浙江省庆元中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学测试卷

**基本信息** 庆元中学月考数学试卷梯度分明，覆盖集合、复数、立体几何等知识，通过函数图像分析、航船观测解三角形、新定义数列等题，考查抽象能力、空间观念与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合运算、复数虚部、斜二测面积、函数图像|基础巩固，如第1题集合交集考查数学眼光| |多选题|3题|基本不等式、三角函数性质、正方体轨迹|能力提升，如第11题动点轨迹结合体积最值，体现推理能力| |填空题|4题|分段函数单调性、解三角形周长、三棱锥外接球|综合应用，如第14题体积最大时外接球，考查空间观念| |解答题|6题|向量、函数奇偶性、立体几何、解三角形、新定义数列|创新应用，如第19题新定义“2的幂”求和，培养创新意识|

庆元中学月考数学试题 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（    ） A． B． C．2 D．4 4．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在海面上有两个观测点B，D相距，点D在B的正南方向，某天观察到某航船在点B西南方向的C处，距离点D也为，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，则该船行驶的距离（    ） A． B． C． D． 7．圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 10．已知函数，则下列正确的是（    ） A．的最大值是 B．若是偶函数，则 C．在上单调递增 D．若在区间上恰有2个零点，则 11．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（    ）    A．动点轨迹的长度为 B．三棱锥体积的最小值为 C．与不可能垂直 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题 12．若函数在R上单调递减，则a的取值范围__________. 13．在中，若，且，则的周长为_______． 14．已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且．，，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为____． 四、解答题 15．已知平面向量，. (1)当实数m为何值时，与垂直； (2)若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围. 16．已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围． 17.如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 18．在中，角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求角． (2)为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 19．已知每个正整数n都可以唯一写成一些不同的“2的幂”的和．例如：；，定义：若n的这种表示中用了偶数个“2的幂”，则，否则．记． (1)求，的值； (2)若，求n的取值； (3)是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，均有，并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D B A C A AD AD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，故. 故选：C. 2．A 【分析】先化简复数,再根据虚部定义得结果. 【详解】因为,所以复数的虚部为，选A. 【点睛】本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题. 3．C 【分析】根据向量加，减法运算，即可化简. 【详解】. 故选：C 4．D 【分析】由函数的奇偶性即可排除AC，再结合函数值的变化趋势判断BC的真假. 【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点中心对称，故AC错误； 根据指数函数与二次函数的增长速度可知，当时，且，故B错误. 故选：D 5．B 【分析】根据题意，利用两角差的正切公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为，， 可得. 故选：B． 6．A 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由题意得为直角，故， 又，所以四点共圆，所以， 在中由正弦定理得， 所以， 故选：A． 7．C 【分析】延长、交于点，求出将圆台补成的圆锥的母线长，结合余弦定理可知，圆锥轴截面的顶角为钝角，可知当时，取最大值，再由可求得结果. 【详解】延长、交于点，将圆台补成的圆锥的母线长为， 则，解得， 则，故， 设轴截面的顶角为，由余弦定理可得， 故为钝角，则， 故当时，取最大值，且其最大值为， 因此，梯形面积的最大值为， 故选：C． 8．A 【分析】令，得到，根据题意，转化为与的图象仅有两个交点，画出同一坐标系内作出两个函数的图象，结合斜率公式和直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】由函数， 令，可得，即， 因为函数有且仅有两个零点， 即函数与的图象仅有两个交点， 因为， 作出函数和的图象，如图所示， 当时，联立方程组，可得， 由，解得， 当时，可得， 要使得函数有且仅有两个零点，则满足或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 9．AD 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1， 所以， 当且仅当且，即时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确； 对于D，由， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为，D正确． 故选：AD 10．AD 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简原函数，结合正弦函数的性质判断A，利用偶函数的性质结合题意得到判断B，利用换元法结合正弦函数的性质判断单调性求解C，先求出，再结合正弦函数的性质建立不等式，求解参数范围判断D即可. 【详解】对于A，因为， 所以由二倍角公式得， 结合辅助角公式可得， 由正弦函数性质得， 得到，即的最大值是，故A正确， 对于B，由题意得， 若是偶函数，则，解得，故B错误； 对于C，因为，所以，则， 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减，故不可能在上单调递增，故C错误， 对于D，由题意得， 因为，所以， 由正弦函数性质得，解得，故D正确. 故选：AD． 1．ABD 【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接， 又正方体中，为棱的中点，可得,， 平面,平面,又， 且平面，平面平面, 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小， 此时,所以体积最小值为，故选项B正确； 对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为, ，而，,故选项C不正确； 对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时， 由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心， ,,,所以底面为直角三角形， 所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为, 由,,可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】分段函数单调递减，则要函数在每一段上单调递减，且分段处，左边函数的函数值大于等于右边函数的函数值，得到不等式组，求出答案. 【详解】由题意得：，且当时，， 故，且， 解得：，故的取值范围是. 故答案为： 13． 【分析】利用三角形的面积公式，求得，再由余弦定理，列出方程求求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】由中，，且， 可得，解得， 又由余弦定理得，即， 可得，则，所以， 所以的周长为． 故答案为：． 14． 【分析】先确定点的轨迹，再分析三棱锥体积最大时点的位置，结合勾股定理确定球心和半径，最后利用球的表面积公式求解即可. 【详解】因为，所以P在的中垂面上， 而，则的轨迹为中垂面与以A为球心，为半径的球的交线， 即的轨迹为如图以D为圆心，2为半径的圆，且是的中点，如图所示， 因为，，所以由勾股定理得， 由三角形面积公式得， 若三棱锥体积最大，则到面的距离最大即可，此时在最上面， 易得，，， 且由勾股定理得，此时， 则，即， 得到外接球球心为的中点，即球的半径为， 由球的表面积公式得球的表面积为． 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据坐标运算可得模长以及数量积，即可根据数量积的运算律求解. （2）根据数量积大于0且不共线，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以，，. 因为与垂直， 所以, 即，解得, 故实数m的值为. （2）, , 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 即，解得 当与共线时，，解得， 故， 综上可知，实数k的取值范围为 16．(1) (2) 【分析】(1)由是偶函数，求解的值； （2），，转化为任意的，，进而求解λ的取值范围. 【详解】（1）因为恒成立， 所以． （2）由题意可得，， 令， 则， 即对任意的，， 所以在恒成立， 则， 故λ的取值范围为． 17．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）连接交于O，连接OD，则由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理可得结论. （2）由等边三角形的性质可得，再由棱柱的性质结合已知可得平面，从而得，由线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论. （3）过C作CE于E，连AE，则可得CE⊥平面，从而中得∠CAE是AC与平面所成的角，然后在直角中求解即可. 【详解】（1）在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， 而平面，OD平面， 所以平面. （2）由，是的中点，得， 由平面，得平面，又AD平面，则， 又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，而AD平面， 所以平面平面 （3）在平面内过C作CE于E，连AE， 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， 在直角中，令，则，， 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．(1) (2)①；② 【分析】（1）由正弦定理化简求值即可. （2）①由平面向量基本定理、向量的运算表示与，关系，根据余弦定理及基本不等式运算即可. ②由正弦定理表示,利用基本不等式求值即可. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， 展开得：， ，而,， 故， ，， ，故． （2） ①， ， ， ， ， 根据余弦定理：， ， 令， 则 ， 则当且仅当时等号成立， 解得：时， 时，取最小值． ②为的角平分线 在中，由正弦定理得， 即， ,, ， ． 又，,， ，当且仅当时等号成立， 故 19．(1)，． (2)n的取值为2048，2049，2050． (3)不存在，证明见解析 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）由题意得到，进而可求解； （3）令，通过k为奇数，取，和k为偶数，取，两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，，所以，． （2）因为在中，奇数个“2的幂”和偶数个“2的幂”个数一样多（末尾有为奇数，末尾无为偶数），则与各占一半， 则，， 则，又因为，，， 所以n的取值为2048，2049，2050． （3）不存在，证明如下： 令，不妨设且均为自然数． ①若k为奇数，取，则． ②若k为偶数，取，则，． 综上所述，不存在这样的正整数m． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $