新疆克拉玛依市高级中学高一数学2025-2026学年下学期期中阶段测试（人教A版）

**基本信息** 克拉玛依市高一数学期中卷以复数、向量、解三角形、立体几何为核心，通过桑园子黄河大桥测量等真实情境题，融合数学眼光（空间观念）、思维（运算推理）与语言（模型应用），实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量分解、直观图面积|基础概念辨析，如第3题矩形向量运算| |多选题|3/18|向量投影、空间点线面关系|第10题考查共面与异面直线判定，体现逻辑推理| |填空题|3/15|向量模、圆锥侧面积、三角形面积最值|第14题结合余弦定理求面积最大值，强化模型意识| |解答题|5/77|复数运算、解三角形、立体几何体积表面积|第18题圆柱挖圆锥模型计算，融合空间想象与运算能力| |附加题|2/38|向量与三角函数、动态几何最值|第2题矩形动点问题求最小值，突出创新思维与应用意识|

克拉玛依市高级中学2025-2026-2高一年级期中考试 数学试卷 命题人：莫丽 第I卷（客观题共58分） 注意事项：1、本卷第I卷（选择题）和第II卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。 2、考生将自己姓名、班级、考号分别填写在答题卷左侧装定线以内相应位置。 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1．已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 5．如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．下列说法中正确的是（    ） A．向量能作为平面内所有向量的一组基底 B．若，则 C．若，则与垂直的单位向量坐标为或 D．若，则与的夹角是钝角 7．在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 8．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）   A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C．与夹角的余弦值为 D．若与垂直，则实数 10．下列命题是真命题的是（    ） A．若的三条边所在的直线分别交平面于三点，则三点共线 B．若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线 C．若三条直线两两平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面 D．对于三条直线，若，则 11．在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 第II卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知平面向量，满足，则_____． 13．已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为_____. 14．在中，分别为内角的对边，且．若时，则面积的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（13分）已知复数，，． (1)求的模； (2)当时，求的值； (3)若是纯虚数，求的值； 16、（15分）已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 17、（15分）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 18、（17分）如图所示，某模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面直径为，高为，圆锥母线长为. (1)求该模型的体积； (2)求该模型的表面积； (3)现要用油漆对500个这种模型进行粉刷，油漆费用为每平方米30元，求总费用. 19、（17分）19在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 五、附加题（共38分） 1、（18分）已知向量 ，，且的最小正周期为 (1)求的值； (2)若，解方程； (3)在中，为原点，，，且为锐角，求实数m的取值范围． 2、（20分）如图，分别是矩形的边和上的动点，且. （1）若都是中点，求. （2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值. （3）若，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号 详细知识点 能力 难度系数 预计得分 一、单选题 1 复数的概念； 数学运算 0.9 4.5 2 复数的四则运算； 数学运算，数学抽象 0.9 4.5 3 平面向量的四则运算； 数学运算，直观想象 0.9 4.5 4 利用正余弦定理解三角形； 逻辑推理，数学运算 0.85 4.25 5 斜二测画法中有关量的计算； 直观想象，数学运算 0.8 4 6 平面向量的基本概念； 数学抽象，逻辑推理 0.8 4 7 平面向量共线定理； 逻辑推理，数学运算 0.7 3.5 8 解三角形的实际应用； 数学建模，数学运算，逻辑推理 0.7 3.5 二、多选题 9 平面向量的坐标运算； 数学运算 0.7 4.2 10 点、直线、平面之间的位置关系； 直观想象，空间想象 0.65 3.9 11 三角形中的最值范围问题； 逻辑推理，数学运算 0.55 3.3 三、填空 12 平面向量数量积的运算； 数学运算，直观想象 0.85 4.25 13 锥体的表面积； 直观想象，数学运算 0.8 4 14 解三角形以及最值范围问题； 逻辑推理，数学运算 0.65 3.25 三、解答题 15 复数的四则运算； 数学运算 0.85 11.05 16 平面向量的坐标运算； 数学运算，直观想象 0.75 11.25 17 利用正余弦定理解三角形； 逻辑推理，数学运算 0.7 10.5 18 几何体的表面积与体积； 直观想象，数学运算 0.65 11.05 19 解三角形与三角形中的中线问题； 逻辑推理，数学运算，直观想象 0.55 9.35 附加题 1 三角恒等变换；利用平面向量的坐标运算求参数范围； 数学抽象，数学运算 0.6 10.8 2 数量积的坐标表示，应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求最值； 数学建模，逻辑推理，数据分析 0.5 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 克拉玛依市高级中学2025-2026-2高一年级期中考试 数学试卷详解 一、单选题 1．已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2．（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由复数的运算法则，可得． 3．如图，在矩形中，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在矩形中,，因为为的中点，所以， 则故选：A. 4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】C 【详解】.故选：C 5．如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 可知，，且，因此，的面积为. 故选：B. 6．下列说法中正确的是（    ） A．向量能作为平面内所有向量的一组基底 B．若，则 C．若，则与垂直的单位向量坐标为或 D．若，则与的夹角是钝角 【答案】C 【详解】选项A，，即，向量不能作为平面内所有向量的一组基底，A错误； 对于B，当时，不共线，也满足，B错误； 对于C，设与垂直的向量，则，取，得， 因此与垂直的单位向量为，其坐标为或，C正确； 对于D，由，得与的夹角是钝角或平角，D错误. 故选：C 7．在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】因为，，所以， 方法一：设（）， 则， 所以， 所以，解得； 方法二：因为三点共线， 由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 8．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，设，则，， 所以，解得.所以. 故选：B 二、多选题 9．已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C．与夹角的余弦值为 D．若与垂直，则实数 【答案】AC 【详解】对A，，则，故A正确； 对B，在上的投影向量为，故B错误； 对C，与夹角的余弦值为，故C正确； 对D，，若与垂直， 则，解得，故D错误. 10．下列命题是真命题的是（    ） A．若的三条边所在的直线分别交平面于三点，则三点共线 B．若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线 C．若三条直线两两平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面 D．对于三条直线，若，则 【答案】AC 【详解】对于A，设平面平面，因为平面平面，所以，同理，所以，三点共线，故A是真命题； 对于B，如图，在正方体中，取所在直线为直线， 所在直线为直线所在直线为直线， 满足直线异面，直线异面，而，故B是假命题； 对于C，经过一组相交直线或一组平行直线，有且仅有一个平面，故C为真命题； 对于D，在正方体中，取所在直线为直线 所在直线为直线所在直线为直线，满足，而直线异面，故D为假命题． 故选：AC． 11．在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】AD 【详解】对于A选项，由正弦定理，，是的外接圆的半径， 代入条件得，由余弦定理，， 又，故，故A正确； 对于B选项，将代入，得， 由余弦定理，，故，B错误； 对于C选项，若，由基本不等式可得 的面积， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为，C错误； 对于D选项，由， 得， 由，得，又为锐角三角形，所以， 所以，所以，故.D正确. 三、填空题 12．已知平面向量，满足，则_____． 【答案】 【详解】由，可得，所以， 所以，又，所以， 所以. 故答案为：. 13．已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为_____. 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，，， 圆锥的侧面积. 故答案为：. 14．在中，分别为内角的对边，且．若时，则面积的最大值为______． 【答案】 【详解】由，得，即． ，，．又，由余弦定理得， 即，，，当且仅当时，等号成立． 所以，即时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 四、解答题 15．已知复数，，． (1)求的模； (2)当时，求的值； (3)若是纯虚数，求的值； 【答案】本题13分 （1）||= (2) (3) 【详解】 （1）||=..........3分 （2）当时，..........5分 （3）因为为纯虚数，所以，所以．..........5分 16．已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】本题15分 (1)； (2) 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以...........7分 （2），因为，所以，..........9分 所以..........12分 所以 即向量与的夹角的余弦值为...........15分 17．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 【答案】本题15分 (1) (2)或2 【详解】（1）由，得． 因为，所以转化为..........3分 所以．..........5分 因为，所以．因为，所以．..........7分 （2）由正弦定理，得． 所以或．..........9分 ①当时，由，得，所以；..........12分 ②当时，由，得，..........15分 所以． 综上可得或2． 18．如图所示，某模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面直径为，高为，圆锥母线长为. (1)求该模型的体积； (2)求该模型的表面积； (2)现要用油漆对500个这种模型进行粉刷，油漆费用为每平方米30元，求总费用. 【答案】本题17分 (1) （2）336 (2)元 【分析】（1）先求出圆锥的高，再根据圆柱与圆锥的体积公式，即可求解； （2）先求出组合体的表面积，再求总费用. 【详解】（1） 如图所示，由题可知，，. 所以在中，， 所有该圆柱的体积为 ..........2分 截去的圆锥的体积为，..........4分 故该模型的体积为...........6分 （2）由题可知该圆柱的侧面积为，..........8分 圆柱的上底面的面积为，..........10分 圆锥侧面积为..........12分 故该模型的表面积为..........14分 (3)所以油漆的总费用为元...........17分 19.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 【答案】本题17分 (1) (2)，. (3) 【详解】 （1） 余弦定理可得cosA=,所以..........5分 （2） （2）由，，得...........7分 由余弦定理，得. 则，所以.又则，...........10分 （3）由于，所以根据余弦定理得...........13分 在中，，所以根据余弦定理得 所以...........17分 1．已知向量 ，，且的最小正周期为 (1)求的值； (2)若，解方程； (3)在中，为原点，，，且为锐角，求实数m的取值范围． 【答案】本题18分 (1) (2) (3) 【详解】（1）， 因为的最小正周期为，，所以，解得．..........5分 （2）由得，，即， 所以，或，， 所以，或，，..........10分 又，所以...........12分 （3）因为，，所以， 因为为锐角，所以，解得...........14分 若向量，共线，则，即，解得...........16分 所以向量，不共线时，. 综上，m的取值范围为...........18分 2．如图，分别是矩形的边和上的动点，且. （1）若都是中点，求. （2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值. （3）若，求的最小值. 【答案】本题20分 （1）；（2）；（3）. 【详解】 （1）以点A为原点建系，得,,， ∴...........6分 （2）由（1）知，设， ∴，， ∴ 当时，最大值...........13分 （3）设，则， ∴ ， 当且仅当时，等号成立，故最小值是.........20分 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $