专题02相交线与平行线期末复习讲义(26题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题02相交线与平行线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握对顶角、邻补角、垂线、同位角、内错角、同旁内角定义与性质 2.熟记平行线判定定理与性质定理，分清二者区别 3.理解平移概念，掌握平移图形的特征与变化规律 4.理清几何相关角的数量、位置关系，熟记基础结论 1.精准识别各类角，快速判定直线位置关系 2.规范几何推理书写，能用因果逻辑完成证明题 3.灵活互换平行线判定与性质，推导角度数值 4.掌握垂线作图、平移作图的基本操作方法 5.综合运用知识点，拆解复杂几何图形解题 1.选择填空快速判角、算角度，基础题型零失分 2.证明题步骤严谨规范，推理依据标注准确 3.攻克角度计算、平行证明、图形平移高频考题 4.区分判定和性质，规避定理混用易错问题 5.熟练应对几何综合小题，提升答题正确率 题型01.两点确定一条直线 题型02.对顶角的定义 题型03.对顶角相等 题型04.垂线的定义理解 题型05.画垂线 题型06.垂线段最短 题型07.点到直线的距离 题型08.平面内两直线位置关系 题型09.用直尺.三角板画平行线 题型10.平行公理及推理的应用 题型11.反证法证明命题及假设写法 题型12.同位角.内错角.同旁内角 题型13.同位角相等两直线平行 题型14.两直线平行.同位角相等 题型15.两直线平行.内错角相等 题型16.内错角相等.两直线平行 题型17.同旁内角互补.两直线平行 题型18.两直线平行,同旁内角互补 题型19.平行线性质探究角的关系 题型20.平行线性质求角的度数 题型21.平行线判定与性质求角度 题型22.平行线判定与性质证明 题型23.判断是否是命题 题型24.写出命题的题设与结论 题型25.判断命题真假 题型26.举例说明真假命题 知识点01:相交线相关概念 1.相交线：同一平面内，两条直线有唯一公共点，两直线相交，公共点为交点。 2.邻补角 定义：两条直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。 性质：邻补角互补，两角之和为 180°。 3.对顶角 定义：两角的两边分别互为反向延长线。 性质：对顶角相等。 知识点02:垂线 1. 垂线 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 考法：垂线定义辨析、用直尺 / 三角板画垂线 2. 垂线段与距离 核心性质：垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段） 考法：利用垂线段最短解决最短路径问题、辨析点到直线的距离概念 知识点03:基础铺垫：三线八角（必会识图） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，三类关键角： 同位角：位置相同，同上同左、同上同右，形状像 “F” 内错角：两线内部，左右错开，形状像 “Z” 同旁内角：两线内部，同侧相邻，形状像 “U” 知识点04:平行线及其判定 1. 平行线定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。符号：a∥b⚠️ 前提条件：同一平面内同一平面内两直线位置只有两种：相交、平行 2. 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3. 平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 简言之：平行于同一直线，两线互相平行 平行 平行公理 同一平面内不相交的两直线 知识点05:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点06:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点07:命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题（必须是陈述句，有明确的肯定 / 否定判断，不含模糊词语）。 2. 命题的结构 所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，标准形式：“如果……（条件），那么……（结论）”（也可写为 “若……，则……”）。 条件：已知事项（已知） 结论：由条件推出的事项（求证） 3. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 4. 逆命题 定义：将一个命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 核心结论：每个命题都有逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真（反之亦然）。 示例： 原命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等（真） 逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角（假） 知识点08:证明 1. 证明的概念 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，通过演绎推理判断命题真假的过程（证明的核心是步步有据、逻辑严谨）。 2. 证明的依据（三大来源） (1)已知条件：题目给出的前提 (2)定义：本章及之前学过的概念定义 (3)基本事实（公理）：无需证明、公认成立的真命题（如：两点确定一条直线；同位角相等，两直线平行） (4)定理：已经证明为真的命题，可直接作为后续证明依据（如：对顶角相等；三角形内角和为180∘） 3. 证明的一般步骤（规范格式） 1.审命题：分清条件与结论，转化为 “如果…… 那么……” 形式 2.画图形：根据题意画出几何图形，标注字母 3.写已知、求证：结合图形，用数学符号写出已知条件和要证明的结论 4.写证明过程：从已知出发，每一步推理标注依据（定义 / 基本事实 / 定理），条理清晰推导至结论 5.检查：验证逻辑是否严谨、依据是否正确、结论是否匹配 4. 假命题的判断方法 举反例：找到一个满足命题条件，但不满足结论的具体例子，即可判定该命题为假命题（无需复杂推理）。 题型01.两点确定一条直线 1．如图，小强的爸爸只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，这其中的道理是（   ） A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题主要考查两点确定一条直线的公理．根据“两点确定一条直线”解答即可． 【详解】解：只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上， 其中的数学原理是：两点确定一条直线， 故选：D． 2．数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列能用“垂线段最短”来解释的现象是________（填序号） ①测量跳远成绩 ②木板上弹墨线 ③两钉子固定木条 【答案】① 【详解】解：①用“垂线段最短”解释； ②用“两点确定一条直线”解释； ③用“两点确定一条直线”解释． 3．下列说法错误的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．用圆规不能比较两个角的大小 D．若，则点在线段上 【答案】C 【分析】本题考查了两点间距离，直线的性质，线段的性质，根据两点间距离，直线的性质，线段的性质判断即可，练掌握这些数学概念是解题的关键． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，故A正确，不符合题意； B、两点确定一条直线，故B正确，不符合题意； C、以两个角的顶点为圆心，相同长度为半径，分别画弧，比较两弧与角的两边的交点的距离即可，所以用圆规能比较两个角的大小，故C错误，符合题意； D、若，则点在线段上，故D正确，符合题意， 故选：C． 题型02.对顶角的定义 4．在下列各图中，和是对顶角的是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【分析】根据对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，判断即可． 【详解】解：（1）∠1和∠2有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角； （2）∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； （3）∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； （4）∠1和∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角． 故选：D． 5．如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分． （1）写出图中的对顶角______，的补角是______； （2）已知，且，则的度数为______． 【答案】 / / /度 【分析】本题主要考查了补角，对顶角的定义，几何图形中角度的计算： （1）根据补角和对顶角的定义求解即可； （2）先求出，再由平角的定义即可求出答案． 【详解】解：（1）的对顶角是；的补角是， 故答案为：；； （2）∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 6．6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角． A．30 B．42 C．36 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义并总结出一般规律是解题的关键．分别列出两条直线、三条直线、四条直线相交于一点时的情况，从而总结一般规律，即可解决问题． 【详解】解：两条直线相交与一点，共形成对不同的对顶角； 三条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 四条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 6条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 故选：A． 题型03.对顶角相等 7．如图，直线，相交于点，，，则__________． 【答案】/度 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 8．如图，直线相交于点，平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，可知，根据余角的定义求出，根据角平分线的定义得到，根据对顶角的定义即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵直线相交于点， ∴． 9．如图，直线，相交于点，平分． (1)的补角是_________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平角、对顶角、补角、角平分线的定义． （1）根据角平分线、补角、平角的定义，结合图形即可得出答案； （2）根据，可设，，结合角平分线和平角的定义列方程求解的值，可得的值，进而根据对顶角相等求得的度数． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， 是的补角， ，， 、是的补角， 的补角有，，， 故答案为：，，． （2）解：， 设，， ，， ，解得， ， ． 题型04.垂线的定义理解 10．如图，，点B，O，D在同一条直线上，若，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查垂直的定义，与余角、补角相关的计算． 由，可得，结合已知可得，由点B，O，D在同一条直线上，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点B，O，D在同一条直线上， ∴， ∴． 故答案为：． 11．直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：直线、相交于，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 12．如图，直线与相交于点．已知，求的度数． 【答案】 【分析】先由题意求出，再由互余求出，最后由邻补角即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 题型05.画垂线 13．如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线的性质，根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可得出答案． 【详解】解：根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”得：在同一平面内过点A画直线m的垂线，只能画一条． 故选：B． 14．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 15．如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图： (1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为； (2)过点画的垂线，垂足记为； (3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，依据见解析 【分析】本题考查了格点作图，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是数形结合． （1）利用网格的特点作图即可； （2）利用网格的特点作图即可； （3）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， 判断的依据：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段最短． 题型06.垂线段最短 16．如图，为了把小河里的水引到田地C处，作垂直于河岸，沿挖水沟可使水沟最短，其理论依据是_____． 【答案】垂线段最短 【分析】结合垂线段最短的原理进行作答即可． 【详解】解：依题意，作垂直于河岸，沿挖水沟可使水沟最短， 则理论依据是垂线段最短． 17．如图，A，B，C三人行走在同一条水平马路l上，三人同时以相同的速度走向商店P处，则行人B先到达，其中蕴含的数学依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】利用垂线段最短的原理即可判断． 【详解】解：∵， ∴根据垂线段最短，从点B走向商店P的距离最短，则行人B先到达． 18．如图，在中，，，，P是边上一动点，将沿折叠，点B落在处，交于D，则的最大值为____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，折叠问题，根据题意得出当时，最小，最大，再根据面积法求出，根据折叠得：，进而可得出答案． 【详解】解：当时，最小，最大， ∵，，，， ∴，即， ∴， 根据折叠得：， ∴． 故答案为：． 19．如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 【答案】(1)MO (2)>  垂线段最短 (3) 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的定义，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）、（2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：由垂线段最短可知，线段的长度表示点到的距离； 故答案为：． （2）解：故答案为： ；垂线段最短． （3）解：，平分， ， ． 题型07.点到直线的距离 20．如图，已知点O在直线上，点E，F是直线外的点，连接，，，且，过点E作于点M，则点E到的距离是线段_________的长度． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴点E到的距离是线段的长度． 21．如图，在三角形中，是高，是的中点，连接，则点到边的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据点到边的距离为点到直线的垂线段的长度，即可解答． 【详解】解：， 点到边的距离是线段的长， 故选：A． 22．已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 【答案】(1)100，50 (2)60 (3)的度数为，点到直线的距离为2 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线，对顶角相等，点到直线的距离，图形结合分析是解题的关键． （1）根据补角的概念可得，，图形结合分析即可求解； （2）根据垂直的性质可得，由此即可求解； （3）根据对顶角相等可得，根据角平分线的性质可得，再根据角平分线的性质定理即可求出点到直线的距离即为线段的长，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，， ， ， 故答案为：100，50． （2）解：， ， ， 故答案为：60． （3）解：，平分， ， ，， 点到直线的距离等于的长，即为2， ∴的度数为，点到直线的距离为2． 题型08.平面内两直线位置关系 23．如图，在长方体中，与线段平行的线段有_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．据此解答即可． 【详解】解：与线段平行的线段有：． 故答案为：． 24．如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面______，理由是______． 【答案】 相交 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 根据不平行于，来判定与的关系． 【详解】解：∵不平行于，， ∴不平行于（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行） 即所在的直线与地面相交． 故答案为：相交；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 25．已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（    ） 甲同学： 乙同学：和互余 丙同学：线段的长为点到直线的距离 丁同学：线段的长为点到直线的距离 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接AE、BC，然后根据平行线的定义和点到直线距离的定义可以得解．　 【详解】解：如图，连接AE、BC， ， 由图中可以看出，AB与CD方向一致， ∴AB∥CD，甲正确； 又从图中可以看出∠D 和 ∠DAC 不会互余，乙同学错误； 然后从图中不难得出AB⊥BE， ∴根据点到直线距离的定义，丙、丁同学正确， 故选C ． 【点睛】本题考查平行及垂直的判定、点到直线的距离定义． 题型09.用直尺.三角板画平行线 26．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 【答案】④②①③ 【分析】根据利用直尺和三角尺作平行线的基本作图步骤进行排序，即先贴合已知直线，再固定直尺，接着平移三角尺，最后画出平行线． 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线 的步骤如下： 第一步：作直线 ，并用三角尺的一条边贴住直线 ，对应步骤④； 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边，固定直尺作为滑动的轨道，对应步骤②； 第三步：按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺，利用平移的性质保证同位角相等，对应步骤①； 第四步：沿三角尺的边作出直线 ，此时 ，对应步骤③． 综上所述，正确的操作顺序为④②①③． 27．如图是小华过直线外一点画这条直线的平行线的方法，其中判定直线的理由是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】由图可根据同位角相等，两直线平行进行判定． 【详解】解：由平行线的画法可知，与相等，且与是一对同位角， 所以画法的依据是：同位角相等，两直线平行． 28．（1）如图①，过点P画直线的垂线，垂足是点E；过点P画直线的垂线与直线交于点F，若需测量点P到直线的距离，那么应该测量图中______的长度． （2）如图②，过点C画与交于点E；过点C画，与的延长线交于点F． 【答案】（1）画图见解析；，（2）画图见解析； 【分析】本题考查学生利用工具画图的能力及对垂线，平行线的理解． （1）如图，利用三角尺画，，则，即为所求，再利用点到直线的距离的含义可得点P到直线的距离； （2）如图，利用三角尺画交于，过点C画，与的延长线交于点F．则，即为所求； 【详解】解：如图， ，即为所求； ； 若需测量点P到直线的距离，那么应该测量图中线段的长度． （2）如图， ，即为所求； ； 题型10.平行公理及推理的应用 29．如图，在直线a的同侧有P，Q，R三点．若，则P，Q，R三点______（填“在”或“不在”）同一条直线上． 【答案】在 【分析】本题主要考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到P，Q，R三点在同一条直线上． 【详解】解：∵， ∴P，Q，R三点在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）， 故答案为：在． 30．如图，同一平面内，，，，则与的位置关系是________． 【答案】平行 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴，即与的位置关系是平行 31．一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过（如图），如果第一次拐的角是，第二次拐的角是，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，证明，再进一步利用平行线的性质求解即可. 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ，， ， ， ． 32．健康骑行越来越受到人们的喜爱，自行车的示意图如图，其中，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，则，可得出，由得，进而可求出的度数． 【详解】解：过点作， ， ， ，（两直线平行，内错角相等）， ， ， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． 33．阅读并填空：如图①，已知，求证：． 证明：如图②，__________________， ∵（已作）， ∴（__________________）． ∵（已知）， 即． ∴． ∴（__________________）． ∴（__________________）． 【答案】过点作；两直线平行，同旁内角互补；，；180；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】过点作，将分割为两个角，利用平行线的性质得到同旁内角互补，再结合已知条件，通过等量代换推出另一组同旁内角互补，从而判定平行，最后利用平行公理的推论得出结论 【详解】证明：如图，过点作， （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， 即． ． （同旁内角互补，两直线平行）． （平行于同一条直线的两条直线平行）． 34．如图，已知，直线交于点，交于点，是线段上一动点（不与点重合）． (1)若，求的度数； (2)若，求与的度数之和（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质的应用； （1）过点作，而，则，再进一步利用平行线的性质可得答案； （2）由（1）知，， ，，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：过点作，而， 则， ∴ ∵ ，   ∴ ，   ∴． （2）解：由（1）知， ∵ ，   ∴ ， ∴， ∴． 题型11.反证法证明命题及假设写法 35．用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于”时，应先假设：________________________． 【答案】三角形三个内角都大于 【分析】本题主要考查了反证法的步骤与命题的否定，熟练掌握反证法的第一步是假设原命题结论不成立，即写出结论的否定形式是解题的关键． 明确反证法的核心步骤：先对原命题的结论进行否定，再通过推理导出矛盾． 原命题结论为“三角形中至少有一个内角小于或等于”，需找出其否定形式．“至少有一个”的否定是“一个都没有”，即“所有内角都大于”． 【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于”时，应先假设原命题的否定，即“三角形三个内角都大于”， 故答案为：三角形三个内角都大于． 36．求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是___________． 【答案】③①②⑤④ 【分析】反证法：先假设的结论的反面成立，再通过推论说明假设不成立，从而可得原来结论成立，根据反证法的步骤可得答案． 【详解】证明：③假设； ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． ④∴； 故答案为：③①②⑤④ 【点睛】本题考查的是反证法的含义，掌握反证法的步骤是解本题的关键． 37．用反证法证明命题：“中，若，则都是锐角”首先应假设（　　） A．都不是锐角 B．为锐角 C．不为锐角 D．不都是锐角 【答案】D 【分析】反证法的第一步是假设结论不成立；原结论为都是锐角，它的反面是不都是锐角，需一一否定． 【详解】解：用反证法证明命题：“中，若，则都是锐角”， 首先应假设不都是锐角， 故选：D． 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 38．已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 39．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）． 已知：如图，直线，被直线所截；_______． 求证：直线与_________． 证明：假设_________， 则_________（_________）． 这与_________矛盾，故______不成立． 所以____________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；；假设；直线与不平行 【分析】根据题干信息结合反证法的含义完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解；已知：如图，直线，被直线所截；． 求证：直线与不平行． 证明：假设， 则（两直线平行，同旁内角互补）． 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 题型12.同位角.内错角.同旁内角 40．如图所示，与是同旁内角的角为__________________    【答案】、、 【详解】解：由图可知，与是同旁内角的角为、、． 41．下列各图中，与是内错角的是（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案． 【详解】解：A.、与是内错角，符合题意； B、与不是内错角，不符合题意； C、与不是内错角，不符合题意； D、与不是内错角，不符合题意； 故选：A． 42．（1）如图，与有何位置关系？若，则与有何数量关系？请说明理由； （2）如图，与有何位置关系？若，则与有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）与是同旁内角，，见解析；（2）与是同位角，，见解析 【分析】此题考查同旁内角定义，同位角定义，邻补角的性质， （1）根据同旁内角定义得到与是同旁内角，利用邻补角定义及等量代换得到； （2）根据同位角定义得到与是同位角．利用邻补角定义及等量代换得到． 【详解】解：（1）与是同旁内角；． 理由如下： 因为， 所以． （2）与是同位角． ． 理由如下： 因为，所以． 题型13.同位角相等两直线平行 43．如图，借助直尺和三角尺画平行线，保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线a，b，则，其中用到的理论依据是__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据两角的位置，结合平行线的判定方法，即可得出答案． 【详解】解：如图，直尺的边缘所在的直线视为截线，在推动三角尺的过程中，三角尺的一边与直尺边缘所成的角的大小保持不变， 这两个角分别在直线，的同一方，并且都在截线的同侧，属于同位角， 因为同位角相等，根据平行线的判定定理，可得． 所以该作图方法用到的理论依据是：同位角相等，两直线平行． 44．如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，由内错角相等，可以得到，该选项不符合题意； B、，由内错角相等，可以得到，该选项不符合题意； C、，由内错角相等，可以得到，不能得到，该选项符合题意； D、，由同旁内角互补，可以得到，该选项不符合题意． 45．已知：如图， C、D是直线上两点， ，平分， ． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，可得，即可证明； （2）由平行线的性质可得，根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 题型14.两直线平行.同位角相等 46．如图，，直线分别与，交于点，．若，则______度． 【答案】72 【分析】根据两直线平行，同位角相等，进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 47．如图，点在射线上，点，，在射线上．若，，则与的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先推导出，，得到，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．如图，在三角形中，于点，点在边上，过点作于点，、的延长线相交于点，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题的关键是利用垂直于同一直线的两条直线平行，再通过平行线的性质实现角的等量代换． 先由、推出，再利用平行线的性质得到，，结合已知，,通过等量代换得到，从而证明AD平分． 【详解】证明：，， ， ，， 又，， ，， ， 平分． 题型15.两直线平行.内错角相等 49．如图，长方形纸带中，，点、分别在边、上，将纸带沿折叠，点、两点分别与点、对应．如果，那么______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质求出 的度数，再根据折叠的性质得出，最后利用平角的定义计算 的度数． 【详解】∵四边形 是长方形， ∴， ∴ (两直线平行，内错角相等)， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∵ (平角的定义)， ∴ 故答案为：． 50．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据角的和差即可解题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 51．如图，，垂足为，，垂足为，．探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】由垂直于同一条直线的两条直线平行，可得，再根据平行线的性质定理和判定定理可证． 【详解】解：． 理由：因为，， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 题型16.内错角相等.两直线平行 52．如下图，根据图中已标注出的角，添加一个恰当条件使直线，应添加条件为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：由“同位角相等，两直线平行”可知当时，， 由“内错角相等，两直线平行”可知当时，， 若，由题可知，由此可得，则， 综上，可添加的条件为：或或等． 故答案为：（答案不唯一）． 53．图1是楼梯扶手的实景，图2是其示意图．为检验栏杆和是否互相平行，某数学小组先测出．在此基础上，还需测量哪一个角度，就可判断（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则， ∴，但不能判定，故A不符合题意； B．若，则，不能判定，故B不符合题意； C．若，不能判定，故C不符合题意； D．若，则， ∴，故D符合题意． 54．如图，于点H，于点K，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据垂线的性质得到，再根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论． 【详解】证明：、， ， ， ， ， ， ． 题型17.同旁内角互补.两直线平行 55．如图，连接四边形对角线，增加一个条件使得，你增加的条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：增加的条件（答案不唯一） ∴． 56．如图，在中，，点在直线上，边在直线上，直线被所截．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定可逐个判定即可． 【详解】解：A、∵，， ∴的邻补角的度数为，故的邻补角即的同位角不等于， ∴不成立，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴的对顶角度数为，故的对顶角即的内错角不等于， ∴不成立，故选项B不符合题意； C、，， ∴的邻补角，故的邻补角即的同位角不等于， ∴不成立，故选项C不符合题意； D、∵，，， ∴， ∴，故选项D符合题意． 57．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，，，． (1)求证：，； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得；根据对顶角相等结合已知得出，证得． （2）根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型18.两直线平行,同旁内角互补 58．如图，梯子的各条横档互相平行，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，同旁内角互补，即可求解． 【详解】解：∵梯子的各条横档互相平行， ∴ 59．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平行线的性质，结合已知的求出的度数，再根据折叠的性质得到，最后利用求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得， ∴，即，， ∵， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， 60．如图，与相交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）由，根据同位角相等、两直线平行，得到，进而得到，推出，即可得证； （2）根据角平分线的定义求出，根据平行线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型19.平行线性质探究角的关系 61．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则．以上结论正确的是_____． 【答案】②③ 【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ③过点E作直线，由平行线的性质可得出． 【详解】解：①过点E作直线， ∵， ∴， ∴， ∴，故本小题错误； ②过点E作直线， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故本小题正确； ③过点E作直线， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故本小题正确； 综上，正确的答案为②③． 62．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂线，关键是相关性质的熟练掌握．延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长，交于， ， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ； ①错误；②正确； ，， ，③正确； 平分， ， ， ， ， ④平分不一定正确． 其中正确结论的是②③， 故选：B． 63．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上，旋转三角板（，）． (1)如图1，在边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作，若，则的度数为_________； (2)如图2，过点E作，探索与之间的数量关系，请完成说理过程； 说理过程： 过F作，， ∥_________（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ，（_________） _________． ， _________． (3)将三角板绕顶点G转动，过点E作，并保持点E在直线AB的上方，在旋转过程中，请直接写出与之间的数量关系为_________． 【答案】(1) (2)；两直线平行，内错角相等；； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再结合对顶角相等即可求解； （2）根据平行线的性质即可说理； （3）过点向右作，则，那么，再根据角的和差计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：过F作， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ，（两直线平行，内错角相等） ． ， ． ；两直线平行，内错角相等；；； （3）解：， 过点向右作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即． 题型20.平行线性质求角的度数 64．如图，为一条形纸带，，将沿EF折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】设，即可得到的度数，再根据平行线的性质即可得到，依据列方程解答即可． 【详解】解：设， ∴， 由折叠可得：， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 65．4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图1，这是某款机器人跑步的姿态，图2为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，作，则有，通过角度的和差关系求解即可； 【详解】解：，， ， 如图，延长至，作， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 66．如图，，平分、与相交于点，． (1)试说明：； (2)当时，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平分得，根据，，推出，即可求证； （2）根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 67．如图，，A，B分别在直线上，且，若射线绕点A逆时针旋转至后立即回转，射线绕点B顺时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a，b满足． (1)______，______． (2)若射线和射线同时旋转，至少旋转多少秒时，射线和射线互相垂直？ (3)若射线绕点A逆时针先转动12秒，射线才开始绕点B顺时针旋转，在射线到达之前，射线再转动多少秒，射线和射线互相平行？ 【答案】(1) (2)秒 (3)秒或秒或秒 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，设旋转后的射线、射线交于点，则，过点作，证明，得出方程，解方程即可； （3）求出，设射线再转动秒时，射线、射线互相平行，分三种情况分别画出图形并列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ ∴； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，如图，设旋转后的射线、射线交于点，则，过点作， ∴， ∵，且射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒， ∴，，， ∴，， ∴， 解得：， 答：至少旋转秒时，射线和射线互相垂直； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设射线再转动秒时，射线、射线互相平行， 设旋转后的射线、射线分别用射线、射线表示， ∵射线绕点逆时针先转动秒，转动了， ①当射线未到达时，如图， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当射线到达后再返回时，如图， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当射线到达后返回，再一次到达原位置后继续逆时针旋转，如图， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，在射线到达之前，射线再转动秒或秒或秒，射线和射线互相平行． 题型21.平行线判定与性质求角度 68．如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，，，，则______． 【答案】/度 【分析】过点P作，利用平行线的性质，求解即可． 【详解】解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 69．学习了平行线后，李明过直线外一点P画这条直线的平行线，画法如图1所示：     王芳对李明画的图继续探究，如图2，在射线上取点O，点E，F分别是射线，上的动点，连接，，使得，，且，作的角平分线交直线于点G．下列说法正确的有（   ） ①李明画平行线的依据是“平行于同一直线的两直线平行”； ②已知，则当时，且； ③当时，与的和为定值； A．① B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【分析】根据平行的判定判断①错误；根据题意得到，，根据角平分线的定义证明，即可证明，延长交于点，再求出，即可证明；根据角的和差关系得到，，即可得到结论． 【详解】解：李明画平行线的依据是“同位角相等，两直线平行”，故①错误； 当，， ， ，， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 延长交于点， ， ， ， ， ，②正确； ， ，， ， ， ， ， ， ，③正确． 70．如图1，已知三角形，点在的延长线上，，点，分别是边，上的点，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数； (3)如图2，若平分，平分，试说明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据平行线的性质，可得，根据，等量代换，得到，根据平行线的判定，即可； （2）根据，求出，根据平分，求出，，根据平行线的性质，即可； （3）根据平行线的性质，可得，根据平角的性质，等量代换，得到，根据平分，平分，等量代换，可得，再根据平行线的判定，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （3）解：由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵ 平分，平分， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． 题型22.平行线判定与性质证明 71．填空，补全推理过程： 如图所示，，求证：． 证明：（已知），（___________________________）， （等量代换）， （___________________________________________）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， ________________（等量代换）， ________________（___________________________）， （___________________________________________）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】根据平行线的判定与性质证明即可． 【详解】证明：（已知），（对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 72．如图，，，在上（不与、重合），且，、分别是、延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④的度数随点的位置的变化而变化，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、多边形内角和等知识．根据垂直定义和平行线判定可得；利用同角的余角相等可得；利用过拐点作平行线，利用平行线性质可得，． 【详解】解：， ， ， ，即，故①正确； ， ， 又 ， ， ， ，故②正确； 如图：过点作， ∴， ∴，， 又∵， ∴，故③正确； ∴， 平分，平分， ∴，， ∴， 如图，过点作， ∴， ∴，， ∴， 的度数为定值，不随点的位置变化而变化，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 73．如图所示，点，在直线的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证得，进而得到，即，得到结论； （2）由（1）得，，结合题干得，相减得，进而得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ①，， ，由（1）知， ②， 由①-②，得， 解得， ． 题型23.判断是否是命题 74．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【详解】解：选项A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； 选项B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 选项C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫做方程，是定义，符合题意． 75．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断______的说法是正确的． 【答案】乙 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据命题的定义对两种说法进行判断． 【详解】解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 76．下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、你喜欢数学吗？是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、取线段的中点，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、美丽的天空，是描叙性语言，没有作出判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意； 故选：． 题型24.写出命题的题设与结论 77．将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】先拆分原命题得到题设与结论，再按照要求改写为“如果……那么……”的形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”中，题设为两个角是对顶角，结论为这两个角相等， 因此改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 78．关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（    ） A．这个命题是真命题 B．条件是“一个三角形有两个角相等” C．结论是“这两个角所对的边也相等” D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题 【答案】D 【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可． 【详解】解：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”， 则选项A、B、C正确，不符合题意， 不可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是关键． 79．把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：_______ 【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 ． 80．指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【答案】(1)条件为，结论为的补角与的补角相等； (2)条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【分析】（1）如果后面为条件，那么后面为结论； （2）先可以用“如果…那么…”形式表述命题，则如果后面为条件，那么后面为结论． 【详解】（1）条件为； 结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． 题型25.判断命题真假 81．下列命题中是真命题的是（  ） A．邻补角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除 【答案】B 【分析】根据邻补角、对顶角、内错角、整除的性质，逐一判断命题真假即可． 【详解】A、邻补角和为，不一定相等， A是假命题，不符合题意； B、对顶角的性质为对顶角相等， B是真命题，符合题意； C、只有当两直线平行时，内错角才相等，该命题缺少前提条件， C是假命题，不符合题意； D、举反例：能被整除，但不能被整除，D是假命题，不符合题意． 82．“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据对顶角的性质判断逆命题的真假． 【详解】解：原命题的逆命题为：如果两个角是对顶角，那么它们相等； 根据对顶角相等可知，该逆命题是真命题． 83．下列命题中是真命题的是（   ） A．若，则， B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据不等式的性质、等式的性质、平行线的性质、平面内两直线的位置关系逐项分析即可得解． 【详解】解：A、取，则但，该选项说法错误，是假命题，不符合题意； B、若，则两边平方得，该选项说法正确，是真命题，符合题意； C、只有当两条直线平行时，内错角才相等，该选项说法错误，是假命题，不符合题意； D、不相交的两条直线可能不在同一平面（如异面直线），不一定是平行线，该选项说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 题型26.举例说明真假命题 84．下列正确的选项是（   ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．“作线段AC”这句话是命题 C．“对顶角相等”是定义 D．说明命题“如果，那么”是假命题的反例是， 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题、真命题、假命题、定义的概念 ，熟练掌握这些概念并能准确运用它们来判断语句的属性是解题的关键．根据命题、真命题、假命题、定义的相关概念，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】解：选项A 命题“同旁内角互补”，只有两直线平行时，同旁内角才互补，若两直线不平行，同旁内角不互补，所以该命题是假命题，A选项错误． 选项B 命题是可以判断真假的陈述句，“作线段”是一个操作指令，不是可以判断真假的陈述句，所以它不是命题，B选项错误． 选项C “对顶角相等”是经过推理证实的真命题，是定理，而定义是对于一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明，所以“对顶角相等”不是定义，C选项错误． 选项D 要说明一个命题是假命题，只需举一个反例，即满足命题的条件，但不满足命题的结论． 对于命题“如果，那么” ，当，时，，满足条件，但，不满足结论，所以，是该命题的反例，D选项正确． 故选：D． 85．对于命题“若，则”，为了说明这个命题是假命题，若取，则b可取_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查举反例证明假命题，根据举的反例应该满足条件，但不满足结论，进行作答即可． 【详解】解：∵，但是， 故b可取； 故答案为：（答案不唯一）． 86．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反例，理解反例的概念是解题的关键． 根据反例就是要符合命题的题设，但不符合命题的结论的例子逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴a和b必为一正、一负，故A、D两个选项，不符合题意； B．符合，但与结论相反，即该选项是命题的反例，符合题意； C．符合，但与结论相符，即该选项不是命题的反例，不符合题意． 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02相交线与平行线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握对顶角、邻补角、垂线、同位角、内错角、同旁内角定义与性质 2.熟记平行线判定定理与性质定理，分清二者区别 3.理解平移概念，掌握平移图形的特征与变化规律 4.理清几何相关角的数量、位置关系，熟记基础结论 1.精准识别各类角，快速判定直线位置关系 2.规范几何推理书写，能用因果逻辑完成证明题 3.灵活互换平行线判定与性质，推导角度数值 4.掌握垂线作图、平移作图的基本操作方法 5.综合运用知识点，拆解复杂几何图形解题 1.选择填空快速判角、算角度，基础题型零失分 2.证明题步骤严谨规范，推理依据标注准确 3.攻克角度计算、平行证明、图形平移高频考题 4.区分判定和性质，规避定理混用易错问题 5.熟练应对几何综合小题，提升答题正确率 题型01.两点确定一条直线 题型02.对顶角的定义 题型03.对顶角相等 题型04.垂线的定义理解 题型05.画垂线 题型06.垂线段最短 题型07.点到直线的距离 题型08.平面内两直线位置关系 题型09.用直尺.三角板画平行线 题型10.平行公理及推理的应用 题型11.反证法证明命题及假设写法 题型12.同位角.内错角.同旁内角 题型13.同位角相等两直线平行 题型14.两直线平行.同位角相等 题型15.两直线平行.内错角相等 题型16.内错角相等.两直线平行 题型17.同旁内角互补.两直线平行 题型18.两直线平行,同旁内角互补 题型19.平行线性质探究角的关系 题型20.平行线性质求角的度数 题型21.平行线判定与性质求角度 题型22.平行线判定与性质证明 题型23.判断是否是命题 题型24.写出命题的题设与结论 题型25.判断命题真假 题型26.举例说明真假命题 知识点01:相交线相关概念 1.相交线：同一平面内，两条直线有唯一公共点，两直线相交，公共点为交点。 2.邻补角 定义：两条直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。 性质：邻补角互补，两角之和为 180°。 3.对顶角 定义：两角的两边分别互为反向延长线。 性质：对顶角相等。 知识点02:垂线 1. 垂线 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 考法：垂线定义辨析、用直尺 / 三角板画垂线 2. 垂线段与距离 核心性质：垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段） 考法：利用垂线段最短解决最短路径问题、辨析点到直线的距离概念 知识点03:基础铺垫：三线八角（必会识图） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，三类关键角： 同位角：位置相同，同上同左、同上同右，形状像 “F” 内错角：两线内部，左右错开，形状像 “Z” 同旁内角：两线内部，同侧相邻，形状像 “U” 知识点04:平行线及其判定 1. 平行线定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。符号：a∥b⚠️ 前提条件：同一平面内同一平面内两直线位置只有两种：相交、平行 2. 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3. 平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 简言之：平行于同一直线，两线互相平行 平行 平行公理 同一平面内不相交的两直线 知识点05:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点06:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点07:命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题（必须是陈述句，有明确的肯定 / 否定判断，不含模糊词语）。 2. 命题的结构 所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，标准形式：“如果……（条件），那么……（结论）”（也可写为 “若……，则……”）。 条件：已知事项（已知） 结论：由条件推出的事项（求证） 3. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 4. 逆命题 定义：将一个命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 核心结论：每个命题都有逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真（反之亦然）。 示例： 原命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等（真） 逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角（假） 知识点08:证明 1. 证明的概念 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，通过演绎推理判断命题真假的过程（证明的核心是步步有据、逻辑严谨）。 2. 证明的依据（三大来源） (1)已知条件：题目给出的前提 (2)定义：本章及之前学过的概念定义 (3)基本事实（公理）：无需证明、公认成立的真命题（如：两点确定一条直线；同位角相等，两直线平行） (4)定理：已经证明为真的命题，可直接作为后续证明依据（如：对顶角相等；三角形内角和为180∘） 3. 证明的一般步骤（规范格式） 1.审命题：分清条件与结论，转化为 “如果…… 那么……” 形式 2.画图形：根据题意画出几何图形，标注字母 3.写已知、求证：结合图形，用数学符号写出已知条件和要证明的结论 4.写证明过程：从已知出发，每一步推理标注依据（定义 / 基本事实 / 定理），条理清晰推导至结论 5.检查：验证逻辑是否严谨、依据是否正确、结论是否匹配 4. 假命题的判断方法 举反例：找到一个满足命题条件，但不满足结论的具体例子，即可判定该命题为假命题（无需复杂推理）。 题型01.两点确定一条直线 1．如图，小强的爸爸只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，这其中的道理是（   ） A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 2．数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列能用“垂线段最短”来解释的现象是________（填序号） ①测量跳远成绩 ②木板上弹墨线 ③两钉子固定木条 3．下列说法错误的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．用圆规不能比较两个角的大小 D．若，则点在线段上 题型02.对顶角的定义 4．在下列各图中，和是对顶角的是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 5．如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分． （1）写出图中的对顶角______，的补角是______； （2）已知，且，则的度数为______． 6．6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角． A．30 B．42 C．36 D．40 题型03.对顶角相等 7．如图，直线，相交于点，，，则__________． 8．如图，直线相交于点，平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，直线，相交于点，平分． (1)的补角是_________； (2)若，求的度数． 题型04.垂线的定义理解 10．如图，，点B，O，D在同一条直线上，若，则的度数是______． 11．直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，直线与相交于点．已知，求的度数． 题型05.画垂线 13．如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 14．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图： (1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为； (2)过点画的垂线，垂足记为； (3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据． 题型06.垂线段最短 16．如图，为了把小河里的水引到田地C处，作垂直于河岸，沿挖水沟可使水沟最短，其理论依据是_____． 17．如图，A，B，C三人行走在同一条水平马路l上，三人同时以相同的速度走向商店P处，则行人B先到达，其中蕴含的数学依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 18．如图，在中，，，，P是边上一动点，将沿折叠，点B落在处，交于D，则的最大值为____． 19．如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 题型07.点到直线的距离 20．如图，已知点O在直线上，点E，F是直线外的点，连接，，，且，过点E作于点M，则点E到的距离是线段_________的长度． 21．如图，在三角形中，是高，是的中点，连接，则点到边的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 22．已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 题型08.平面内两直线位置关系 23．如图，在长方体中，与线段平行的线段有_______． 24．如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面______，理由是______． 25．已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（    ） 甲同学： 乙同学：和互余 丙同学：线段的长为点到直线的距离 丁同学：线段的长为点到直线的距离 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型09.用直尺.三角板画平行线 26．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 27．如图是小华过直线外一点画这条直线的平行线的方法，其中判定直线的理由是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 28．（1）如图①，过点P画直线的垂线，垂足是点E；过点P画直线的垂线与直线交于点F，若需测量点P到直线的距离，那么应该测量图中______的长度． （2）如图②，过点C画与交于点E；过点C画，与的延长线交于点F． 题型10.平行公理及推理的应用 29．如图，在直线a的同侧有P，Q，R三点．若，则P，Q，R三点______（填“在”或“不在”）同一条直线上． 30．如图，同一平面内，，，，则与的位置关系是________． 31．一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过（如图），如果第一次拐的角是，第二次拐的角是，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么应为（    ） A． B． C． D． 32．健康骑行越来越受到人们的喜爱，自行车的示意图如图，其中，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 33．阅读并填空：如图①，已知，求证：． 证明：如图②，__________________， ∵（已作）， ∴（__________________）． ∵（已知）， 即． ∴． ∴（__________________）． ∴（__________________）． 34．如图，已知，直线交于点，交于点，是线段上一动点（不与点重合）． (1)若，求的度数； (2)若，求与的度数之和（用含的代数式表示）． 题型11.反证法证明命题及假设写法 35．用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于”时，应先假设：________________________． 36．求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是___________． 37．用反证法证明命题：“中，若，则都是锐角”首先应假设（　　） A．都不是锐角 B．为锐角 C．不为锐角 D．不都是锐角 38．已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 39．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）． 已知：如图，直线，被直线所截；_______． 求证：直线与_________． 证明：假设_________， 则_________（_________）． 这与_________矛盾，故______不成立． 所以____________． 题型12.同位角.内错角.同旁内角 40．如图所示，与是同旁内角的角为__________________    41．下列各图中，与是内错角的是（    ） A．B． C．D． 42．（1）如图，与有何位置关系？若，则与有何数量关系？请说明理由； （2）如图，与有何位置关系？若，则与有何数量关系？请说明理由． 题型13.同位角相等两直线平行 43．如图，借助直尺和三角尺画平行线，保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线a，b，则，其中用到的理论依据是__________． 44．如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 45．已知：如图， C、D是直线上两点， ，平分， ． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型14.两直线平行.同位角相等 46．如图，，直线分别与，交于点，．若，则______度． 47．如图，点在射线上，点，，在射线上．若，，则与的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 48．如图，在三角形中，于点，点在边上，过点作于点，、的延长线相交于点，且．求证：平分． 题型15.两直线平行.内错角相等 49．如图，长方形纸带中，，点、分别在边、上，将纸带沿折叠，点、两点分别与点、对应．如果，那么______． 50．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 51．如图，，垂足为，，垂足为，．探究与的位置关系，并说明理由． 题型16.内错角相等.两直线平行 52．如下图，根据图中已标注出的角，添加一个恰当条件使直线，应添加条件为________． 53．图1是楼梯扶手的实景，图2是其示意图．为检验栏杆和是否互相平行，某数学小组先测出．在此基础上，还需测量哪一个角度，就可判断（　　） A． B． C． D． 54．如图，于点H，于点K，，求证：． 题型17.同旁内角互补.两直线平行 55．如图，连接四边形对角线，增加一个条件使得，你增加的条件是________． 56．如图，在中，，点在直线上，边在直线上，直线被所截．若，则（    ） A． B． C． D． 57．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，，，． (1)求证：，； (2)若，求的度数． 题型18.两直线平行,同旁内角互补 58．如图，梯子的各条横档互相平行，若，则的度数是________． 59．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若，则（   ） A． B． C． D． 60．如图，与相交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，求的度数． 题型19.平行线性质探究角的关系 61．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则．以上结论正确的是_____． 62．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 63．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上，旋转三角板（，）． (1)如图1，在边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作，若，则的度数为_________； (2)如图2，过点E作，探索与之间的数量关系，请完成说理过程； 说理过程： 过F作，， ∥_________（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ，（_________） _________． ， _________． (3)将三角板绕顶点G转动，过点E作，并保持点E在直线AB的上方，在旋转过程中，请直接写出与之间的数量关系为_________． 题型20.平行线性质求角的度数 64．如图，为一条形纸带，，将沿EF折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为______． 65．4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图1，这是某款机器人跑步的姿态，图2为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 66．如图，，平分、与相交于点，． (1)试说明：； (2)当时，求的大小． 67．如图，，A，B分别在直线上，且，若射线绕点A逆时针旋转至后立即回转，射线绕点B顺时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a，b满足． (1)______，______． (2)若射线和射线同时旋转，至少旋转多少秒时，射线和射线互相垂直？ (3)若射线绕点A逆时针先转动12秒，射线才开始绕点B顺时针旋转，在射线到达之前，射线再转动多少秒，射线和射线互相平行？ 题型21.平行线判定与性质求角度 68．如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，，，，则______． 69．学习了平行线后，李明过直线外一点P画这条直线的平行线，画法如图1所示：     王芳对李明画的图继续探究，如图2，在射线上取点O，点E，F分别是射线，上的动点，连接，，使得，，且，作的角平分线交直线于点G．下列说法正确的有（   ） ①李明画平行线的依据是“平行于同一直线的两直线平行”； ②已知，则当时，且； ③当时，与的和为定值； A．① B．② C．③ D．②③ 70．如图1，已知三角形，点在的延长线上，，点，分别是边，上的点，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数； (3)如图2，若平分，平分，试说明． 题型22.平行线判定与性质证明 71．填空，补全推理过程： 如图所示，，求证：． 证明：（已知），（___________________________）， （等量代换）， （___________________________________________）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， ________________（等量代换）， ________________（___________________________）， （___________________________________________）． 72．如图，，，在上（不与、重合），且，、分别是、延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④的度数随点的位置的变化而变化，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 73．如图所示，点，在直线的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型23.判断是否是命题 74．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 75．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断______的说法是正确的． 76．下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 题型24.写出命题的题设与结论 77．将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式________． 78．关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（    ） A．这个命题是真命题 B．条件是“一个三角形有两个角相等” C．结论是“这两个角所对的边也相等” D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题 79．把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：_______ 80．指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 题型25.判断命题真假 81．下列命题中是真命题的是（  ） A．邻补角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除 82．“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 83．下列命题中是真命题的是（   ） A．若，则， B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．不相交的两条直线是平行线 题型26.举例说明真假命题 84．下列正确的选项是（   ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．“作线段AC”这句话是命题 C．“对顶角相等”是定义 D．说明命题“如果，那么”是假命题的反例是， 85．对于命题“若，则”，为了说明这个命题是假命题，若取，则b可取_______． 86．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $