奥数：第13讲 棋盘格计数问题（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学 人教版

【人教版】小学六年级奥数上册：第13讲 棋盘格计数问题 一、重点知识 1. 核心题型：棋盘内正方形个数计数、L 形方格计数、最短路线走法计数、格点三角形等面积计数、棋子放置计数。 2. 常用解题方法 · 分类枚举法：按图形大小、边长、形状分类，逐个计数，做到不重不漏。 · 一一对应配对原理：把图形个数转化为格点个数，一一对应即数量相等。 · 标数法：用于棋盘最短路线、街道行走路线计数。 · 田字格转化法：8×8 棋盘 L 形计数，先数田字格，每个田字格含 4 个 L 形。 3. 重要结论 · 小方格组成的棋盘正方形总数：。 · 同底等高三角形面积相等；平行线间距离处处相等。 二、例题精讲 例 1 象棋最短路线计数 如图，在中国象棋盘上，乙方边卒已过河，只能向前或横向走最短路线，走到对方帅的位置，求有多少种不同走法。 方法：采用路线标数法，逐点标注到达每个位置的路线数，累加求出总走法。 解：为了解这个问题，可以从简单的情形开始，逐步进行。下左图中，小卒沿最短路线走到 A、B、C、D、E、F、G、H 的走法都只有一种，走到 K，则有两种：先走到 A 再走到 K，或者先走到 B，再走到 K。走到 M，则有 1 + 2 = 3 种：先走到 C 再到 M 有一种，先走到 K 再到 M 有 2 种（因为走到 K 有 2 种走法）。把走法的种数标在各点上，每个数等于它前面的两个数（下右图中左方一个，下方一个）的和。走到帅的位置有 70 种不同走法。 答案：走到帅的位置有 70 种不同走法。 例 2 围棋盘同大小正方形计数 如图，围棋盘横竖各 19 条线，求与指定小正方形大小相同的正方形个数。 解法 1. 平移法：小正方形向右、向下各可平移 10 次，总数 个。 2. 配对原理：边长为9个格子,取小正方形特征顶点，转化为棋盘限定区域格点计数，格点数量 = 正方形数量。 ①点 E 只能在棋盘右下角的正方形 ABCD（包括边界）的格子点上。 ②反过来，右下角正方形 ABCD 中的每一个格子点都可以作为小正方形的点 E，也只能作为一个小正方形的点 E。 将 “小正方形的个数” 化为 “正方形 ABCD 中的格子点个数” 了，很容易看出正方形 ABCD 中的格子点为10×10=100个。 总结：以上两种解法都有一定代表性。其中解法 2 既巧妙又迅速，它利用了 “一一对应就一样多” 的配对原理。配对原理在计数中是非常重要的。 例 3 8×8 棋盘 L 形取法计数 如图，从 8×8 方格棋盘取出由 3 个小方格组成的 L 形（可旋转），求不同取法总数。 解析: ① 个小方格的棋盘，田字格数量 = ②8×8 小方格棋盘：田字格个数 ③每个田字格含 4 个 L 形：总 L 形 解：设 S 是从棋盘上所能取出的所有 “田” 字形组成的集合，S′是棋盘内所有横线和竖线的交叉点（不包括边界上的点）组成的集合。 由于每个 “田” 字形的中心点是棋盘内横线与竖线的一个交叉点且不在边界上，反过来，位于棋盘内横线与竖线交叉点四周的四个小方格恰好组成一个 “田” 字形，因此集合 S 与 S′的元素能一一配对。由配对原理，这两个集合的元素一样多。 而棋盘内横线与竖线的交叉点有： 所以棋盘上可以取出 “田” 字形的个数为 49 个。又由于从一个 “田” 字形中可以取出 4 个 “L” 形，并且，从不同的 “田” 字形中取出的 “L” 形是不同的，所以可知，从棋盘上共可以取出个 “L” 形，即题中 “L” 形的不同取法共 196 种。 例 4 5×5 棋盘正方形总数 如图，求 5×5 棋盘中一共有多少个大小不同的正方形。 分类计算： 1×1：25 个 2×2：16 个 3×3：9 个 4×4：4 个 5×5：1 个 合计： 个。 例 5 格点等面积三角形计数 如图，大正方形分成 9 个相同小正方形，共 16 个顶点，求与阴影三角形面积相等的三角形个数。 分类： ①底为 2、高为 3：32 个 ②底为 3、高为 2（去重复）：16 个 总计： 个。 易错点：避免漏算、重复计算，分类边界要清晰。 三、拓展例题 拓展例题1 最短路线通用模型 只能向东 / 向北、向南 / 向东行走的网格路线，统一用标数法，每个路口走法数 = 左侧 + 上方路口走法数。 模型核心：网格中仅允许单向行走（向东/向北、向南/向东等）的最短路线计数，统一使用标数法。核心公式：每个路口走法数 = 左侧路口走法数 + 上方路口走法数，起点走法数记为1，所有边缘单向路口初始走法数均为1。 典型例题：某城市街道为标准网格，从起点A到终点B，只能向南、向东行走，道路无绕行、无阻挡，求从A到B的最短路线共有多少种不同走法？（标准6×4网格街道模型，即5段横向×3段纵向） 解题解析： 1. 规则设定：最短路线无需走回头路，仅能向东、向南行进，起点A所有相邻边缘路口走法数均为1； 2. 标数规则：每一个路口的走法数量，等于能到达该路口的上方、左侧路口的走法数量之和； 3. 逐步标数计算：按照从左到右、从上到下的顺序依次标注各路口走法数，最终终点B标注数值为56。 答案：共有56种不同的最短走法。 总结：所有单向网格最短路线问题，均可套用此标数模型，无需复杂枚举，精准做到不重不漏。 拓展例题2 斜正方形计数 棋盘上除正着的正方形，还有斜边构成的斜正方形，需按边长分类单独枚举。 模型核心：棋盘正方形分为正放正方形、斜放正方形两类。斜正方形无横竖对齐的边，由方格对角线围成，无法用普通边长公式计算，必须按边长、倾斜规格分类单独枚举，再汇总总数。 典型例题：在3×3的方格棋盘（即4×4个格点）上，摆放有16枚均匀分布的棋子，以棋子顶点为顶点，一共可以组成多少个正方形？（包含正放、斜放正方形） 解题解析： （1） 正放正方形（边与棋盘网格平行）： 边长为1（即1×1小方格）：9个 边长为2（2×2小方格）：4个 边长为3（3×3小方格）：1个 小计：9 + 4 + 1 = 14个 （2） 斜放正方形（（边不与网格平行））： 第一种斜向规格正方形：4个，（例如顶点(0,1),(1,2),(2,1),(1,0)等）； 第二种斜向规格正方形：2个，（例如顶点(1,0),(3,1),(2,3),(0,2)和(2,0),(3,2),(1,3),(0,1)）； 小计：4 + 2 = 6个 总数汇总：14+6=20个。 答案：一共可组成20个正方形。 总结：斜正方形无通用计算公式，核心解题关键是分类不重不漏，区分不同倾斜角度、不同大小的斜正方形逐一计数。 四、基本练习 1. 棋盘为3×4的格点（共12个交叉点）,把一颗白子和一颗黑子放在棋盘线交叉点上，要求不能在同一条棋盘线上，一共有多少种不同放法？ 2. 象棋盘上小卒过河后沿最短路线走到对方帅处，有多少种不同走法？ 3. 城市街道图，从 A 走到 B，只能由北向南、由西向东走，共有多少种不同走法？ 五、拓展练习 1. A 处一群孩子只能向东或向北走，每个路口一半人向北、一半人向东；最后有 60 个孩子到达路口 B，求到过路口 C 的人数。 2. 6×6 棋盘上有二十枚棋子，以这些棋子为顶点，能构成多少个正方形？ 六、基本练习答案 1. 解： 3 行 4 列格点： 先放黑子：12 种选择 再放白子：不能同行了、不能同列 剩余行数： 行 剩余列数： 列 可选位置： 因为黑白子有区别（不同棋子），顺序有意义： 总放法： 种 2. 用标数法可得：共 70 种走法。 3. 用路线标数法可得：共 种走法。 七、拓展练习答案 1. 按路口人数比例逆向推算，到路口 C 共有 人。 2. 按正方形大小、倾斜类型分类统计： 边长为 1 的小正方形 9 个，四种不同斜向正方形分别为 4 个、4 个、2 个、2 个，分类累加可得总数。 总合计能构成21个正方形。 学科网（北京）股份有限公司 $