新疆克拉玛依市高级中学2026届高考数学模拟卷

**基本信息** 覆盖函数、几何、概率等主干知识，通过分层设计（单选基础、多选综合、解答题递进）考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数虚部、集合运算、统计（成绩分析）、椭圆离心率|单选注重基础，多选如三角形性质题综合考查推理能力| |填空题|3/15|向量垂直、古典概型、抛物线与圆最值|第14题结合抛物线与圆考查数学眼光下的距离模型构建| |解答题|5/77|数列求和、概率分布列、立体几何翻折、导数应用|第18题翻折问题考查空间观念，第19题导数结合对称性突出逻辑推理，贴合高考综合题命题趋势|

高考数学模拟试卷 （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷（4页）和答题卡（2页），答案务必书写在答题卡的指定位置上. 2.答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.的虚部为（ ） A． B.3 C． D．4 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3.某老师对比甲、乙两名学生最近5次数学月考成绩，甲：，乙：，则下列结论正确的是（    ） A．甲成绩的平均数较小 B．乙成绩的中位数较大 C．乙成绩的极差较大 D．乙比甲的成绩稳定 4．已知分别是椭圆的两个焦点，点在上，若的最大值为2，则（    ） A． B．2 C．4 D．16 5.已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8.已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的大小是 C．若的面积，则 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 10.已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极值点为 B．的极值点为1 C．直线是曲线的一条切线 D．有两个零点 11．如图一，有一个半径为8的半圆形铁片（铁片厚度忽略不计），将其裁剪成如图二的形状并制成一个带底的封闭圆锥桶（如图三，连接处损耗不计），在该圆锥桶内放入一个注满水的半径为r的小球，下列说法正确的是（   ） A．所制成的圆锥桶的体积为 B．当球内水的体积最大时 C．将球内的水从圆锥顶点倒回圆锥桶内，水面高度一定小于 D．当时，让小球在该圆锥桶内自由运动，则小球能接触到圆锥桶内部的最大侧面积为 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知向量，，且，则_________． 13．已知某社区的10位选民中有5位支持候选人甲，现随机采访他们中间的4位，其中有2位支持候选人甲的概率为 14.已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分。解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前n项和. 16．甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； 17．已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. 18．如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. (1)证明：平面. (2)若存在点，使得点到，，，的距离相等. （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 19.已知函数，为的导函数，曲线关于点对称. (1)求的值； (2)，恒成立. （i）求b的值并探究的零点个数； （ii）若，且，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考数学模拟考试细目表 一、试卷结构说明 单项选择题：8 道（每题 5 分，共 40 分） 多项选择题：3 道（每题 6 分，共 18分） 填空题：3 道（每题 5 分，共 15 分） 解答题：5 道（共 70 分） 总题量：19 题 | 总分：150 分 | 时长：120 分钟 难度配比：易5 : 中 3: 难2 （完全匹配 2025 新高考 II 卷难度梯度） 命题风格：回归教材、扎实基础、链接高考、稳中微创新 二、逐题命题细目表 题号 题型 分值 必备知识 高考对应模块 关键能力 难度 2025 真题同源溯源 教材同源溯源 1 单选 5 复数四则运算、复数的实部与虚部 复数 数学运算 0.95 2025·全国Ⅰ卷·第1题 人教版必修二P81页第4题 2 单选 5 集合交并补、简单不等式解集 集合与逻辑 数学运算 0.95 2025·新课标Ⅱ卷·第3题 人教版必修一P12页第2题 3 单选 5 计算数据的极差、方差、平均数、中位数 统计 数学运算 0.95 2024·新课标Ⅱ卷·第4题 人教版选择性必修三P67页问题2 4 单选 5 基本不等式求积的最大值、椭圆定义 基本不等式 数学运算 0.85 2021·新高考全国Ⅰ卷·第5题 人教版必修一P45页例2 5 单选 5 等比数列基本公式、通项求和 数列 运算、推理 0.85 2025·全国Ⅱ卷·第9题 人教版选择性必修二P37页第3题 6 单选 5 由奇偶性求函数解析式 函数 运算、推理 0.85 2025 年新高考全国Ⅱ卷·第10 题 人教A 版必修一86 页第11题 7 单选 5 椭圆的标准方程、离心率 解析几何 数形结合 0.65 2018年高考全国2卷第12题 人教A版选择性必修一P112 例4 8 单选压轴 5 三角恒等变化与三角函数的图像与性质 三角函数 数形结合 0.65 2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷参考版）第8题 人教A 版必修一教材 P225 例 1 P229例9 9 多选 6 正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 解三角形 运算、推理 0.65 2021年高考数学天津卷16题第一问和第二问 人教 A 版必修第二册 6.4 解三角形 •练习题 10 多选 6 导数的综合应用问题 导数 运算、推理、数形结合 0.65 2018 全国 II 卷第 10 题 人教 A 版选择性必修第二册P68 例 1 - 例 3，P78 例 4，P80 例 6，P91 习题 5.3 第 10 题。 11 多选 6 圆锥的侧面积和体积 立体几何 数学运算与逻辑推理 0.4 2020年新高考3卷第15题 人教A版必修二P120 习题8.3 第4题 12 填空 5 平面向量的坐标概念 平面向量 数学运算逻辑推理 0.95 2024年新高考I卷第3题 人教A版必修二P34 例4 13 填空 5 古典概型、基础概率计算 概率统计 数据分析 0.85 2023·全国乙卷文·第9题 人教版选择性必修三P80页第2题 14 填空 5 抛物线的性质、圆的性质。 圆锥曲线 数形结合、化归与转化 0.4 2021年普通高等学校招生全国统一考试 第21题 人教A版选择性必修一P146 复习参考题3 第12题 15 解答 13 数列通项、裂项 / 错位相减求和 数列 推理、运算 0.85 2013·山东·第20题 人教版选择性必修二P56页第11题 16 解答 15 独立重复试验、二项分布、期望 概率统计 数据分析、建模 0.85 2025·全国二卷·第19题 人教版选择性必修三P75页例3题 17 解答 15 直线与双曲线的位置关系问题 圆锥曲线 数学运算与数形结合 0.65 2023年全国甲卷第20题 人教A版选择性必修一P127 练习 第3题 18 解答 17 空间中的线面位置关系、向量方法解决线面平行、点到平面的距离、二面角等问题 立体几何 直观想象与数学运算 0.5 2025年新高考1卷第17题 人教A版选择性必修一教材P140 例4、P144 例7 19 解答 17 导数综合应用问题 导数 数学运算与逻辑推理 0.4 2022 新高考 I 卷第 22 题 人教 A 版选择性必修第二册P68 例 1 - 例 3，P78 习题 5.2 第 11 题，P87 例 4，P91 习题 5.3 第 10 题。 三、考点覆盖说明 全覆盖 2025 新高考 II 卷必考八大主干： 集合复数、向量、函数导数、三角数列、立体几何、解析几何、概率统计、计数原理 命题特色（创新 + 实用） 无老旧怪题、无超纲旧课标内容 每题自带真题溯源 + 教材溯源，直接服务课堂教学 四、学情诊断功能 基础题：抓全员底线分数 中档题：抓中等生区分度（高考得分主体） 压轴题：选拔优生高阶思维能力 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考数学模拟试卷答案 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.的虚部为（ ） A． B.3 C． D．4 【命题说明】 （1）教材题源：人教版必修二P81页第4题 （2）高考题源：2025·全国一卷·第1题 （3）课标要求：①通过方程的解，认识复数。 ②理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义。 ③掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义。 （4）知识点：求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘、除法运算 【参考答案】C. 【难度】0.95 【详解】因为，所以其虚部为.故选：C． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【命题说明】 （1）教材题源：人教版必修一P12页第2题 （2）高考题源：2025·新课标Ⅱ卷·第3题 （3）课标要求：①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。②能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。 （4）知识点：交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【参考答案】B. 【难度】0.95 【详解】因为，而， 所以 ． 故选：B． 3.某老师对比甲、乙两名学生最近5次数学月考成绩，甲：，乙：，则下列结论正确的是（    ） A．甲成绩的平均数较小 B．乙成绩的中位数较大 C．乙成绩的极差较大 D．乙比甲的成绩稳定 【命题说明】 （1）教材题源：人教版选择性必修三P67页问题2 （2）高考题源： 2024·新课标Ⅱ卷·第4题 （3）课标要求：①结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数 （平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义。 ②结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数 （标准差、方差、 极差），理解离散程度参数的统计含义。 （4）知识点：计算几个数据的极差、方差、平均数、中位数 【参考答案】D. 【难度】0.95 【分析】分别计算出两组数据的平均数、中位数、极差和方差即可得答案. 【详解】设甲、乙成绩的平均数分别为，方差分别为， 则，， ，甲成绩的平均数较大，故A错误； 甲成绩的中位数为129，乙成绩的中位数为119，乙成绩的中位数较小，故B错误； 甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，乙成绩的极差较小，故C错误； ，， ，乙比甲的成绩稳定，故D正确． 故选：D． 4．已知分别是椭圆的两个焦点，点在上，若的最大值为2，则（    ） A． B．2 C．4 D．16 【命题说明】 （1）教材题源：人教版必修一P45页例2 （2）高考题源： 2021·新高考全国Ⅰ卷·第5题 （3）课标要求：掌握基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 （4）知识点：基本不等式求积的最大值、椭圆定义及辨析 【参考答案】B. 【难度】0.85 【分析】利用基本不等式即可求得最大时对应的值. 【详解】根据椭圆的定义得，则，当且仅当时，等号成立. 故选:B 5.已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【命题说明】 （1）教材题源：人教版选择性必修二P37页第3题 （2）高考题源：2025·全国二卷·第9题 （3）课标要求：①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。 （4）知识点：等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【参考答案】C. 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式即可求解. 【详解】由等比通项公式得：， 又因为，所以， B错误； 再由，,故A错误 所以，故C正确，D错误； 故选：C. 6．已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【命题说明】： （1）教材题源：人教A 版必修一86 页第11题； （2）高考题源：2025 年新高考全国Ⅱ卷第10 题； 具体：（2025 年新高考全国Ⅱ卷第10 题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD （3）课标要求：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。 （4）知识点：由奇偶性求函数解析式 【本题答案】C 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【命题说明】 教材题源：人教A版选择性必修一P112 例4 （2）高考题源：2018年高考全国2卷第12题 （3）课标要求：①理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程和几何性质；②能利用正弦定理、余弦定理解决三角形相关问题；③体会“数形结合”的数学思想，能将几何问题转化为代数关系求解。 （4）知识点：椭圆的性质、解三角形 【参考答案】D. 由题意，，又 ， 所以，，又， 所以椭圆的离心率 8.已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【命题说明】： （1）教材题源：人教A 版必修一教材 P225 例 1 P229例9 （2）高考题源：2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷参考版）第8题，压轴题。 已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 B． C． D． （3）课标要求：能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式，推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）；借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出三角函数的图像，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值；结合具体实例，了解 \(y=A\sin(\omega x+\varphi)\) 的实际意义；能借助图像理解参数 \(A,\omega,\varphi\) 对函数图像变化的影响；会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 （4）知识点：三角恒等变化与三角函数的图像与性质 【答案】D 本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的大小是 C．若的面积，则 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【命题说明】： （1）教材题源：新教材（2019 人教 A 版）：必修第二册 第六章 平面向量及其应用 → 6.4 解三角形 • 同源母题：边长为 5,7,8 的三角形，求边长 7 所对的角（即本题 ），是课本经典变式习题； （2）高考题源：2021年高考数学天津卷16题第一问和第二问 （3）课标要求：探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理. （4）知识点：正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【答案】ACD 【分析】对于A，由正弦定理边角互化结合大边对大角可判断选项正误； 对于B，由正弦定理（为外接圆的半径）， 又，所以， 令，则、， 所以， 又，所以； 对于C，由面积公式结合余弦定理可判断选项正误；对于D，由正弦定理边角互化结合三角函数性质可判断选项正误； 10.已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极值点为 B．的极值点为1 C．直线是曲线的一条切线 D．有两个零点 【答案】BC 详解】对A：因为，所以， 令，得；令，得， 所以在上单调递减；在上单调递增. 可知在处取得唯一极小值，也是的最小值， 所以的极值点为，故A错误，B正确； 对C：因为，， 所以在处的切线方程为， 即，故C正确． 对D：因为，，结合在上的单调性， 可知是在上的唯一零点； 当时，恒成立，故恒成立， 所以在上没有零点； 综上：只有一个零点，故D错误． 故选：BC. 【命题说明】： 教材题源：人教 A 版选择性必修第二册P68 例 1 - 例 3，P78 例 4，P80 例 6，P91 习题 5.3 第 10 题。 （2）高考题源：2018 全国 II 卷第 10 题 （3）课标要求：能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；了解导数的几何意义，能求函数在某点处的切线方程；能利用导数研究函数的零点问题。 （4）知识点： · 导数运算：商的导数法则、指数函数求导 · 极值概念：区分极值点（横坐标）与极值（函数值） · 导数几何意义：切线斜率与方程的求解 · 函数性质：利用导数判断单调性、求极值、分析零点个数 11．如图一，有一个半径为8的半圆形铁片（铁片厚度忽略不计），将其裁剪成如图二的形状并制成一个带底的封闭圆锥桶（如图三，连接处损耗不计），在该圆锥桶内放入一个注满水的半径为r的小球，下列说法正确的是（   ） A．所制成的圆锥桶的体积为 B．当球内水的体积最大时 C．将球内的水从圆锥顶点倒回圆锥桶内，水面高度一定小于 D．当时，让小球在该圆锥桶内自由运动，则小球能接触到圆锥桶内部的最大侧面积为 【命题说明】 教材题源：人教A版必修二P120 习题8.3 第4题 高考题源：2020年新高考3卷第15题 （3）课标要求：①能根据几何体的结构特征，计算圆锥的侧面积和体积；②能解决与圆锥、球相关的简单切接问题，会用轴截面分析空间几何体的位置关系；③能将实际问题（如制作圆锥桶、小球在容器内运动）转化为空间几何模型，解决与体积、面积相关的实际问题。 （4）知识点：空间几何体的表面积和体积、空间几何体的内切球问题。 【参考答案】ABD. 对于A，对制成的圆锥桶，设盖子的半径为r，母线长为l， 则，解得， 则圆锥桶的高， 所以圆锥桶的体积，A错误. 对于B，当圆锥桶内能放入最大球，则此球与圆锥的侧面和底面都内切， 设此球的半径为，轴截面如图所示， 由相似三角形知，，解得，B正确. 对于C，此时球内水的最大体积为：， 当圆锥桶内水的高度为时，没有装水的部分是一个底面半径为1，高为的圆锥， 没有水部分的体积， 所以当圆锥桶内水的高度为时，能装的水的体积． 又因为，所以将球内的水倒回圆锥桶内，水面高度一定小于，C正确. 对于D，如图，画出示意图，小球在圆锥桶内自由运动时，在圆锥桶侧面接触到的地方是一个圆台的侧面， 其中E，F，G，J为该圆台的截面上的点，在圆锥桶底面是一个圆， 其中H，K是这个圆的直径，，，， 所以圆台侧面积， D正确. 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知向量，，且，则_________． 【命题说明】 教材题源：人教A版必修二P34 例4 （2）高考题源：2024年新高考I卷第3题 （3）课标要求：①理解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算；②能用向量平行的坐标表示解决简单问题，发展数学运算与逻辑推理素养。 （4）知识点：平面向量共线问题。 【参考答案】-8. 已知向量，，且， 则，解得. 13．已知某社区的10位选民中有5位支持候选人甲，现随机采访他们中间的4位，其中有2位支持候选人甲的概率为 ． 【命题说明】 （1）教材题源：人教版选择性必修三P80页第2题 （2）高考题源：2023·全国乙卷文·第9题 （3）课标要求：①结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件 的概率。 （4）知识点：计算古典概型问题的概率 【参考答案】 【难度】0.85 【分析】根据超几何分布的概率计算公式，根据已知条件，即可求得结果. 【详解】有2位支持候选人甲的概率. 14. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为_________． 【命题说明】 教材题源：人教A版选择性必修一P146 复习参考题3 第12题 （2）高考题源：2021年普通高等学校招生全国统一考试 第21题 （3）课标要求：①理解抛物线定义、标准方程与几何性质，会用定义实现焦半径与点到准线距离的转化，②掌握圆的几何性质，能求解圆上动点的距离最值，③综合运用数形结合、转化化归思想，解决抛物线与圆的综合最值问题。 （4）知识点：抛物线的性质、圆的性质。 【参考答案】2 【解析】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 4、 解答题：本大题共5小题，共计77分。解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前n项和. 【命题说明】 （1）教材题源：人教版选择性必修二P56页第11题 （2）高考题源：2013·山东·第20题 （3）课标要求： ①探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。②能在具体的问题情境中，发现数列的等差、等比关系，并解决相应的问题。 （4）知识点：等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、错位相减法求和 【难度】0.85 （4）知识点：等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组即可； （2）利用错位相减法求和可得答案. 【参考答案】(1) (2) 【详解】本题13分 （1）设等差数列的公差为d， 由，可得，可得①.........2分 由可得，整理可得②..........3分 联立①②可得，..........4分 所以.........5分 （2）因为，则..........7分 所以，.........8分 上式-下式得 .........10分 . 因此，..........13分 16．甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； 【详解】本题15分 【命题说明】 （1）教材题源：人教版选择性必修三P75页例3题 （2）高考题源：2025·全国二卷·第19题 （3）课标要求：①结合古典概型，理解条件概率与独立性的关系。②通过具体实例，理解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题。 （4）知识点：独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【参考答案】(1) (2)分布列见解析 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，利用独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）根据题意，得到比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5，求得相应的概率，列出随机变量的分布列，结合期望的公式，求得数学期望； （1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，则．.........5分 （2）比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5，.........7分 可得，， ．    .........13分       所以随机变量的分布列为： X 3 4 5 P 所以期望为．.........15分 17．已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. 【命题说明】 教材题源：人教A版选择性必修一P127 练习 第3题 （2）高考题源：2023年全国甲卷第20题 （3）课标要求：①能根据双曲线的几何性质，求双曲线的标准方程；②能解决直线与双曲线的位置关系问题，会用代数方法（联立方程、韦达定理）分析交点、弦长、面积等几何量；③能将几何条件（如垂直关系、三角形面积）转化为代数方程，发展用代数方法解决几何问题的能力。 （4）知识点：双曲线的定义、双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系。 【参考答案】本题15分 (1)(2) （1）由题可知，设. 因为直线与轴垂直，所以直线的方程为，与的方程联立得， 由，可知是等腰直角三角形，所以， 即，解得（负值舍去），所以， 所以的方程为..........5分 （2）由（1）可得，，.........7分 由得，........8分 设，，且，则，..........9分 所以. 由（1）可得，， 又，.........13分 所以. .........15分 18．如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. (1)证明：平面. (2)若存在点，使得点到，，，的距离相等. （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 【命题说明】 （1）教材题源：人教A版选择性必修一教材P140 例4、P144 例7 （2）高考题源：2025年新高考1卷第17题 （3）课标要求：1.能利用线面平行、面面垂直的判定与性质定理，证明空间中的线面位置关系；2. 能建立空间直角坐标系，用向量方法解决线面平行、点到平面的距离、二面角等问题；3.能将翻折问题转化为静态的空间几何模型，解决空间中的轨迹、最值等综合问题，发展几何直观与数学运算素养。 （4）知识点：线面平行的判定定理、外接球问题、空间角和空间距离问题、探究性问题。 【参考答案】本题17分 （1）证明：在矩形中，因为∥，， 所以四边形为正方形， 则，，即，又， 所以平面，则是平面的一个法向量， 同理证得平面，又平面， 所以，即， 又平面，所以∥平面..........5分 （2）连接，，由（1）知，∥，且平面， 所以平面，则， 因为平面平面，且，平面平面， 所以平面，又平面，则， 在，中，当为的中点时，点到，，，的距离相等.    （ⅰ）由上知，，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，. 设平面的法向量为， ，令，则 所以点到平面的距离为...........12分 （ⅱ）由可知，点在以为球心，以为半径的球的球面上， 当，，共线，且位于线段上时，取得最小值. 由坐标系可知，， ，所以， 则，又， 设平面的法向量为， ，令，则， 由（1）知是平面的一个法向量，记为， 于是，故平面与平面夹角的余弦值为...........17分 19.已知函数，为的导函数，曲线关于点对称. (1)求的值； (2)，恒成立. （i）求b的值并探究的零点个数； （ii）若，且，证明：. 【命题说明】： （1）教材题源：人教 A 版选择性必修第二册P68 例 1 - 例 3，P78 习题 5.2 第 11 题，P87 例 4，P91 习题 5.3 第 10 题。 （2）高考题源：2022 新高考 I 卷第 22 题 （3）课标要求： 掌握基本初等函数的导数及四则运算法则；理解函数的对称性； 能利用导数解决简单的恒成立问题，判断函数零点个数；发展逻辑推理素养。 （4）知识点：导数的运算：多项式函数、三角函数的导数；函数的对称性：导函数与原函数的对称关系；导数的应用：不等式恒成立问题、利用导数研究函数的单调性与零点；逻辑推理：参数求解的分类讨论、零点存在性定理的应用。 【答案】(1) (2)（i）b=（ii）证明见解析 【解析】本题17分 （1）对进行求导，得， 又曲线关于点对称，， 即， 即，.............5分 （2）（i）由（1）知，，， 若恒成立，即恒成立， 若，取，则，不合题意， 若，，此时，故 b的值为.， 记，则， 当时，单调递增，且， 故存在，使得， 当时，，，无零点； 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又，时，有一个零点， 由对称性可得时，有一个零点， 综上，有个零点.............11分 （ii），， 故的图像关于对称， 由（i）得，当时，，单调递增； 时，，单调递减， 由对称性可知，时，单调递增；时，单调递减， 当时，，下证此时， 设，则， 当时，单调递增，, 即，又，，即， 当时，显然， 当时，显然， 综上，得证............17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $