2026年中考数学终极冲刺08：统计与概率专项（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“统计与概率”专题，覆盖数据收集与整理、数据分析、概率三大核心考点，针对中考10至18分基础必拿分模块，通过考情分析、核心知识点梳理、典例变式讲解、中考真题训练四环节，帮助学生构建知识体系，突破计算与概念易错点。 亮点在于情境化命题设计与规范解题指导，如“两步概率计算”用树状图法区分放回与不放回试验，培养推理意识，“样本估计总体”结合生活实例提升数据意识。设置基础中档分层练习，配合即时反馈机制，确保短时间内夯实基础，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺08 统计与概率 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 统计与概率是中考数学基础必考板块，全国统一命题稳定，总分占10至18分，以基础、中档题型为主，整体难度低，是中考必拿满分的核心得分模块。题型分布固定，通常包含2至3道选择、填空题和1道综合解答题，位置靠前、解题难度小。统计部分高频考查平均数、中位数、众数、方差的计算与意义，侧重条形图、扇形图的数据分析、补全作图、圆心角计算及样本估计总体等核心考点。概率部分重点考查随机事件判断、一步概率计算，以及利用树状图、列表法求解两步试验概率，着重区分放回与不放回试验的差异。近年命题贴近生活实际，情境化特征明显，侧重考查数据分析与数学应用能力，无复杂变形和难题。整体命题规律稳定，极少出现创新难题，备考重点为夯实基础公式、规范答题步骤，规避计算、概念类易错点，全力冲刺满分。 2、核心考查内容： 数据的收集与整理、数据分析、概率。 （1） 数据的收集与整理：核心考查调查方式的区分，包括普查与抽样调查的适用场景，总体、个体、样本、样本容量的概念辨析。熟练掌握各类统计图的运用，能够根据条形统计图、扇形统计图、折线统计图提取数据、补全图表、计算频数、频率及扇形圆心角度数，同时掌握简单的数据分类、整理与统计基本流程。 （2） 数据分析：重点考查三大统计量：平均数、中位数、众数的计算与实际意义，能够根据数据特征选择合适的统计量描述数据集中趋势。掌握方差的计算公式，理解方差的核心作用，方差越小数据越稳定，方差越大数据波动越大。熟练运用样本数据特征估计总体情况，结合数据变化分析实际问题，做出合理判断与决策。 （3） 概率：考查必然事件、不可能事件、随机事件的分类判断。掌握简单随机事件的一步概率计算，熟练运用列表法、树状图法求解两步及以上随机事件概率，精准区分放回与不放回试验的区别。理解用频率估计概率的原理，明确大量重复试验下，频率稳定于概率，能结合实际情境求解概率、分析事件发生的可能性大小。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】数据的收集与整理 1.调查方式：普查（全面调查）数据准确、适合范围小、不破坏性调查；抽样调查适合范围广、具有破坏性、数量庞大的调查。 2.统计基本概念：总体是考察的全部对象，个体是每一个考察对象，样本是从总体中抽取的一部分个体，样本容量是样本中个体的数量（不带单位）。 3.统计量基础：频数指数据出现的次数，频率=频数÷总数，所有频率之和为1。 4.三大统计图考点：条形统计图清晰反映各组数据数量多少；扇形统计图反映各部分占总体百分比，圆心角度数=360°×对应百分比；折线统计图反映数据变化趋势。常考补全统计图、求数量、求占比、求圆心角。 【典例1】（2026·湖北襄阳·二模）下列说法正确的是（    ） A．调查长江流域的水污染情况，可以采用全面调查的方法 B．某次抽奖活动中，中奖的概率为，表示每抽奖100次一定有一次中奖 C．甲、乙两人各进行10次射击测试，两人成绩的平均数都是8.5环，方差分别是2和1.5，则甲的成绩更稳定 D．掷一枚均匀的硬币，正面朝上，这是随机事件 【答案】D 【详解】解：∵长江流域范围广，无法完成全面调查，应当采用抽样调查，∴A选项错误； ∵中奖概率为，表示大量重复试验时，平均每100次抽奖可能中奖1次，并非抽奖100次一定有一次中奖，∴B选项错误； ∵方差越小，成绩越稳定，甲的方差2大于乙的方差1.5，因此乙的成绩更稳定，∴C选项错误； ∵掷一枚均匀的硬币，正面朝上的结果不确定，符合随机事件的定义，∴D选项正确． 【变式1】（2026·广东汕头·一模）第十九届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心、首都国际会展中心举办，车展时间为2026年4月24日至5月3日．本次车展的一大特点是新能源汽车成为主流．小唯同学利用周末时间对自己家所在小区内不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况做了问卷调查，以下是他的调查报告（不完整）： 调查主题 不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况 调查对象及年龄段划分 1．调查对象：小唯家所在小区内不同年龄段的人群 2．年龄段划分：少年（10～17岁）、青年（18～44岁）、中年（45～59岁）、老年（60岁及以上） 调查方式 抽样调查 调查地点 小唯家所在小区 调查数据的收集、整理与描述 对新能源汽车了解情况的调查问卷 您对新能源汽车的了解程度是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．不知道什么是新能源汽车（　　）B．知道什么是新能源汽车，但没有体验过（　　） C．对新能源汽车，有一些体验经历（　　）D．