北京市朝阳区2025-2026学年九年级数学第二学期期中练习（人教版）

**基本信息** 北京市朝阳区九年级数学期中模拟卷，以原创情境融合科技（机器人巡检）、文化（竹编非遗）等素材，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|轴对称、实数、概率、一元二次方程|原创题4以摸球情境考概率，体现数学眼光观察现实| |填空题|8/16|函数交点、统计估计、因式分解|题16机器人分配问题，考查优化思维与数据意识| |解答题|12/68|几何证明、函数应用、统计分析|题25竹编机器人效率分析，用数学语言表达工艺生产；题28旋转关联点探究，发展空间观念与创新意识|

一、 选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只 有一个是符合题意的。 题号 2 3 6 个 P 答案 A C Q B A A D D 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9 x≠-4 10.2y2-8x=2x(y+2)0y-2) 11.x=-1 12.(-1, 2) 13.1,-1 14.230 15.5 16.乙， 189 三、解答题（本题共12道小题，第17一19题每题5分，第20一21题每题6分，第22一23 题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27一28题每题7分，共68分) 17.解：（π-2026）°-3tan30°+ +√12 4 1-3x +4+25 4分 =5+V5 -5分 4(x+1)≥3x-1, 18. 3x-2 5 解不等式①得x≥-5 -2分 解不等式②得x>-1 -4分 .不等式组的解集为x>-1. -5分 19.原式 4a-b a-b a+b)(a-b) a(a-b)a(a-b) -1分 3a a+b)(a-b) a(a-b) --2分 =3a+b). 3分 .a+b-1=0, .a+b=1. -4分 .原式=3. -5分 20.(1)证明： ·矩形ABCD .AD∥BC,AD=BC ,F为AB中点 ∴.AF=BF .AD∥BC ∴.∠AEC=∠ECB,∠EAB=∠ABC ∴，△AEF=△BCF ∴.AE=BC .AE=BC,AD∥BC ∴.四边形AEBC是平行四边形 (2)矩形ABCD .∠DCB=90°，OD=OC=OB .BD⊥EC .∠DGC=90° ∴.∠DGC+∠DCG=90° :∠DCB=90° ∴.∠ECB+∠DCG=90 ∴.∠DGC=∠ECB 设GC=3x tan ZBDC= 3 ..DG=5x .∵0G=4 .D0=5x-4 在Rt△OGC中 .0G2+GC2=0C2 .42+(3x)2=(5x-4)2 5 x= 2 GC= 2 :am∠ACG=S 8 :四边形AEBC是平行四边形 .AC∥BE ∴.∠ACG=∠CEB ∴tan∠CEB=8 15 21.(1)函数y=x+b(k≠0)的图像由一次函数函数y=2x的图象向左平移一个单位长度得到. .y=2(x+1)=2x+2 ∴.k=2,b=2 ∴.y=2x+2 (2)a≥3 3<m<0,0<m≤2 2 22.解：设小明每次平移图案时，竖直方向的平移距离为Cm,则水平方向的平移距离为 2xcm 5 7+3×2x=。(12+3×x) 根据题意，可得 解得x=3cm, 故小明每次平移图案时，竖直方向的平移距离为3cm, 23.(1)94,94 (2)> (3)甲，282 24.:AB是⊙0的直径 ∴.∠ACB=90° ∴.∠AOC+∠OCB=90° .CO=OB ∴.∠OBC=∠CBO ∴.∠CBA+∠ACO=90° .'∠ACO=∠CBE ∴.∠ABC+∠CBE=90° ∴.∠ABE=90° BE是OO的切线 :D是BC的中点 .CD BD ∴.∠COE=∠EOB :CO=OB,∠COE=∠EOB,OE=OE ∴.△COE兰△BOE ∴.∠OCE=∠OBE=90°，BE=CE ∴.∠FC0=90° .∠FCO=∠ACB ∴.∠FCA=∠OCB :sin∠FCA=5 3 ÷sin∠OCB=sin∠CB0=3 在Rt△ACB中 ·sin∠OCB=AC_3 AB 5 ..3AB=5AC 令AB=3x,AC=5x,则BC=4x :∠F=∠F,∠FCA=∠FBC ∴.△ACF~△BCF AF AC CF 3 CF-BC BF 4 ∵BF=24 CF=18,4F=27 2 在RIABEF中 .EF2=BF2+BE2 .BE=7 ·AF=27 BF=24 在RIAOBE中 .OE2=OB2+BE2 :0E月 在△OBC中 :∠COB+∠OCB+∠OBC=1809 ∴.∠COD+∠OCB=90° ∴.∠COD=∠ACO ∴.AC∥OE ∴.∠CAE=∠AEO ∴.△ACH~△EOH CH AC OH OE AC=63 CH=189 10 86 25.(1)3.6 S/dm2 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 （2) 00.511.522.533.544.55tmin (3)①1.25；②137.3 26.4=2: 1 12 2)06:②3a2或5a<1 <a< (1)解：y=r-3ax(a>0) x=--3a3 “对称轴为X=2a2: (2)解：①当x=t时，y=at2-3at,则M(am-3a),过M作y轴的垂线，方程 为y=ar-3al, 当x=2i时，y=a(2)-3a-(2)=4ar-6at,则V(2,4ar2-6a）,过N作x轴的 垂线，方程为x=21; ÷两垂线交点P(2,at2-3am）,NP=(4atr2-6ar）-(at2-3ai=3at2-3ad, a>0, :NP=3a-t a=1,t=2, :NP=3alr-=3x1x2-2=6, 3 ②：4=4，a<4<620,a>0. :.3ak2-4=3ah2-4. 5 2-4=62-4. 情况1.个-4=号-5 整理得：(（店-)%+5-1)=0 :4*6 4+4=1 <4,<1即0<a<22a,解得3 1 13 1 1 要存在，12满足 0<4< ,即 a≤1 <a< 2； 情况2行-4=（兮-4）， 令-1=0，解得1=0或1， 则当0<1<1时，-1<0：当<1时，-1>0： /3 又：a<4<42a0 :a<4<1<5< 3 a 2, 3 ,a<1< 2 -a <a<1 2”解得3 1.12 <a< <a<1 综上，a的取值范围为3”2或3 ∠BCP=50-900 27.(1) 2 BO=2DE (2) (1)解：AB=AC, 6 ∴.∠ABC=∠ACB ∠BAC=C, ∠ABC=180°-∠BAC=90- 2 2」 :∠CAQ=∠APC,∠CAQ=2a ∴.∠BCP=∠APC-∠ABC=2a- 50-90° BO=2DE (2)解： B0与DE的数量关系为： 证明：如图，在AD上取点N,使得DN=DP,连接CV. C M CD⊥AB」 ..CP=CN ∴∠CNP=∠APC :∠CAQ=∠APC .∠CNP=∠CAQ .AC∥BM .∠CAB=∠ABM∠AQM=∠CAQ .∴∠AQM=∠CNP :∠AQB+∠AQM=180°∠CNA+CNP=180° ∴.∠AQB=∠CNA 在△CNA和△4OB 和 中 ∠CAB=∠ABM ∠AQB=∠CNA AB=AC ∴.△CNA≌△AQB(AAS) .AN=BO ,E是AP的中点， .AP=2PE. .PN =2PD .AN=AP-PN=2PE-2PD=2DE. ..BO=2DE we0 24-V2≤b≤4+V2 8Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 选择题 2 轴对称图形的概念与识别 0.85 2 选择题 2 实数与数轴、实数大小比较、绝对值的性质 0.75 3 选择题 2 垂线的性质、对顶角、角度计算 0.75 4 选择题 2 随机事件的概率计算（摸球问题） 0.75 5 选择题 2 一元二次方程根的判别式 0.7 6 选择题 2 科学记数法、有理数乘法的实际应用 0.8 7 选择题 2 尺规作图、垂直平分线的性质、等边三角形的计算 0.7 8 选择题 2 正方形性质、全等三角形、最值问题综合 0.35 9 填空题 2 分式有意义的条件 0.9 10 填空题 2 因式分解（提公因式法、平方差公式） 0.85 11 填空题 2 分式方程的解法 0.8 12 填空题 2 反比例函数与一次函数的交点性质 0.8 13 填空题 2 假命题的判定、实数大小比较 0.75 14 填空题 2 用样本估计总体、统计数据分析 0.75 15 填空题 2 正方形性质、相似三角形、三角形面积计算 0.7 16 填空题 2 方案优化、利润最大化、分类讨论 0.3 17 解答题 5 实数的混合运算（零次幂、三角函数、负指数幂、二次根式） 0.85 18 解答题 5 一元一次不等式组的解法 0.8 19 解答题 5 分式的化简求值、整体代入思想 0.8 20 解答题 6 平行四边形的判定与性质、矩形的性质、三角函数 0.75 21 解答题 6 一次函数的平移、一次函数性质、不等式求解 0.7 22 解答题 5 平移的性质、一元一次方程的实际应用 0.7 23 解答题 5 统计数据综合分析（平均数、中位数、方差、众数） 0.65 24 解答题 6 圆的切线判定、圆周角定理、三角函数、相似三角形 0.55 25 解答题 5 正比例函数的应用、函数图象、实际问题优化 0.5 26 解答题 6 二次函数的性质、抛物线对称轴、坐标与图形综合 0.45 27 解答题 7 等腰三角形性质、全等三角形判定与性质、几何综合证明 0.35 28 解答题 7 新定义问题（旋转关联点）、图形旋转、圆与一次函数综合 0.25 $ 北京市朝阳区2025-2026学年度第二学期期中练习中考模拟练习 九年级数学试卷 （考试时间120分钟 满分100分） 学校______________ 班级______________ 姓名______________ 考号______________ 1、 选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( ) （A） （B） （C） （D） 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( ) （A） （B） （C） （D） 3. 如图，直线交于点O，．若，则的大小是（ ） （A） （B） （C） （D） （原创）4．一个不透明的盒子中装有2个白球，2个红球和1个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出两个球，摸到一个红球一个白球的概率为( ) （A） （B） （C） （D） 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） （原创）6.国家统计局2026年4月29日发布的数据显示，一季度，我国文化服务业营业收入比上年同期增长9.9%，实现较快增长。2025年一季度我国文化服务业营业收入为18569亿元，则2026年第一季度我国文化服务业营业收入约为( ) （A） （B） （C） （D） 7. 如图，，分别以点为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，连接，则的长为（ ） （A） 1 （B） （C）2 （D） （原创）8. 如图，正方形的边长为1，、是边、上的动点.若,上述结论中，所有正确结论的序号是( ) ①若,则 ② ③的最小值为 ④的最小值为 （A） ①③ （B）②③ （C）②③④ （D）①②③④ 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） （原创）9.若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________. （原创）10. 分解因式：＝___________. （原创）11. 方程的解为___________. （原创）12. 在平面直角坐标系xOy中，函数与的图象交于A，B两点. 若点A的坐标是（1，-2），则点B的坐标为___________. 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 14. 某校九年级共有300名女生．为了解她们800米成绩分布情况，从中随机抽取了30名女生的800米成绩，并根据《国家学生体质健康标准》整理如下： 等级 优秀 良好 及格 不及格 人数 8 15 4 3 根据以上信息，估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是_______． 15. 如图，在正方形中，E为的中点，，垂足为F．若，则的面积为______． 16. 某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 三、解答题（本题共12道小题，第17—19题每题5分，第20—21题每题6分，第22—23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题每题7分，共68分） （原创）17．计算： （原创）18.解不等式组： （原创）19.已知，求代数式的值. （原创）20.如图，矩形,延长到点，连接交于点,且为中点，交于点,连接. (1) 求证：四边形是平行四边形 (2) 若，,,求. 21.在平面直角坐标系中，函数的图像由一次函数函数的图象向左平移一个单位长度得到. （1）求的值； （2）当，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值且小于一次函数的值，则的取值范围是 ． 22. “骐骥驰骋纹”是将“骐、骥、驰、骋”四个马字旁汉字的笔意，与中国传统云纹、雷纹、回纹融合，勾勒出“四马齐驱、拾级而上”的视觉意象，寓意开拓进取、生生不息． 小明想自己绘制一个“骐骥驰骋纹”图案．为此，他先绘制出一个横距为，纵距为的“小马”图案（如图1），然后将图1中的“小马”图案以相同的方式连续平移三次，得到了一个由匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案（如图2）． 已知小明每次平移图案时，先水平向右平移，再竖直向上平移，并且水平方向平移距离是竖直方向平移距离的倍．若图2中“骐骥驰骋纹”图案的横距是纵距的倍，求小明每次平移图案时竖直方向的平移距离． 23. 北京市举办“未来之城”青少年人工智能与无人机综合应用大赛．某校“凌云”科技社团要从进入大赛名单的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一名正式参赛队员．选拔赛共进行10轮，主要测试无人机在复杂环境下的“定点精准空投”能力（各项测试综合成绩满分为100分，成绩均为整数）．教练组对这四名同学最近10次模拟测试的成绩数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如下： b．丙同学10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97； c．丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分；d．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 94 94 94 中位数 94 94 93.5 方差 1.2 5.2 1.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为___________，的值为___________； （2）表中___________1.2（填“”“”或“”） （3）大赛组委会引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮： 第一轮（平均水平初筛）：四名同学进行比较，平均水平最高者进入第二轮候选名单（若最高平均水平有多人并列，则均进入第二轮）； 第二轮（极度稳定复筛）：在进入第二轮的同学中，比较他们测试成绩的稳定性，成绩最稳定的两名选手才能入选第三轮候选名单． 第三轮（核心战力比拼）：针对进入第三轮候选名单的选手，组委会将计算他们的“核心战力指数W”．组委会认为，中位数代表了选手的中等水平，众数代表了选手最常出现的典型状态．设核心战力指数的计算公式为：中位数众数．分最高者最终当选为正式参赛队员． 你认为经过三轮的严格评估，最终当选正式参赛队员的是______同学，该同学的W分是_______分． （原创）24.如图，是的直径，点为上一点，是的中点，且. (1) 求证:是的切线 (2) 延长,交于点,连接交于点,交于点,若,，求的长. 25. 竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． （1）表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人编织平编产品，机器人编织绞编产品，工作一段时间后，机器人出现故障无法工作．机器人完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 26.在平面直角坐标系中，已知抛物线 （1） 求抛物线的对称轴； （2）已知抛物线上两点，的横坐标分别为，，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点． ①若，，求的长； ②当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求的取值范围． 27. 在△ABC中，，，于点D，过点作，是线段上一点，连接，作，交射线于点． （1）如图1，当时，求的度数（用含的式子表示）； （2）如图2，点为中点，用等式表示与的数量关系，并证明． （原创）28. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点为平面内一定点，点为平面内任一点，将点绕点逆时针旋转，所得点，称点为点关于点的旋转关联点.若点在图形上运动，则其所有的旋转关联点构成的图形为图形关于点的关联图形. (1) 若点，点在以为顶点的正方形上运动则 、、、是点关于点的旋转关联点的是ddd 若点,平面内一条直线，点在以原点为圆心，1为半 学科网（北京）股份有限公司 $