精品解析：北京市育英中学四年制2025－2026学年初三第二学期期中练习 数学

北京市育英学校四年制初三第二学期期中练习 数学 一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 3. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情况．下列说法正确的是（　　） A. 甲队队员拦网高度的整体水平更高 B. 乙队队员拦网高度的平均数更大 C. 甲队队员拦网高度的方差更大 D. 乙队队员拦网高度的中位数更大 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 7. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知一个二次函数图象经过，，，四点，若，则的最值情况是(　　　) A. 最小，最大 B. 最小，最大 C. 最小，最大 D. 无法确定 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 若是一元二次方程的两个根，则______． 10. 写出一个有两个互为相反数的实数根的方程，这个方程是______． 11. 已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 12. 某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，则这组数据的下四分位数是______． 13. 已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式________________． 14. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则关于的一元二次方程的两个实数根是_______________ 15. 对于二次函数，与的部分对应值如表所示．在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围______． … 0 1 2 3 … … 1 3 3 1 … 16. 我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标6倍的点，则把该函数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”，其“行知点”为． （1）直接写出函数图象上的“行知点”是__________； （2）若二次函数的图象上只有一个“行知点”，则的值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，第17—18题每题5分，第19—24题每题6分，第25—26题每题7分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：3x2-5x+2=0 18. 习题课上老师给了一道解方程的题目：．小马和小明的解法如下： 小马的解法 原方程可化为：…第一步， ∴…第二步， ∴，…第三步． 小明的解法 原方程可化为：…第一步， 两边都除以…第二步， ∴…第三步． （1）他们的解法都是错误的，小马从第______步开始错误，小明从第______步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 19. 如果，求代数式的值． 20. 已知一个二次函数的图像经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 22. 2026年农历马年伊始，一只产自浙江义乌、因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马哭哭马意外走红．某店铺以每件15元的价格购进哭哭马，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为尽快减少库存，商家决定降价促销．为使日销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 23. 如图已知直线与抛物线相交于、两点．解答以下问题： （1）填空：，，． （2）不等式的解集为． （3）已知点P在x轴上，若的面积是的倍，求点P坐标． 24. 探究函数y=x|x-2|的图象与性质． 小娜根据学习函数的经验，对函数y=x|x-2|的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： （1）下表是x与y的几组对应值． x … -2 -1 0 1 2 1+ 3 … y … -8 -3 0 m n 1 3 … 请直接写出：m= ，n= ； （2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程x|x-2|=a有三个不同的解，记为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．请直接写出x1+x2+x3的取值范围． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． （1）若，，求的长的最大值； （2）在点从点运动到点的过程中，至少存在两个不同位置使得长度相等，求的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点． （1）在，，中，点P的等积点是 ． （2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． （3）已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市育英学校四年制初三第二学期期中练习 数学 一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A中是分式方程，不是整式方程，故A不符合要求． 选项B中未说明，当时方程不是二次方程，故B不符合要求． 选项C中，展开左边得 ，原方程化为，整理得，是一元一次方程，故C不符合要求． 选项D中满足一元二次方程的所有条件，故D符合要求． 2. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的配方的步骤，结合完全平方公式整理即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 3. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4. 如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情况．下列说法正确的是（　　） A. 甲队队员拦网高度的整体水平更高 B. 乙队队员拦网高度的平均数更大 C. 甲队队员拦网高度的方差更大 D. 乙队队员拦网高度的中位数更大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差，四分位数，结合统计图的数据集中程度和中位数等根据生活实际分析即可解答． 【详解】解：从图中可以看出， 甲队拦网高度的整体水平比乙队高，故选项A符合题意； 甲队队员拦网高度的平均数更大，故选项B不符合题意； 甲队队员拦网高度的方差更小，故选项C不符合题意； 乙队队员拦网高度的中位数更小，故选项D符合题意． 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，可知Δ＞0，进一步求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得：且． 故选：B． 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 7. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，结合开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、判别式、函数增减性，逐一判断五个结论的正误． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵抛物线过点， ∴当时，， ∵， ∴，即，故③正确； ∵对称轴为直线，即， ∴，即，故④正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，随的增大而减小，故⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共4个． 8. 已知一个二次函数图象经过，，，四点，若，则的最值情况是(　　　) A. 最小，最大 B. 最小，最大 C. 最小，最大 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意判断抛物线开口向上，对称轴在直线＝0与直线＝1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断． 【详解】∵二次函数图象经过，，，四点，且， ∴抛物线的开口向上，且对称轴在直线＝0与直线＝1之间， ∴离对称轴的距离最大，离对称轴的距离最小， ∴最小，最大， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，判断开口方向及对称轴的位置是解题的关键. 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 若是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】确定方程的二次项系数与一次项系数后，代入公式即可求解. 【详解】解：对于一元二次方程 ， 若方程的两个根为 ，则 , ∵一元二次方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 10. 写出一个有两个互为相反数的实数根的方程，这个方程是______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，设出两个互为相反数的实数根，构造一元二次方程，要求满足两根之和为． 【详解】解：设该一元二次方程的两个根分别为和． 由因式分解法可得方程： 展开得： 取，得满足条件的方程为． 11. 已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，再利用点到对称轴的距离，结合二次函数增减性比较函数值大小． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴的距离越小的点的函数值越大， ∵，，，且， ∴． 12. 某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，则这组数据的下四分位数是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查下四分位数的计算，需要将数据由小到大排列，然后根据下四分位数的定义求解即可． 【详解】解：将数据按从小到大的顺序排列：，1，2，3，3，5，共6个数据，这组数据的下半部分为，1，2，其中位数为1，故该组数据的下四分位数为1。 故答案为：1． 13. 已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握时，函数开口向上，有最小值；时，函数开口向下，有最大值． 【详解】∵二次函数有最大值， ∴二次函数的二次项系数小于0，可设二次函数的解析式为， 又∵它的图象经过点， ， ， 二次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则关于的一元二次方程的两个实数根是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，求出对称轴，对称性，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标是， ∴另一个交点的坐标为：， ∴关于的一元二次方程的两个实数根是； 故答案为： 15. 对于二次函数，与的部分对应值如表所示．在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围______． … 0 1 2 3 … … 1 3 3 1 … 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据表格，用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：把，；，；，分别代入，得 ，解得：， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小， 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16. 我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标6倍的点，则把该函数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”，其“行知点”为． （1）直接写出函数图象上的“行知点”是__________； （2）若二次函数的图象上只有一个“行知点”，则的值为__________． 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，将新定义与所学二次函数，一元二次方程的知识相结合，熟练掌握跟与系数关系是解题关键． （1）根据题目所给“行知点”的定义，列出方程求解即可； （2）根据题目所给“行知点”的定义，列出方程，根据只有一个“行知点”得出该方程只有一个实数根，再根据一元二次方程根的判别式，即可解答． 【详解】解：（1）根据题意可得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； ∴函数图象上的“行知点”是或； 故答案为：或． （2）∵二次函数的图象上只有一个“行知点”， ∴方程有两个相等的实数根，且， 整理得：， ∴， 解得：， 综上：a的值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，第17—18题每题5分，第19—24题每题6分，第25—26题每题7分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：3x2-5x+2=0 【答案】x1=1，x2= 【解析】 【分析】利用因式分解法即可解答． 【详解】解：3x2-5x+2=0 ∴， ∴或 解得：x1=1，x2= 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是灵活选择方法解方程． 18. 习题课上老师给了一道解方程的题目：．小马和小明的解法如下： 小马的解法 原方程可化为：…第一步， ∴…第二步， ∴，…第三步． 小明的解法 原方程可化为：…第一步， 两边都除以…第二步， ∴…第三步． （1）他们的解法都是错误的，小马从第______步开始错误，小明从第______步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 【答案】（1）二；二 （2）过程见解析 【解析】 【分析】（1）小马第二步方程左边因式分解错误，小明第二步忽略了的值可以为； （2）先把原方程化为，再移项得，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：小马从第二步开始错误，理由是方程左边进行因式分解时，因式分解错误；小明从第二步开始错误，理由是的值可以为，方程两边不能直接同时除以； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 19. 如果，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式化简代数式，再根据已知条件得到，最后整体代入化简后的式子求值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 20. 已知一个二次函数的图像经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）先求得二次函数的顶点坐标，则可得当时，y取最小值，再结合 自变量m的范围，进而根据二次函数图像的性质求解即可； 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， 根据题意得，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，y取最小值， 当时，；当时，， ∴当时，n的取值范围是． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 22. 2026年农历马年伊始，一只产自浙江义乌、因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马哭哭马意外走红．某店铺以每件15元的价格购进哭哭马，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为尽快减少库存，商家决定降价促销．为使日销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价5元 【解析】 【分析】设每件应降价元，用含的代数式表示出每件利润和日销量，再根据总利润=每件利润×日销量列一元二次方程求解，结合尽快减少库存的条件选择合适的解． 【详解】解：设每件应降价元．则 ， 解得：，． ∵要尽快减少库存， ∴． 答：每件应降价元． 23. 如图已知直线与抛物线相交于、两点．解答以下问题： （1）填空：，，． （2）不等式的解集为． （3）已知点P在x轴上，若的面积是的倍，求点P坐标． 【答案】（1），，； （2）不等式的解集为或． （3）点P坐标为． 【解析】 【分析】（1）直接用待定系数法即可求解； （2）直接根据函数图象即可求解； （3）连接，，在轴上取点，连接，，作轴于点，轴于点，直线交轴于点，根据的面积是的倍，求出，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：把、代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由（1）知，直线的解析式为：，抛物线的解析式为：， 又∵两函数交于、两点， ∴由图象可知，不等式，即的解集为：或． 【小问3详解】 解：连接，，在轴上取点，连接，，作轴于点，轴于点，直线交轴于点，如图： 令，则， ∴， ∴， ∵、， ∴，，，，， ∴， ∵的面积是的倍， ∴， 设，则，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴点． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式，解一元一次方程，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 24. 探究函数y=x|x-2|的图象与性质． 小娜根据学习函数的经验，对函数y=x|x-2|的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： （1）下表是x与y的几组对应值． x … -2 -1 0 1 2 1+ 3 … y … -8 -3 0 m n 1 3 … 请直接写出：m= ，n= ； （2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程x|x-2|=a有三个不同的解，记为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．请直接写出x1+x2+x3的取值范围． 【答案】（1）m=1，n=0；（2）见详解；（3）4< x1+x2+x3<3+． 【解析】 【分析】（1）把和代入y=x|x-2|，即可求得m、n的值； （2）画出该函数图象即可； （3）根据题意可知，且，，令时，求解x的值，即可得出的范围；再结合与关于对称，得出，进一步即可得出结果． 【详解】解：（1）把代入y=x|x-2|，得 把代入y=x|x-2|，得 故答案为：m=1，n=0； （2）如图： （3）有三个解为，，，且，则与图象有三个交点， ，且，， 令时， 解得 关于对称， ． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想，正确画出函数图象是解题关键． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． （1）若，，求的长的最大值； （2）在点从点运动到点的过程中，至少存在两个不同位置使得长度相等，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为已知，所以先将代入抛物线和直线解析式，再根据点的垂线与抛物线、直线的交点，用t表示出M、N的纵坐标，进而得到的长度表达式；因为该表达式是二次函数形式，所以可利用二次函数的性质，结合的范围求最大值． （2）先用t和a表示出的长度表达式；因为至少存在两个不同位置使长度相等，所以该表达式对应的函数在存在不同的增减情况，据此进行分类讨论来确定a的取值范围． 【小问1详解】 当时，抛物线为，直线为， 过点作x轴的垂线，则，． 所以 ∵，∴， ∴． 当时，取得最大值． 【小问2详解】 由题意，，，则 ， 由于是常数，的长度相等等价于的值相等． 当时，，所以． 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为． 在上，随t的增大而增大； 在上，随t的增大而减小． 当时，，当时，， 当时，，所以． 这是一个开口向上的二次函数，对称轴， 在时，随t的增大而减小． 当时，在这个范围中是随t的增大而减小，不存在两个不同的 t 使相等，所以不满足条件． 当时，在这个范围内存在两个不同的 t 使 相等，必须让这个范围覆盖对称轴  的两侧，或者包含端点 0和 3． 若，完全在对称轴左侧，随t的增大而增大，每个函数值只对应一个 t，不满足． 若，包含 0到 的上升段和  到 a 的下降段，因此存在两个不同的 t 使 相等，满足条件． 若，包含 0 到 3 的整个部分，又因为和都在这个范围内，所以存在两个不同的位置（和）使长度相等，同时，对于其他值也有对称点，因此也满足条件． 综上，当时，满足“至少存在两个不同位置使长度相等”． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点． （1）在，，中，点P的等积点是 ． （2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． （3）已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】(1)根据定义，计算确定即可． (2)根据平行四边形的性质，运用平移的思想分类计算即可． (3)根据定义，确定等积点的范围，利用正方形的性质，确定四个顶点的坐标，根据性质建立不等式计算即可． 【小问1详解】 ∵，，，， ∴，，， ∴点P的等积点是， 故答案为：． 【小问2详解】 设点， ∵，点Q是P点的等积点， ∴即， 故点Q在直线上， ∴点， 当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C， ∴点， ∵点在x轴上， ∴点， 解得， ∴点； 当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C， ∴点， ∵点在x轴上， ∴点， 解得， ∴点； 综上所述，点或． 【小问3详解】 设点， ∵，点Q是P点的等积点， ∴即， 故点Q在直线上， 设点B的等积点坐标， ∵， ∴即， 故点B的等积点在直线上， ∵点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点， 设该正方形为，则， ∵为的等积点，在上， ∴每一点A在直线与直线在第一象限交成的锐角内部或边上， 当在直线上时，m取得最小值， 故， 解得； 当在直线上时，m取得最大值， 故， 解得； 故m的取值范围是． 【点睛】本题考查了新定义问题，平行四边形的判定，平移规律，正方形的性质，正确理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $