专题08 相似三角形与几何综合12大题型（解答压轴题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08相似三角形与几何综合（解答压轴题） 01压轴命题透视 相似三角形与几何综合是初中几何压轴核心、分值权重极高的必考模块，贯穿三角形、四边形、 圆、几何动点、折叠旋转全题型，是中考解答题压轴、选择填空拔高题的核心载体。本板块设 问角度灵活、综合性强，常融合角度推导、线段求值、比例证明、面积比值、几何存在性与最 命题预测 值综合考查，题型规律固定、解题模板成熟，熟练掌握相似基本模型与推理套路，对几何稳分、 冲刺高分至关重要。预计2026年中考命题仍将围绕相似判定、经典模型应用、几何综合计算、 动点相似存在性等核心题型展开，坚持基础考判定、中档考模型、压轴考综合的命题思路，重 点考查数形结合、逻辑推理、建模转化与分类讨论核心素养。 口题型01一线三等角相似压轴问题 题型02母子型相似综合计算压轴 题型03旋转相似构造与比例求证压轴 题型04折叠背景下相似求值压轴 题型05动点三角形相似存在性问题 口题型06几何多结论相似辨析压轴 高频考法 题型07相似结合三角函数边角计算压轴 题型08相似与特殊四边形几何综合压轴 题型09相似与圆综合证明计算压轴 题型10相似三角形面积比值探究压轴 品题型11相似与线段和差最值问题 题型12抛物线下相似三角形存在性压轴 02压轴题型精讲 ●典例靶向突破。 1/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型01一线三等角相似压轴问题 1.(2026河南周口一模)综合与实践 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转x(0°<o<180°)得到△EDC. M D 图1 图2 备用图 (1)【问题解决】 如图1，若∠BAC=30°，当点D落在边AB上时，连接AE,则BD与AE的数量关系是一 (2)【探究迁移】 如图2，连接BE,若∠BAC=30°，在旋转过程中，当点A,D,E在同一直线上时，过点C作CM⊥AE, 延长MC交线段BE于点，求微的值， (3)【拓展应用】 若=30°，BC=6,AC=8,P为平面内一点，当以A,C,D,P为顶点且4AP为边的四边形为平行四边形 时，请直接写出CP的长， 【答案】(1)AE=V3BD a时 (3)2V37或2√13 【分析】(1)先得到an30°-BC-5,再证明△BCD∽AACB,得到D-BC-5即可， AC 3 AE AC 3 过点B作BH LMN,交N的延长线于点H,证明△ACMACBH,雅出BH3CM,解Rt△CB 得到C1=BM.tamn30°=5， 3 M,进而得到M=3B班，证明△BN∽△N,得到即可 (3)分两种情况进行讨论求解即可. 【详解】(1)解：∠ACB=90°，∠BAC=30°， BC 3 AC =tan∠CAB=tan30°= 3 由旋转可得，∠DCE=∠ACB=90°，BC=CD,AC=CE, 2/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ACE=∠BCD=90°-∠ACD, CD BC CE AC .△BCD∽△ACE, BD BC3 AE AC 3 .AE =3BD (2)解：由(1)可知BC=5 403 如图1，过点B作BH⊥MN,交N的延长线于点H, E M D CH B 图1 CM⊥AE,BH⊥MN, ∴.∠AMC=∠EMC=∠CHIB=90 ∠ACB=90°， ·.∠ACM+∠BCH=∠CBH+∠BCH=90°， ·∠ACM=∠CBH, .△ACM∽△CBH; :B旺=BC-5 CM CA3' .BH=CM, 3 在Rt△CEM中，∠CEM=∠ACB=30°， .CM=EM n ZCEM=EM.tan30=EM, 3 ∴.EM=3BH, '∠BN=∠EMN,∠BNH=∠ENM, ÷△BHN∽△EMN, BN BH 1 ENEM3· (3)解：当以A,C,D,P为顶点且AP为边的四边形为平行四边形时，分两种情况： 3/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①如图2，当点P在线段AB的下方时， E D B 图2 由旋转的性质可知CD=BC=6, ~四边形ACDP为平行四边形， AC∥DP,DP=AC=8 ~Cx=30°，即∠BCD=30°， ∠ACD=60°， ∠CDP=120°. 过点P作PF⊥CD,交CD的延长线于点F,则∠PDF=180°-∠CDP=60°， ∠DPF=30°， .DF-IDP=4,PF-3DF45, ∴.CF=CD+DF=10, 在Rt△CFP中，CP=CF2+FP=02+(4v3=237; ②如图3，当点P在线段AB的上方时， D B 图3 四边形ADCP为平行四边形， ..AP=CD 。 由旋转的性质可知BC=DC, ..AP=BC=6 0x=30°，即∠BCD=30°， ∴.∠ACD=60°. PA∥CD, 4/153 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠PAC=∠ACD=60°. 过点P作PF⊥AC于点F,则∠APF=30°. 在Rt△AFP中，∠APF=30°， .AF=AP=3,PF=AF=33 21 ∴.CF=AC-AF=5, 在Rt△CPP中，CP=CF2+FP-V5+(35=23 综上所述，CP的长为237或213. 2.(2026江苏扬州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点F是对角线BD上一点，AF⊥FE 交BC于点E. E (1)若EB=EF,求BE的长； 2若点F在BD上运动，试探究的比值是香变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由 AF (3)线段EF的最小值是 【答案】(1)BE=2 2不变，月 3 5 【分析】(I)连接AE,先证明RtABE≌Rt△AFE(HL),得到∠AEB=∠AEF,进而得到AE⊥BF,根据 同角的余角相等可得∠BAE=∠ADB,则tan∠BAE=tan∠ADB,列式计算即可； (2)过点F作MN IIAB,交AD于M,交BC于N,易证MF=DM,再证明△AMF∽AFNE,即可得到 EF的比值； A (3)根据E 的比值不变，故当线段4F取最小值时，线段EF取最小值，根据垂线段最短可得，当41BD 时，AF取最小值，然后根据等面积法求解即可. 【详解】(1)解：如图，连接AE, 5/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E :四边形ABCD是矩形，AF⊥FE, ∴.∠ABE=∠AFE=90°， 在Rt△ABE和Rt△AFB中， (AE=AE EB=EF· .Rt△ABE≌Rt△AFE(HL), .∠AEB=∠AEF, .EB=EF, AE⊥BF, ∴，∠BAE+∠ABD=90°， :∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠BAE=∠ADB, tan∠BAB=tan∠ADB,即BE=B AB AD .BE=4B 4 =2, AD 8 (2)解：如图，过点F作MN‖lAB,交AD于M,交BC于N,则四边形ABMM是矩形， M D F EN MF DM MF DM 即 AB AD 48 .MF=二DM, :四边形ABMM是矩形， ∴.MN=AB=4,∠AMF=∠FNB=90°， 6/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠MAF+∠AFM=∠AFM+∠EFN=90°， ∴.∠MAF=∠EFN, ∴.△AMF∽△FNE, EF FN AF AM' MF=a,DM=2a,AM=AD-DM=8-2a,FN MIN-MF =4-a, EF 4-a 1 AF8-2a2' 印 的北值不使，为好 AF (3)解：由(2)可知，EF=},即F=4P, 2 ∴当线段AF取最小值时，线段EF取最小值， 根据垂线段最短可得，当AF L BD时，AF取最小值，此时点E与点B重合，如图所示， B(E 在RtAABD中，BD=VAB+AD=V4P+82=4V5, S.-ABAD=BDAF, 2 ·AF=BAD4×88V5 BD 455 ..EF= AF= 4v5 5 即线段F的最小值是45 3.(2026四川德阳模拟预测)己知正比例函数y=x与反比例函数y=上相交于41,2)，B两点. (1)求k,k的值： 7/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若AC⊥AB,交第一象限反比例函数图象于点C,连接BC,CD平分∠ACB,与直线AB相交于点D, 求AD的长. 【答案】(1)k=2,k2=2: 2)AD=3v5 4 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)分别过点B,点C作y轴平行线，与过点A作x轴平行线相交于点F,点E, 2 过点D作DG⊥BC,垂足为G,设C a, 则AB=a-1,CE=2-2,证明△F4B△ECA,利用相似三 a 角形的性质列式计算求得a=4,再证明Rt△ADC≌Rt△DGC,得到CA=CG,设AD=DG=x,在Rt△BDG 中，利用勾股定理列式计算即可求解. 【详解】(1)解：把A(1,2)代入y=kx得2=k1, 即k1=2, 把41,2)代入y=飞得=1x2=2: (2)解：分别过点B,点C作y轴平行线，与过点A作x轴平行线相交于点F,点E, 过点D作DG⊥BC,垂足为G, ·.·AB⊥AC B ∴∠F=∠BAC=∠E=90°， ∴.∠FAB=90°-∠EAC=∠ECA, ∴△FAB∽△ECA, AF BF CE AE' A(1,2), B(-1-2), AF=2,BF=4, a,日则4E=a-1,CB=2-2 2 设Ca, 8/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 “2-2a-1, a 解得a=4, c》 4c-y4---54-0-g可=2w5.xai-2-- CD平分∠ACB,AB⊥AC,DG⊥BC, ..AD=DG, CD=CD,∠CAD=∠CGD=90°， ∴Rt△ADC≌Rt△DGC, ..CA=CG, 设4D=DG=x,则BD=25-x,BG=5535-5, 22 在Rt△BDG中，BD=BG+DG, 即(25-)=(+x, 解得：x=3V5 4 4D=35 题型02母子型相似综合计算压轴 4.(2026江苏徐州一模)按要求完成下列问题. D B A D 图① 图② 图③ (1)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,垂足为D.求证：BC=BD·BA. (2)己知点C在线段AB上.在图②中，用直尺和圆规作出一个△PBC,使得∠CPB=∠PAB且∠APB是锐 角.（保留作图痕迹，简述作图步骤） (3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，AD=2BD,连接CD.若线段CD上存在点P 9/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (包含端点)，使得∠BPD=∠BAP,则BC的取值范围是 AC 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 祭9 【分析】(1)利用两角对应相等证明两个直角三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例进行推导证明： (2)以AB为直径作⊙O,若∠CPB=∠PAB,则△BPC∽△BAP,可得BP=BC,BA,则点P的运动轨迹为 以B为圆心，BP长为半径的圆，由∠APB为锐角，可知点P在⊙O外部，据此作图即可； (3)先通过两角对应相等证明三角形相似，推导出点P的轨迹，再根据点C的运动轨迹和P在线段CD上 的条件，找到临界位置计算出C的最小值，从而确定其取值范围。 【详解】(1)证明：：CD⊥AB, .∠BDC=∠ACB=90°， ,'∠ABC=∠CBD, .∴.△ABC∽△CBD, BC BD ,即BC=BDBA. BA BC (2)解：如图为△PBC. 作AB的垂直平分线，交AB于点O,以OB长为半径作⊙O; 过点C作AB的垂线，交⊙O于点E; 以点B为圆心，BE长为半径作弧，在⊙O外部的弧上取一点为P,连接PB,PC,△PBC即为所求. (3)解：如图，作△ABC的外接圆，以点B为圆心，BP长为半径作圆，两圆交点为G,连接BP,AP, 10/153 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C G B '∠BPD=∠BAP,∠PBA=∠PBD, .∴.△APB△PDB, BP BD ABB即' .BP=AB.BD, :AB,BD为定值，则BP也为定值， 点P的运动轨迹是以点B为圆心，BP长为半径的圆， :∠ACB=90°，且点P在CD上， 点C的运动轨迹为4G 当点C与点G重合时，BC取得最小值，此时BP=BC, AC .AD=2BD, 设BD=a,AD=2a,则AB=3a, BP2=AB.BD=3a, .BC2=3a2,BC=3a, .在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=9a2-3a=6a°， .'AC =6a, BC a AC 6a 2 故C的取值范围为C:号 Γ2 5.(2026福建泉州三模)如图，△ABC内接于⊙O,过A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D,交BC于 点E. 11/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 备用图 (1)求证：AB·AC=AE·AD; (2)若AE=3DE=3k时， @器的位， ②作∠ACB的角平分线，交AD于点F,在圆上有一点G,若F和G恰好关于BA的中点对称，请用含k的 代数式表示△ABC的面积，并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)2;3V5k 【分析】(1)连接CD，,根据AD是∠BAC的角平分线，得到∠BAE=∠DAC,再根据同弧所对的圆周角相 等得到∠ABE=∠ADC,证明△ABE∽△ADC即可得到结论； (2)①由题意得到DE=k,AD=AE+DE=4k,证明△BDE∽△ADB,求出BD=2k,则CD=2k,求出 BE=1.5k,AB=3k,即可得到答案； ②F为∠ACB平分线与AD的交点，即F为△ABC的内心，F和G恰好关于BA的中点对称，且G在圆上， △ABC为等边三角形，求出AB=2Nk,即可得到答案. 【详解】(1)证明：连接CD, :AD是∠BAC的角平分线， ∴.∠BAE=∠DAC, AC=AC, ∴.∠ABE=∠ADC, .△ABE∽△ADC, ABAE AD AC .AB·AC=AE·AD; 12/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E D (2)解：①连接BD, AE=3DE=3k, C D ∴.DE=k,AD=AE+DE=4k, :AD是∠BAC的角平分线， ..BD=CD, ∴.BD=CD, 在△BDE和△ADB中， ∠BDE=∠ADB ∠DBE=∠DAB' ∴△BDE△ADB, BD DE AD BD 即BD2=ADDE, .BD2=4kk=4k2, ∴.BD=2k,则CD=2k, :△ABE∽△ADC, BE AE AB BE 3k 3 “CD ADAD ，即 2k4k4' .BE=1.5k, AB 3 441 ∴.AB=3k, 13/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB 3k BE15%=2: ②由题意得：F为∠ACB平分线与AD的交点，即F为△ABC的内心， :F和G恰好关于BA的中点对称，且G在圆上， ∴.△ABC为等边三角形， ..AB=AC, .ABAC=AE·AD, .AB2=3k.4k=12k2, ..AB=2v3k, -AB:=V3 ×12k2=3V5k2 4 6.(2026·上海崇明·二模)如图1，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，过点C的直线交BA的延长线 于点D,点E是线段OB上一点，且满足OE=AD,过点E作AB的垂线交DC的延长线于点F,交BC于 点G,且∠F=2∠ABC, F C G D E D OE B 0 图1 图2 备用图 (1)求证：∠ACD=∠ABC; 2)如图2，当BE=30E时，求C D的值， (3)设EF与BC的交点为P,连接OP,交BC于点M,若以O为圆心，OE长为半径的圆与以P为圆心，PM 为半径的圆外切，求sin∠ABC的值， 【答案】(1)见解析 2c3、7 CD-3 )3-1 2 【分析】(1)连接OC,先推导出∠F=∠AOC,得到∠DCA+∠ACO=90°，∠ACO+∠OCB=90°，则 ∠ACD=∠OCB,继而证明∠OCB=∠ABC,得到∠ACD=∠ABC,即可解答； (2)连接OC,设OE=x，则AD=x,推导出a4CD∽.CBD,△DC0∽aDER,得到D-CD,CD-D0 CD BD DE DF 14/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求出CD=3x或-3x(舍去)，得到 DP,解得DF=10x,求出CT=DF-CD=7x,即可解答； 3x 5x (3)设OM=OE=y,BE=a,推导出△OBM∽aABC,得到AC=2OM=2y,由(2)可知 CD=D-8D=(3y+2a)=3y+2a,△DAC△DCB,得到P-4C CDBC,求出 BC2=(2CD)厂=12y2+8ay,再根据勾股定理，得到AC+BC2=AB2,求出a=V3y或-V3y(舍去)，得到 OB=y+V3y=(5+1y,则sn∠ABC=OL y=5-1 OB (3+1)少2，即可解答. 【详解】(1)证明：连接OC,如图， C EF⊥BD, B A E ∴.∠DEF=90°， ∴.∠D+∠F=90°， :∠AOC=2∠ABC,∠F=2∠ABC, ∴.∠F=∠AOC, .∠D+∠AOC=90°， ∴.∠DC0=90°， .∴.∠DCA+∠ACO=90° AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠ACO+∠OCB=90° ∴.∠ACD=∠OCB, .OC=OB ∴.∠OCB=∠ABC, ∴.∠ACD=∠ABC: (2)解：连接OC,如图， 15/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C G D 6 A OE 设OE=x,则AD=x,BE=3OE=3x, ∴.OB=OE+BE=4x ..OA=OB=4x,AB=20B=8x, BD=AD+AB=9x,DO=AD+AO=5x, ∴.DE=DO+OE=6x, 由(1)可知∠ACD=∠ABC,∠DCO=∠DEF=90°， ∠D=∠D, ∴.△ACD∽△CBD,△DCO∽△DEF, AD CDCD DO CD BD'DE DF ∴.CD2=AD·BD=x.9x=9x 解得CD=3x或CD=-3x(舍去)， 3x=5x 6x DF 解得DF=10x, ∴.CF=DF-CD=7x, C℉7x_7 CD 3x 3 (3)解：如图， B DA E 设OM=OE=y,BE=a, ∴.DA=OE=y,OB=y+a, ∴.BD=DA+2OB=3y+2a, 16/153 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=20B=2y+2a, :BC切于以OE为半径的⊙O于点M, ∴.OM⊥BC,OM=OE=y, ∴.∠OMB=∠ACB=90°， .'∠OBM=∠ABC, .△OBM△ABC, OM OB 1 AC AB2' .'AC 20M=2y, 由(2)可知CD=AD·BD=y(3y+2a)=3y2+2ay, △DAC∽△DCB, AD AC CD BC' 即六是 ..BC=2CD,E BC2=(2CD)=12y2+8ay, .AC2+BC=AB2, (2y)2+(12y2+8)=(2y+2a2, 4y2+12y2+8ay=4y2+8ay+4a2, 3y2=a2, 解得a=√5y或-V5y(舍去)， 0B=y+5y=（3+1y, ,sin∠ABC= OM 5-1 OB (N3+1y 2· 题型03旋转相似构造与比例求证压轴 7.(2026河南周口·二模)在△ABC和△ADE中，BA=BC,DA=DE,∠ABC=∠ADE,连接BD, CE. 17/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (1)探索发现：如图1，若∠ABC=60°，求证：BD=CE. (2)猜想验证：如图2，若∠ABC=90°，将△ADE绕着点A旋转，旋转过程中， BD 的值是否为定值？若是 CE 定值，请仅用图2的情形求出 的值；若不是定值，请说明理由. CE (3)拓展应用：在(2)的条件下，若BC=12,DE=6,当射线BD⊥AE于点F时，请直接写出线段CE的 长 【答案】(1)见解析 a (3)67-6 【分析】(1)根据题意可知△ABC、△ADE为等边三角形，再证∠BAD=∠CAE,进而可得 △ABD≌△ACE(SAS)即可求解； (2)先证把品再证明∠BD=∠CB,得到4BD4CE即可求解， (3)解直角三角形RteADE、RtaADF,再结合BD-Y2进行计算. CE 2 【详解】(1)证明：BA=BC,∠ABC=60°， ·△ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=60°， :DA=DE,∠ADE=∠ABC=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴.AD=AE,∠DAE=60°， ∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC=60°-∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， 18/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS), ..BD=CE BD (2)解： BD CE 的值为定值， CE 2 :BA=BC,∠ABC=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ·∠BAC=459,AB=V2 AC 2 :DA=DE,∠ADE=∠ABC=90°， .·△ADE是等腰直角三角形， ·∠DAE=45,AD=V2 AE 2 :∠BAD=∠AC-∠DAC=45°-∠DAC,∠CAE=∠DAE--∠DAC=45°-∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE, 又：ABAD AC AE ∴.△ABD∽△ACE, BD AB “CEAC2 (3)解：在Rt△ABC中，BC=12,∠ABC=90°， ∴.AB=BC=12, 在Rt△ADE中，DE=6,∠ADE=90°， AD=DE=6.AE=AD+DE=6+6=6v2, 设BD与AE交于点F, BD⊥AE, B C 图2 19/153 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠AFD=90°， 在Rt△ADF中，∠DAF=45°， :A=Dp=4D-sn45=6x5-3N2, 2 在Rt△ABP中，AB=12,AF=3V2, BF=VAB2-AF2=V144-18=V126=3V14, BD=BF-DF =314-32, 2知BDV2 ∴.CE=V2BD=N2x(34-32)=6N7-6, 答：线段CE的长为6V7-6 8.(2026河南周口.一模)综合探究 E 图1 图2 图3 (1)△ABC和△ADE的位置如图1所示，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE,则BD与CE 之间的数量关系是 ； (2)△ABC和△ADE的位置如图2所示，△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠ABC=∠ADE=90°， BC-DE-I5,莲接BD,CE,求D AB AD 8 的值； CE (3)如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=5,AD=3,连接BD,CE, 将△ADE绕点A旋转，在旋转过程中，当B,D,E三点共线时，直接写出CE的长， 【答案】(1)BD=CE (2)D8 CE17 (3)CE的长为4v2 【分析】(1)根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用SAS证明△ABD≌△ACE,即可得出结论 (2)根据相似三角形的性质得出相等的角，证明△ADE~△ABC,得出对应边成比例，令 AB=8x,BC=15x,利用勾股定理求出AC=17x,即可求解： 20/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的 数量关系，证明△DAB∽△EAC,确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解. 【详解】(1)解：~△ABC和△ADE都是等边三角形， AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°， ·∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE, 即∠BAD=∠CAE, △ABD≌△ACE(SAS), ..BD=CE 2解：ABC=ADE=909光 △ADE~△ABC, ∠DAE=∠BAC, ∴.∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE, 即∠BAD=∠CAE, △ADE~△ABC, AD AE △ABD~△ACE, BD AB CE AC' AB 8 BC 15 令AB=8x,BC=15x, 由勾股定理得AC=VAB+BC2=17x, BD AB 8x 8 CE AC 17x17 (3)解：①如图所示，B,D,E三点共线， B 21/153 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠DAE=∠BAC=45°， AE AC AD AB ·∠DAB=∠EAC, ∴.△DAB∽△EAC, ∴.∠AEC=∠D=90°， 由勾股定理得AE2=AD+DE2=9+9=18,AC2=AB+BC2=25+25=50, “CE=VAC2-AE2=V50-18=4V2; ②如图所示，B,D,E三点共线， 此时，∠ADB=∠ADE=90°， ~△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠DAE=∠BAC=45°， AE AC AD AB' ·∠DAB=∠EAC, △DAB∽△EAC, ·∠AEC=∠ADB=90°， 由勾股定理得AE2=AD+DE2=9+9=18,AC=AB2+BC2=25+25=50, CE=VAC2-4AE2=V50-18=4V5; 综上，CE的长为4v互. 9.(2026江苏徐州一模)已知，正方形ABCD与正方形AEFG. (1)如图，连接DE和BG交于点M,则∠EMG=_°； 22/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B F (2)如图，连接CF和BG, CF的值： BG B D G (3)如图，正方形AEFG绕点A旋转，在旋转的过程中，当点F落在射线DA的延长线上时，若AD=2, AG=2V2,在射线DB上是否存在一点P使得∠APF最大，若存在，直接写出DP的长若不存在，请说明 理由. B 【答案】(1)90 (2)V2 (3)存在，DP=25 【分析】(1)利用正方形的性质得到边相等、角相等，通过SAS证明△DAE≌△BAG,得到对应角相等，再 结合对顶角与三角形内角和，推导出∠EMG=90°； (2)连接AC、AF,根据正方形对角线与边长的关系，得到AC、AF与AB、AG的比例关系，同时推出 ∠CAF=∠BAG,从而证明△CAF∽△BAG(相似比为V2),进而得出CF与BG的比值为V2; (3)连接EG,AF交于点H,作过A,P,F的⊙O,证明∠APF=∠AOH,在Rt△AOH中，当AO越小∠AOH 23/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 越大，又OA=OP,即OP越小时，∠AOH越大，接着证明当OP⊥DB时，OP最小，此时圆O与射线DB 相切于点P,∠APF达到最大，延长PO交⊙O于点Q,连接AQ,证明△DAP△DPF,利用三角形相似求 得答案。 【详解】(1)解：设AE、BG交于点N, B G 正方形ABCD与正方形AEFG, ∴AB=AD,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°， ∴.∠BAD+∠BAE=∠EAG+∠BAE, ·DAE=∠BAG, △DAE≌△BAG(SAS), ·∠AED=∠AGB, ~∠AGB+∠ANG=180°-90°=90°，∠BNE=∠ANG, ∴.∠AED+∠BNE=90°， .∠EMG=180°-（∠4BD+∠BNE)=180°-90°=90°， (2)解：连接AC、AF, E B ~正方形ABCD与正方形AEFG, ÷AC=V2AB,AF=N2AG,∠BAC=∠FAG=45°， ∠CAR=∠B4G,且4C-4-N5, AB AG 24/153 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴△CAF∽△BAG,相似比为2， CF =2; BG (3)解：存在，DP=25,理由如下： 连接EG,AF交于点H, 正方形AEFG的边长AG=2√2， ∴AE=EF=2V2,∠AEF=90°，EG⊥AF,AH=HF, ∴AF=VAE2+EF2= V22)+(22=4, EG⊥AF,AH=HF, ·EG所在的直线垂直平分AF, 作AF的垂直平分线直线EG,作直线AP的垂直平分线交EG于点O,连接OA,OF,OP, ..OA=OF=OP, A,F,P都在⊙O上，如图所示： B G OH=OH,OA=OF,AH=FH, △OAH≌△OFH, ∴.∠AOH=∠FOH, ∠AOH+∠FOH=∠AOF, ∠A0H= ∠AOF, 2 LAPF= 1 ∠AOF, ∴.∠APF=∠AOH, ∴当∠AOH达到最大值时，∠APF最大， 25/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 在RA40H中，∠A10=90,4H=24B=2, ·∠AOH随AO的减小而越大， 又OA=OP, 即当OP取最小值时，∠AOH最大， 过点O作OU⊥DB于U,如图所示： D 0U≤OP, 当P与U重合时，即OP⊥DB时，OP最小， 此时圆O与射线DB相切于点P,OP最小，此时∠APF达到最大， 如图所示，∠OPD=90°，延长PO交⊙O于点Q,连接AQ: G ~PQ是⊙O的直径， ∠PA0=90°， 又∠OPD=90°， .∠DPA+∠APQ=∠APQ+∠POA=90°， .DPA=∠POA, :∠POA=∠PFA, 26/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠DPA=∠PFA, ∠PDA=∠PDF, ∴△DAP∽ADPF, DA DP DP DE' DA=2,AF=4, DF=DF+AF=2+4=6, 2 DP “DP6 .DP=2V3; 故存在点P,DP=2V5, 题型04折叠背景下相似求值压轴 10.(2026江苏无锡一模)数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边BC长均 为4dm.同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动. 图① 图② 图③ 图④ 备用图1 备用图2 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片ABCD对折、使边AD,BC重合，展开后折痕与AB交于点F. 第二步：如图②，在AD上取一点E,沿EF折叠矩形ABCD,点A的对应点为G,延长EG交BC于点H, 将纸片沿过点H的直线折叠，使点C的对应点落在EH所在直线上，折痕与DC交于点M. (1)求证：BH=GH. 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片，在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时， 此时点F、G、M三点在一条直线上， (2)求AB的长. 【应用创新】 27/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图④，B小组的同学们选用了AB=2dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E), 且第二步折叠中，过点H的折痕与AD交于点M,把纸片展开后，连接G孔M,当△EGM为直角三角形时， 则M的长为 【答案】(1)见解析 (2)4v2 (3)2v2dm或v6dm 【分析】(1)连接FH,根据折叠的性质得到FG=FA=FB,再证明Rt△FBH≌Rt△FGH(HL)即可； (2)证明△HGM≌△HCM,则HG=HB=HC=2,再对Rt△DCH运用勾股定理求解即可： (3)当∠GEM=90°时，可得四边形ABHE是矩形，则EH=AB=2dm,然后可得△EmM为等腰直角三角 形，则MH=VEH?+EM?=2√2dm;当∠EGM=90°时，连接FH,过点M作MK⊥BC于点K,先得到 F,G,M三点共线，求出FM=FG+GM=1+2=3,则AM=√FM2-AF2=2√2=BK,再证明 △HM伛∽△FHB,设HK=x,则BH=2√2-x,根据相似三角形的性质求解x=V2,最后由勾股定理求 解得到M=√H+MK=6 【详解】(1)证明：连接FH,如图②： 4 B M 图② 由第一次折叠可得，AF=BF, 四边形ABCD是矩形， ∠A=∠B=90° 由第二次折叠可得，AF=FG,∠A=∠FGE=90° ∠FGH=180°-∠FGE=90°=∠B,FG=FB .FH=FH, Rt△FBH≌Rt△FGH(HL), ..BH=GH; 28/153 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：连接FH,如图③： A B G D(E) M 图③ 由②得，∠FGE=90°， ∠HGM=∠FGE=90° 矩形ABCD, ·∠C=90°，AD=BC=4,AB=CD ∴∠HGM=∠C=90° 由折叠可得，∠CHM=∠GHM .HM=HM .△HGM≌△HCM(AAS) ...HC=HG, 由(1)得， Rt△FBH≌Rt△FGH ∴HG=BH :.BH =CH=-BC=2 HG=2, 由折叠可得，DA=DG=4 ..DH DG+GH=6, ∴CD=VDH2-CH2=4V2, AB=42; (3)解：当∠GEM=90°时， A- B M D 29/153 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠AEH=180°-∠GEM=90° 矩形ABCD, ∴∠A=∠B=90° ∴∠A=∠B=∠AEH=90° :四边形ABHE是矩形， ÷EH=AB=2dm,∠BHE=90° ·∠EHC=90°， 由折叠可得，HM平分∠EHC ÷∠EHM=45°， “△EM为等腰直角三角形， MH =EH2+EM =2v2dm 当∠EGM=9O°时，连接FH,过点M作MK⊥BC于点K, 则∠MGH=∠MH=90°， 折叠， ·∠KHM=∠GHM,∠A=∠FGE=90° ∴.∠EGF+∠EGM=180°， .F,G,M三点共线， HM HM, ÷△HGM≌△HKM(AAS), ..MK =MG, 同上可证明四边形ABM为矩形， ..MK=AB=2,AM=BK ∴MG=2, 由折叠可得，AF=FG, 30/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由(1)得，Rt△FBH≌Rt△FGH .FB=FG, .AF=FB=FG=LAB=1 ∴FM=FG+GM=1+2=3 ·AM=VFM2-AF2=2√5=BK, Rt△FBH≌Rt△FGH ∠FHB=∠FHG, '∠KHM=∠GHM, 又~∠BHF+∠GHF+∠GHM+∠KHM=180° .∠FHM=2(∠GHF+∠GHM）=90° ∠B=∠MKH=90°， .∠HIMK=∠FHB=90°-∠MHK ∴.△HIMK∽△FHB BF BH HK MK' 设HK=x,则BH=2√2-x 1-22-x x 2 解得x=V2 HM=HK+MK=6, 综上：当△EGM为直角三角形时，则MH的长为2√2dm或V6dm, 11.(2026广东佛山一模)【问题情境】 折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动， 、0 B F D 图1 图2 图3 图5 活动一：矩形可折叠 矩形纸片ABCD中，在AD边上取一点P沿BP翻折，使点A落在矩形内部A处再次翻折矩形，使PD与PA' 31/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所在直线重合，点D落在直线PA上的点D处，折痕为PE,翻折后的纸片如图1所示. 活动二：折叠可得矩形 如图2，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和 等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进 行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为"叠合矩形”，如图3和图 4. 【提出问题】 (1)如图1，∠BPE的度数为； (2)如图1，若AD=32cm,AB=24cm,求DE的最大值； (3)口ABCD纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF=9,EH=12,直接写出AD 的长一； 【解决问题】 (4)如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形MWPQ,其中∠MwP的一边与矩形纸片的 一边重合，M=P=90°，NP=45cm,MN=35cm,MQ=30cm,求该矩形纸片较长边的长度. D90°，(2)DE的最大值为，3)15；（④）短形纸片较长边的长度为3 【分析】(1)由折叠的性质得出∠APB=∠APB,∠DPE=DPE,根据 ∠APB+∠A'PB+∠DPE+∠D'PE=180°，即得∠BPE=90°； (2)设PD=x,DE=y,则AP=AD-DP=32-x,证明，△4 BPVDPE,得4B=PD 24= AP DE ,得32-xy 得)=(62-)=六-16+号，根据=次函数的性质，即得DE的最大值为 9 (3)设点B的对应点为M,点D的对应点为N,如图4，由矩形性质和勾股定理，得 FH=VEF2+EH=V9+12=15,证明△EHM≌aGFN(AAS),得FN=HM,由HM=AH,DH=HN, 即得AD=FH=15; (4)分PN和∠P为矩形的边和角，N和∠M为矩形的边和角，两种情况计算矩形的边，比较得出矩形 的较长边。 【详解】解：(1)如图1， 32/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 图1 由题意得：∠APB=∠A'PB,∠DPE=D'PE, .∠APB+∠A'PB+∠DPE+∠D'PE=180°， ∴.2（∠APB+∠D'PE)=180°， ∠A'PB+∠DPE=90°， .∠BPE=90°； (2)如图1， D B 图1 设PD=x,DE=y,则AP=AD-DP=32-x, 由(1)知∠BPE=90°， ∴.∠APB+∠DPE=90°， :四边形ABCD为矩形， ∴∠D=∠A=90°， ∴.∠ABP+∠APB=90°， ∴∠ABP=∠DPE, :∠A=∠D=90°， .△ABP∽△DPE, AB PD AP DE 24-x 32-xy y=x32-= 24 x-16+32 33/153 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 24下0， 小当x=16时，y有最大值为2 :DE的最大值为？： 32 (3)解：设点B的对应点为M,点D的对应点为N,如图4， M N 图4 矩形EFGH中，EF=9,EH=12,∠FEH=90°， ∴FH=VEF2+EH2=V92+122=15, ~EH=FG,EH∥FG, ·∠EHF=∠HFG, 由折叠的性质得：∠A=∠EMH,∠C=∠FNG, :口ABCD中，∠A=∠C, ∴.∠EMH=∠FNG, .△EHM2aGFN(AAS), .:.FN =HM, HM=AH, ..AH FN, .DH HN,AH+DH AD,FN+HN=FH, ..AD=FH=15; (4)作出原矩形PNEF,连接FQ,如图5①， E----- MN=35cm,Mg=30cm,∠FKQ=90°， 图5① 34/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .Ng=VMg2+MN2=V1225+900=V2125cm, ∴0P=√Wg-Wp2=√2125-2025=10cm, :四边形PNEF为矩形， ∴.EN=FP,EF=NP=45cm. 设EN=FP=xcm,则FQ=(x-10)cm,设EM=ycm,则MF=(45-y)cm ∠MQ=90°， ∴.∠NMME+∠QMF=90°， :∠B=90°， ∴.∠NME+∠NE=90° ∴.∠MNE=∠QMF, ∠E=∠F=90°， .AMNE∽△QMF. EN EM MN MF FO MO' y 35 六45-yx-1030’ x=28 (y-21 .EN =28cm, ..EN<PN, 矩形纸片较长边的长度为45cm; 当N为矩形的一边时，作出原矩形，如图5②， M - 图5② 35/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设QF=xcm,则MF=(30+x)cm,设PF=ycm, :四边形MNEF为矩形， ..EF =MN=35cm,NE=MF=(30+x)cm,EP =(35-y)cm, :∠MP0=90°， ∴.∠NPE+∠QPF=90°. :E=90°， ∴.∠PNE+∠NPE=90°. .∠PNE=∠OPF, :∠E=∠F=90°， ∴.△NPE∽aPOF. NE PE PN PF-OF PO' 30+x_35-y-45 y x10 [x=6 ∴. (y=8’ ∴.NWE=30+6=36cm. NE>NM ∴.矩形纸片较长边的长度为36cm; 综上所述，矩形纸片较长边的长度为36cm或45cm 【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理；本题属于四边形综合题目， 主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾 股定理、梯形面积的计算、解方程等知识的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图 形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。 12.(2026河北廊坊·一模)综合与实践 【问题情境】在数学课上，老师给出矩形纸片ABCD(AB=2,BC>4),让同学们在纸片中作出一个30 的角. 【操作一】甲组同学利用折叠：如图1，把矩形纸片ABCD对折，使边AD与BC重合，展开后得到折痕 MN,再一次折叠纸片，使点A落在MN上的点E处. 36/153 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F D 图1 (1)BE的长为 一，∠BEM的度数为 2连接CE.若BC=5V3 求tan∠BCE的值； 2 【操作二】 (3)乙组同学利用尺规，根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”来得到30°的角：如图2，分别以点A, B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点O,连接OA,OB, 4 o 图2 请你在图2中补全作图，并在矩形纸片ABCD中找出一点K,使∠AKB=30°，在图2的作图中，可画出 (填"1"2"或“无数”)个满足条件的∠AKB; 【折叠拓展】 (4)甲组同学连接图1中的AE,并将△ABE剪下来，点G在边AB上，点H在边AE上，将△ABE沿直线GH 折叠，使点A落在点A处，如图3、图4所示. G G E(H) B D A▣ E 图3 图4 在图3中，点H与点E重合，阴影部分的周长为. (5)如图4，点P,Q在边BE上，且PQ=2BP=2QE,点A落在线段PQ上（包括端点）若A'B=m4E, AG=AH,直接写出y与m之间的关系式，并写出m的取值范围. 【答案】(1)2；30° 37/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)tan∠BcE-2W3 (3)见解析，无数 (4)6 5)y=2m+1 2+m ,m的取值范围是≤m≤3 【分析】(1)根据折叠的性质特殊角的三角函数值，即可求解： (2)作EI⊥BC,垂足为I,根据矩形的性质和折叠的性质，易求∠EBI=30°，再通过解直角三角形，求 出EI,BI,从而求出IC,最后根据正切的定义，计算即可； (3)根据尺规作图的步骤，作图即可；再根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”，易得 ∠AKB=1 ∠AOB=30°，最后根据K是弧上的点，可得出有无数个： (4)根据折叠的性质，即可求解： m+1A"E= (5)根据题意，易求AB=2m, m十1，再根据折叠的性质，可得C+2。 m+1 CH 42m+4,利用AA得ABGA∽△EAH,从而yA月A后m十2，最后根据点A分别与点P、巴一 重合时，计算出m的值，即可求出范围 【详解11解：由折叠可知，BE=B=2,BM-号B=1,∠BE=0, 在△g本，∠BE/始别：B-30 (2)解：如图1，作EI⊥BC,垂足为I, F D B 图1 由折叠可知，BE=AB=2,BM=AB=1,∠BMB=90°， 2 在AaE中smBM-行则BB10, .∴.MBE=90°-∠BEM=60°， 矩形ABCD, .∠ABC=90°， 38/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠EBI=90°-∠MBE=30°， 在Rt△BIE中，EI=BE sin30°=1，BI=BE cos30°=V5, ·BC=5V3 2 IC=BC-BI =3 2 在RtAEIC中， tan∠BcE=L-12V3 IC 33 9; 2 (3)解：如图2，即为所求， A D 图2 以点O为圆心，OA为半径作圆，在与矩形纸片ABCD相交弧上任选一点K,连接AK、BK即可； 由图可知，OA=OB=AB,即△AOB是等边三角形， ∴.∠AOB=60°， .∠4B=1∠A0B=30°， 2 即点K可以是⊙O与矩形纸片ABCD相交弧上的任意一点， 故可以画出无数个满足条件的∠AKB; (4)解：由折叠可知，AG=AG,AE=AE, 由(2)知，MBE=60°，即∠ABE=60°， BE=AB=2, ∴.△ABE是等边三角形， .AE=2, ∴.阴影部分的周长为：BE+AE+AG+BG=BE+AE+BA=2+2+2=6; (5)解：由折叠可知，AG=AG,AH=AH,∠GAH=∠A, .A'B=mA'E,A'B+A'E=BE=2, 4B=2m,AE=2, m+1 m+1 39/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.R04 =BG+4G+4B=BG+AG+AB=2+2m=4m+2 m+1m+1 C.4R=AH+EH+AE=AH+EH+AE=2+ 22m+4 m+1m+1 由(4)知，△ABE是等边三角形， .∠B=∠E=∠A=60°，GAH=∠A=60°， ∠B+∠BGA=∠GAH+∠HAE, ∴.∠BGA=∠HAE, .∴.△BGA∽△EAH, 4m+2 AG C.0i=m+l= 4m+22m+1 AH CBA 2m+42m+4 m+2, m+1 AG=yAH y=4G=4G-2m+1,即y=2m+1, AH AH m+2 m+2 PO=2BP=20E,PO+BP+OE=BE=2, PO=1,BP=OE= 2 1 当A与点P重合时，4B=BP,则m=4B=BP=之-1 4E PE1+3' A'B BO 2=3, 当A与点Q重合时，4'B=B0,则m=EQE1 :点A'落在线段PQ上（包括端点）， '3sms3, 综上可知：y= m2其中}m≤3. 2m+1 口题型05动点三角形相似存在性问题 13.(2025广东广州.中考真题)如图1，AC=4,O为AC中点，点B在AC上方，连接AB,BC. 40/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 0 图1 图2 (1)尺规作图：作点B关于点O的对称点D(保留作图痕迹，不写作法)，连接AD,DC,并证明：四边形 ABCD为平行四边形； (2)如图2，延长AC至点F,使得CF=AC,当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的 动点E,连接EA,EB,EC,EF,若∠AEC=45°，且△ABC一△FCE. ①求证：△ABC∽△CBE; ②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)见解析 (2)①见解析：②2√2 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知 识是解题的关键； (1)连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD=OB,连接AD,CD,进而根据对角线互相平分的四边形 是平行四边形，即可得证； (2)①根据△ABC~△FCE得出∠BCE=∠F=∠BAC, AB BC ,根据已知CF=AC可得 FC CE △ABCC∽△CBE; ②根据∠AEC=45°，AC=4,得出E在△AEC的外接圆上运动，设△AEC的外接圆为⊙O',设EF与⊙O 交于点G,连接AG,证明△BACVGFA得出BC=4AG,当AG为O0的直径时，AG取得最大值为 4√2，进而即可求解， 【详解】(1)解：如图， B D 图1 ~O为AC中点， 41/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..A0=OC, 根据作图可得BO=OD, :四边形ABCD为平行四边形， (2)①△ABC~△FCE, ·∠F=∠BAC,∠ACB=∠FEC, ∠ACE=∠F+∠CEF=∠ECB+∠ACB, .∠BCE=∠F=∠BAC, △ABC~△FCE, AB_BC且CF=AC, FC CE AB BC AC CE ∴.△ABC∽△CBE, ②∠AEC=45°，AC=4, E在△AEC的外接圆上运动，设△AEC的外接圆为⊙O' 如图，设EF与⊙O'交于点G,连接AG, G C 图2 ∴∠AO'C=2∠AEC=90° 0'A=0'C= AC=22 2 CG=CG ∠GAF=∠CEF, Y∠CEF=∠ACB ∠GAF=∠BCA 又：∠F=∠BAC ∴△BAC∽△GFA 又CF=AC,则AF=2AC, 42/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC AC 1 AG AF2 ∴当AG为⊙O'的直径时，AG取得最大值为4V2 :BC的最大值为2√2 14.(2025河南周口一模)感知定义：如果三角形的两个内角与6满足+2B=90°，那么我们称这样 的三角形为“类直角三角形”， 尝试运用 图1 图2 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为110°，请直接写出它的两个锐角的度数： (2)如图1，在钝角三角形ABC中，∠ABC>90°，AB=5,BC=3V5,△ABC的面积为15，求证：△ABC是“类 直角三角形”， (3)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=5,在边AC上是否存在点D,使得△ABD是“类直角 三角形”？若存在，请求出CD的长度；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)20°，50 (2)见解析 (3)存在； CD=或CD 4 【分析】(1)根据“类直角三角形"的定义和三角形内角和定理，列出方程组，解方程组即可： （2》过点A作AD1BC于点D,根据三角形面积求出4D=2Se=25=25,再根据勾股定理求出 BC 35 BD=VAB-AD=52-(25=5,证明△ADB∽△CDA,得出∠DAB=∠C,求出 ∠DAC+∠C=∠DAB+∠BAC+∠C=2∠C+∠BAC=90°，即可证明结论： (3)分两种情况：当∠A+2∠ABD=90°时，当2∠A+∠ABD=90°时，根据三角形相似的判定和性质，勾 股定理，求出结果即可. 【详解】(1)解：某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为110°， 43/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 「a+2B=90° a+B=70°’ 「B=20 解得： a=50°' 它的两个锐角的度数为20°，50°。 (2)证明：过点A作AD I BC于点D,如图所示： B ~BC=3V5,△ABC的面积为15， 4D-28Ae=2x15=2N5, BC 35 AB=5, :根据勾股定理得： BD=VAB-AD=5-(25=5, .CD=BD+BC=5+35=45, D25-2,25 CD45=2, BD AD D BDAD ∠ADB=∠CDA, △ADBP△CDA, ∴∠DAB=∠C, '∠DAC+∠C=∠DAB+∠BAC+∠C=2∠C+∠BAC=90°， ·△ABC是“类直角三角形”； (3)解：当∠A+2∠ABD=90时， ∠A+∠ABD+∠DBC=90°， ∠ABD=∠DBC, 过点D作DE L AB于点E,如图所示： 44/153 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C D ∠C=90°， ..CD=DE, BD=BD, :Rt△BDE≌Rt△BDC(HL), ..BE=BC=3, AE=AB-BE=5-3=2, 根据勾股定理得：AC=VAB-BC2=V52-3=4, 设CD=DE=x,则AD=4-x, 根据勾股定理得：AD=DE2+AE2, 即(4-x)=x2+22, 3 解得：x= 2 3 ∴CD 3 当2∠A+∠ABD=90°时， ∠A+∠ABD+∠DBC=90°， ∴.∠DBC=∠A, ∠BCD=∠ACB, △ABC∽△BDC, CD BC BC AC' 即CD、3 34 9 解得：CD= 4 综上分析可知：CD二乙或CD, 【点晴】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理应用，三角形全等的判 定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质， 45/153 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.(24-25九年级上·全国单元复习)如图1，在△ABC中，AB=4C=15,BC=24,点P以每秒1个单位 长度的速度，从点A出发沿AB方向向终点B运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿 BC方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为t秒，请解答 下列问题： D Q 图1 图2 (1)当t为何值时，PQ∥AC; (2)在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t,使得△PCQ的面积等于6？若存在，请求出t的值；若 不存在，请说明理由 (3)如图2，E是AC的中点，连接BE,与PQ交于点O,是否存在某一时刻t,使得PQ⊥BE?若存在，请 求出t的值；若不存在，请说明理由， 20 【答案】(1)t= 3 (2)存在，t=10 3)存在，1=285 59 【分析】(1)由题意得AP=t,BQ=2t,再用t表示出BP,CQ且0<t≤12，根据PQ∥AC,可知 BPBO AB BC 从而得到关于t的方程解之即可； 2》过点A作1BC于F,作PH上BC于H,易得aPH,AP,推出-阳，根据等腰三角形的性 质和勾最定连得到4，从而得到号-1，准出H=9-,最后利用S0QPH=6,得到关于！ 9 2 的方程，结合t的取值范围即可得到答案； (3)过点A作AF⊥BC于F,AM⊥BE于K,交BC于M,过点E作EN⊥BC于N,则AF∥EN,由E 是AC的中点，得到N-4R-},Cv=C=6,推出Bv=BC-CN=18,再利用勾股定理得到BE- 2 然后利用面积关系S.4c=2Sa,求得AK=247 17 再由勾股定理得到BK一77，易证△BMIKBEN,从 而得到瓷影祭，求得5， 68,BM=7 ，AM=AK+K,最后由PO⊥BE,AM⊥BE,推出 PQ∥M,即器，从而得到关于的方程解之即可 46/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由题意得：AP=t,BQ=2t, .BP=15-t,CQ=24-2t, 15÷1=15,24÷2=12, .0<t≤12， Pg∥AC, BP BO ∴. AB BC 即5品 20 解得：t= 3 当1=20时，P0/4C. (2)解：存在某一时刻t,使得△PCQ的面积等于6， 理由如下： 过点A作AF⊥BC于F,作PH⊥BC于H,如图1， B H OF 图1 则AF∥PH, .ABPH△BAF, PH BP AF=4B’ AB=AC,AF BC, .BF CF=-BC=12, 2 AF=VAB2-BF?=V152-122=9, .PH_15-1 915 7=9京 S.Pce=6, 00PH=6,即24-20030=6， 2 47/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得：t=10,5=17, 0<t≤12， ∴.1=10， ∴.当t=10时，△PCQ的面积等于6. C3)解：存在1-，使得P01BB 理由如下： 如图2，过点A作AF⊥BC于F,AM⊥BE于K,交BC于M,过点E作EN⊥BC于N, K 图2 则AF∥EN 由(2)可知，AF=9,BF=C℉=12， E是AC的中点， 2 2 ∴.BN=BC-CN=24-6=18, 在R△BEN中，E=NBN-y8+令- 2 SABC=2SA服， FBC=2xBE.K, 1 2 x9×24 2417 BE 97 17 2 在Rt△4Bk中，K=B-k=s-24-57, 17 1> ∠BNE=∠BMM=90°，∠EBN=∠MBK, .∴ABMK∽ABEN, 5717 EN,即Ay」 MK BM BK 17 9 9718, 2 2 48/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 68.BM= ·k=S77 4 AM=K+R=24i7+577917 17 68 4 PQ⊥BE,AM⊥BE, .PO∥AM, BP BO 15-t2t AB ,即157， 解得：1=285 59 ,使得PQ1BE. 存在1=285 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例等， 熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线构建相似三角形是解题的关键. 口题型06几何多结论相似辨析压轴 16.(25-26九年级上江苏无锡·期中)如图，正方形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE,将△ADE 沿A超折得△1，连该F、C.则以下结论①CF∥北，@m∠BMP=},回a即-V5C9,④ S四边形ADCn=2S△Ar,其中正确结论的序号是() D A.②③ B.①②③ c.②④ D.①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了图形的翻折变换及其性质、正方形的性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的性质， 灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键 根据点E是CD边的中点，可设DB=a,结合正方形的性质和翻折的性质推出∠DEF=2,EF=CE=a, 进而判断①；过点F作直线PQ⊥CD,分别交AB、DC于点Q、P,证明△FPC~△ADE,在Rt FEP中， 结合勾股定理及tan∠BAF=职判新②；在RtaFPC和RtaFBQ中，用勾股定理可以判断O:分别表示出 S四边形ADCR和SABs即可判断④. 49/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：①~点E是CD边的中点， 可设DE=EC=cD=a,则cD=2a, 2 ~四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=2a,∠D=90°， 设∠AED=a, 由翻折性质得：FE=DE=a,AF=AD=2a,∠AEF=∠AED=a, ∠DEF=2a,EF=CE=a, ÷∠CEF=180°-2a,∠FCE=∠EFC 180°-180°-2m）-&, 2 ∠FCE=∠AED=a, CF‖AE, 故结论①正确； ②过点F作直线PQ⊥CD,分别交AB、DC于点Q、P,如图所示： D E P B ∠FPC=90°， ÷∠FPC=∠ABC=∠DCB=90°， :四边形PQBC是矩形， PQ=BC=2a,QB=PC,∠FQB=90°， 在△FPC和△ADE中， ∠FPC=∠D,∠FCE=∠AED, △FPC一△ADE, FP PC “ADDE FP PC 2a a ∴.FP=2PC, ∴PE=EC-PC=a-PC, 在Rt FEP中，由勾股定理得：FE2=FP+PE2, 50/153 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2=(2PC)+(a-PC)2, 解得：PC=a 0B=PC=2a,FP=2PC= 5a, AO-DP-CD-QB-2a-2a=8g 46 -a= a,FO=PO-FP=2a- a=-a, 5 5 5 6 a3 ∴tan∠BAF=F- AQ8。 故结论②正确； ③在RtAFPC中，CF=VPC2+FP 5 在RteFBO中，BF=VBO+FQ ∴BF=V2CF, 故结论③不正确； @-Seg号DDE=号2axa=d, 由翻折的性质得：S。Az=a, 2 2 8w6e=8g+S.D8+S.e=a2+a+2g-12a a, 5 1 1 66 又S.A=5ABFg=2x2ax8a=。a2, 、 2 5 5 S四边形ADCR=2S△ABP, 故结论④正确； 综上所述：正确的结论是①②④： 故选：D, 17.(2026湖南株洲一模)如图，在平面直角坐标系Oy中，矩形Q4CB的边OA,OB分别在x轴、y轴上， 边4C,BC分别与反比例函数y=冬(k为常数，且k>0)的图象交于点M,N(M,N不重合).给出下面 的s结论：①SAoM=S.Bow;②S△AoM=S△coM;③MN∥AB;④设M(a,m）,N(n,b),若m=n,则 51/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 MN⊥OC.其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，正方形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性 质，设点C的坐标为（α，b),根据矩形性质及反比例函数图象上点的坐标特征表示出M,N的坐标，利用三角 形面积公式、相似三角形的判定与性质及正方形性质逐一判断即可， 【详解】解：设C(a,b), 矩形QACB的边OA,OB分别在X轴、y轴上， 则A(a0),B(0,b), :点M在AC上，点N在BC上，且都在反比例函数y=图象上 M(a),N(b), a 则aow=04M-a-专， 1 g。OB:BN宅b:名SS敌@迷顶正确，符合 题意； 36、 1 则ScoM=S.04c-S40M 2 若5m=8a…则吃的号即， k1, 题目未给出此条件，故②选项不正确，不符合题意： k ab-k 依题意，CM三ACAM=b-=ab,,CN=BC-BN=a bb CM ab-kab-k b ∴. CN a b a Acb BC a CM AC CN BC' :∠BCA=∠BCA 52/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.△BCA∽△NCM ∴BAC=∠NMC ∴.MN‖AB, 故③选项正确，符合题意； :Ma,m,Nnb)在y=k上， ∴.am=k,nb=k, 若m=n,则a=b, 即BC=OB, 即矩形OACB为正方形， ∴OC⊥AB 由③得MN∥AB, ∴.MN⊥OC, 综上所述，正确结论有①③④，共3个 18.(25-26九年级上·浙江金华期末)如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,点F在AD上， 0p,连接册交AC于点，下列结论：@②△BR△AcD:⑧高年 S.BBO S四边形oDFB 5·，其中一定正确的是() F A.③④ B.①③ c.②③ D.①④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质及三角形周长和面积计算.利用平行四 边形对边平行的性质，判定△AEF∽△ACD,根据相似比求出线段比，进而判断结论①和②，再利用相 似三角形周长比等于相似比，判断结论③，最后利用三角形面积公式和比例关系，计算面积比，判断出结 论④. 【详解】解：~四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AD=BC ∴.△AEF∽△CEB, 53/153 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AF-1DF. AF 1 DF-2' AF AF 11 ADF+DF1+23' AD=BC, AF 1 BC3' 由△AEF∽△CEB,得g=P=!, CE BC 3' AE AE 11 ACAE+CE1+34故①错误； 在△AEF和△ACD中，∠EAF=∠CAD, 由*全0回知，是子品} 迟AR AC AD ·△AEF与△ACD不相似，故②错误； △AEF∽△CEB,且相似比为C-3, 根据相似三角形的性质，周长比等于相似比， C=3,即之=3，故③正确」 由E1 cE3,且40=)AC, 1 2 圈4c4AC,0 -AC, 1 1 .BO=AO-AB=4C 二AC=二AC, 4 即AE=EO, 在△ABO中，AE=EO, S△AB驱=S△B0, O是AC中点， 1 S△AB0=)S△ABc=S2ABcD, 2 4 S330-S400=8S.ABCD 在△AD0中，A02'AD3 AE 1 AF 1 54/153 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11 1 .S△ABR= S△AD0=SAD0 23 61 11 1 DFS400- 1 5 “S△ABr=5XS= 6424 4 243=24 , 1 SABEO 8 3 S四边形oDF ,故④正确， 24 综上所述，正确的结论有③④， 故选：A. 19.(2526九年级下北京开学考试)如图，在平面直角坐标系0中，点4，B在函数y=(k>0,x>0) 的图象上，直线AB交x轴于点C,交y轴于点D,过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥y轴于点F,AE 与邵交于点6，连接4P,服给出下面四个结论：@GG②△PGaG:图98 ④AD=BC.上述结论中，所有正确结论的序号是() D T OE A.①②③ B.①②④ c.②③④ D.①③④ 【答案】D 【分析】①设点A的坐标为 k a,二，点B的坐标为 分别用含a的式子得出FG,GB,EG,GA, a 再列式证明即可；②证明四边形OBGF是矩形，得出∠AGF=∠BGE=90°，结合由结论①C_8 GB GA ,即 可判新@是否正碗：回由结论①正确得2智C,得出8a=8g,利用888+S4 即可证明④连接EF,证明△GFEAGBA,得出FE∥AB,证明四边形AEFD和四边形BFEC都是平行四 边形，得出EF=AD,EF=BC,即可证明. 【详解】①：点A,B在函数y=(k>0,x>0)的图象上， 55/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .设点A的坐标为a,二， a 点的华标为6) :AE⊥x轴于点E,BF⊥y轴于点F,AE与BF交于点G, k ..FG=a,AE=,BF=b,EG= k GB=BF-FG=b-a,AG=AE-EG=kk =bk-ak a b ab k FG a EG b a GB b-a GA bk-ak b-a ab FG EG GB GA' 故结论①正确： ②：AE⊥x轴于点E,BF⊥y轴于点F,AE与BF交于点G, ∴.∠GEO=∠GFO=∠EOF=90°， ∴.四边形OEGF是矩形， ∠EGF=90°， ∴.∠AGF=∠BGE=90°， EG 由结论①正确得： FG GB GA “无法判定G-G4 EG GB ∴.△AFG∽△BEG不一定成立， 故结论②不正确： ③片∠AGP=∠BGE=90°， PG-ABG 由结论①正确得： FG EG GB GA ∴.FG.GA=GB·EG, .S.AGR S.BGE .S.AGF+S.AG=S.BGR +S.ABG, 即SAAB=S△ABB, 故结论③正确； ④连接EF,如图所示： 56/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A :四边形OEGF是矩形， G B OE ∴.∠FGE=∠BGA=90°， 由结论①正确得： FG EG GB GA' 在△BFG和△GBA中， FG EG ∠FGE=∠BGA=90°， GB GA ∴.△GFE∽AGBA, ∴.∠GFE=∠GBA, FE∥AB, 即FE∥CD, AE⊥x轴于点E,BF⊥y轴于点F, ∴，AE I DF,BF∥OC, `.四边形AEFD和四边形BFEC都是平行四边形， ..EF=AD,EF=BC, ∴.AD=BC, 故结论④正确， 综上所述：正确的结论的序号是①③④ 题型07相似结合三角函数边角计算压轴 20.(2026江苏徐州一模)如图1，一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°， ∠EDF=30°. 57/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A(D) C(E) 图1 图2 图3 【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并 使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC交于点Q· 【探究】在旋转过程中， 1)如图2，当CE」 =1时，EP与EO满足数量关系是 EA Q如图3，当 =2时，EP与E0满足怎样的数量关系？并说明理由； 3)若 =2且AC=30cm,连PQ,设△EPe的面积为S(cm),在旋转过程中，S是否存在最大值或最小 EA 值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)EP=EQ; EP 1 2E02理由见解析： (3)当EQ=10v2cm时，s取得最小值50cm2;当EQ=10v3cm时，S取得最大值75cm2. 【分析】(1)作EG⊥AB于G,作EH IBC于H,可证明△EGP≌△EHQ,从而EP=EQ; EP EPEG （2)作BG1AB于G,作服13C于，可证得EGP0,EH=BG,从而0品品，可 C得一也二1，进而得出结果， BG CE (3)可推出S= P:EQQ,当PL仍时，S取最小值，当点0最大时，S取最大值，进一步泰 出结果。 【详解】(1)解：如图1，作EG⊥AB于G,作E⊥BC于H, G P B 图1 58/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠EGB=∠EHB=90° AB=BC, CE =1,即AE=CE, EA :BE平分∠ABC, .EG=EH, ∠ABC=90°， 四边形BHEG是矩形， ∠HBG=90°， ∠DEF=90°， ·∠HEG=∠DEF, ·∠HEG-∠PEH=∠DEF-∠PEH, ∠PEG=∠HEQ, ·△EGP≌aEHQ(AAS), ..EP=EO, 故答案为：EP=EO; (2)解： EP 1 E02,理由如下： 如图2，作EG⊥AB于G,作EH⊥BC于H, A G D 图2 ∠EGB=∠EHB=90°， 由(1)知，∠PEG=∠HEQ,四边形BHEG是矩形， △EGP∽△EHQ,EH=BG, EP EP EG EO EH EH' ∠ABC=90°，AB=BC, ∴∠A=∠C=45°， 59/153 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ABG=90°-∠A=45°， ∠A=∠AEG, .EG=AG, EG⊥AH,∠ABC=90°， EG∥BC, ÷△AGE∽△ABC, AG AE AG AE 1 即 AB AC AB-AG AC-AE2' AG AE 1 BG CE2' EG 1 EH' EP 1 E02 (3)解：如图， Gh- D Ba H CE =2且AC=30cm, EA :CE=24C=20cm, 3 EP 1 Ee 2' 1 .EP= EO, S=LEP.EQ- 1 EO, 当EP⊥AB时，S取最小值，如图， D 60/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠C=∠CEQ=45°， .EO2+CO2=CE2, 2EQ2=20, ..EO=10v2cm, s40-40=0(m) 当EQ=EF时，即F与Q重合时，S取最大值，如图， Gh_ E P Bh CH D FOC 在Rt△DEF中，DE=AC=30cm, ∴EQ=DE.tan∠EDF=30.tan30°=10V3(cm), s40-40可)=7s(em) 41 综上可得：当EQ=10v2cm时，s取得最小值50cm2;当EQ=10V3cm时，s取得最大值75cm2. 21,(2026辽宁阜新·一模)解答下列问题： A A D H B C(E) E 图1 图2 备用图 (1)【问题发现】：如图1，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠CBD=90°，∠A=∠DEB=30°， BC=BE=2,Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，判断BH与AE的数 量关系和位置关系，并说明理由： 61/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)【问题证明】：在Rt△BDE绕点B逆时针旋转的过程中，当AE经过点H时，(1)中的结论是否仍然成立？ 若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由： (3)【拓展应用】：在Rt△BDE绕点B逆时针旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出△ACE的面积 【答案】(1)AE=2N3BH,BH⊥AE (2)(1)中的结论仍然成立，理由见解析 (3)4+25或4-2W3 【分析】(1)解直角三角形求出AC,BH即可判断， (2)延长BH到F使得HF=BH,，连接CF,证明△ABE∽△BCF即可解决问题； (3)分两种情形：①当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F;②当DE在BC的上方时，结合相似三 角形的判定和性质即可解决问题， 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，BC=2,∠A=30°， ∴.AE=2BC=4, 在Rt△CDB中，∠DCB=30°，BC=BE=2, ..CD=_BC_43 Cos30° 3 CH=DH, ∴BH=cD=2 2 3金 AE 4 .BH25 =2V5 3 .AE 23BH. 在Rt△CDB中，点H是CD的中点， ∴.BH=CH=DH, ∴∠DHB=2∠DEB, ∠DEB=30°， ∴.∠DHB=60°， ∴，△BDH是等边三角形， ∴.∠DBH=60°， ∴∠ABH+∠A=90°， BH⊥AE; 62/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：(1)中的结论仍然成立，理由如下： 延长BH到F使得HF=BH,连接CF,如图2， CH=DH,BH=HF,∠CHF=∠BHD, E 图2 .ACHF≌△DHB(SAS), ∴.BD=CF,∠F=∠DBH, .CF∥BD, ∠BAC=DEB=30°， BC AB= tan∠BAC BC=3BC BE- BD BD =3BD, an∠BED 3 tan30° .BB=V3C℉， AB BE=3, BC CF .·CF∥BD, ..∠BCF+∠CBD=180°， :∠ABC+∠DBE=∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE=∠CBD+∠ABE=18O°， ∴∠BCF=∠ABE, ∴△ABE△BCF, ∴.∠CBF=∠BAB, AE-4B=5, BF BC .AE =3BF =23BH, .∠CBF+∠ABF=90°， ∴.∠BAE+∠ABF=90°， ∴.∠AHB=90°， 63/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BH⊥AE; (3)解：如图，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F,设CE,AF交于点P, DE∥BC, 公 D H DF ∠ABC=∠BFD=90°， 由题意得：BC=BB=2,AB=2V5,BD=2 3 ,DB=43 3 S.D= BD·BE=DEBF, 2 1x2 x2=x4v x BF, 23 23 .BF=1, ∴EF=VBE-BF2=N5, :DE∥BC, ÷△BCP∽△FEP, BC BP BP EFPF,即 3 1-BP' 解得：BP=4-25, ..AP=AB+BP=4, △iCE的面积-8m+8e号4PBC+PEF-42+分45-425， 如图，当DE在BC的上方时，设AB交DE于F,CE,BA的延长线交于点P, 64/153 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F 同理BF=1,EF=5, AF=3, DE∥BC, △BCP∽△FEP, BC BP 2 BP EFPF,即 3 BP-1' 解得：BP=4+25, .AP=BP-AB=4, △4CE的面积=8-S号4PxBC-号4PxB5-号42-x45=4-25, 2 2 综上所述，△ACE的面积为4+2√5或4-2V5 口题型08相似与特殊四边形几何综合压轴 22.(2026山西晋中.二模)综合与探究 问题情境：如图，在口ABCD纸片中，AB>BC,点E在边AB上，沿DE折叠△ADE,得到△A'DE. D D B B 图① 图② (备用图) (1)猜想证明：如图①，当DE⊥AB时，A'D交BC于点F,连接A'C,BD,判断A'C与BD的数量关系， 并说明理由； 65/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)拓展延伸：如图②，连接AC交DE于点G. ①连接A'G,当AE∥AC时，判断四边形AEAG的形状，并说明理由； @连接BD,若BD14D,D-15,CD=25,当4D与aBCD的一边垂直时，请直接写出S S△ADg的 值. 【答案】(1)AC=BD,见解析 a回四边形G是菱形，见解折：②或号 【分析】(1)由平行四边形的性质得到AD=BC,AB∥CD,∠BCD=∠A,由折叠得到 ∠A'ED=∠AED=90°，AD=AD,∠DAB=∠A,因此BC=A'D,∠A'ED+∠AED=180°， ∠BCD=DAB,进而得到∠BCD=∠A'DC,从而证得△BCD≌△A'DC(SAS),从而A'C=BD; (2)①先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形"得到四边形AEAG是平行四边形，再由折叠得 AE=AE,即可得到菱形AEA'G, ②分以下两种情况：(i)当A'D⊥AB时，(i)当AD⊥AD时，分别求解即可. 【详解】(1)解：A'C=BD,理由如下： 四边形ABCD为平行四边形， .AD=BC,AB∥CD,∠BCD=∠A, DE⊥AB, ∴.∠AED=90°， 由折叠的性质得∠A'ED=∠AED=90°，AD=A'D,∠DA'B=∠A, ∴.BC=AD,∠A'ED+∠AED=180°，∠BCD=DAB, A,E,A'三点共线， AA∥CD, ∴.∠DAB=∠A'DC, ∠BCD=∠ADC, 在△BCD和△ADC中， CD=DC. ∠BCD=∠A'DC, BC=A'D, ∴.△BCD≌△A'DC(SAS), 66/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..A'C=BD; (2)解：①四边形AEAG是菱形，理由如下： 片A'E∥AC, ∠AEB=∠CAB, 由折叠可得∠GA'E=∠GAB, .∠A'EB=∠GA'E, AB∥GA, :A'E∥AG, 四边形AEAG是平行四边形， 由折叠得AE=AE, 四边形AEAG是菱形； ②~四边形ABCD为平行四边形， .AB=CD=25, .·BD⊥AD,AD=15, ∴.BD=VAB2-AD2=20, AB I CD, .∴.∠EAG=∠DCG, :∠AGE=∠CGD, ∴.△AGE∽△CGD. 分以下两种情况：(i)当A'D⊥AB时，如图， 设A'D与AB交于点H,由折叠的性质得A'D=AD=I5, :sin∠BAD=BD-DH4 AB AD5' c0s∠BAD=AD=AH3 AB AD5' ∴.DH=12,AH=9, ∴.A'H=A'D-DH=3, 67/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 片∠A=∠DAH, ..AE A'E=- AH=5, cosA' :△AGB∽△CGD, AGAE1 CG CD5' :△ADG与△CDG等高， S△ADg=AG_1 SACDO CG-5: ()当AD⊥AD时，如图， D C ,BD⊥AD, ∴此时AD与BD部分重合， 过点A'作AM⊥AB于点M, BD=20,A'D=AD=15, ∴.AB=5, AB4B=5 COs/ABD=BD MB 4 :sin∠ABD=AD=AM3 AB A'B5' ∴，AM=3,MB=4, 设AE=x,则A'E=x,EM=AB-AE-BM=21-x, 在RteA'EM中，A'E2=EM+A'M, 即x=(21-)2+3,解得x=7, 75 ·E=5 同理可得 AE 3 CG CD7' S△g=AG_3 SACDG CG 7 1 综上所述， S△Aa的值为5或7 23.(2026上海徐汇·二模)在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在边CD上，且CE=3DE,AB=2AE,连 接AE、BE, 68/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠AEB=∠ABC; 2如图2，当AB=CD=BE时，求 的值； BC (3)如图3，当四边形ABCD为矩形且AB=8时，点O在线段BE上，且⊙O截AB、CD两边所得的两条弦相 等.如果⊙O与⊙C的公共弦所在直线恰好经过点B,⊙C的半径为3，求此公共弦的长 【答案】(1)见解析 a (3)26 【分析】(1)延长AE交BC延长线于点F，由AD∥BC,可得△ADEn△FCE,再证明△B4E∽aFAB,即可 证明结论； (2)延长AE交BC延长线于点G,过点A作AH⊥BC于点H,过点D作DM⊥BC于点M,过点E作 EN⊥BC于点N,同理(1)可得CG=3AD,BG=2BE,设AD=x,AB=CD=BE=4a,则CG=3x, BG=8a,DE=a,CE=3a,求出BN,NE,在Rt BNE中，利用勾股定理即可求解； (3)过点O作OH⊥CD于点H,连接OC,CF,设FG与OC交于点P,由条件先可得AD=BC=2V3, BE=4W5,再由OO截4B、CD两边所得的两条弦相等，可得OH=,AD=)BC=N5,再证明△OBC是 等边三角形，可得∠OCB=60°，再由FG中⊙O,⊙C的公共弦，可得CE垂直平分FG,即可求解， 【详解】(1)证明：如图，延长AE交BC延长线于点F, E ~AD∥BC, △ADE∽△FCE, 69/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE AE CE FE' CE=3DE, AE DE 1 FE CE3' ..FE=3AE, ·AF=AE+EF=4AE, AB=2AE, 4地2即EB .AE=1.AB2AE 1 AB2’ AF AB AF ∠B.AE=∠FAB, ∴.△BAE∽△FAB, ∴.∠ABE=∠AFB, ∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE,∠ABF=180°-∠AFB-∠FAB, ·∠AEB=∠ABC (2)解：如图，延长AE交BC延长线于点G,过点A作AH⊥BC于点H,过点D作DM⊥BC于点M, 过点E作EN⊥BC于点N, 4 D H G 同理(1)可得，△ADE△GCE, CE=3DE, AD DE 1 CG CE3' ∴.CG=3AD, 同理（1)可得，△BAE∽△GAB, BE AE 1 BGAB2' ∴BG=2BE, AD =x,AB=CD=BE=4a,CG=3x,BG=8a,DE=a,CE=3a, AD∥BC,AH⊥BC,DM⊥BC, 70/153 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 四边形AMD是矩形， :.HM=AD=x,DM=AH, 在Rt△ABH和RtADCM中 (AB=DC AH =DM' Rt△ABH≌Rt△DCM(直角三角形全等的判定定理)， ..BH =CM, BH +CM=BG-CG-HM=8a-3x-x=8a-4x, :CM=BH=(8a-4x)=4a-2x, 在Rt△ABH中，DM2=AH=AB2-BH2=(4a)-(4a-2x)=16xa-4x2, DM⊥BC,EN⊥BC, .ACEN CDM, CE EN CN CD DM CM' C,即3a CE EN CN EN2 CN2 CD DM (4a)2 16xa-4r2(4a-2x’ ..EN2=9xa- CN=3a- 9 t, .BN-BG-CG-CN-8a-3x-3a-3x =5a 2 3x 在Rt△BNE中，BN+NE=BE, 32 9 5a-3x+9xa-2x2=(4a), 2 4 2 解得a= 3, BC-BG-CG-8a-3x-8x2x-3 3 3, AD x 3 ·BC7 (3)解：如图，过点O作OH⊥CD于点H,连接OC,CF,设FG与OC交于点P, 71/153 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ,四边形ABCD为矩形且AB=8, E=4B=4.BC=AD.DE=-CD=AB=2,MCE=CD-DE=6,BCD-D=90 4 在RtADE中，AD=NAE2-DE2=√4-2=25， 在RtC中，BE=BC+CE=2+6=45, ~⊙O截AB、CD两边所得的两条弦相等， ∴点O到AB和CD的距离相等， oa-D-8c=5. OH⊥CD,∠BCD=90°， ∴OH∥BC, .△EOH∽△EBC, EO OH 1 EB-BC=2 ..EB=2EO, “点O为EB的中点， oc-服=08=2. ∴OC=OB=BC=2N3, ·△OBC是等边三角形， ÷∠OCB=60°， ~FG中⊙O和⊙C的公共弦， ..OF=OG,CF=CG, ∴CE垂直平分FG, ∴∠BPC=90°，FG=2FP, ∠PBC=90°-∠OCB=30°， 72/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -c 在Rt△PCF中， FP=CF2-CP=3-（5=6, ∴FG=2FP=2v6 24.(2026安徽毫州二模)如图1，在正方形ABCD中，点P是BC边上的一点（不与点B,C重合），连接 AP,过点D作DQ⊥AP于点M,交AB于点Q. 图1 图2 图3 (1)求证：AP=DQ: (2)如图2，若点P为BC中点时，连接CM,求证：CD=CM; (3)如图3，若PC=2PB,延长DC至E,使DC=2CE,连接EM,请探究∠PME与∠PAB的关系，并证 明. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 3)相等，见解析 【分析】(1)根据正方形的性质得出AB=DA,∠B=∠BAD=90°，利用角的和差关系得出 ∠PAB=∠MDA,即可证明△ABP≌△DAQ(ASA),根据全等三角形的性质即可得出AP=DQ; (2)设AB=CD=BC=AD=2a,利用勾股定理求出Dg=V5a,通过证明△ADM∽aQDA得出 AM=2N5a,DM=4y5a.证明CDNA,得出DW=4u=2V5。 2a=MN,进而求出CN所 5 5 在的直线垂直平分DM,即可得出CD=CM; (3)设PB=A0=m,则PC=2m,根据△ADM∽aQDA得出DM=90 m,根据△DEF∽aODA得出 10 DF=910 20广m,得出DF三MF=二DM,根据垂直平分线的性质得出EM=ED,∠EMD=∠EDM,根据 21 的和差关系得出∠PME=∠QDA,进而可得∠PME=∠PAB 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是正方形， 73/153 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴AB=DA,∠B=∠BAD=90°， ∠MAD+∠PAB=90°， DQ⊥AP, ∠AMD=90°， ∴.∠MAD+∠MDA=90°， ∴∠PAB=∠MDA, 「∠B=∠BAD 在△ABP与△DAQ中， AB=DA ∠PAB=∠MDA △ABP≌△DAQ(ASA), ..AP=DO. (2)证明：如图2，过点C作CN⊥DQ于点N, 图2 设AB=CD=BC=AD=2a, ~点P是BC的中点， G.PB=PC=BC= DQ=AP=a+(2a)2=5a, ∠ADM=∠QDA,∠AMD=∠BAD=90°， .△ADM∽△ODA， 'DOA0D,即4M.DM AD AM DM 5a a 2a M=2 5a,DM=45 ∠DCN+∠CDN=90°，∠CDN+∠ADM=90°， ∴.∠DCN=∠ADM, 74/153 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CND=∠AMD=90°，CD=DA, △CDN=△DAM(AAS), DW=4M=25 9, *MN DM-DN =215 a=DN, ~CN⊥DM,即CN所在的直线垂直平分DM, ..CD=CM. (3)解：∠PME=∠PAB,证明如下： 如图，过点E作EF⊥DM于F, D M E 图3 △ABP≌△DAQ(ASA) ∴设PB=AQ=m,则PC=2m, .AB=CD=BC =3m,DO=AD2+A02 =Jm2+(3m)2 =v10m, 由(2)知△ADM∽△QDA, AD DM ，即 3m DM DO AD 10m 3m ∴DM= 9V10 1m, 10 ∠DEF+∠EDF=90°，∠ADQ+∠EDF=90°， .∠ADQ=∠DEF, ∠DAQ=∠EFD=90°， △DEFP△QDA, AQ DO DF DE .DC 2CE =3m, 75/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9 ..DE CE+CD=m, m 10m ·DF 9 DF=91 -m; 20 :DF=MF-IDM, 2 EF⊥DM, ∴EM=ED,∠EMD=∠EDM, ∠EMD+∠PME=90°，∠EDM+∠QDA=90°， ·∠PME=∠QDA, ∠QDA=∠PAB, ·∠PME=∠PAB 题型09相似与圆综合证明计算压轴 25.(2026湖南长沙模拟预测)如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AB=BC,点E在BD上，且 ∠BAE=∠CBD (1)求证：△EAD是等腰三角形； (2)若2BE=3CD,求sin∠BAC的值； BF是DE上的一点，∠FCD与∠ECD互补，若P=k(3<k≤5)，FD=k-m,求线段DE长度的最大值 CD (用含m的代数式表示). 【答案】(1)见解析； 23 3: (3)20-4m. 【分析】(1)利用AB=BC及同弧所对圆周角相等，将∠BAE=∠CBD转化为∠BAE=∠CAD，进而证明 76/153 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EAD=∠EDA; (2)由两角对应相等证明△ABE∽△ACD,利用相似比和等腰△ABC求解； (3)利用对称构造点A',证明△FCD∽△ECA',建立ED与FD的等量关系，结合二次函数性质求最值 【详解】(1)证明：AB=BC, ·∠BAC=∠BCA, ∠BDA=∠BCA, ∠BDA=∠BAC, ∠BAE=∠CBD,∠CBD=∠CAD, ∴.∠BAE=∠CAD, ∠EAD=∠BAD-∠BAE=∠BAC+∠CAD-∠CAD=∠BAC, ∴.∠EAD=∠BDA, ..EA=ED, ∴△EAD是等腰三角形 (2)解：∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠ACD, .△ABE∽△ACD, 2BE =3CD AB BE 3 AC CD2' ∴令AC=2x,则AB=BC=3x, 作BM⊥AC于M,则AM=x, .BM V(3x)2-x2=2v2x, sin∠BAC= BM 2v2x 22 AB 3x 3 O M (3)解：∠ADB=∠BAC,，∠BDC=∠BAC, ·∠ADB=∠BDC, 77/153 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DB平分∠ADC, ∴作点A关于直线BD的对称点A,连EA,则A'落在射线DC上，且DA=DA, AD=kCD,k>3, ..DA'>CD, ..CA'=DA'-DC=k.CD-CD=(k-1)CD, ~点E在BD上， ..EA=EA', EA=ED, ..ED=EA', ∠FCD+∠ECD=180°，∠ECA'+∠ECD=180°， ∴.∠FCD=∠ECA', ED=EA', ·∠EA'D=∠EDA'=∠BDC=∠BAC, .∠EA'C=∠EA'D=∠BAC, ∠CFD=180°-∠FCD-∠CDF=180°-∠FCD-∠B.AC, 又~∠A'EC=180°-∠ECA-∠EAC=180°-∠FCD-∠BAC, ·∠CFD=∠A'EC, △FCD∽△ECA, FD CD EA CA' FD CD 1 ED (k-1)CD k-1' ..ED=FD(k-1), .FD=k-m, ED=(k-m)k-1)=k2-(m+1)k+m, ED是关于飞的二次函数，开口向上，对称轴为k=m+1, 2 又~FD=k-m>0,k≤5， m<5, m+1<3, 2 在3<k≤5时，ED随k增大而增大， 78/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴当k=5时，DE取得最大值， DEna=(5-m)(5-1)=20-4m. 26.(2026江苏常州一模)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，△APQ是等腰直角三角形， ∠PAQ=90°，对于点Q和⊙O,给出如下定义：若存在点Q在⊙O内（包含圆周），则称△APQ是⊙O的关 联三角形， ●A ●A P 图1 图2 (1)如图1，若点A(-4,4), ①已知点P(-8,0),则△AP2⊙O的关联三角形（填“是"或“不是”）； 已知点P(-8,3),则△APQ3 ⊙O的关联三角形（填“是”或“不是”）； ②P是x轴上的动点，且△APQ为⊙O的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 (2)如图2，若点A(7,0),直线y=-x-2上存在点P使得△APQ为⊙0的关联三角形，则点P横坐标t的 取值范围是 【答案】(1)①是，不是；②-10≤m≤-6 (2)5≤t≤7 【分析】(1)①Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转90°所得到的，根据旋转性质、等腰直角三 角形的性质，三角形全等的性质，可分别求出2、Q的坐标，计算与圆心的距离可确定是否在圆内；②P 是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内，求出Q点坐标，利用OQ≤2来求出m的范围； (2)求出对应的Q点的坐标，然后利用勾股定理计算出与圆心的距离，让这个距离小于等于2即可， 79/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由题意得： ~△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°， ..AP=A0, ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转90°所得到的， ①卫(-8,0)在x轴上， PD=D21=4, ∴2点的坐标为(0,0)， ~圆心为0的坐标为(0,0)，圆的半径为2， “QO=0小于半径， ∴2在⊙O的内部，符合关联三角形的定义， 即△AP2是⊙O的关联三角形： 如图所示，过A作直线1∥x轴，过P作PB⊥1于点B,过O作QC⊥1于点C,过A作AD⊥x轴于点D, D O2 P(-8,3),A(-4,4), PB=1,AB=4, PB⊥1，Q,C⊥1，∠PA92=90°， ∠BAP+∠BPA=90°，∠BAP+∠CAQ,=90°， ∠BPA=∠CAQ2, 在△ABP与△Q,CA中， '∠PBA=∠ACQ=90° ∠BPA=∠CAQ AP,=AO △ABP≌△Q,CA(AAS), 80/153 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..P.B=AC=1,AB=CO,=4, Q0=3, ∴点2的坐标为(-3,0)， “Q在⊙O的外部，不符合关联三角形的定义， :△APQ不是⊙O的关联三角形； ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙0内（包含圆周） P P P是x轴上的动点，点P横坐标m, P(m,0), 由①得△PEA≌△AFQ(AAS), .AF=PE=4,FO=AF=-4-m, ~A(-4,4), ∴点Q的横坐标为0，纵坐标为4-(-4-m)=8+m, Q点坐标为(0，m+8), Q点在⊙0内（包含圆周）， ….00≤2， 即m+8≤2，即在数轴上m到-8的距离小于等于2， .-10≤m≤-6； (2)解：根据题意得：P点坐标为(t,-t-2), 如图，过点A作BF⊥x轴，过P,Q作PE⊥EF,QF⊥EF,垂足分别为点E,F, 81/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同理(1)得△PEA≌△AFQ(AAS), PE=AF=7-t,AE=QF=-（-t-2)=t+2, 点Q的横坐标为5-t,纵坐标为7-t, Q点坐标为(5-t,7-t), 由勾股定理的0Q=(5-t)+(7-t), Q点在⊙0内（包含圆周）， 002≤2， 即(5-t)+(7-t)≤4， 解得：5≤t≤7： 27.(2026·吉林长春.一模)【问题呈现】如图，点M为AC的中点，点B为AM上任意一点，且MD1BC, 试探究AB,BD,CD之间的数量关系. M B 【问题解决】 (1)可以应用截长补短再结合圆的性质来解决该问题：如图，延长DB至点F,使BF=BA,连接 MF,MB,MC,MA,AC,经过推理得出AB,BD,CD之间的数量关系为AB+BD=CD,下面是部分证明 过程： 82/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 证明：M为AC的中点， ∴.AM=CM, .∠MAC=∠MCA. 又~∠MBC=∠MAC,∠MBC+∠MBF=180°，∠MBA+∠MCA=180°， ∴.∠MBF=∠MBA, 证明过程缺失： 请你补全证明过程中缺失的内容 【结论应用】 (2)在上述问题的前提下，如图，若AC为⊙0的直径，且AB=2,BD=1,则⊙O的半径为_， B 【拓展提升】 (3)如图，△ABC内接于⊙O,已知AB=AC=3V2,点D为AC上的任意一点，连接AD,DC, ∠ABD=45°，∠CBD=15°，AE⊥BD于点E,则△BDC的周长为_， B 【答案】(1)见解析 83/153 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)V5 (3)6+3V2 【分析】(1)证明△MBF≌△MBA(SAS),推出MF=MA,再利用等腰三角形的性质求解即可； (2)由(1)的结论知CD=2+1=3,再利用圆周角定理和勾股定理求解即可； (3)证明△ABE是等腰直角三角形，求得AE=BE=3,由(1)的结论知CD+DE=BE=3,再证明△ABC 是等边三角形，据此求解即可 【详解】(1)证明：M为AC的中点， ..AM CM, ·∠MAC=∠MCA. 又∠MBC=∠MAC,∠MBC+∠MBF=180°，∠MB.A+∠MCA=180°， ∴.∠MBF=∠MBA, BF=BA,BM=BM, △MBF≌△MBA(SAS), ∴MF=MA, ∴MF=MC, MD⊥BC, ∴FD=CD,即FB+BD=CD, ÷AB+BD=CD; (2)解：由(1)的结论知AB+BD=CD,即CD=2+1=3, BC=CD+BD=3+1=4, AC为⊙O的直径， ∠ABC=90°， ÷AC=VAB2+BC2=N22+42=2N5, …⊙O的半径为5； (3)解：AE⊥BD,∠ABD=45°，AB=3V2, ·△ABE是等腰直角三角形， ..AE=BE=3, AB=AC, 84/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “A为BC的中点， ∴由(1)的结论知CD+DE=BE=3, ∠ABD=45°，∠CBD=15°， ∴.∠ABC=60°， AB=AC, ·△ABC是等边三角形， BC=AB=32, ∴△BDC的周长为BD+CD+BC=BE+CD+DE+BC=6+3V2. 题型10相似三角形面积比值探究压轴 28.(2026上海浦东新二模)在口ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连结AE,DE,EF, DE=DC. 图1 图2 图3 (1)如图1，连结BD,如果EF∥BD,求证：△ECF∽△ADE; (2)已知tanC=v5,连结AF. ①如图2，如果点D,E关于直线AF对称，求S△ADs:SARCD的值； ②如图3，如果AF=N5DF,∠APE=∠BDC,求CF的值， ED 【答案】(1)见解析 a@,@时 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、平行四边形的性质等： (1)先证明△BCD≌△ADE,结合△ECF∽△BCD,即可证明结论； (2@作DH LBC,垂足为H.作P⊥AD,交AD的延长线于P,延长PF交BC于Q,容易证得D-DE DE EC 酸Ca,可得到0=4也3a,进而可证得4e=G=3a,结合P40=3,瓷，可得到 FC CG ②过点F作印1D,交4D的延长线于点P,设DP=m,可求得品卡，进而可求得 PF3 85/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P4F,得到40D=90°，∠P0D=90,证明△DBF∽△FOD,可求得DE)、N6m,进 CFm 【详解】(1)解：~四边形ABCD是平行四边形， BC=AD,AD∥BC, ∠ADE=∠DEC. DE=DC, ∴∠C=∠DEC, ∠C=∠ADE. BC=AD,∠C=∠ADE,CD=DE, ∴△BCD≌△ADE EF∥BD, .△ECF∽△BCD. △ECF∽AADE, (2)解：①作DH⊥BC,垂足为H,作FP⊥AD,交AD的延长线于P,延长PF交BC于Q,延长AF 交BC延长线于点G. HC=a,HD=HC.tanC=5a,DE=DC=HD +HC=a. 点D,E关于直线AF对称， ..AD=AE. ∴.∠ADE=∠AED. DE=DC, ∠DEC=∠DCE. ,∠ADE=∠DEC, ∴∠ADE=∠AED=∠DEC=∠DCE, .△ADE∽△DEC, 86/153 学科风网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD DE DE EC :DE=DC,DH⊥BC, ..EC 2HC 2a. AD a 6a 2a ..AD=3a. ..AD=AE=3a. D,E关于直线AF对称， ∴.∠DAF=∠EAF. AD∥BC, .∠DAF=∠G. ∴.∠G=∠EAF. ..AE EG=3a. ∴CG=a. AD∥BC, ∴△ADF∽△GCF,△DPF∽△CQF. DF AD DF PF FC CG 2=3,Fcp0 PF FO =3 PF 3 P04 SuADPScAD-PQ. LPF S4D= 3 SeABCD P8 ②过点F作FP⊥AD,交AD的延长线于点P, B E 87/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设DP=m. AD∥BC, PDF=∠C. aPF=DP,tamn∠PDr=V5m，sin∠DFP= 6 ∴DF=VDP2+PF?=V6m AF =5DF, .AF =30m. .AP=AF2 -DF =5m. ..AD=4m. PF AP DP PE ∴△DPF∽△FPA. DFP=∠PAF. 设∠DFP=∠PAF=. ∠PDF=90°-a. ∴∠C=∠DEC=∠ADE=90°-x. ∴.∠FAP+∠ADE=90°. ∠AOD=90°. ÷∠FOD=90°. OD=AD-sin∠PAF=4m-sn∠DFP=2V6m 3 '∠EDF=∠AFE,∠EDF+∠DFO=90°， ∴.∠EFD=∠AFE+∠DFO=90°， ∴∠EFD=∠FOD 又∠ODE=∠FDE, ∴.△DEF∽△FOD. DF DE DO DF DE n. .DC=36m. 2 88/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .CF-VGm C -1 DF 6m 2 29.(2026四川南充一模)如图，已知一次函数)=众+6的图象与反比例函数y=x<0)的图象交于点 B(-2,3),与y轴正半轴交于点A,OA=2. (1)求一次函数与反比例函数的解析式： 2)点C是AB延长线上一点，过点C作CB⊥x轴于点E,交反比例函数y=”的图象于点D,当CB=AB时， 求c2值 SCBE 【答案】（山）反比例函数的解析式为y=- 一次函数的解析式为y= 2+2 1 x S.c= 2S.c8 8 【分析】(1)根据待定系数法，即可求解 (2)过点B、C分别作BN⊥y轴于N,CM⊥y轴于M,易得△ABN∽△ACM,从而可求点C、D和E的 坐标，进而D-,CE=4,再根摆三角形面积之间的关系，即可求解 【详解】1①解：将点8(-23)代入y空，得：m=2x3=6: 反比例函数的解析式为y=-6, 0A=2,÷A(0,2), 6=2 将点A(0,2),B(-2,3)代入y=a+b,得 -2k+b=31 k=- 解得 b=2 89/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一次函数的解析式为y=-。x+2; 2 (2)过点B、C分别作BN⊥y轴于N,CM⊥y轴于M, 则BN∥CM, AB BN 1 △ABN∽△ACM, AC CM2' CM=2BN=4,C(-4,4), 3) CB1x轴，D4)E(4,0), ..CD=4- 35 22 ，CE=4, S△c2=CD-2_5 CE 48 30.(2026宁夏银川一模)如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C,D的一点，点B是DC延长线上一点， 连接AB、AC、AD,且∠BAC=∠ADB, B D (1)求证：直线AB是⊙O的切线； (2)若BC=2OC=4,作∠CAD的平分线AP交⊙O于P,交CD于E,连接PC、PD, S4CP的值， SAADP 【答案】(1)见详解 a号 【分析】(1)连接OA,先利用圆周角定理得到∠CAD=90°，再根据等腰三角形的性质结合已知证得 ∠BAO=90°，然后根据切线的判定可证得结论； (2)先证明△BCA∽△BAD,由相似三角形的性质得出BA_BC-4C_4V5-5,由角平分线的性质 BD BA AD 8 2 90/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 定理得出点P到直线AC和点P到直线AD的距离相等进而可求出 S.ACP=AC AD 【详解】(1)证明：连接OA, ~CD是⊙O的直径， ∴∠CAD=90°，则∠CAO+∠OAD=90°， OA=OD, ∴.∠OAD=∠ADB, 又∠BAC=∠ADB, ÷∠BAC=∠OAD, ∴∠BAO=∠CAO+∠BAC=∠CAO+∠OAD=90°，即BA⊥OA, OA是⊙O半径， 直线AB是⊙O的切线； (2)解：∠B=∠B,∠BAC=∠ADB, △BCA∽△BAD, BA_BCAC BD BA AD ∴AB2=BC.BD, .BC=20C=4, ..OC=2,CD=4,BD=BC+CD=8, ∴.AB2=4×8=32, AB=42, .BA_BC_AC BD BA AD 8 2 AP为∠CAD的平分线， 故设点P到直线AC和点P到直线AD的距离相等都为h, 91/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.h 1 S△4C2= AC S△ADP AD.h AD 2 2 【点晴】本题考查了切线的判定、圆周角定理，等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、 角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质求解是解答的关键。 31.(2026·江苏无锡·二模)问题思考与探究 M 图1 图2 (1)【问题思考】如图1，己知正方形ABCD,M,N分别是边BC,CD上一点，连接AM,AN,N, 且∠MAN=45°，若延长ND到点P,使得DP=BM,连接AP,则：运用三角形全等的相关知识，可推理 得到三条线段BM,MN,DN之间的数量关系是一； (2)【探究应用】如图2，正方形ABCD的边长为10，点E是射线BC上一动点（不与点B重合），连接AE, 将AE绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF,连接AF交射线CD于点H,，连接FC. ①当点E在线段BC上，若△CFH是等腰三角形，求此时BE的长， ②当点E在线段BC的延长线上时，设E=m,△4B时的面积为S,则DH BC CH =；S= (用含 n的代数表示) 【答案】(I)MN=BM+DW 2)①BE的长为10N2-10或10②n-1,50+50m 2h n+1 【分析】(1)利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可： (2)①过点F作FK⊥BC,交BC的延长线于点K,利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求得 ∠FCH=45°，设BE=x,则EC=10-x,CK=FK=x,FC=√2x,再利用分类讨论的思想方法分三种情 况推论解答：1，当FH=FC时，∠HCF=∠FHC=45°，此种情况不存在；Ⅱ.当FH=HC时， ∠HCF=HFC=45°，则∠CHF=90°，点E与点C重合；Ⅲ，当FC=HC时，FC=HC=V2x,则 DH=10-√2x,利用勾股定理解答即可； ②过点F作FN⊥BC,交BC的延长线于点N,延长AD,交FN于点M,利用正方形的性质，全等三角 92/153 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AH 1 形的判定与性质和矩形的判定与性质得到CE=FM,进而证明△ADH∽△AMF即可得出 HF n' DH 1 再求得DH,CH,即可得出 的值：进而根据旺-4-上， HF n 得出△AEF的面积为 FM 1+n CH 1 S(1+n),根据勾股定理以及等腰三角形的性质得出△AEF的面积=二AE°=50+50n',进而建立等量关系， 即可求解， 【详解】(1)解：BM,MN,DW之间的数量关系是：MN=BM+DN,理由： :四边形ABCD为正方形， ∴.AB=AD,∠ABM=∠ADP=90°， 在△ABM和△ADP中， AB=AD ∠ABM=∠ADP=90°， BM=DP .∴AABM≌△ADP(SAS), .∠BAM=∠DAP,AM=AP, .∠BAM+∠MAD=90°， ∴MAD+∠DAP=90°， 即∠M4P=90°. .·∠MAN=45°， ∴.∠MAN=∠PAN=45°. 在△MAN和△PAN中， AM=AP ∠MAN=∠PAN, AN=AN .△MAN≌△PAN(SAS), ∴.N=PN, .PN=PD+DN BM+DN, ∴.MN=BM+DW. 故答案为：MN=BM+DN: (2)①过点F作FK⊥BC,交BC的延长线于点K,如图， 93/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ABCD为正方形， K 图2 ∴∠ABC=∠AEF=90°，AE=EF,AB=BC, .∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠KEF=90°， ∴∠BAE=∠KEF, 在△BAE和△KEF中， ∠BAE=∠KEF ∠ABE=∠EKF=90°， AE=EF ∴.△BAE2aKEF(AAS), .AB=EK=10,BE=FK, ∴.BE+EC=CE+CK, ∴.BB=CK, .BE =CK=FK, ∴.△FCK为等腰直角三角形， .∠FCH=45° 设BE=x,则EC=10-x,CK=FK=x,FC=V2x, I,当FH=FC时，∠HCF=∠FHC=45°， ..CH=2 FC=2x. ∴.DH=10-2x, ∴.EH=DH+BE=10-x 此时EH=EC,不合题意，舍去； Ⅱ.当FH=HC时，∠HCF=∠HFC=45°， .∠CHF=90°， 此时，点H与点D重合， 点E与点C重合， 94/153 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=10: Ⅲ.当FC=HC时，FC=HC=2x. 则DH=10-2x, ..EH=DH+BE=x+10-2x. EC2+CH2=EH2, (10-x)°+(2x=+10-V2x. 解得：x=10√2-10 综上，若△CFH是等腰三角形，BE的长为10V2-10或10； ②过点F作FN⊥BC,交BC的延长线于点N,延长AD,交FN于点M,如图， -M :四边形ABCD为正方形， N .∠ABC=∠AEF=90°，AB=BC=10, .∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠NEF=90°， ∴.∠BAE=∠NEF, 在△BAE和△NEF中， '∠BAE=∠NEF ∠B=∠N=90°， AE=EF ∴.△BAE≌△NEF(AAS), ∴.AB=EN=10,BE=FN, :∠DAB=∠B=∠N=90°， ∴.四边形ABNM为矩形， .∴MN=AB=10,AM=BN, 同理：四边形DCNM为矩形， ∴.DM=CN. 95/153 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=CN=FN, ∴.CE=FM. ..BE =n,BC=10, BC ..BE =10n ..FM=CE=BE-BC=10n-10,DM=CN=FN=BE =10n ∴.AM=AD+DM=10+10n ,CD⊥BC,FN⊥BC, ∴.CD∥FN, '.△ADH∽△AMF .AD=DH AH AM FM AF AH 10 1 DH 1 AF10+10n1+n’FM1+n AH 1 HF n 即DH=1PM=10m-10,则cH=DH+CD=101-10+10=10n-10+10+10n_20m 1+n 1+n 1+n 1+n 1+n 10n-10 DH CH 20n 2n9 1+n △ABH的面积为S, SAB盟-AH_1 S.FHE HF n ·AFHE的面积为nS △AEF的面积为SABH+SB=S(1+n) 又AE2=AB2+BE2=10+(10n)=100+100n2 △A8r的面税号4-50+50 .S(1+n)）=50+50n 5=50+50n n+1 二题型11相似与线段和差最值问题 32.(2026吉林一模)在数学探究课上，老师鼓励同学们积极思考，通过作辅助图形的方法，计算动点条 96/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 件下线段和的最小值，小郑同学大胆的说出了自己的想法，得到了老师的好评，其过程如下： G D 图1 图2 图3 (1)【观察发现】 如图1，在等边△BC中，4C=4N5,DBC,E,F分别是4B和4C上的动点，且总有BE=,阅 读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定DE+DF最小值的方法. 在等边△ABC中，AC=4V5,CD=BC, 2 点D为BC边上的中点，∠B=∠ACB, AD⊥BC. 过点A作AG⊥AD,使AG=BD,连接GF, AG∥BC. ∴.∠GAC=∠ACB=∠B. 又AF=BE, △AGF≌△BDE(SAS). .GF=DE. 连接DG,DF,当D,F,G三点共线时，GF+DF的最小值等于线段DG的长. 连接GC, 证明过程缺失 四边形ADCG是矩形， ..DG=AC. 【问题解决】①如图1请你补全缺失的证明四边形ADCG为矩形的过程； ②结合上述探究过程可知DE+DF的最小值为_， (2)【类比应用】 如图2，已知正方形ABCD的边长为12，O为对角线的交点，M,N分别是AB,AD上的动点，且总有 97/153 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BM=DN,连接OM,CN,求OM+CN的最小值. (3)【拓展延伸】 如图3，矩形ABCD中，AB=√2，AD=2V2,E是AD的中点，F,G分别是BC和DC上的动点，且总有 BF=2DG,则EF+2AG的最小值为_， 【答案】(1)①见解析；②4v5 (2)6V10 3)213 【分析】(1)①先证明四边形ADCG是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证 ②求出DG=AC=4V5即可； (2)过点D作DG⊥BD,使DG=OB,连接GN,GC,先得出OM+CN=GN+CN,则当点C,N,G三 点共线时，GN+CN的最小值等于线段GC的长，即OM+CN的最小值等于线段GC的长，再利用勾股定理 求解即可： (3)延长AB到点H,使BH=2AD,连接EH,FH,先证明△ADG∽△HBF,可得 EF+2AG=EF+HF,则当点E,F,H三点共线时，EF+HF的最小值等于线段EH的长，即EF+2AG的最 小值等于线段EH的长，再利用勾股定理求解即可， 【详解】(1)解：①AG=BD=CD,AG∥BC, :四边形ADCG是平行四边形， AG⊥AD, ∠GAD=90°， :四边形ADCG是矩形. ②由上已证：四边形ADCG是矩形， “DG=AC=4V3, ∴GF+DF的最小值为4v5, 又~GF=DE, DE+DF的最小值为45. (2)解：如图，过点D作DG⊥BD,使DG=OB,连接GN,GC, 98/153 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 正方形ABCD的边长为12， BC=CD=12,∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠0BM=∠ADB=45°，OB=BD, ∴BD=VBC2+CD2=12V2,∠GDN=90°-∠ADB=45°， ∴DG=OB=6V2,∠GDN=∠OBM=45°， 在△GND和△OMB中， GD=OB ∠GDN=∠OBM=45°， DN=BM △GND≌aOMB(SAS), .GN =OM, ∴.OM+CN=GN+CN, 当点C,N,G三点共线时，GN+CW的最小值等于线段GC的长，即OM+CW的最小值等于线段GC的长， 如图，过点G作GH⊥CD,交CD的延长线于点H, ∠ADC=90°，∠GDN=45°， ∠GDH=180°-∠ADC-∠GDN=45°， ∴DGH=90°-∠GDH=45°， .∠DGH=∠GDH, :.DH =GH, 在Rt△DGH中，DG=VDH'+GH?=V2DH=√2GH=6V2, ∴DH=GH=6, ∴CH=CD+DH=18, 99/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴在RtACHG中，GC=VCH+GH=6√10， ∴OM+CW的最小值为6V10. (3)解：如图，延长AB到点H,使BH=2AD,连接EH,FH. D GC H B 矩形ABCD中，AD=22,E是AD的中点， BH=4W2,AE=AD=5,∠BAD=∠ABC=∠D=90, ∠HBF=90°， .BH =2AD,BF =2DG, AD DG 1 HB BF ”2 在△ADG和△HBF中， AD DG 1 HBBF=2 ∠D=∠HBF=90° △ADG∽△HBF, AG AD 1 HF HB2' ..HF=2AG, :.EF +2AG=EF+HF, 当点E,F,H三点共线时，EF+HF的最小值等于线段EH的长，即EF+2AG的最小值等于线段EH的长， ~AB=√5，BH=4V2, ÷AH=AB+BH=52, 在Rt△ABH中，EH=NAE+AH=2V13, ∴EF+2AG的最小值为2V13 【点晴】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形. 33.（2026陕西宝鸡一模)按要求解答下列各题： 100/153 专题08 相似三角形与几何综合（解答压轴题） 命题预测 相似三角形与几何综合是初中几何压轴核心、分值权重极高的必考模块，贯穿三角形、四边形、圆、几何动点、折叠旋转全题型，是中考解答题压轴、选择填空拔高题的核心载体。本板块设问角度灵活、综合性强，常融合角度推导、线段求值、比例证明、面积比值、几何存在性与最值综合考查，题型规律固定、解题模板成熟，熟练掌握相似基本模型与推理套路，对几何稳分、冲刺高分至关重要。预计 2026 年中考命题仍将围绕相似判定、经典模型应用、几何综合计算、动点相似存在性等核心题型展开，坚持基础考判定、中档考模型、压轴考综合的命题思路，重点考查数形结合、逻辑推理、建模转化与分类讨论核心素养。 高频考法 题型01 一线三等角相似压轴问题 题型02 母子型相似综合计算压轴 题型03 旋转相似构造与比例求证压轴 题型04 折叠背景下相似求值压轴 题型05 动点三角形相似存在性问题 题型06 几何多结论相似辨析压轴 题型07 相似结合三角函数边角计算压轴 题型08 相似与特殊四边形几何综合压轴 题型09 相似与圆综合证明计算压轴 题型10 相似三角形面积比值探究压轴 题型11 相似与线段和差最值问题 题型12 抛物线下相似三角形存在性压轴 典例·靶向·突破 题型01 一线三等角相似压轴问题 1．（2026·河南周口·一模）综合与实践 在中，，将绕点C按顺时针方向旋转（）得到． (1)【问题解决】 如图1，若，当点D落在边上时，连接，则与的数量关系是______． (2)【探究迁移】 如图2，连接，若，在旋转过程中，当点A，D，E在同一直线上时，过点C作，延长交线段于点N，求的值． (3)【拓展应用】 若，，，P为平面内一点，当以A，C，D，P为顶点且为边的四边形为平行四边形时，请直接写出的长． 2．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 3．（2026·四川德阳·模拟预测）已知正比例函数与反比例函数相交于，B两点． (1)求的值； (2)若，交第一象限反比例函数图象于点C，连接，平分，与直线相交于点D，求的长． 题型02 母子型相似综合计算压轴 4．（2026·江苏徐州·一模）按要求完成下列问题． (1)如图①，在中，，，垂足为．求证：． (2)已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出一个，使得且是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤） (3)如图③，在中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是________． 5．（2026·福建泉州·三模）如图，内接于，过A作的角平分线，交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)若时， ①求的值． ②作的角平分线，交于点F，在圆上有一点G，若F和G恰好关于的中点对称，请用含k的代数式表示的面积，并说明理由． 6．（2026·上海崇明·二模）如图1，是半圆的直径，点是半圆上一点，过点的直线交的延长线于点，点是线段上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)设与的交点为，连接，交于点，若以为圆心，长为半径的圆与以为圆心，为半径的圆外切，求的值． 题型03 旋转相似构造与比例求证压轴 7．（2026·河南周口·二模）在和中，，，，连接，． (1)探索发现：如图1，若，求证：． (2)猜想验证：如图2，若，将绕着点A旋转，旋转过程中，的值是否为定值？若是定值，请仅用图2的情形求出的值；若不是定值，请说明理由． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，当射线于点F时，请直接写出线段的长． 8．（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 9．（2026·江苏徐州·一模）已知，正方形与正方形． (1)如图，连接和交于点，则 ； (2)如图，连接和，求的值； (3)如图，正方形绕点旋转，在旋转的过程中，当点落在射线的延长线上时，若，，在射线上是否存在一点使得最大，若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 题型04 折叠背景下相似求值压轴 10．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】(3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 11．（2026·广东佛山·一模）【问题情境】 折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰 的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4．【提出问题】 （1）如图1，的度数为 　　； （2）如图1，若，，求的最大值； （3）纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形，若，，直接写出的长　　； 【解决问题】 （4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，求该矩形纸片较长边的长度． 12．（2026·河北廊坊·一模）综合与实践 【问题情境】在数学课上，老师给出矩形纸片（，），让同学们在纸片中作出一个的角． 【操作一】甲组同学利用折叠：如图1，把矩形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．再一次折叠纸片，使点A落在上的点E处． (1)的长为_____，的度数为_____； (2)连接．若，求的值； 【操作二】 (3)乙组同学利用尺规，根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”来得到的角：如图2，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，． 请你在图2中补全作图，并在矩形纸片中找出一点K，使，在图2的作图中，可画出_____（填“1”“2”或“无数”）个满足条件的； 【折叠拓展】 (4)甲组同学连接图1中的，并将剪下来，点G在边上，点H在边上，将沿直线折叠，使点A落在点处，如图3、图4所示．    在图3中，点H与点E重合，阴影部分的周长为_____． (5)如图4，点P，Q在边上，且，点落在线段上（包括端点）若，，直接写出y与m之间的关系式，并写出m的取值范围． 题型05 动点三角形相似存在性问题 13．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 14．（2025·河南周口·一模）感知定义：如果三角形的两个内角α与β满足 ，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ，请直接写出它的两个锐角的度数； (2)如图1，在钝角三角形中， 的面积为15，求证： 是“类直角三角形”． (3)如图2，在中， ，在边上是否存在点 D，使得 是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·全国·单元复习）如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型06 几何多结论相似辨析压轴 16．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形中，点E是边的中点，连接，将沿翻折得，连接、．则以下结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是（    ） A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④ 17．（2026·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴、y轴上，边，分别与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点M，N（M，N不重合）．给出下面的结论：①；②；③；④设，，若，则．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在平行四边形中，，相交于点O，点F在上，且，连接交于点E，则下列结论：①；②；③；④． ，其中一定正确的是（    ） A．③④ B．①③ C．②③ D．①④ 19．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 题型07 相似结合三角函数边角计算压轴 20．（2026·江苏徐州·一模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， (1)如图，当时，与满足数量关系是_______； (2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 21．（2026·辽宁阜新·一模）解答下列问题： (1)【问题发现】：如图1，在和中，，，，绕点逆时针旋转，为的中点，当点与点重合时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)【问题证明】：在绕点逆时针旋转的过程中，当经过点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； (3)【拓展应用】：在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出的面积． 题型08 相似与特殊四边形几何综合压轴 22．（2026·山西晋中·二模）综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点E在边上，沿折叠，得到． (1)猜想证明：如图①，当时，交于点F，连接，．判断与的数量关系，并说明理由； (2)拓展延伸：如图②，连接交于点G． ①连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，若，，，当与的一边垂直时，请直接写出的值． 23．（2026·上海徐汇·二模）在四边形中，，点在边上，且，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当四边形为矩形且时，点在线段上，且截、两边所得的两条弦相等．如果与的公共弦所在直线恰好经过点，的半径为3，求此公共弦的长． 24．（2026·安徽亳州·二模）如图1，在正方形中，点是边上的一点（不与点，重合），连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图，若点为中点时，连接，求证：； (3)如图，若，延长至，使，连接，请探究与的关系，并证明． 题型09 相似与圆综合证明计算压轴 25．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，，点E在上，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的值； (3)F是上的一点，与互补，若，，求线段长度的最大值（用含m的代数式表示）． 26．（2026·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点和，给出如下定义：若存在点在内（包含圆周），则称是的关联三角形． (1)如图1，若点， ①已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； 已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； ②是轴上的动点，且为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______； (2)如图2，若点，直线上存在点使得为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______． 27．（2026·吉林长春·一模）【问题呈现】如图，点M为的中点，点B为上任意一点，且，试探究之间的数量关系． 【问题解决】 (1)可以应用截长补短再结合圆的性质来解决该问题：如图，延长至点F，使，连接，经过推理得出之间的数量关系为．下面是部分证明过程： 证明：∵M为的中点， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 证明过程缺失： 请你补全证明过程中缺失的内容． 【结论应用】 (2)在上述问题的前提下，如图，若为的直径，且，则的半径为 ． 【拓展提升】 (3)如图，内接于，已知，点D为上的任意一点，连接，，，于点E，则的周长为 ． 题型10 相似三角形面积比值探究压轴 28．（2026·上海浦东新·二模）在中，点，分别在边，上，连结，，，． (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)已知，连结． ①如图2，如果点，关于直线对称，求的值； ②如图3，如果，，求的值． 29．（2026·四川南充·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴正半轴交于点A，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点C是AB延长线上一点，过点C作轴于点E，交反比例函数的图象于点D，当时，求值． 30．（2026·宁夏银川·一模）如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，作的平分线交于，交于，连接、，求的值． 31．（2026·江苏无锡·二模）问题思考与探究 (1)【问题思考】如图1，已知正方形，，分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到点，使得，连接．则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是________； (2)【探究应用】如图2，正方形的边长为，点是射线上一动点（不与点重合），连接，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接交射线于点，连接． ①当点在线段上，若是等腰三角形，求此时BE的长． ②当点在线段的延长线上时，设，的面积为，则______；______．（用含的代数表示） 题型11 相似与线段和差最值问题 32．（2026·吉林·一模）在数学探究课上，老师鼓励同学们积极思考，通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，小郑同学大胆的说出了自己的想法，得到了老师的好评，其过程如下： (1)【观察发现】 如图1，在等边中，，，E，F分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法． ∵在等边中，，， ∴点为边上的中点，． ∴． 过点作，使，连接， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 连接，，当三点共线时，的最小值等于线段的长． 连接， 证明过程缺失 ∴四边形是矩形． ∴． 【问题解决】①如图1请你补全缺失的证明四边形为矩形的过程； ②结合上述探究过程可知的最小值为 ． (2)【类比应用】 如图2，已知正方形的边长为12，O为对角线的交点，M，N分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值． (3)【拓展延伸】 如图3，矩形中，，，是的中点，F，G分别是和上的动点，且总有，则的最小值为 ． 33．（2026·陕西宝鸡·一模）按要求解答下列各题： (1)问题提出：如图1，在中，，，，，直线垂直平分，且点为直线上的任意一点，则的最小值为________cm； (2)问题探究：如图2，在矩形中，，，点，分别在，上，连接，，求的最小值； (3)问题解决：如图3，某公园有一块形状为正方形的空地，园区管理员规划种植花卉和修建小路，要求：在空地内确定一点，使，然后在空地内修四条观赏小路（宽度忽略不计），，，，使得，分别在，上，，分别是，的中点，且．已知，求两条小路长度的最小值． 34．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 35．（2026·陕西汉中·二模）【问题提出】 (1)如图①，线段，平面内有一动点C，且，则的最小值为 ； (2)如图②，在中，，，在上取一点D，使得，连接，求证：； (3)【问题解决】如图③，矩形是某次海域监测中的探测基准区，，，对角线为海底固定探测主缆线路，以D为圆心、为半径的是水下探测头的旋转作业范围，E是上一点，表示探测头的实时工作位置．在点A，E之间设置一条信号传输缆线，并计划以为直角边设置信号防护架，其中，．为减少海域监测对水下生物活动的影响，需使点F与主缆线路围成的的面积尽可能小，求面积的最小值． 题型12 抛物线下相似三角形存在性压轴 36．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2026·山东东营·一模）如图，抛物线经过点，点．连接．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 2．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 5．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 6．（2025·山东东营·中考真题）     （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 7．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 8．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 9．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 10．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 11．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 12．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 13．（2025·江西·中考真题）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $