命题大赛 浙江省湖州市2025-2026学年下学期高一数学阶段练习（人教A版必修第一册、必修第二册6.1-8.6）

**基本信息** 以东风-41导弹轨迹、奋斗者号深潜等科技情境及太极八卦图等文化素材为载体，覆盖向量运算、空间几何、函数性质等核心知识，注重数学眼光观察现实世界与数学思维解决问题能力的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量（题1）、集合（题3）、空间几何体（题4）|题8以太极八卦图为情境，考查向量模的最值，体现文化传承| |填空题|3题/15分|棱台体积（题12）、函数值域（题13）|题14结合水星大距运动模型，考查三角函数应用，体现探究性| |解答题|5题/77分|向量投影（题15）、空间几何证明（题17）、复数三角形式（题19）|题19以复数历史为背景，融合三角证明，考查数学语言表达能力|

浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学阶段练习 整体难度：适中 考试范围：平面向量,等式与不等式,集合与常用逻辑用语,空间向量与立体几何,三角函数与解三角形,复数,函数与导数 试卷题型 题型 数量 单选题 8 多选题 3 填空题 3 解答题 5 试卷难度 难度 题数 容易 3 适中 13 困难 3 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、选择题 1 0.85 平面向量线性运算的坐标表示；利用坐标求向量的模 2 0.65 由已知条件判断所给不等式是否正确；由不等式的性质比较数（式）大小 3 0.75 交集的概念及运算；根据交集结果求集合或参数 4 0.85 柱体体积的有关计算；锥体体积的有关计算；求组合体的体积 5 0.85 利用数量积求参数；数量积的坐标表示 6 0.65 求异面直线所成的角 7 0.65 正、余弦齐次式的计算；二倍角的正弦公式 8 0.65 平面向量基本定理的应用 二、多选题 9 0.65 复数的除法运算；求复数的模；判断复数对应的点所在的象限；与复数模相关的轨迹（图形）问题 10 0.65 指数型函数图象过定点问题；根据函数是幂函数求参数值；特称命题的否定及其真假判断；基本不等式求和的最小值 11 0.4 证明面面垂直；球的表面积的有关计算；证明线面平行；求异面直线所成的角 三、填空题 12 0.65 台体体积的有关计算 13 0.65 根据分段函数的值域（最值）求参数 14 0.4 由单位圆求三角函数值；函数图象的应用；三角函数在生活中的应用；给值求值型问题 四、解答题 15 0.65 数量积的坐标表示；由向量共线（平行）求参数；向量垂直的坐标表示；求投影向量 16 0.65 求含sinx(型)函数的值域和最值；正弦定理边角互化的应用；求正弦（型）函数的最小正周期；三角恒等变换的化简问题 17 0.65 求二面角；证明线面平行；证明线面垂直 18 0.56 复合函数的单调性；由对数函数的单调性解不等式；函数不等式恒成立问题 19 0.4 复数的除法运算；复数的相等；复数的三角表示；复数代数形式的乘法运算；复数的向量表示 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 平面向量 1,5,8,15 2 等式与不等式 2,10 3 集合与常用逻辑用语 3,10 4 空间向量与立体几何 4,6,11,12,17 5 三角函数与解三角形 7,14,16 6 复数 9,19 7 函数与导数 10,13,14,18 难度分布 容易 适中 困难 15.79 68.42 15.79 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学阶段练习 考试范围：人教A版必修第一册，必修第二册6.1-8.6 考生须知： 1.本卷考试分值为150分，考试时间为120分钟， 2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息， 3.请将答案正确填写在答题卡上。 第I卷（选择题）（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（2026·江西·三模）东风-41是我国目前公开最先进､性能最强的陆基洲际战略核导弹，是国家战略核力量的中流砥柱.在平面直角坐标系中，某东风导弹从原点发射，位移向量为，为进行轨迹修正，控制系统施加一个校正向量，则导弹实际合位移向量（即位移向量与校正向量的和）的模长为（    ） A．9 B． C．10 D． 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则的取值范围是 3．（25-26高三下·北京海淀·月考）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（    ）． A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·三模）已知向量，，定义，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（原创）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）在数学史上，为了三角计算的简便和精确，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作.若，则（   ） A． B． C． D． 8．（新情境题）（24-25高一上·北京·期末）古代中国的太极八卦图是在一个圆中，以圆心为界，画出的两个全等的阴阳鱼．阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物之间互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的“矛盾对立统一”的辩证法．图2（正八边形）是从图1（八卦模型图）抽象出来，并以正八边形的中心O为旋转中心顺时针旋转22.5°而得到，点P在正八边形的边上运动，若，则的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．（原创）若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．若复数满足，则的最小值为 10．（原创）下列说法正确的是（　　） A．命题“”的否定是“” B．若，则的最小值为3 C．函数的图象恒过定点 D．若幂函数是上的奇函数，则 11．（25-26高三下·甘肃武威·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别为棱，的中点，为侧面（含边界）上一动点（点除外），，则下列结论正确的是（    ） A．若，则平面 B．平面平面 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．若直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 13．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 14．（探究题、新情境题）（23-24高一上·福建厦门·期末）水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到.当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东（西）大距，这是观测水星的最佳时机（如图1）.将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点A，分别在以坐标原点为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度分别为，.当达到最大时，称A位于的“大距点”.如图2，初始时刻A位于，位于以为始边的角的终边上.    （1）若，当A第一次位于的“大距点”时，A的坐标为______； （2）在内，A位于的“大距点”的次数最多有______次 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求的坐标； (2)若，且与垂直，求在方向上的投影向量（用坐标表示） 16．（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数. (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)在中，内角所对的边分别是，已知，求最大值. 17．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，六面体中，四边形为菱形，，，，且平面平面.    (1)点M是棱的中点，求证：平面； (2)求证：平面； (3)若，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数. (1)设. （i）计算的值，并求的最小值； （ii）求的单调递减区间. (2)对任意恒成立，求的取值范围. 19．（探究题、新情境题）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.    (1)设复数，，求、的三角形式； (2)设复数，，其中，求； (3)在中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明： ①； ②，，. 注意：使用复数以外的方法证明不给分. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学阶段练习 （参考答案及详解详析） 考试范围：人教A版必修第一册，必修第二册 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 评分标准：(不选，多选，错选均不得分） 题号 1 2 3 4 答案 B C D D 题号 5 6 7 8 答案 A B C D 1．B 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【详解】合位移向量为， 所以合位移向量的模长为. 2．C 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】由不等式的性质结合特殊值逐项判断即可. 【详解】对于A，取，此时，A错， 对于B，取，此时，B错， 对于C，因为，，， 所以，即，C正确， 对于D，由，，得，D错，故选：C 3．D 【难度】0.75 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】求出集合后，由可得，利用集合间关系即可得解. 【详解】， 由，则，故，即的取值范围为. 4．D 【难度】0.85 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】根据圆锥以及圆柱的体积公式即可求得答案. 【详解】由模型的轴截面可知圆锥的底面半径为，高为； 圆柱的底面半径为，高为， 故该模型球舱体积为（），故选：D. 5．A 【难度】0.85 【知识点】利用数量积求参数、数量积的坐标表示 【分析】根据新定义结合数量积坐标公式计算求解参数即可. 【详解】由题知，解得. 6．B 【难度】0.5 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据题意得到该直四棱柱为长方体，通过平移直线找到异面直线所成角，结合直角三角形求解即可. 【详解】由题意直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体. 连接. 因为四边形为矩形，则， 所以或其补角即为异面直线与所成角， 长方体中，平面， 因为平面，所以.因为，且， 则， 在中，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 7．C 【难度】0.75 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】根据题中定义，结合同角的三角函数关系式的商关系、正弦二倍角公式进行求解即可. 【详解】. . 8．D 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，确定当P点位于线段上时，才会取到最大值；设P点在线段上，设，结合平面向量基本定理以及向量的坐标运算，求出表达式，即可求得答案. 【详解】以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则，， 由于，结合正八边形的对称性。 可知当P点位于线段上时，才会取到最大值； 不妨设P点在线段上，设，即， 则， 则， 即，则， 即，当时，取到最大值， 故选：D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 评分标准：(不选，错选均不得分）（若答案为两个选项，选对一个选项得3分，选对两个选项得6分）（若答案为三个选项，选对一个选项得2分，选对两个选项得4分，选对三个选项得6分） 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 9．BD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【详解】 . 对于A：，A错误. 对于B：，B正确. 对于C：在复平面内对应的点为，位于第四象限，C错误. 对于D：表示复数在复平面内对应单位圆上的点，表示单位圆上的点到点的距离. 点到原点的距离为，所以单位圆上的点到点的最小距离为，D正确. 10．ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据函数是幂函数求参数值、指数型函数图象过定点问题、特称命题的否定及其真假判断 【分析】选项A：根据存在量词命题的否定形式判断即可；选项B：根据基本不等式求解，结合取等条件判断；选项C：根据指数型函数过定点问题求解即可；选项D：根据幂函数的定义结合函数的奇偶性判断即可. 【详解】选项A：命题“”的否定是“”，故A正确； 选项B：若，则， 则，当且仅当即时，等号成立. 因为，所以不能取等号，所以，故B错误； 选项C：令，则，此时，即函数图象恒过定点，故C正确； 选项D：因为函数是幂函数，则，解得或. 当时，，该函数是偶函数，不符合题意； 当时，，该函数是奇函数，符合题意，综上，故D正确.故选：ACD. 11．ABD 【难度】0.4 【知识点】证明面面垂直、证明线面平行、求异面直线所成的角、球的表面积的有关计算 【详解】对选项A，连接交于点，连接，则，由题意知， 所以，所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为平面，平面，所以， 因为，分别为正方形的边和的中点，易证， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故B正确； 分别取，的中点，，过，分别作平面和平面的垂线， 两垂线交于点，则为三棱锥外接球的球心，连接， 易求，，所以，即外接球的半径为， 故其表面积为，故C错误； 由题意知为直线与所成的角， 所以，连接，则，则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在侧面内的部分， 所以其长度为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．/ 【难度】0.65 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为， 则， 故，则， 所以所求体积为.故答案为：. 13． 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】由题可知该函数在上的值域包含，对实数的取值进行分类讨论，利用集合的包含关系可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设， 当时，，即函数在上的值域为， 要使得函数的值域为，则该函数在上的值域包含， 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，， 所以函数在上的值域为， 由题意可得，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 14．；6（第一个空2分，第二个空3分） 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、由单位圆求三角函数值、三角函数在生活中的应用、给值求值型问题 【分析】根据题意可得，，可得，结合倍角公式运算求解；根据题意分析可知求“大距点”个数的问题转化为直线与在的交点个数问题，结合图象分析求解. 【详解】（1）当时，经过时间，，， 当A位于的“大距点”时，与小圆相切， 此时为直角三角形，所以， 因为，所以， 因为A是第一次位于的“大距点”，可知，则， 所以，， 即A的坐标为； （2）经过时间，，， 对于任意，当A位于的“大距点”时， A，两点坐标满足，即， 当时，求“大距点”个数的问题转化为直线与在的交点个数问题. 若与有7个交点，则第1个交点到第7个交点间隔恰好3个周期， 共长度等于36，因为，所以内不可能有7个交点. 又当时， 如图所示，与有6个交点，故A最多有6次位于的“大距点”. 故答案为：；6.    【点睛】方法点睛：数形结合求交点个数：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个． 四、解答题（本大题共5小题，共77分）（其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15．(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】（1）法一：设，根据，求得，进而得到的坐标； 法二：设，根据且，列出方程组，求得的值，得到的坐标； （2）由与垂直，得到，列出方程求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：法一：因为，可设，...............................................2分 因为，可得，解得，...................................................................4分 所以或........................................................................................6分 法二：设，因为且，可得,................................................2分 解得或，.....................................................................................................4分 所以或........................................................................................6分 （2）解：因为与垂直，可得，.........................................8分 所以，可得，解得，..............................10分 所以向量在方向上的投影向量...........................................13分 16．(1)2 (2) (3)12 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)利用两角和与差的余弦公式展开，合并，再利用辅助角公式化简即可 (2)化简后，利用,即可求出周期. (3)利用正弦定理由边化角，化简整理得到形式，利用三角函数求最值. 【详解】（1），................................................................4分 则;..........................................................................................6分 （2）；..............................................................................................................................8分 （3）由得， 因为则，..............................................................10分 记外接圆半径为，所以..........................................................11分 ， 整理可得：...............................................................13分 ，....................................................15分 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，通过构造辅助线，得到平行四边形，即可证明； （2）根据菱形的性质，以及垂直关系的转化，证明，以及，即可证明； （3）根据（2）的证明过程，构造二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点为N，连接，，，.......................................1分 由M，N分别为，的中点，则，且， 再由，且，则，， 故四边形为平行四边形，.................................................................................................3分 即，且平面，平面，故平面；.............5分    （2）由四边形为菱形，则，.........................................................................6分 由平面平面，且平面平面，平面， 则平面，....................................................................................................................7分 由平面，则，............................................................................................8分 由，，则，....................................................................................9分 由，平面，则平面..........................................10分 （3）设是菱形对角线交点由（2）可知面，平面， 所以，作垂足为，连接， ，平面，所以平面,平面, 所以，所以为所求二面角的平面角...........................................................12分 因为， 由与相似，得，，所以. 中，所以..................................15分 18．(1)（i）；（ii）的单调递减区间为 (2) 【难度】0.56 【知识点】复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）（i）换元令将原函数化为二次函数，代入计算函数值，通过二次函数配方求最小值. （ii）利用复合函数单调性法则，结合二次函数与对数函数的单调区间，求解原函数的单调递减区间. （2）换元转化为区间上的二次函数，根据对称轴与区间的位置分类讨论最值，由最值差≤8解出的范围. 【详解】（1）（i）将代入得. 令，则...................................................................................2分 ...........................................................................3分 因为，，当且仅当即时取等号，所以...........5分 （ii）在上单调递增. 在上单调递减，在上单调递增. 由得..............................................................................................8分 所以由复合函数“同增异减”可知的单调递减区间为..........................................10分 （2）对任意，恒成立，求的取值范围. 令，，，即，.题意等价于在上恒成立................................................12分 函数图像开口向上，对称轴为.................................................................................13分 ①当时，在上单调递增，，，，与矛盾，舍去...........................................................................14分 ②当时，，. 若，，. 若，，.........................15分 ③当时，在上单调递减，，，，与矛盾，舍去....................................................................16分 综上，的取值范围是......................................................1............................17分19．(1)， (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、复数的三角表示 【分析】（1）直接利用复数的乘除法计算即可； （2）设，的模为，的模为，，通过题意可得，发现，从而无意义，再根据角的范围求解即可； （3）建立平面直角坐标系，根据，利用复数的向量表示，以及复数的定义列式计算即可. 【详解】（1） ,................................................................................................2分 ；................................................................................................4分 （2）设，的模为，的模为，，..........................5分 对于有，，.........................................6分 对于有，，........................................7分 所以， 所以， ，故,即的角的终边在轴上，.......9分 又，所以，即................................................10分 （3）如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，则， 所以， 即， 即 根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得， 所以，，...................................................................................14分 同理，， ，， 所以，，，....17分    【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $