了角的概念,利用角刻画两条相交直线的位置关系,进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.类似地,我们需要研究两个平面的相对位置状态。 二、探究新知 问题1　日常生活中,我们常说“把门开大一些”,是用什么辅助判断的？平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.，门、墙所在的两个半平面形成的角有大小之分吗？范围是什么？ 问题2　建筑工地上，砌墙时，泥水匠为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，思考过此线的每个墙面都跟和与已知平面与水平地面垂直吗？由上述过程抽象出判断两平面是否垂直的方法。 问题3　教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 结论形成： 一、二面角 1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 4．二面角的平面角： (1)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是 .平面角是直角的二面角叫做直二面角． 二、面面垂直 1．面面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直． (2)画法： 记作： ． 2．两平面垂直的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直． (2)图形语言： ． (3)符号语言： ⇒ . (4)作用：由线面垂直证明 ． 3. 两平面垂直的性质定理 (1)文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线 于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直． (2)图形语言 (3)符号语言： ⇒ . (4)作用 ①由面面垂直证明_ 垂直； ②作面的 线． 二、例题解析 例1.如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. (1)求二面角B­PA­D平面角的度数； (2)求二面角B­PA­C平面角的度数； (3)若PA＝AD，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小． 　 练习1. （1）如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值． （2）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小． 例2. 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面ACD′⊥平面BDD′B′. 练习2. 如图，是的直径,所在的平面，是圆周上不同于的任意一点,求证:平面平面. 分析:要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面.而由直线和平面垂直的判定定理,还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中,由题意可知,,从而平面,进而平面平面. 例3.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB. 练习3.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 四、布置作业 如图所示，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC. 第 6 页 共 6页 学科网（北京）股份有限公司 $