奥数：第8讲 周期与推理（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

【人教版】小学六年级上数学奥数:第8讲 周期与推理 一、知识要点 本讲为竞赛以及小升初高频综合题型,涵盖:行程周期、齿轮周期、工作休息周期、年龄差不变、数字规律、计数枚举、逻辑推理七大类。 核心方法:抓不变量、找周期、分类枚举、推理验证。 二、经典例题 例 1 龟兔赛跑(行程 + 周期) 全程 5.2 公里,兔速 20 公里 / 时,龟速 3 公里 / 时。兔子先跑 1 分后,玩 20 分,然后跑 2 分玩 20 分…… 依此类推,问:先到终点的比后到的快多少分钟? 解: 龟用时: 分钟 兔不休息用时: 分钟 ,休息 5 次 兔总用时: 分钟 快: 分钟 答:快 11.6 分钟 例 2 啮合齿轮(最小公倍数) 如图,大轮半径 105,小轮 90,要求标志线共线。大轮至少转几圈再共线? 解: 半径比 ,周长比 ,圈数比 共线需半圈倍数,最小公倍数: 答:3 圈 例 3 工作休息周期 叔叔每上 8 天班后、休2 天,如果本周六、日他休息,至少几周后再周日休息? 分析 首先应该计算出至少过了多少天,叔叔又在星期天休息。由于他是连续休息 2 天,因此可能出现两种情况:星期六和星期天,星期天和星期一。 解:叔叔工作8天休息两天,所以 周期 10 天。① 是 7 倍数 70 天;② 是 7 倍数 49 天 周 答:7 周 例 4 年龄问题(差不变) 爷爷年龄是红红 6 倍,后为 5 倍、4 倍,求爷爷今年几岁? 解: 年龄差是 5、4、3 公倍数 60 红红: 岁 祖父: 岁 答:72 岁 例 5 顶点数字规律 如图,每个顶点都是一个数字,其中每数 = 相邻三数和的,求 解: ,,, 相加: 得:,差 = 0 答:0 例 6 两数和 > 100(计数) 从1~100 取两数,要使它们的和 > 100,几种取法? 解: 较小数 1 1 种,2 2 种…50 50 种,51 49 种…99 1 种 总数: 答:2500 种 例 7 比赛计分推理 三人A,B,C参加有M项赛事的奥林匹克比赛,每项赛事三人分别获得一二三名,得分不同,其中第一名分数最高,第二名得分第三名分数最低,得分都大于0分,最终得分:A=22,B=C=9,其中B 百米第一,求 M 及跳高第二名是谁? 解: 总分:,,M是40的约数, 试算得:, B 百米第一,跳高第二名是 C 答:M=5;C 得第二名 三、拓展例题(小升初高频) 拓展例 1 行程周期(跑步休息) 甲跑 100 米 5 秒,每跑 20 秒休 10 秒;乙 15 米 / 秒。跑 400 米谁快?快几秒? 解: 甲纯跑: 秒,无需休息,总用时20秒; 乙用时: 秒 快: 秒 答:甲快,快 6.67 秒 拓展例 2 齿轮同线问题 大轮 120 齿,小轮 80 齿,最少几圈再共线? 解: 齿数比 3:2,圈数比 2:3,半圈倍数 1 圈 答:1 圈 拓展例 3 上班周期 工作 5 天休 2 天,本周日休息,至少几天再周日休息? 解: 7 天一循环,7 天后同周日 答:7 天 拓展 例4 年龄倍数 父亲是儿子 4 倍,10 年后 2 倍,求父亲今年几岁? 解: 年龄差不变。儿子今年 5 岁,父亲 岁 答:20 岁 拓展 例5 数字规律 ,求 解: 代入得所有数 = 0,和 = 0 答:0 拓展 例6 两数和 > 80 1~80 取两数,和 > 80,几种取法? 解: 答:1600 种 拓展例 7 比赛得分推理 得分 5、2、1,A=16,B=14,C=10,求 M。 解: 总分 40,每项 8 分, 取整 M=5 答:5 项 拓展例 8 水池注水 甲 8 时、乙 12 时注满,丙 6 时空。三管齐开几时满? 解: 时 答:24 小时 四、巩固练习 1. 全程 3km,兔 15km/h,龟 2km/h,兔跑 2 分玩 15 分,求时间差。答:3分钟(兔子先到,快3分钟) 2. 大轮 90 齿,小轮 60 齿,最少几圈共线。答:1 圈 3. 工作 7 天休 3 天,本周日休息,至少几周再周日休息。答:3 周 4. 爷爷是小华 5 倍,后为 4 倍、3 倍,求爷爷岁数。 答:年龄差不变,差应为4、3、2的公倍数(最小12)。当差为12时,爷爷15岁(小华3岁);差为24时,爷爷30岁;差为36时,爷爷45岁;差为48时,爷爷60岁。故60岁是合理答案。60 岁 5. 8 顶点每数 = 相邻三数平均,求上下和之差。答:0 6. 1~60 取两数,和 > 60,求总取法。答:900 种 7. 比赛 A=18,B=C=11,求 M。答:M=4 五、拓展提升练习 1. 甲跑 50 米 3 秒,跑 15 秒休 5 秒;乙 18 米 / 秒,跑 300 米谁快?快多少?答:乙快 6.33 秒 2. 大轮半径 84,小轮 63,最少几圈共线。答:3 圈 3. 工作 6 天休 2 天,本周日休息,周日是连续休息的第一天。至少几天再周日休息。答:49 天 4. 妈妈是女儿 4 倍,12 年后 2 倍,求妈妈今年几岁。答:24 岁 5. 1~70 取两数,和 > 70,求种数。答:1225 种 6. 得分 6、3、1,A=25,B=13,C=12,求 M。答:M=5 7. 甲单独注满需10小时,乙单独注满需15小时,丙单独排空需30小时。三管齐开,几小时注满?答:7.5 小时 8. 一个数加、减、乘、除以得 1,求原数。答: 学科网(北京)股份有限公司 $