1.导学案 21 第8章 8.6.3 平面与平面垂直(2)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.6.3　平面与平面垂直(2) 　【学习目标】 1.掌握平面与平面垂直的性质定理,会用定理证明垂直关系.(数学抽象、逻辑推理) 2.熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直间判定和性质的转化.(逻辑推理) 必备知识·自主导学 平面与平面垂直的性质定理 文字 语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直 符号 语言 α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β 图形 语言 【思考】 1.如果两个平面垂直,那么垂直于交线的直线是否一定垂直于另一个平面? 提示:不一定,反例如图: 2.如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面? 提示:不一定,反例如图: 【点拨】 　面面垂直的性质定理,是线面垂直的一条判定结论. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) 　(1)若两个平面互相垂直,则经过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在此平面内. (√) 　(2)若两个平面互相垂直,一条直线与一个平面垂直,则这条直线与另一个平面平行. (×) 提示:这条直线也可能在另一个平面内. 　(3)垂直于同一个平面的两个平面平行. (×) 提示:这两个平面也可能垂直. 　(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面. (√) 关键能力·师生共研学生用书P99 类型1面面垂直性质定理的应用(逻辑推理) 【典例1】如图,正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直,AF∥BE,AF⊥EF,AF=EF=BE.求证:EA⊥平面ABCD. 【证明】设AF=EF=a,则BE=2a. 如图,过点A作AM⊥BE于点M, 因为AF∥BE,所以AM⊥AF, 又因为AF⊥EF,所以AM∥EF, 又AF=EF,所以四边形AMEF是正方形. 所以AM=a,EM=MB=a,所以AE=AB=a, 所以AE2+AB2=EB2,所以AE⊥AB. 又因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AE⊂平面ABEF, 所以EA⊥平面ABCD. 【总结升华】 应用面面垂直的性质定理的策略 　(1)应用步骤:面面垂直线面垂直线线垂直. (2)应用类型:①证明线面垂直、线线垂直;②作线面角或作二面角的平面角. 提醒:面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可. 【即学即练】 　如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是　　　　　.  【解析】过A点作AO⊥BD于点O, 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, 所以AO⊥平面BCD, 所以∠ADO即为AD与平面BCD所成的角, 因为∠BAD=90°,AB=AD, 所以∠ADO=45°. 答案:45° 　如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,求证:BD⊥平面ACEF. 【证明】在正方形ABCD中,记AC与BD的交点为O,则BD⊥AC, 在矩形ACEF中,EC⊥AC,正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, 且平面ABCD∩平面ACEF=AC,EC⊂平面ACEF,故EC⊥平面ABCD, 而BD⊂平面ABCD,故EC⊥BD, 又EC∩AC=C,EC,AC⊂平面ACEF,故BD⊥平面ACEF. 类型2垂直关系的综合问题(逻辑推理) 【典例2】如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点. 求证:(1)BG⊥平面PAD; (2)AD⊥PB. 【证明】(1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,所以PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD, 所以PG⊥平面ABCD, 由BG⊂平面ABCD,所以PG⊥BG. 又因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°, 所以△ABD是正三角形,所以BG⊥AD. 又AD∩PG=G,AD,PG⊂平面PAD, 所以BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG⊂平面PBG,所以AD⊥平面PBG, 又PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB. 【总结升华】 　关于垂直关系的综合应用 (1)熟练垂直关系的转化,线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路. (2)垂直关系证明的核心是线面垂直,准确确定要证明的直线是关键,再利用线线垂直证明. 【即学即练】 　如图:已知平面α,β,γ.满足α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l, 求证:l⊥γ. 【证明】设α∩γ=a,β∩γ=b, 在平面γ内取一点A,过A作AB⊥a于B,过A作AC⊥b于C. 所以AB⊂γ,AC⊂γ且AB∩AC=A, 又因为α⊥γ,α∩γ=a,AB⊥a,所以AB⊥α, 又因为l⊂α,所以AB⊥l,同理可证AC⊥l, 又因为AB⊂γ,AC⊂γ且AB∩AC=A,所以l⊥γ. 【教材深一度】 　三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直; 已知PO,PA分别是平面α的垂线、斜线, OA是PA在平面α上的射影,a⊂α, 则a⊥OA⇔a⊥PA. 【典例3】(1)如图所示,在△BMC中,∠BCM=90°,MC=4,斜边MB在平面ABC上的射影AB长为4,∠ABC=30°,则MC与平面CAB所成角的度数为　　　　　.  【解析】由题意得,MA⊥平面ABC,CA是MC在平面ABC上的投影,∠MCA是MC与平面CAB所成的角. 因为BC⊂平面CAB,BC⊥CM, 由三垂线定理,得BC⊥CA, 又AB=4,∠ABC=30°,所以AC=2, 所以cos∠MCA==, 所以∠MCA=60°. 答案:60° 　(2)如图所示,点P在四边形ABCD所在平面外,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)  【解析】连接AC(图略),由题意得BD⊥AC, 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD. 又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, 所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC. 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时, 即有PC⊥平面MBD, 而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD. 答案:DM⊥PC(或BM⊥PC) - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.6.3　平面与平面垂直(2) 内容概览 【学习目标】 1.掌握平面与平面垂直的性质定理,会用定理证明垂直关系.(数学抽象、逻辑推理) 2.熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直间判定和性质的转化.(逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 平面与平面垂直的性质定理 文字 语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_____,那么这条直线与另一个平面_____ 符号 语言 α⊥β,α∩β=l,_____,_____⇒a⊥β 图形 语言 交线 垂直 a⊂α a⊥l 返回 【思考】 1.如果两个平面垂直,那么垂直于交线的直线是否一定垂直于另一个平面? 提示:不一定,反例如图: 返回 2.如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面? 提示:不一定,反例如图: 【点拨】 　面面垂直的性质定理,是线面垂直的一条判定结论. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两个平面互相垂直,则经过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在此平面内.( ) (2)若两个平面互相垂直,一条直线与一个平面垂直,则这条直线与另一个平面平行.( ) 提示:这条直线也可能在另一个平面内. (3)垂直于同一个平面的两个平面平行.( ) 提示:这两个平面也可能垂直. (4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.( ) √ × × √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1 面面垂直性质定理的应用(逻辑推理) 【典例1】如图,正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直,AF∥BE,AF⊥EF,AF=EF=BE.求证:EA⊥平面ABCD. 返回 【证明】设AF=EF=a,则BE=2a. 如图,过点A作AM⊥BE于点M, 因为AF∥BE,所以AM⊥AF, 又因为AF⊥EF,所以AM∥EF, 又AF=EF,所以四边形AMEF是正方形. 所以AM=a,EM=MB=a,所以AE=AB=a, 所以AE2+AB2=EB2,所以AE⊥AB. 又因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AE⊂平面ABEF, 所以EA⊥平面ABCD. 返回 【总结升华】 应用面面垂直的性质定理的策略 (1)应用步骤:面面垂直 线面垂直 线线垂直. (2)应用类型:①证明线面垂直、线线垂直;②作线面角或作二面角的平面角. 提醒:面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可. 返回 【即学即练】 　如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是　　　　　.  返回 【解析】过A点作AO⊥BD于点O, 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, 所以AO⊥平面BCD, 所以∠ADO即为AD与平面BCD所成的角, 因为∠BAD=90°,AB=AD, 所以∠ADO=45°. 答案:45° 返回 　如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,求证:BD⊥平面ACEF. 返回 【证明】在正方形ABCD中,记AC与BD的交点为O,则BD⊥AC, 在矩形ACEF中,EC⊥AC,正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, 且平面ABCD∩平面ACEF=AC,EC⊂平面ACEF,故EC⊥平面ABCD, 而BD⊂平面ABCD,故EC⊥BD, 又EC∩AC=C,EC,AC⊂平面ACEF,故BD⊥平面ACEF. 返回 类型2 垂直关系的综合问题(逻辑推理) 【典例2】如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点. 求证:(1)BG⊥平面PAD; (2)AD⊥PB. 返回 【证明】(1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,所以PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD, 所以PG⊥平面ABCD, 由BG⊂平面ABCD,所以PG⊥BG. 又因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°, 所以△ABD是正三角形,所以BG⊥AD. 又AD∩PG=G,AD,PG⊂平面PAD, 所以BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG⊂平面PBG,所以AD⊥平面PBG, 又PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB. 返回 【总结升华】 　关于垂直关系的综合应用 (1)熟练垂直关系的转化,线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路. (2)垂直关系证明的核心是线面垂直,准确确定要证明的直线是关键,再利用线线垂直证明. 返回 【即学即练】 　如图:已知平面α,β,γ.满足α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l, 求证:l⊥γ. 返回 【证明】设α∩γ=a,β∩γ=b, 在平面γ内取一点A,过A作AB⊥a于B,过A作AC⊥b于C. 所以AB⊂γ,AC⊂γ且AB∩AC=A, 又因为α⊥γ,α∩γ=a,AB⊥a,所以AB⊥α, 又因为l⊂α,所以AB⊥l,同理可证AC⊥l, 又因为AB⊂γ,AC⊂γ且AB∩AC=A,所以l⊥γ. 返回 【教材深一度】 　三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直; 已知PO,PA分别是平面α的垂线、斜线, OA是PA在平面α上的射影,a⊂α, 则a⊥OA⇔a⊥PA. 返回 【典例3】(1)如图所示,在△BMC中,∠BCM=90°,MC=4,斜边MB在平面ABC上的射影AB长为4,∠ABC=30°,则MC与平面CAB所成角的度数为　　　　　.  返回 【解析】由题意得,MA⊥平面ABC,CA是MC在平面ABC上的投影,∠MCA是MC与平面CAB所成的角. 因为BC⊂平面CAB,BC⊥CM, 由三垂线定理,得BC⊥CA, 又AB=4,∠ABC=30°,所以AC=2, 所以cos∠MCA==, 所以∠MCA=60°. 答案:60° 返回 (2)如图所示,点P在四边形ABCD所在平面外,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)  返回 【解析】连接AC(图略),由题意得BD⊥AC, 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD. 又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, 所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC. 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时, 即有PC⊥平面MBD, 而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD. 答案:DM⊥PC(或BM⊥PC) 返回 $