精品解析：新疆维吾尔自治区克拉玛依市独山子第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

独山子第二中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 （卷面分值：150分，考试时长：120分钟，考试时间：2025年4月18日） 命题人：蔡瑞韬审题人：蔡瑞韬 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，，，则实数（ ） A. B. 3 C. D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标公式计算即可. 【详解】因为，，， 所以，解得：. 故选：A. 2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】设外接圆的半径为， 因为，，由正弦定理，， 解得，故外接圆的周长为. 3. i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】. 故选：A. 4. 在中，D为边上的一个三等分点，靠近，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量对应线段的位置、数量关系，用、表示出，即可得. 【详解】由题设. 故选：C 5. ，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量夹角余弦公式可求得结果. 【详解】由题意得：， 故选：A. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的面积公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以的面积为. 故选：B 7. 在中，于点D，，上有个不重合的点：，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律及数量积的几何意义求值即可. 【详解】由， 又，，则， 所以. 故选：B 8. 一个锐角三角形的三边长同时增加相同的长度，得到的边长作为新三角形的边长，则新的三角形形状为（ ） A. 有可能为钝角三角形 B. 还是锐角三角形 C. 有可能为直角三角形 D. 新三边长有可能不能构成三角形 【答案】B 【解析】 【分析】增加同样的长度为，原锐角三角形三边长为，，，则新的三角形三边长可表示出来，进而利用余弦定理求得余弦值大于0，判断出三个角均为锐角，即可得解. 【详解】设增加同样的长度为，原锐角三角形三边长为， 由题意可得，且， 则新三角形的三边长为， 即可解得， 由余弦定理知新三角形的角的余弦为正，则为锐角， 同理可证新的三角形的角的余弦为正，均为锐角， 故新的三角形为锐角三角形. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，i为虚数单位，在复平面内对应的点为(为原点)，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 可能为虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知有，则判断A、C；令判断B、D. 【详解】由题设，则，则， 所以、，A、C对； 若时，，则不成立，为虚数，B错、D对； 故选：ACD 10. 已知为1的立方根，，则x除了可以为1外，还可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由复数根的求解方法求解即可. 【详解】因为，， 所以， 解得：或， 故A、B错误，C、D正确. 故选：CD. 11. 下列关于空间几何体的说法正确的有（ ） A. 正五棱锥侧棱长与底面多边形的边长之比为，则 B. 一个四面体最多有3个面为直角三角形 C. 各个面都是三角形的多面体最多有4个面 D. 为圆台的一条母线，点C和点B在圆台的同一底面圆的圆周上，且两点不重合，则直线一定穿过圆台内部 【答案】AD 【解析】 【分析】A由正五棱锥底面为正五边形，根据正五边形半径与边长的比，结合该棱锥侧棱长，即可判断；B在长方体中找到一个四个面都是直角三角形的四棱锥判断；C利用八面体的结构特征判断；D根据圆台的结构特征直接判断. 【详解】A：对于如下正五边形，，则， 所以，则，又， 所以，对于正五棱锥的侧棱长，则，故成立，对； B：如下长方体中，棱锥的四个面都是直角三角形，错； C：如下图示的八面体，各面都是三角形，不止4个面，错； D：由为圆台的一条母线，点C和点B在圆台的同一底面圆的圆周上，且不重合， 由于圆台侧面是一个曲面，线段在圆台内部，即直线穿过圆台内部，对. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知和为相互垂直的单位向量，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，再由模长的公式展开计算即可. 【详解】因为和为相互垂直的单位向量，所以， . 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边长为2和，且三个顶点都在坐标轴上，直角顶点与坐标原点重合，斜边除了端点外在第一象限，则在对应的斜二测坐标系下，的直观图的周长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】应用分类讨论，结合斜二测画法求直观图对应边长，即可得. 【详解】若直角边为2与纵轴重合，则对应边长为1，则另一直角边对应边长为， 所以斜边对应边长为，故周长为； 若直角边为与纵轴重合，则对应边长为，则另一直角边对应边长为2， 所以斜边对应边长为，故周长为； 综上，直观图的周长为或. 故答案为：或 14. 在中，，，，点D在边上，且，，则_____，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由三角形相似求出；再由余弦定理即可求出. 【详解】因为，，所以， 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，则，则， 解得：或（舍去）， ， 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知i为虚数单位，复数满足：，其中． （1）若为实数，试问当取什么值时，复数为实数； （2）若为实数，试问当取什么值时，复数在复平面内对应的点位于虚轴上： （3）若为纯虚数，试问当取什么值时，复数也为纯虚数． 【答案】（1）或； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由虚部为0，求解值； （2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值； （3）设，整理复数的实部与虚部，令实部为0且虚部不为0，列式求解值． 【小问1详解】 由题可知，复数， 当为实数时，则虚部为， 由，解得：或； 【小问2详解】 复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则， 解得：； 【小问3详解】 设，为实数， 所以 ， 因为复数为纯虚数，所以， 解得：，所以. 16. 已知，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． （1）求A； （2）若为锐角三角形，求B的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为关于角的方程，解出角的值； （2）结合三角形内角和及锐角三角形的条件通过角度关系确定的范围； （3）应用正弦定理将边转化为角的正弦表达式，通过三角恒等变换化简目标式，结合角度范围求取值. 【小问1详解】 由余弦定理可得：， 所以， 解得：，因为，所以. 【小问2详解】 为锐角三角形，所以， 所以，解得：. 【小问3详解】 因为，，所以由正弦定理可得：， 所以 因为，所以， 所以，所以的取值范围为. 17. 已知，． （1）求与共线同向的单位向量： （2）若，求； （3）若为单位向量，，，，经过平移，可以平移到同一平面内，且三个向量两两之间的夹角相等，求． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）与共线同向的单位向量为，再根据，解方程即可得出答案； （2）设，根据题意可得，解方程即可得出答案； （3）由题可得两两的夹角为或，根据平面向量数量积的定义，运算律及向量夹角公式即得. 【小问1详解】 设与共线同向的单位向量为， 因为，所以，解得：. 所以与共线同向的单位向量为； 【小问2详解】 ，，设， 若，则，解得：或， 所以或； 【小问3详解】 因为向量的夹角两两相等，且，，， 两两的夹角为或， 若两两的夹角为，所以， 若两两的夹角为，由已知可得，， ，， 则 ， 则. 所以或. 18. 平面四边形为凸四边形，即任意内角都小于180°． （1）若在四边形中，和的外接圆半径相等，求证：和相等或互补； （2）试证明：当时，四边形存在外接圆； （3）在锐角三角形中，P为线段（不包含端点）上一动点，过P分别作和边的垂线，垂足为M，N．已知，三角形面积为S，，试用，S，m来表示线段长度的最小值． 【答案】（1） 由题意，设和的外接圆半径均为， 由正弦定理，在中，，在中，, 故， 所以和相等或互补. （2）当时，和的外接圆均以直径， 因此四点四点共圆，即四边形存在外接圆. （3） 【解析】 【分析】（1）设和的外接圆半径均为，由正弦定理得，，即可得证； （2）由得和的外接圆均以直径，从而得四点四点共圆，即可得证； （3）设，，，，可得.由,得，，从而求得向量与的模长，由余弦定理得，结合已知条件化简可得，令，求得，进而求得线段长度的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，，， 所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 即， 所以. 因为,, 所以为在方向上的投影向量，为在方向上的投影向量， 所以, ， 所以， ， 所以， 由余弦定理可得， 所以 因为， 所以， 令， 当时，取到最小值， 因为，所以， 其中，所以，所以， 则. 所以 , 联立，可得 所以 所以， 所以， 故线段长度的最小值为. 19. 在中，M为的一个三等分点，靠近C，N为的一个四等分点，靠近A，和交于点P，，． （1）求与面积的比值； （2）求线段长度； （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）4 （3）120 【解析】 【分析】（1）由已知结合三角形面积公式即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算可得，由三点共线可得，解得，从而即可得解； （3）设，，，，由平面向量线性运算得且，从而解得，的值，由已知条件，利用向量模的运算，求得，，化简得，，结合三角形面积公式化简求得，从而求得的最大值，即可得解. 【小问1详解】 由题意得，， 因为，， 所以， 所以与面积的比值为. 【小问2详解】 由题意知，设， , 因为三点共线，所以，解得， 所以，, 所以，， 又，所以，， 故线段长度为4. 【小问3详解】 由题意得，，， 设，，，， 则，， ， 则， ， 则, 所以，解得， 所以，， 所以， ， 即，， 化简得①，②， 由得：， 由得：， 因为面积，又， 所以 将与代入， 得， 当时，取得最大值, 所以，所以面积最大值为120. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 独山子第二中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 （卷面分值：150分，考试时长：120分钟，考试时间：2025年4月18日） 命题人：蔡瑞韬审题人：蔡瑞韬 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，，，则实数（ ） A. B. 3 C. D. -3 2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 2 D. 1 3. i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，D为边上的一个三等分点，靠近，，，则（ ） A. B. C. D. 5. ，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，于点D，，上有个不重合的点：，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 一个锐角三角形的三边长同时增加相同的长度，得到的边长作为新三角形的边长，则新的三角形形状为（ ） A. 有可能为钝角三角形 B. 还是锐角三角形 C. 有可能为直角三角形 D. 新三边长有可能不能构成三角形 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，i为虚数单位，在复平面内对应的点为(为原点)，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 可能为虚数 10. 已知为1的立方根，，则x除了可以为1外，还可以是（ ） A. B. C. D. 11. 下列关于空间几何体的说法正确的有（ ） A. 正五棱锥侧棱长与底面多边形的边长之比为，则 B. 一个四面体最多有3个面为直角三角形 C. 各个面都是三角形的多面体最多有4个面 D. 为圆台的一条母线，点C和点B在圆台的同一底面圆的圆周上，且两点不重合，则直线一定穿过圆台内部 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知和为相互垂直的单位向量，则_____． 13. 在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边长为2和，且三个顶点都在坐标轴上，直角顶点与坐标原点重合，斜边除了端点外在第一象限，则在对应的斜二测坐标系下，的直观图的周长为_____． 14. 在中，，，，点D在边上，且，，则_____，______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知i为虚数单位，复数满足：，其中． （1）若为实数，试问当取什么值时，复数为实数； （2）若为实数，试问当取什么值时，复数在复平面内对应的点位于虚轴上： （3）若为纯虚数，试问当取什么值时，复数也为纯虚数． 16. 已知，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． （1）求A； （2）若为锐角三角形，求B的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知，求的取值范围． 17. 已知，． （1）求与共线同向的单位向量： （2）若，求； （3）若为单位向量，，，，经过平移，可以平移到同一平面内，且三个向量两两之间的夹角相等，求． 18. 平面四边形为凸四边形，即任意内角都小于180°． （1）若在四边形中，和的外接圆半径相等，求证：和相等或互补； （2）试证明：当时，四边形存在外接圆； （3）在锐角三角形中，P为线段（不包含端点）上一动点，过P分别作和边的垂线，垂足为M，N．已知，三角形面积为S，，试用，S，m来表示线段长度的最小值． 19. 在中，M为的一个三等分点，靠近C，N为的一个四等分点，靠近A，和交于点P，，． （1）求与面积的比值； （2）求线段长度； （3）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $