精品解析：陕西省咸阳市秦都区2026年初中学业水平考试第二次模拟数学卷

陕西省咸阳市秦都区2026年初中学业水平考试第二次模拟数学卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 12 B. C. 8 D. 2. 目前我国机器人产业加速崛起．下列机器人图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，连接，点E在上，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，为的中线，点E在上，连接，，则图中的等腰三角形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点到水平地面的距离为，则所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，当时，函数有最小值，则的值为（ ） A. 0或1 B. 0或 C. 1或 D. 0或2 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：__________4（填“>”，“<”或“=”） 10. 如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________． 11. 《九章算术》中有一题，其大意是：牛、马、羊吃了别人的青苗，要赔偿谷子共5斗，羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半，问牛、马、羊的主人按比例各应赔多少？若设羊主人应赔偿斗，则可列方程为_________． 12. 如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 13. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，则当体积时，气体的密度为_________． 14. 如图，点为矩形内一点，连接、，，，延长交于点，延长到点，连接，使得，则的长为_________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 求不等式的正整数解． 17. 已知，求代数式的值． 18. 如图，已知菱形，请用尺规作图法在上方求作一点，连接、，使得是以为底边的等腰三角形，且边上的高等于菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，点为正方形内一点，点、分别在边、上，连接、、、，，，求证：． 20. 为深入弘扬中华优秀传统文化，扎实推进中医药文化弘扬工程，某校成立了百草园中草药种植小组．为进一步认识中草药，组长设置了一个游戏：在一个不透明的袋子中装一个白球（金银花）、一个黄球（连翘）、一个红球（紫苏）和一个绿球（桔梗），这四个球除颜色不同外，其余完全相同．摇匀后某位组员从袋子中随机摸出一个球，记下颜色放回摇匀，该组员要回答出所摸小球对应药材的一种功效，每位组员只摸一次球． （1）共随机摸球20次，其中摸出红球4次，则这20次摸球中，摸出红球的频率是_________； （2）用画树状图或列表的方法，求该组的铭铭和骏骏两位成员都要回答连翘的功效的概率． 21. 咸阳二号桥是咸阳市标志性建筑之一．晓华和小敏利用无人机和所学过的相似的知识测量咸阳二号桥桥塔的高度．如图，晓华从点竖直升起一架无人机到处在空中悬停，米，小敏从点竖直升起一架无人机，当该无人机在处时，发现处的无人机、处的无人机和桥塔底端恰好在一条直线上，小敏继续控制无人机垂直上升到处，发现处的无人机、处的无人机和桥塔顶端恰好在一条直线上，米，米．，，，点、、在一条直线上，点、、在一条水平直线上，图中所有点都在同一平面内．请你求出桥塔的高度． 22. 船舶工业正在经历一场前所未有的“新能源化”和“智能化”革命，而中国在这个赛道上正扮演着领跑者的角色．某艘船空载（未装载重物）时吃水深度（船舶在水中浸入水下的最深长度）为，船的吃水深度随着船上重物的均匀增加而均匀增大．船的吃水深度与船上重物（）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）当船上重物为时，该船的吃水深度是多少？ 23. 【项目背景】 陕西某地的花生有荚果硕大、籽仁饱满、香脆可口等特点，小林家种植了甲、乙两种花生．在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，花生收获之时，对甲、乙两种花生荚果产量情况进行调查统计，为下一年种植规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从甲、乙两种花生中各随机抽取40株，调查其单株荚果数（都小于40个），作为样本数据，将所得数据整理描述如下．单株荚果数用x（单位：个）表示． 所抽取甲种花生单株荚果数频数分布表 荚果数/个 频数（株数） 2 10 24 4 组内花生荚果的总个数 10 150 600 140 【数据分析与运用】所抽取甲、乙两种花生单株荚果数的统计量如下表： 样本 平均数 中位数出现的组别 众数 甲 ①_________ 23 乙 19.5 ②_________ 21 （1）请将统计量表补充完整； （2）若乙种花生共有1000株，请估计乙种花生荚果的总数量； （3）结合以上数据为小林家下一年的花生种植提出一条合理化建议，并说明理由． 24. 如图，是的外接圆，是的直径，过点B作，，连接交于点F，交于点E，过点F作，交于点G． （1）求证：FG是的切线； （2）若，，求AE的长． 25. 如图，某度假村观景台窗户的外轮廓是由线段、抛物线和抛物线围成的封闭图形．抛物线、的顶点分别为、，抛物线、交于点，以过、的直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，为坐标原点．抛物线与关于轴对称，轴，与轴之间的距离为米，米，抛物线的函数表达式为（为常数）． （1）求抛物线的函数表达式及点的坐标； （2）窗户上有两条竖直的支撑骨架和（宽度不计），点、在上，点、分别在抛物线、上，，，点与点关于轴对称，米，分别求与的长． 26. 按要求解答问题： 问题探究 （1）如图①，点是平面内的动点，且点在线段的垂直平分线上，点在线段上，，连接、、，则的最小值为_________； （2）如图②，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，点在上，，连接，求的度数； 问题解决 （3）习近平总书记强调，今年是“十五五”开局之年，青年建功正当其时．某社区利用一块空地打造“青年之家”自习室，并在附近拟建一个大致示意图如图③所示的五边形广场，旨在为青年提供学习、工作后的放松场所．其中，，，，．点是平面内的动点，点是边上的动点，连接，沿种植一条绿化带，根据规划要求，和始终满足且．点是广场内一点，点到、的距离相等，点在边上，连接、，．现要沿和修建遮阳林荫通廊，为节约成本，要求林荫通廊的总长尽可能的短．请你帮助规划人员求当的值最小时，的长．（绿化带、通廊的宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省咸阳市秦都区2026年初中学业水平考试第二次模拟数学卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 12 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数乘法运算，掌握有理数乘法法则即可直接计算出结果． 【详解】解：． 2. 目前我国机器人产业加速崛起．下列机器人图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形）和中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，该选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意． 3. 如图，已知，连接，点E在上，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，先对原式变形出平方差公式的结构，再利用公式计算即可得到结果． 【详解】解：原式． 5. 如图，在中，，为的中线，点E在上，连接，，则图中的等腰三角形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，结合斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断即可. 【详解】解：在中，，为的中线， ∴， ∴均为等腰三角形， 又∵， ∴也是等腰三角形， 故共有3个等腰三角形. 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据两函数图象的交点写成不等式解集的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数的图象相交于点， ∴， 解得， ∴， 由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的下方， 所以关于x的不等式的解集是． 7. 如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点到水平地面的距离为，则所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为C是弧的最高点且垂直，所以根据垂径定理所在直线必然经过弧对应圆的圆心，且D为的中点．设圆的半径为r，那么圆心到弦的距离可表示为()，的长度为的一半即．连接圆心与点A，得到直角三角形，直角边分别为弦长的一半和圆心到弦的距离，斜边为半径，因此可根据勾股定理建立关于r的一元二次方程，求解得到半径． 【详解】 解：设圆心为O，连接， ∵是弧的最高点到的距离， ∴，， ∴， ∴O、D、C三点共线， 设圆的半径为， ∵，为， ∴，． 在中，由勾股定理得：  ， 代入得： ， 解得． ∴所在圆的半径为． 8. 已知抛物线，当时，函数有最小值，则的值为（ ） A. 0或1 B. 0或 C. 1或 D. 0或2 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向，求出时对应的x值，根据开口向下抛物线的性质，在上的最小值在端点处取得，分情况计算并验证得到m的值． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，得，解得， ∵开口向下的抛物线在上的最小值一定在端点处取得，且函数y有最小值0，所以分两种情况讨论： ①最小值在左端点处取得： ∴若，解得，此时，符合要求； 若，解得，此时，当时，，最小值小于0，不符合，舍去； ②最小值在右端点处取得： 若，解得，此时，符合要求； 若，解得，此时，处，最小值小于0，不符合，舍去； 综上，m的值为0或1． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：__________4（填“>”，“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】将两个数都平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，比较两个实数的大小，可以采用平方法、取近似值法等． 10. 如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________． 【答案】90 【解析】 【详解】解：根据正多边形的性质，正n边形的每个中心角为， ． 11. 《九章算术》中有一题，其大意是：牛、马、羊吃了别人的青苗，要赔偿谷子共5斗，羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半，问牛、马、羊的主人按比例各应赔多少？若设羊主人应赔偿斗，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设羊的主人赔x斗，由牛、马、羊所吃青苗数量之间的关系，可得出“马的主人赔斗，牛的主人赔斗”，结合共要赔偿饲料5斗，可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设羊主人应赔偿斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗， 根据题意得，． 12. 如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 13. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，则当体积时，气体的密度为_________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：设密度与体积之间满足反比例函数关系式为，由图象可把点代入得：， ∴反比例函数关系式为， 当，则有． 14. 如图，点为矩形内一点，连接、，，，延长交于点，延长到点，连接，使得，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，过点作于点，作的外接圆，连接，则有，点在上，然后可得，，设，则，进而根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 过点作于点， ∴． 作的外接圆，连接，如图，则为的直径．由，可得点在上， ， ，即． 由为等腰三角形，， ∴， ∴也为等腰三角形， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 求不等式的正整数解． 【答案】，正整数解有1，2，3 【解析】 【分析】去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化为1，最后找出整数解即可． 【详解】解：， 去分母、去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴不等式的正整数解有1，2，3． 17. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， ∴ ． 18. 如图，已知菱形，请用尺规作图法在上方求作一点，连接、，使得是以为底边的等腰三角形，且边上的高等于菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，并在垂直平分线上截取的长即可. 【详解】解：如图，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在两侧各交于一点，过这两个交点作直线，该直线即为的垂直平分线，以该垂直平分线与的交点为圆心，的长为半径画弧，在上方交该垂直平分线于点,连接、，点即为所求． 19. 如图，点为正方形内一点，点、分别在边、上，连接、、、，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明即可． 【详解】证明：四边形为正方形， ． ， ， ， ， ， 在和中，， ， ． 20. 为深入弘扬中华优秀传统文化，扎实推进中医药文化弘扬工程，某校成立了百草园中草药种植小组．为进一步认识中草药，组长设置了一个游戏：在一个不透明的袋子中装一个白球（金银花）、一个黄球（连翘）、一个红球（紫苏）和一个绿球（桔梗），这四个球除颜色不同外，其余完全相同．摇匀后某位组员从袋子中随机摸出一个球，记下颜色放回摇匀，该组员要回答出所摸小球对应药材的一种功效，每位组员只摸一次球． （1）共随机摸球20次，其中摸出红球4次，则这20次摸球中，摸出红球的频率是_________； （2）用画树状图或列表的方法，求该组的铭铭和骏骏两位成员都要回答连翘的功效的概率． 【答案】（1）0.2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率的计算公式求解即可； （2）利用树状图求解即可． 【小问1详解】 解：摸出红球的频率是； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中铭铭和骏骏两位成员都要回答连翘的功效的结果只有1种， 铭铭和骏骏两位成员都要回答连翘的功效． 21. 咸阳二号桥是咸阳市标志性建筑之一．晓华和小敏利用无人机和所学过的相似的知识测量咸阳二号桥桥塔的高度．如图，晓华从点竖直升起一架无人机到处在空中悬停，米，小敏从点竖直升起一架无人机，当该无人机在处时，发现处的无人机、处的无人机和桥塔底端恰好在一条直线上，小敏继续控制无人机垂直上升到处，发现处的无人机、处的无人机和桥塔顶端恰好在一条直线上，米，米．，，，点、、在一条直线上，点、、在一条水平直线上，图中所有点都在同一平面内．请你求出桥塔的高度． 【答案】桥塔的高度为88米 【解析】 【分析】先证明得，则，再证明，得，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． ∴桥塔的高度为88米． 22. 船舶工业正在经历一场前所未有的“新能源化”和“智能化”革命，而中国在这个赛道上正扮演着领跑者的角色．某艘船空载（未装载重物）时吃水深度（船舶在水中浸入水下的最深长度）为，船的吃水深度随着船上重物的均匀增加而均匀增大．船的吃水深度与船上重物（）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）当船上重物为时，该船的吃水深度是多少？ 【答案】（1） （2）当船上重物为时，该船的吃水深度是 【解析】 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，由图象可把点代入进行求解即可； （2）把代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把代入，得： ，解得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，， ∴当船上重物为时，该船的吃水深度是． 23. 【项目背景】 陕西某地的花生有荚果硕大、籽仁饱满、香脆可口等特点，小林家种植了甲、乙两种花生．在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，花生收获之时，对甲、乙两种花生荚果产量情况进行调查统计，为下一年种植规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从甲、乙两种花生中各随机抽取40株，调查其单株荚果数（都小于40个），作为样本数据，将所得数据整理描述如下．单株荚果数用x（单位：个）表示． 所抽取甲种花生单株荚果数频数分布表 荚果数/个 频数（株数） 2 10 24 4 组内花生荚果的总个数 10 150 600 140 【数据分析与运用】所抽取甲、乙两种花生单株荚果数的统计量如下表： 样本 平均数 中位数出现的组别 众数 甲 ①_________ 23 乙 19.5 ②_________ 21 （1）请将统计量表补充完整； （2）若乙种花生共有1000株，请估计乙种花生荚果的总数量； （3）结合以上数据为小林家下一年的花生种植提出一条合理化建议，并说明理由． 【答案】（1）①22.5；② （2）19500个 （3）建议：优先种植甲种花生，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数及中位数的定义进行求解即可； （2）根据题意可直接进行求解； （3）由甲乙的平均数，中位数及众数进行合理说明即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 根据中位数的定义可知：乙组的中位数为第20和第21个数据之和的平均数，则由乙组的频数分布直方图可知中位数落在； 【小问2详解】 解：由题意得： （个）， ∴估计乙种花生荚果的总数量为19500个． 【小问3详解】 解：建议：优先种植甲种花生． 理由：甲种花生单株荚果数的平均数（22.5个）大于乙种花生单株荚果数的平均数（19.5个），产量更大．（答案不唯一，合理即可） 24. 如图，是的外接圆，是的直径，过点B作，，连接交于点F，交于点E，过点F作，交于点G． （1）求证：FG是的切线； （2）若，，求AE的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意得出是等腰直角三角形，再由圆周角定理确定，利用平行线的性质即可证明； （2）根据圆周角定理得出，再由相似三角形的判定和性质得出，．然后代入求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ， 是等腰直角三角形， ， ． ∵， ， 即， 是的切线． 【小问2详解】 解：是的直径， ， ∴， ， ， ， ． ， ， ． 25. 如图，某度假村观景台窗户的外轮廓是由线段、抛物线和抛物线围成的封闭图形．抛物线、的顶点分别为、，抛物线、交于点，以过、的直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，为坐标原点．抛物线与关于轴对称，轴，与轴之间的距离为米，米，抛物线的函数表达式为（为常数）． （1）求抛物线的函数表达式及点的坐标； （2）窗户上有两条竖直的支撑骨架和（宽度不计），点、在上，点、分别在抛物线、上，，，点与点关于轴对称，米，分别求与的长． 【答案】（1）， （2）米 【解析】 【分析】（1）根据题意得：，然后代入解析式即可确定抛物线的函数表达式为．再由轴对称的性质即可求解； （2）根据题意得出点D、F的横坐标分别为，然后代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 把点代入，得， ∴抛物线的函数表达式为． ∵抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的函数表达式为． ∴点的坐标为． 【小问2详解】 ∵点与点关于轴对称，米，， ∴点D、F的横坐标分别为， 当时，， （米）． 26. 按要求解答问题： 问题探究 （1）如图①，点是平面内的动点，且点在线段的垂直平分线上，点在线段上，，连接、、，则的最小值为_________； （2）如图②，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，点在上，，连接，求的度数； 问题解决 （3）习近平总书记强调，今年是“十五五”开局之年，青年建功正当其时．某社区利用一块空地打造“青年之家”自习室，并在附近拟建一个大致示意图如图③所示的五边形广场，旨在为青年提供学习、工作后的放松场所．其中，，，，．点是平面内的动点，点是边上的动点，连接，沿种植一条绿化带，根据规划要求，和始终满足且．点是广场内一点，点到、的距离相等，点在边上，连接、，．现要沿和修建遮阳林荫通廊，为节约成本，要求林荫通廊的总长尽可能的短．请你帮助规划人员求当的值最小时，的长．（绿化带、通廊的宽度忽略不计） 【答案】（1）3 （2） （3）当的值最小时，的长为 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，确定，得出当点D、A、C三点共线时，即点A在上时，取得最小值，即可求解； （2）根据题意得出，再由旋转的性质确定． 利用全等三角形的判定和性质即可求解； （3）连接，取的中点，连接，根据三角函数得出，确定是等边三角形，再由全等三角形的判定和性质得出，，确定垂直平分线段．过点作交于点，作点关于所在直线的对称点，连接，交于点，连接，则四边形是平行四边形，，利用相似三角形的判定和性质得出，然后结合图形求解即可 【小问1详解】 解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， 当点D、A、C三点共线时，即点A在上时，取得最小值，即； 【小问2详解】 在中，． 由旋转的性质可知：． ， ， 即， ， ， ． 【小问3详解】 连接，取的中点，连接，如图． 在中，． ， 是等边三角形， ． ， ， ， ，即， 垂直平分线段． ∵点到A、C的距离相等， ∴点在OP上． ， ，即， ∴． 过点作交于点，作点关于所在直线的对称点，连接，交于点，连接，则四边形是平行四边形，， ∴四边形为矩形， ， ， 即当点H、P、N在一条直线上时，的值最小，此时点在点的位置． 延长交于点， ∵点是的中点，，F为的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线，， ． ． ， ∴当的值最小时，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $