奥数：第9讲 图形与几何综合（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

【人教版】小学六年级上数学奥数：第9讲 图形与几何综合 一、知识点总览 本讲围绕长方体与正方体的表面积、体积、切割、拼接、镂空、展开图、熔铸、浸水等核心考点展开，是小升初与奥数高频专题。 · 表面积：长方体 ；正方体 · 体积：长方体 ；正方体 · 切割：每切一刀增加 2 个面；拼接：每拼一次减少 2 个面 · 浸水问题：水面升高体积 = 物体体积 · 展开图：共 11 种，牢记 “一四一、一三二、三三、二二二” 模型 立体图形体积、表面积公式： · 正方体：体积 ，表面积 · 长方体：体积 ，表面积 · 圆柱体：体积 ，侧面积 · 圆锥体：体积 · 球体：体积 用右手定则判断正方体对面字母的方法 · 方法的核心是用你的手模拟正方体的旋转，排除矛盾，确定字母位置： 正方体有 6 个面，每个面有4 个相邻面，只有1 个对面。 所以第一步一定是：先找出现次数最多的字母，用 “相邻≠对面” 排除法，确定第一个对面。 口诀版总结（方便记） · 先找 “邻居多” 的，用排除法定一对； · 右手拇指定方向，四指顺着字母转； · 两次结果不矛盾，对面字母就确定。 二、典型例题 例 1 长方体切割求体积 一个底面为正方形的长方体，表面积 为190 cm²。平行于底面切成两个长方体后，表面积和为 240 cm²。求原长方体体积。 解： 增加的面积： 底面积：，底面边长 侧面积： 高： 体积： 答：体积为 175 立方厘米。 例 2 正方体镂空求边长 如图，棱长 的正方体，在前、后、左、右、上、下各面中心挖去边长为 的正方形贯通长方体。镂空后表面积 2592 cm²，求正方形截口边长。 解： 原正方体表面积： 六个边长为的小正方形的面积为：； 挖成的每个长方体空洞的侧面积为：； 三个长方体空洞重叠部分的棱长为的小正方体空洞的表面积为： 挖去后新增内表面积： 总表面积： ，得 答：截口边长为 6 厘米。 例 3 表面积翻倍方法 如图，若干相同正方体积木，不增加积木，使总表面积扩大一倍。 解： 将每块正方体沿长、宽、高各切一刀，分成 8 个小正方体。 每切一刀增加 2 个面，切 3 刀共增加 6 个面（即原表面积），总表面积变为原来 2 倍。 答：切成 8 个相同小正方体即可。 例 4 浸水体积问题 大、中、小正方体水池边长：4m、3m、2m。 把两堆砖头推入水中、小水池，水面分别升高 4cm、11cm。 都放入大水池，水面升高多少厘米？ 解： 中水池砖头体积： 小水池砖头体积： 总体积： 大水池底面积： 升高： 答：大水池水面升高 5 厘米。 例 5 正方体展开图对边判断 如图，是正方体展开图，判断哪条边与★号边相接。 解： 折叠后：★与 G 相接，H 与 Y 相接，X、Y、Z 重合为一顶点； 最终与★边相接的是 K 边。 答：与★相接的是 K 边。 例 6 识别正方体展开图伪装图 如图，给出 13 个图形，其中11 种是正方体展开图，2 个不是，请找出。 解： 折叠检验：(10)、(12) 无法围成正方体，为伪装图。 答：伪装图是第 (10)、(12) 个。 例 7 正方体对面字母判断 如图，一个正方体从三个角度观察如图，判断 A、B、C 的对面字母。 解：（1）由图中可知，相邻面≠对面，推理得：A 与 B、C、E、F 都相邻，故 A 的对面是 D。E、F 的位置可按右手关系得出，伸出右手，伸直大拇指按（1）中右图所示，让四指方向从 A 转动而指向 F，此时大拇指正好指向 E（向上）。如果，判断为 F 在 C 对面，由（1）中左图所示，让四指的方向从 A 向 F，此时大拇指指向 B，与（1）中右图矛盾，故 F 在 B 的对面，E 在 C 的对面。 （2）~（6）按 A、B、C 顺序给出对面的字母： （2）E、D、F；（3）F、E、D；（4）D、F、E； （5）E、D、F；（6）F、E、D。 例 8 正方体切出正六边形 正方体香皂，一刀切成两半，使切口为正六边形，如何切？ 解： 取正方体六条棱的中点（每组四条棱里各取一条），依次连接，沿此平面切开，切口即为正六边形。 三、拓展例题（小升初高频） 拓展例 1 圆柱底面周长与高相等（表面积计算） 一个圆柱底面周长和高相等。若高缩短 2 厘米，表面积减少 12.56 平方厘米。求圆柱表面积。（保留小数点两位） 解： 底面周长（即圆柱的高）： 侧面积： 底面半径： 两个底面积： 表面积： 答：表面积是 45.72 平方厘米。 拓展例 2 正方体切割求总表面积 棱长 1 米的正方体，沿长、宽、高方向锯成 3 份、4 份、5 份，共 60 块小长方体。求所有小长方体表面积总和。 解： 原表面积： 总切割次数： 次 每切一次增加 2 个面，共增加： 总表面积： 答：表面积和为 24 平方米。 拓展例 3 圆柱瓶正放倒放求液体体积 碘酒瓶瓶身为圆柱形，容积 立方厘米。正放时碘酒高 6 厘米，倒放时空余高 2 厘米。求碘酒体积。（保留小数点一位，液体体积单位毫升） 解： 碘酒体积∶空余体积 = 碘酒占总体积： 碘酒体积： 换算：=62.2毫升 答：碘酒体积 62.2 立方厘米，合 62.2毫升。 拓展例4 圆柱 + 圆锥组合粮囤体积 底面周长 9.42 米，圆柱高 2 米，圆锥高 0.6 米。求粮囤体积。 解： 底面半径： 底面积： 圆锥等效圆柱高： 总高： 体积： 答：体积 15.543 立方米。 拓展例5 球体浸水求水面升高 皮球直径 12 cm，水桶直径 60 cm，皮球 浸在水中。求水面升高多少。 解： 皮球半径： 皮球浸水体积： 水桶底面积： 水面升高： 答：水面升高 厘米。 拓展例 6 正方体挖最大圆锥求剩余体积百分比 棱长 6 cm 正方体挖去最大圆锥，求剩余体积占原正方体百分比。 解： 正方体体积： 圆锥体积： 剩余体积： 百分比： 答：剩余体积约占 73.8%。 四、巩固练习 1. 长 8cm、宽 6cm 矩形折成底面为正方形的长方体侧面，求底面积。 2. 棱长 6cm 正方体锯成棱长 2cm 小正方体，表面积增加多少。 3. 2 米长方木锯成两段，表面积增加 288cm²，求原体积。 4. 两个棱长 a 正方体拼成一个长方体，表面积是原来的几分之几。 5. 2100 个棱长 1cm 正方体堆成长方体，高 10cm，长、宽都大于高，求长 + 宽。 6. 长 9cm、宽 8cm、高 3cm 长方体锯成小正方体再拼成大正方体，求大正方体表面积。 7. 棱长 6cm 正方体铁盒倒水进长 9cm、宽 8cm 水槽，求水深。 8. 19 个棱长 2cm 正方体重叠，求组合体表面积。 9. 表面积 54、96、150cm² 三个正方体熔铸成大正方体，求体积与表面积。 10. 正方体三视角图，判断 A、B、C 对面字母。 五、拓展提升练习 1. 圆柱形钢材沿直径切开，剖面面积 960 cm²，半圆柱体积 3014.4 cm³。求原体积与侧面积。 2. 底面直径 40 cm 圆柱水缸，浸没直径 10 cm 圆锥，取出后水面降 0.5 cm。求圆锥高。 3. 如图，棱长 4 cm 正方体每面中心挖边长 1 cm、深 1 cm 正方形洞。求挖后表面积与体积。 4. 如图，零件由半球、圆柱、圆锥组成（半径 2 cm，圆柱高 10 cm，圆锥高 2 cm）。求总体积。 5. 三棱柱筒以 A 为底面时水面高 2 cm。求以 B、C 为底面时水面高度。 6. 大、中、小正方体水缸边长 4 dm、3 dm、2 dm，碎石使中、小水面升高 4 cm、11 cm。求大水缸升高多少。 7. 如图，正方体锯掉一个三角角，H,G,F是三条棱的中点，求锯掉部分占总体积几分之几。 五、巩固习题解答 1. 4 或cm²（两种折法） 2. 432 cm² 3. 28800 cm³ 4. 5/6 5. 29 cm（长 15、宽 14） 6. 大正方体表面积 216 cm² 7. 水深 3 cm 8. 表面积 216 cm² 9. 大正方体体积 216 cm³，表面积 216 cm² 10. A 对 E，B 对 F，C 对 D 六、拓展习题解答 1. 原体积： 侧面积： 答：体积 6028.8 cm³，侧面积 3014.4 cm² 2. 水下降体积： 圆锥高： 答：高 24 厘米 3. 表面积： 体积： 答：表面积 120 cm²，体积 58 cm³ 4. 半球： 圆柱： 圆锥： 总体积： 答：150.72 立方厘米 5. 水体积：54 cm³ ① B 为底：1.5 cm ② C 为底：9 cm 6. 碎石总体积： 大缸升高： 答：5 厘米 7. 锯掉部分体积为正方体的 答： 学科网（北京）股份有限公司 $