非常了解，我是新能源汽车车主（　　）       请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)统计表中 ， ，本次抽样调查的总人数是 人； (2)若该小区有1500名青年人，请估计该小区青年人中有多少人是新能源汽车车主； (3)请写出一条关于你对新能源汽车的了解． 【答案】(1)40，70，1000 (2)有1000人是新能源汽车车主 (3)见解析 【分析】（1）用B组总共的人数减去少年、中年、老年的人数即可得出a，用D组总共的人数减去少年、青年、老年的人数即可得出b，将各组的人数相加即可得出总人数； （2）用1500乘以青年人中新能源汽车车主所占的比例即可得出结果； （3）结合环保、节能、技术发展等写出一条合理的建议即可． 【详解】（1）解：，， 本次抽样调查的总人数是（人）， 故答案为：40；70；1000； （2）解： （人）， 答：估计该小区青年人中有1000人是新能源汽车车主； （3）解：新能源汽车主要依靠电力驱动，减少了对传统燃油的依赖，有助于降低空气污染．（答案不唯一，言之有理即可） 【题型二】数据分析 1.集中趋势统计量（三数） 平均数：所有数据总和除以数据个数，易受极端值影响，适用于数据分布均匀的情况；中位数：将数据从小到大排序后，中间位置的数（偶数个数据取中间两数平均值），不受极端值影响；众数：一组数据中出现次数最多的数，可多个，反映数据最集中的数值。中考常考根据场景选择最合适的统计量。 2.波动程度统计量（方差） 方差用来衡量数据波动大小。方差越大，数据波动越大、越不稳定；方差越小，数据越集中、越稳定。两组数据对比稳定性，直接比较方差大小即可，是中考高频判断考点。 3.样本估计总体 利用样本的平均数、频率、比例，估算总体的对应数据。核心公式：总体数量=总数量×样本所占百分比，是统计解答题必考步骤，可用于估算人数、数量等实际问题。 【典例2】（2026·河北唐山·二模）开学初，刘老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐测试（满分为10分），根据测试成绩制作了下面两个统计图． (1)本次测试的学生中，得9分的学生人数是______人； (2)本次测试学生成绩的中位数是______，众数是______；并计算本次测试成绩的平均分； (3)经过一段时间的锻炼，刘老师对50名女生的仰卧起坐进行了第二次测试，测得成绩的最低分为8分，且得9分和10分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.9分，问第二次测试中得9分、10分的学生各有多少人？ 【答案】(1)25； (2)9分，9分，8.7分； (3)第二次测试中得9分的学生有10人，得10分的学生有35人． 【分析】（1）利用得9分的学生所占百分比乘以50，即可求解； （2）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解； （3）由题意得，第二次测试中得8分的人数为5（人），设第二次测试中得9分的学生有x人，则得10分的学生有人，根据题意列出方程，求出的x值即可解答． 【详解】（1）解：（人）， （2）解：得8分的学生人数为（人）， 由统计图可知，得7分和得10分的学生人数都为10人， 将50名女生测试的得分从小到大顺序排列，中位数为第25位和第26位的平均数， ∵， ∴中位数落在9分中 ∴中位数（分）， 由统计图可知，得9分的学生人数最多， ∴众数是9分， 本次测试的平均分（分） （3）解：由题意得，第二次测试中得8分的人数为（人），设第二次测试中得9分的学生有x人，则得10分的学生有人， 由题意得， 解得：，则， 答：第二次测试中得9分的学生有10人，得10分的学生有35人． 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）为了解A，B两款无人机在一次充满电后飞行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们飞行的最长时间（单位：），并对数据进行整理、描述与分析，得到了部分信息． a．10架A款无人机一次充满电后飞行的最长时间分别是：15，16，16，21，21，24，26，27，27，27． b．10架B款无人机一次充满电后飞行的最长时间在中等组的数据分别是：20，21，23，23，23． 10架B款无人机一次充满电后飞行的最长时间扇形统计图如下图： c．两款无人机一次充满电后飞行的最长时间数据分析如下表： 类别 平均数 中位数 众数 方差 A 22 22.5 m 21.8 B 23 n 23 6.2 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，_____，_____，_____； (2)若仅从飞行时间上考虑，B款无人机的飞行性能更好，请说明理由． 【答案】(1)10，27，23 (2)理由见解析 【分析】（1）根据众数的定义可得的值，根据中位数的定义可得的值，用“1”减去其他部分所占百分比可得的值； （2）可比较中位数，众数与方差得出结论． 【详解】（1）解：∵B款无人机中中等的有5架， ∴所占百分比为， ∴B款无人机中合格的所占百分比为，即； A款无人机一次充满电后飞行的最长时间中，出现次数最多的是27， ； 把B款无人机一次充满电后飞行的最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是23和23， ∴中位数是23． （2）解：一次充满电后飞行的最长时间，B款的平均数大于A款，且方差较小，更稳定，故仅从飞行时间上考虑，B款无人机的飞行性能更好． 【题型三】概率 1.事件判定：考查必然事件、不可能事件、随机事件的区分判断，明确三类事件的概率取值范围，是选择填空基础考点。 2.基础概率计算：掌握一步随机事件概率求解，核心公式为概率等于符合条件结果数与所有等可能结果总数的比值，适配摸球、抽奖、掷骰子等基础题型。 3.两步概率综合（重难点）：必考树状图、列表法两种规范解题方法，核心区分放回与不放回试验，准确列举所有等可能结果，杜绝漏解、重解，是解答题核心得分点。 4.频率估计概率：区分频率与概率的定义，频率是试验所得的不稳定数值，概率是固定理论数值，大量重复试验中频率可稳定估计概率，常考数值估算与规律判断。 5.实际应用分析：结合生活情境，利用概率大小判断事件发生可能性，对比方案优劣、判断游戏公平性，贴合中考情境化命题趋势。 【典例3】（2026·广东汕头·一模）小明和爸爸搭乘高铁回老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是高铁座位示意图），则小明和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道同侧视为邻座）的概率是______． 【答案】/ 【分析】画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有20种等可能性结果，符合条件的有8种， 所以小明与爸爸分配的座位是相邻的概率是． 【变式3】（2026·安徽阜阳·二模）在大课间活动时，五个同学A，B，C，D，E分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏（如图）．规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是_____． 【答案】 【分析】根据题意画树状图，可得两次传球共有4种等可能结果，球又回到A手上的结果数为2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知：有4种等可能结果，球又回到A手上的结果数为2种， ∴经过两次传球后又传到A手上的概率是． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【答案】B 【分析】本题考查了事件的概率，随机事件的分类，方差等知识的综合运用，理解概率，事件分类，方差的概念是解题的关键． 根据概率，事件的分类，方差的概念，逐一分析即可求解． 【详解】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意； B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意； C、∵， ∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ； D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 2．（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时解题的关键． 【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， 故选：B． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键． 【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝， ∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是， 故选：． 4．（2025·四川广元·中考真题）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表： 书籍本数 2 3 4 5 6 人数 2 2 2 3 1 下列关于书籍本数的描述正确的是（   ） A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1 【答案】C 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数和方差的概念及计算，解题的关键是掌握各统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；平均数是所有数据之和除以数据个数；中位数是将数据排序后中间位置的数（或中间两数的平均数）；方差是各数据与平均数差的平方的平均数，通过计算判断选项正确性． 【详解】解：、众数是一组数据中出现次数最多的数．由表格可知，5本对应的人数为3人（最多），故众数是5，A错误． 、，B错误． 、将数据按从小到大排列：（共个数据），中位数为第5、6个数的平均数，即，C正确． 、平均数为 ， 方差，D 错误． 故选：C． 5．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 6．（2025·山东·中考真题）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表确定所有等可能结果数和符合题意的结果数是解题的关键． 先用列表法确定所有等可能结果数和符合题意的结果数，然后用概率公式计算即可． 【详解】解：设三款镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”分别用A、B、C表示： 根据题意列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 则共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果数为1，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是． 故选A． 7．（2025·四川广安·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．正六边形的每个内角为 C．数据2，4，5，5，5，4，3的众数是4 D．方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的性质，正多边形内角公式，众数的定义，方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键，利用以上知识点逐一分析判断即可得到答案． 【详解】A、相等的角不一定是对顶角（如平行线的同位角），故此项错误； B、 正六边形内角和为，每个内角为，故此项错误； C、数据中出现次数最多的数为5，故众数为5，故此项错误； D、方差反映数据波动程度，方差越大波动越大，方差越小波动越小，故此项正确． 故选：D． 8．（2022·山东德州·中考真题）某射击爱好者的次射击成绩（单位：环）依次为：，则下列结论正确的是（   ） A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．方差是 【答案】C 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数和方差，根据以上定义分别计算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由数据可得，众数是，故选项错误； 数据由小到大排列为， ∴中位数为，故选项错误； 数据的平均数为，故选项正确； ∴数据的方差为，故选项错误； 故选：． 9．（2021·四川达州·中考真题）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（  ） A．平均数是3 B．中位数是4 C．极差是4 D．方差是2 【答案】B 【详解】试题分析：A、这组数据的平均数是：（1+2+4+3+5）÷5=3，故本选项正确； B、把这组数据从小到大排列：1，2，3，4，5，则中位数是3，故本选项错误； C、这组数据的极差是：5-1=4，故本选项正确； D、这组数据的方差是2，故本选项正确； 故选B． 考点：方差；算术平均数；中位数；极差． 10．（2022·辽宁沈阳·中考真题）为了了解某地区初一年级5000名学生的体重情况，从中抽取了450名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（    ） A．样本容量是450 B．每个学生是个体 C．450名学生是所抽取的一个样本 D．5000名学生是总体 【答案】A 【详解】分析：本题考查的对象是某地区初一年级学生的体重，根据总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目即可作出判断． 解答：解：题中，不论是总体、个体还是样本都是指学生的体重， 所以选项B，C，D都错误． 样本是所抽取的500名学生的体重，故样本容量是450． 故选A． 11．（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图确定所有等可能的情况和符合条件的情况是解题的关键． 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况，找出符合条件的情况，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的情况，其中指针指向颜色相同的扇形的有3种， 则转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为． 故答案为：． 12．（2025·四川德阳·中考真题）甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差，乙运动员训练成绩的方差，你认为应该选择______参加比赛．（填甲或者乙） 【答案】乙 【分析】此题考查了平均数和方差，根据平均数相同时方差越小的成绩越稳定即可解答，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵他们射击训练成绩的平均数相同，，， ∴， ∴应该选择乙参加比赛， 故答案为：乙． 13．（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是_______． 【答案】/0.4 【分析】此题考查了简单概率的计算．熟练掌握概率的意义和计算方法是解题的关键．概率是随机事件发生可能性大小的数值，计算方法是在n次等可能结果的一次试验中事件A包含其中的m种结果，A事件发生的概率为． 在5个二次根式中，，是最简二次根式，再由概率公式求解即可． 【详解】解：在，，，，这5个二次根式中，，是最简二次根式，有2个， ∴随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是， 故答案为：． 14．（2021·广西崇左·中考真题）下面图形：四边形，三角形，梯形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是___________． 【答案】 【详解】略 15．（2023·辽宁沈阳·中考真题）小窦将本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的统计图，若步行上学的学生有27人，则骑车上学的学生有__________人． 【答案】9 【详解】根据题意先求出本班的总人数，然后再根据骑车上学的学生占的比例求出骑车上学的学生人数． 解：由图可知步行上学的学生占本班学生上学方式的60%，又知步行上学的学生有27人， ∴本班学生总数=27÷60%=45人， 由图可知骑车的占20%， ∴骑车上学的学生=45×20%=9人． 故答案为9． 16．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，整个圆表示某班参加课外活动的总人数，跳绳的人数占30%，表示踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是12，那么表示参加“其它”活动的人数占总人数的____%． 【答案】20 【详解】试题分析:由“踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是1：2”可得，踢毽的人数占总人数的比例以及打篮球的人数占的比例，由“各部分占总体的百分比之和为1”可得：参加“其它”活动的人数占总人数的比例． 解：由题意知，踢毽的人数占总人数的比例=60°÷360°=， 则打篮球的人数占的比例=×2=， ∴表示参加“其它”活动的人数占总人数的比例=1﹣﹣﹣30%=20%． 故答案为20%． 考点：扇形统计图． 17．（2025·四川雅安·中考真题）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： (1)求该班此次调查的学生人数； (2)求的值，并补全条形统计图； (3)开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 【答案】(1)该班此次调查的学生人； (2) ，见解析； (3)恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为： 【分析】（1）根据非遗传承人的人数和占比求解即可； （2）根据（1）求出的总学生和今天我当家的人数求出，再求出选择“运动打卡师”假期实践作业的人数，进而补全条形统计图即可； （3）根据题意，用树状图法列出所有等可能结果，进而计算概率即可． 【详解】（1）解：（人）， 答：该班此次调查的学生人； （2）解：∵， ∴， 选择“运动打卡师”假期实践作业的人数为（人）， 补全条形图如下： （3）解：把“甲、乙、丙、丁”分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选到“甲”和“乙”两位同学的结果有种， ∴恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为：． 18．（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 【答案】(1)105；110 (2)图象见解析 (3)480 【分析】本题考查统计图的分析和统计量的计算，找到题目对应的数据并正确运用统计量的概念求解是解题关键． （1）根据众数和中位数的概念求解即可； （2）先计算所给的数据的样本个数，再通过样本总量，减去频数分布直方图中其他组的样本个数和这一组的样本个数，得到这一组的样本个数，以此补全频数分布直方图即可； （3）先计算样本中1分钟的跳绳次数不低于120次的人数，再通过样本占总体的比例，求出该校学生中对应的人数即可． 【详解】（1）解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数； 中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110， 故答案为：105，110； （2）解：由图可知，这一组共有5个样本，这一组共有8个样本，这一组共有2个样本， 由（1），可知这一组共有15个样本， 由题意可知，样本总量为50， 故这一组共有个样本， 补全频数分布直方图如下： （3）解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有名学生1分钟跳绳次数不低于120次， ∴（人） 故估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480． 19．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 【答案】(1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分 (2)125 (3)①130；② 【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分； （2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，依题意可知，丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，从而列出方程组，解得； （3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②原始成绩分，报告成绩分合格，得到方程，解得，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：． 【详解】（1）解：当时，甲的报告成绩为：分， 乙的报告成绩为：分； （2）解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分， ∵丙、丁的报告成绩分别为92分和64分， ∴丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，即， ∴ 解得：，且符合题意， ∴的值为； （3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好， ∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数， 由表格得第50，51名员工成绩都是130分， ∴中位数为130； ②∵①中的中位数换算成报告成绩为90分， ∴原始成绩分，报告成绩分合格， ∴，解得， ∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为， ∴合格率为：． 20．（2022·贵州六盘水·中考真题）为倡导“全民健身，健康向上”的生活方式，我市教育系统特举办教职工气排球比赛．比赛采取小组循环，每场比赛实行三局两胜制，取实力最强的两支队伍参加决赛，从C组的比分胜负表中知道二中胜4场负1场． 教职工气排球比赛比分胜负表    (1)根据表中数据可知，一中共获胜___________场，“四中VS五中”的比赛获胜可能性最大的是___________； (2)若处的比分是21∶10和21∶8，并且参加决赛的队伍是二中和五中，则处的比分可以是___________和___________；（两局结束比赛，根据自己的理解填写比分）； (3)若处的比分是10∶21和8∶21，处的比分是21∶18，15∶21，15∶12，那么实力最强的是哪两支队伍，请说明理由． 【答案】(1)2，五中 (2)（答案不唯一） (3)二中和六中，理由见解析 【分析】（1）根据从C组的比分胜负表中知道二中胜4场负1场，可知表格中比分第一个数字是纵向表格的单位，第二个数字是横向表格中的单位，据此可得一中获胜场次， （2）根据表格数据分析二中和五中，各自获得的总比分，列出二元一次方程组即可求解． （3）根据题意，求得六中的总分数，发现分数高于二中，由（2）可知二中分数比五中高，即可求解． 【详解】（1）根据表格可知，一中VS二中：输，一中VS三中：赢，一中VS四中：赢，一中VS五中：输，一中VS三中：输，即获胜2场， 同理可得四中与一中、二中、三中、六中比赛中，4场皆输，五中与一中、二中、三中、六中比赛中，胜2场负2场， “四中VS五中”的比赛获胜可能性最大的是五中 故答案为：2，五中 （2）若处的比分是21∶10和21∶8， 则二中获得的总分数为： 五中获得的总分数为： 设出的比分为，，则处的比分为， 根据表格已知数据，三中胜1负3，六中胜2负2，而参加决赛的没有三中和六中，则三中和六中的比赛中三中获胜，三中和六中成绩都为胜2负3，则， 由表格可知，六中的总分是：， 三中的总分为：， 决赛队伍没有六中， ，即 三中和六中的比赛中三中获胜， 处的比分可以是：（答案不唯一，只要满足即可） （3）处的比分是21∶18，15∶21，15∶12， 则六中的总分是：，且六中与三中比赛中六中获胜，则成绩为胜3负2， 由（2）可知二中的总积分为226， 一中的总分数为， 从总分数来看，六中和二中的总分数最高，故最强的支队伍是二中和六中． 1 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺08 统计与概率 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 统计与概率是中考数学基础必考板块，全国统一命题稳定，总分占10至18分，以基础、中档题型为主，整体难度低，是中考必拿满分的核心得分模块。题型分布固定，通常包含2至3道选择、填空题和1道综合解答题，位置靠前、解题难度小。统计部分高频考查平均数、中位数、众数、方差的计算与意义，侧重条形图、扇形图的数据分析、补全作图、圆心角计算及样本估计总体等核心考点。概率部分重点考查随机事件判断、一步概率计算，以及利用树状图、列表法求解两步试验概率，着重区分放回与不放回试验的差异。近年命题贴近生活实际，情境化特征明显，侧重考查数据分析与数学应用能力，无复杂变形和难题。整体命题规律稳定，极少出现创新难题，备考重点为夯实基础公式、规范答题步骤，规避计算、概念类易错点，全力冲刺满分。 2、核心考查内容： 数据的收集与整理、数据分析、概率。 （1） 数据的收集与整理：核心考查调查方式的区分，包括普查与抽样调查的适用场景，总体、个体、样本、样本容量的概念辨析。熟练掌握各类统计图的运用，能够根据条形统计图、扇形统计图、折线统计图提取数据、补全图表、计算频数、频率及扇形圆心角度数，同时掌握简单的数据分类、整理与统计基本流程。 （2） 数据分析：重点考查三大统计量：平均数、中位数、众数的计算与实际意义，能够根据数据特征选择合适的统计量描述数据集中趋势。掌握方差的计算公式，理解方差的核心作用，方差越小数据越稳定，方差越大数据波动越大。熟练运用样本数据特征估计总体情况，结合数据变化分析实际问题，做出合理判断与决策。 （3） 概率：考查必然事件、不可能事件、随机事件的分类判断。掌握简单随机事件的一步概率计算，熟练运用列表法、树状图法求解两步及以上随机事件概率，精准区分放回与不放回试验的区别。理解用频率估计概率的原理，明确大量重复试验下，频率稳定于概率，能结合实际情境求解概率、分析事件发生的可能性大小。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】数据的收集与整理 1.调查方式：普查（全面调查）数据准确、适合范围小、不破坏性调查；抽样调查适合范围广、具有破坏性、数量庞大的调查。 2.统计基本概念：总体是考察的全部对象，个体是每一个考察对象，样本是从总体中抽取的一部分个体，样本容量是样本中个体的数量（不带单位）。 3.统计量基础：频数指数据出现的次数，频率=频数÷总数，所有频率之和为1。 4.三大统计图考点：条形统计图清晰反映各组数据数量多少；扇形统计图反映各部分占总体百分比，圆心角度数=360°×对应百分比；折线统计图反映数据变化趋势。常考补全统计图、求数量、求占比、求圆心角。 【典例1】（2026·湖北襄阳·二模）下列说法正确的是（    ） A．调查长江流域的水污染情况，可以采用全面调查的方法 B．某次抽奖活动中，中奖的概率为，表示每抽奖100次一定有一次中奖 C．甲、乙两人各进行10次射击测试，两人成绩的平均数都是8.5环，方差分别是2和1.5，则甲的成绩更稳定 D．掷一枚均匀的硬币，正面朝上，这是随机事件 【变式1】（2026·广东汕头·一模）第十九届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心、首都国际会展中心举办，车展时间为2026年4月24日至5月3日．本次车展的一大特点是新能源汽车成为主流．小唯同学利用周末时间对自己家所在小区内不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况做了问卷调查，以下是他的调查报告（不完整）： 调查主题 不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况 调查对象及年龄段划分 1．调查对象：小唯家所在小区内不同年龄段的人群 2．年龄段划分：少年（10～17岁）、青年（18～44岁）、中年（45～59岁）、老年（60岁及以上） 调查方式 抽样调查 调查地点 小唯家所在小区 调查数据的收集、整理与描述 对新能源汽车了解情况的调查问卷 您对新能源汽车的了解程度是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．不知道什么是新能源汽车（　　）B．知道什么是新能源汽车，但没有体验过（　　） C．对新能源汽车，有一些体验经历（　　）D．非常了解，我是新能源汽车车主（　　）       请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)统计表中 ， ，本次抽样调查的总人数是 人； (2)若该小区有1500名青年人，请估计该小区青年人中有多少人是新能源汽车车主； (3)请写出一条关于你对新能源汽车的了解． 【题型二】数据分析 1.集中趋势统计量（三数） 平均数：所有数据总和除以数据个数，易受极端值影响，适用于数据分布均匀的情况；中位数：将数据从小到大排序后，中间位置的数（偶数个数据取中间两数平均值），不受极端值影响；众数：一组数据中出现次数最多的数，可多个，反映数据最集中的数值。中考常考根据场景选择最合适的统计量。 2.波动程度统计量（方差） 方差用来衡量数据波动大小。方差越大，数据波动越大、越不稳定；方差越小，数据越集中、越稳定。两组数据对比稳定性，直接比较方差大小即可，是中考高频判断考点。 3.样本估计总体 利用样本的平均数、频率、比例，估算总体的对应数据。核心公式：总体数量=总数量×样本所占百分比，是统计解答题必考步骤，可用于估算人数、数量等实际问题。 【典例2】（2026·河北唐山·二模）开学初，刘老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐测试（满分为10分），根据测试成绩制作了下面两个统计图． (1)本次测试的学生中，得9分的学生人数是______人； (2)本次测试学生成绩的中位数是______，众数是______；并计算本次测试成绩的平均分； (3)经过一段时间的锻炼，刘老师对50名女生的仰卧起坐进行了第二次测试，测得成绩的最低分为8分，且得9分和10分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.9分，问第二次测试中得9分、10分的学生各有多少人？ 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）为了解A，B两款无人机在一次充满电后飞行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们飞行的最长时间（单位：），并对数据进行整理、描述与分析，得到了部分信息． a．10架A款无人机一次充满电后飞行的最长时间分别是：15，16，16，21，21，24，26，27，27，27． b．10架B款无人机一次充满电后飞行的最长时间在中等组的数据分别是：20，21，23，23，23． 10架B款无人机一次充满电后飞行的最长时间扇形统计图如下图： c．两款无人机一次充满电后飞行的最长时间数据分析如下表： 类别 平均数 中位数 众数 方差 A 22 22.5 m 21.8 B 23 n 23 6.2 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，_____，_____，_____； (2)若仅从飞行时间上考虑，B款无人机的飞行性能更好，请说明理由． 【题型三】概率 1.事件判定：考查必然事件、不可能事件、随机事件的区分判断，明确三类事件的概率取值范围，是选择填空基础考点。 2.基础概率计算：掌握一步随机事件概率求解，核心公式为概率等于符合条件结果数与所有等可能结果总数的比值，适配摸球、抽奖、掷骰子等基础题型。 3.两步概率综合（重难点）：必考树状图、列表法两种规范解题方法，核心区分放回与不放回试验，准确列举所有等可能结果，杜绝漏解、重解，是解答题核心得分点。 4.频率估计概率：区分频率与概率的定义，频率是试验所得的不稳定数值，概率是固定理论数值，大量重复试验中频率可稳定估计概率，常考数值估算与规律判断。 5.实际应用分析：结合生活情境，利用概率大小判断事件发生可能性，对比方案优劣、判断游戏公平性，贴合中考情境化命题趋势。 【典例3】（2026·广东汕头·一模）小明和爸爸搭乘高铁回老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是高铁座位示意图），则小明和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道同侧视为邻座）的概率是______． 【变式3】（2026·安徽阜阳·二模）在大课间活动时，五个同学A，B，C，D，E分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏（如图）．规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是_____． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 2．（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 3．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广元·中考真题）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表： 书籍本数 2 3 4 5 6 人数 2 2 2 3 1 下列关于书籍本数的描述正确的是（   ） A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1 5．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东·中考真题）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川广安·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．正六边形的每个内角为 C．数据2，4，5，5，5，4，3的众数是4 D．方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小 8．（2022·山东德州·中考真题）某射击爱好者的次射击成绩（单位：环）依次为：，则下列结论正确的是（   ） A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．方差是 9．（2021·四川达州·中考真题）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（  ） A．平均数是3 B．中位数是4 C．极差是4 D．方差是2 10．（2022·辽宁沈阳·中考真题）为了了解某地区初一年级5000名学生的体重情况，从中抽取了450名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（    ） A．样本容量是450 B．每个学生是个体 C．450名学生是所抽取的一个样本 D．5000名学生是总体 11．（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为______． 12．（2025·四川德阳·中考真题）甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差，乙运动员训练成绩的方差，你认为应该选择______参加比赛．（填甲或者乙） 13．（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是_______． 14．（2021·广西崇左·中考真题）下面图形：四边形，三角形，梯形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是___________． 15．（2023·辽宁沈阳·中考真题）小窦将本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的统计图，若步行上学的学生有27人，则骑车上学的学生有__________人． 16．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，整个圆表示某班参加课外活动的总人数，跳绳的人数占30%，表示踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是12，那么表示参加“其它”活动的人数占总人数的____%． 17．（2025·四川雅安·中考真题）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： (1)求该班此次调查的学生人数； (2)求的值，并补全条形统计图； (3)开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 18．（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 19．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 20．（2022·贵州六盘水·中考真题）为倡导“全民健身，健康向上”的生活方式，我市教育系统特举办教职工气排球比赛．比赛采取小组循环，每场比赛实行三局两胜制，取实力最强的两支队伍参加决赛，从C组的比分胜负表中知道二中胜4场负1场． 教职工气排球比赛比分胜负表    (1)根据表中数据可知，一中共获胜___________场，“四中VS五中”的比赛获胜可能性最大的是___________； (2)若处的比分是21∶10和21∶8，并且参加决赛的队伍是二中和五中，则处的比分可以是___________和___________；（两局结束比赛，根据自己的理解填写比分）； (3)若处的比分是10∶21和8∶21，处的比分是21∶18，15∶21，15∶12，那么实力最强的是哪两支队伍，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $