7.5正态分布 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦“正态分布”核心内容，涵盖连续型随机变量概念、正态密度函数、正态曲线性质、参数μ和σ的意义及3σ原则等知识点。通过复习离散型随机变量的二项分布与超几何分布，结合食盐质量误差的100个实测数据情境导入，搭建从离散到连续的认知支架，引导学生逐步探究连续型随机变量的分布规律。 其亮点在于以真实情境和问题链驱动探究，体现“会用数学眼光观察现实世界”，如通过误差数据的频率分布直方图抽象出钟形曲线。通过参数μ和σ对曲线形状影响的探究，培养“会用数学思维思考现实世界”的逻辑推理能力。借助面积表示概率、3σ原则等，强化“会用数学语言表达现实世界”的模型意识。典例分析结合生活实际，当堂测试融入高考模拟题，采用情境探究与数形结合的教学方法，小结系统归纳知识要点。这帮助学生发展直观想象和数据分析素养，也为教师提供从情境到应用的完整教学资源，提升教学效率。

立德·勤学·求实·志远 7.5 正态分布 第七章 随机变量及其分布 前面我们已经学习了离散型随机变量及其分布列，有哪些比较经典的分布列？ 复习回顾 1. 二项分布 若X ~ B(n, p)，则 E(X)= , D(X)= . np np(1-p) 2.超几何分布及其分布列 M N－M 记为X~H(N,n, M). E(X)=np (其中)，D(X)=np(1-p) 学习目标 刻画的是____随机变量的概率分布，如何刻画？ 正态分布 是什么？有什么用？怎么用？ 情境引入 问题（课本83页）：自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为.由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用表示这种误差.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差(单位:)的观测值如下: 不是，是连续型随机变量 新知探究 问题1：根据样本数据及生活经验，此问题中的随机变量 是离散型随机变量吗？ 问题2：生活中还有哪些连续型随机变量的例子？ 问题3：随机抽取一袋食盐，质量误差刚好是-0.1的概率是多少？ 随机变量可以取某区间内的一切值 在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度，电容器的电容量，电子管的使用寿命等)； 在测量中，长度测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等； 在生物学中，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等； 连续型随机变量的特征是在某一个区间内，任取一点的概率均为0，所以我们更多的是研究其在某个区间内的概率大小 所求概率为0 新知探究 问题4：如何研究连续型随机变量在某个区间内的概率大小呢？比如我们近似得到食盐的质量误差在[0,2]（单位：g）的概率呢？在前面的统计章节中有没有学过相关知识？ 问题5：如何描述这100个样本误差数据的分布? 频率分布直方图 面积即为概率 新知探究 问题5：如何描述这100个样本误差数据的分布? 可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布.如图（1） 观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁. 其中每个小矩形的面积表示误差落在 相应区间内的频率， 所有小矩形的面积之和为1. n=1000 ？ 新知探究 追问：增加样本容量，细化分组，缩小组距，频率分布直方图的轮廓会如何变化？ 钟形曲线 钟形曲线 中间高，两边低，左右对称 面积 存在. 刻画随机误差分布的解析式为 问题6：钟形曲线有何特征?在某区间[a,b]内的概率可用什么来代替？ 频率 / 组距 X a 0 0.15 0.05 0.10 0.20 b 问题7：由函数知识可知，钟形曲线是一个函数，那么这个函数是否存在解析式呢？ f (x) x 正态密度函数 正态密度函数 频率 / 组距 X a 0 0.15 0.05 0.10 0.20 b f (x) x 法国 棣莫弗 德国 高斯 1733年 二项概率计算公式 正态密度函数首次露面 1777-1855年 “误差分布”理论， 正态分布 也称高斯分布 概念生成 正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数f(x)， 则称随机变量X服从正态分布. 正态密度曲线 简称“正态曲线” 其中μ∈R，σ>0为参数. 特别地，当μ=0, σ=1时， 称随机变量X服从标准正态分布. y 0 1 2 -1 -2 x -3 3 μ=0 σ=1 100个数据(食盐质量误差) 100个数据的频率分布直方图轮廓 n(n>>100)个数据的频率分布直方图轮廓 接近一条光滑的钟型曲线 正态密度曲线 问题8：如何构建适当的概率模型刻画误差的分布? 正态分布 追问2 正态分布曲线是如何刻画随机变量的概率分布的呢？ 若X~N(μ，σ2)，则如右图所示， 面积即为概率！ f (x) x μ a A B x b O ？ ？ 正态曲线的特点 其中μ∈R，σ>0为参数. 形 直观感受 数 ①曲线在x轴的上方，x轴为渐近线 ②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称 ③曲线在x=μ处取得最大值 曲线与x轴间的区域面积为1 ④ 证明 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征? 1 σ=0.5 3 2 μ=-1 μ=0　 μ=1 μ为位置参数 反映了正态分布的集中位置， 可以用均值来估计. 故有E(X)=μ. 探究 μ=0　  =0.5 =1 =2 为形状参数 反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度，可以用标准差来估计，故有D(X)=σ2. σ越大，曲线越“矮胖”， 表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”， 表示总体的分布越集中. 归纳小结 其中μ∈R，σ>0为参数. ①曲线在x轴的上方，x轴为渐近线 ②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称 ③曲线在x=μ处取得最大值 曲线与x轴间的区域面积为1， ④ 2.性质： ⑤为位置参数，为形状参数， E(X)=μ，D(X)=σ2. 小试牛刀 思考：利用正态分布计算概率，关键步骤是什么？ 确定参数 ，画出图形并标出对应区间 频率 / 组距 X -2 0 2 典例分析 P86-例.李明上学有时坐公交车, 有时骑单车, 他各记录了50次坐公交车和骑单车所花的时间, 经数据分析得到: 坐公交车平均用时30min, 样本方差为36; 骑单车平均用时34min, 样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X，Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线； (3)如果某天有38min可用,李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由. 正态分布中特殊区间的概率 假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值. 在实际应用中, 通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值, 这在统计学中称为3σ原则. 几乎不可能发生 归纳小结 其中μ∈R，σ>0为参数. E(X)=μ，D(X)=σ2. 正态分布 正态曲线及性质 数形结合 概率计算 A. 0.6827 B. 0.8186 C. 0.8413 D. 0.9545 当堂测试 2024广州市二模 A. 0.6827 2. 已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布N（45，52），其中果实横径落在[40，55]的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为( ) Lavf58.29.100 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v0.7.45 Lavf58.29.100 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v1.0.1 $