专题04 随机变量及其分布（12大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高二数学下学期人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 以知识清单为基、12大题型为脉，系统构建随机变量及其分布的概念体系与解题方法，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |条件概率等9大知识模块|每模块含定义+性质+解题步骤|条件概率定义法与样本点法、全概率公式分步求解等|从基础概率到随机变量分布列、数字特征，再到二项分布等具体模型递进| |12大重点题型|每题5道典型例题|分布列四步求解、均值方差性质应用等|题型与方法一一对应，覆盖期末高频考点与易错点|

专题04 随机变量及其分布（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 条件概率】 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)=. (2)样本点法：P(B|A)=. 【知识清单2 全概率公式】 1．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有.我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解. 2．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 3．利用全概率公式的解题思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【注】1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 【知识清单3 离散型随机变量及其分布列】 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 4．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【知识清单4 两点分布】 1．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布的理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【知识清单5 离散型随机变量的均值】 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=x1p1+x2p2++xipi++xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 3．求离散型随机变量ξ的均值的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ). 【知识清单6 离散型随机变量的方差】 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；当b=0时，D(aX)=a2D(X). 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 4．求离散型随机变量ξ的方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由方差的定义求D(ξ). 【知识清单7 二项分布】 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【知识清单8 超几何分布】 1．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n,N,M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义. 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 3．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 【知识清单9 正态分布】 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若X~N(μ,σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【注】若X服从正态分布，即X～N(μ,σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题. 题型1 条件概率  1．（24-25高二下·福建·期末）从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据条件概率公式求出条件概率即可. 【解答过程】由题意，在1~10这10个数字中，5的倍数有5、10，共2个， 所以事件A发生的概率， 记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”， 若第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 所以. 根据条件概率公式，. 故选：B. 2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·广东湛江·期末）一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用条件概率公式即可解出答案. 【解答过程】设事件为“从箱子中任取两球均为红色”， 事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”． 则由题意知， ,， 所求概率为. 故选：B． 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则__________． 【答案】 【解题思路】根据条件概率的公式进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 解得. 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二下·天津南开·期末）A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为，现从这三个地区中任选一人． (1)求这个人有“强基计划”报名资格的概率； (2)如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校的概率． 【答案】(1)0.05 (2)0.36 【解题思路】（1）首先求得，，，，，，然后结合全概率公式即可求解. （2）由条件概率公式即可求解. 【解答过程】（1）记事件D：选取的这个人有“强基计划”报名资格，记事件E：此人来自A学校，记事件F：此人来自B学校，记事件G：此人来自C学校， 则，且E，F，G彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 ． （2）由条件概率公式可得. 题型2 全概率公式 6．（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用全概率公式即可求解. 【解答过程】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件，取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ． 故选：D. 7．（24-25高二下·山东威海·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【解题思路】应用条件概率及全概率公式计算求解. 【解答过程】随机事件A，B满足，， 则 又， 则 . 故选：C. 8．（24-25高二下·新疆·期末）某超市鸡蛋成板出售，每板10个．若各板鸡蛋含0，1，2个破损鸡蛋的概率分别为，，．甲计划在该超市购买一板鸡蛋，先由超市服务员随意取一板，再由甲任意抽取该板鸡蛋中的3个鸡蛋，若没有破损鸡蛋，则买下该板鸡蛋，否则退回，则甲买下该板鸡蛋的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出事件，直接利用全概率公式求解即可. 【解答过程】设事件为“该板鸡蛋中有i个破损鸡蛋”，其中i＝0，1，2， 事件B为“甲买下该板鸡蛋”，则， ， 则． 故选：D. 9．（24-25高二下·福建厦门·期末）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为__________. 【答案】 【解题思路】应用全概率公式计算求解. 【解答过程】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”， ，，， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 10．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据条件概率公式及全概率公式计算求解； （2）应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【解答过程】（1）抽出的10件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4和3件， 事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”， 所以； （2）分别记事件A、B、C表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品， 由题意可得，， 由全概率公式可得 ， 所以， 即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为. 题型3 利用随机变量分布列的性质解题 11．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【解题思路】由分布列的性质结合题意可得答案. 【解答过程】由题，． 故选：B. 12．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先根据概率的性质求出的值，然后即可求出的值. 【解答过程】由题意得， 而由得， 化简得，解得，所以. 所以. 故选：B. 13．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 【答案】D 【解题思路】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得，故AB正确； 又，C正确； 故D错误. 故选：D. 14．（24-25高二下·新疆巴州·期末）设随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 0.4 2a a 则__________. 【答案】 【解题思路】由分布列相关性质，建立方程，可得答案. 【解答过程】由题意可得，解得. 故答案为：. 15．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用离散型随机变量分布列的性质可求得的值； （2）由计算可得结果. 【解答过程】（1）根据分布列的性质，所有概率之和等于1，即：， 将题目给出的概率公式代入，得：， 化简计算：，通分得到：，解得：. （2）， 将的值代入概率公式，得： ，所以. 题型4 分布列与其他知识的交汇问题 16．（24-25高二下·北京大兴·期末）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意随机变量的所有可能取值为，，，，，，求出对应概率，即可得分布列. 【解答过程】（1）设至少回答正确一个问题为事件，则； （2）这位同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值为，，，，，， 所以，， ，， ，， 随机变量的分布列是 0 10 20 30 40 17．（24-25高二下·江西吉安·期末）将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． (1)求该排球筐内有球的概率； (2)求的分布列． 【答案】(1) (2)见解析 【解题思路】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A，则，根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列． 【解答过程】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A， 则 （2）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4， ， , , , ， ∴的分布列为： 0 1 2 3 4 18．（24-25高二下·福建福州·期末）现有、两个不透明的袋子，袋中装有个红球、个白球，袋中装有1个红球、个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜.游戏规则是：玩家先从袋子中随机摸出个球. 情况1：摸出的个球颜色相同，则将这个球放入袋子中，然后从袋子中随机摸出个球：若摸出个球同色，则玩家获得8分；若摸出个球不同色，则玩家获得分； 情况：摸出的个球颜色不同，则将这个球放回袋子中，然后从袋子中再随机摸出个球；若摸出个球同色，则玩家获得分；若摸出个球不同色，则玩家获得分. (1)求玩家甲在游戏中得分的概率； (2)求玩家乙在游戏中获胜的概率； (3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【解题思路】（1）由题意明确玩家甲在游戏中得8分包括的情况，再用古典概型结合互斥事件的概率加法公式即可直接计算得解； （2）先依次求出玩家在游戏中得、、分的概率，接着由题意明确玩家乙在游戏中获胜的情况，并依次求出每种情况的概率，再用互斥事件的概率加法公式即可直接计算得解； （3）由题意求出随机变量的取值，再依次求出各变量取值的概率即可求出分布列. 【解答过程】（1）玩家甲在游戏中得分，则包括以下两种情况： 甲从袋子中随机摸出个红球，再将这个球放入袋子中后从袋子中随机摸出个球同色； 甲从袋子中随机摸出个白球，再将这个球放入袋子中后从袋子中随机摸出个白球. 所以玩家甲在游戏中得分的概率为. （2）由（1）玩家在游戏中得8分的概率为， 玩家在游戏中得分的概率为， 玩家在游戏中得分的概率为， 玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况： 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 所以玩家乙在游戏中获胜的概率为. （3）由题意可得， 所以，， ，， ， 所以的分布列为 8 10 12 14 16 19．（24-25高二下·福建漳州·期末）在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示．      (1)求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； (2)据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列． (3)在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 【答案】(1)120；120 (2)答案见解析 (3)来自班的概率为，来自班的概率为． 【解题思路】（1）根据统计学中的箱型图的规定，易得班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； （2）由题意确定的可能取值，利用古典概型概率公式求出对应的概率值，列出分布列即可； （3）设事件表示该同学来自班，事件表示该同学的分数高于120分，利用全概率公式先求出，再利用贝叶斯公式求和即可. 【解答过程】（1）由两个班级的成绩箱型图可知，A班的上四分位数与B班的中位数均为120. （2）依题意的可能取值为，，， 所以， ，， 所以的分布列如下 0 1 2 3 （3）设事件表示该同学来自班，事件表示该同学的分数高于120分， 由成绩箱型图可得，，，， 由全概率公式， ， 故由贝叶斯公式，， 即该同学来自班的概率为，来自班的概率为． 20．（24-25高二下·重庆·期末）某学校举行教师趣味篮球运动会比赛，选手在连续投篮时，规定：第一次投进得1分，若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知某教师连续投篮n次，记投中次数为X，总得分为Y，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，计算随机变量X的分布列； (2)①当时，求的概率； ②记的概率为，求的表达式． 【答案】(1)分布列见解析 (2)①；② 【解题思路】（1）记该同学投篮2次投进次数，再结合比赛规则及概率计算求解； （2）①求出X的可能取值及对应的概率可得分布列； ②将所有可能情况进行分类讨论，再由比赛规则和积分方式，利用类二项分布与插空法即可求得的表达式． 【解答过程】（1）X的可能取值为：0，1，2， ；； ； 所以，的概率分布列为 0 1 2 （2）①； ②投篮次得分为3分，有两种可能的情况： 情形一，恰好两次投进，且两次相邻； 情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻， 当时，情形二不可能发生， 故， 当时，情形一发生的概率为， 情形二发生是指，将次未投进的投篮排成一列，共有个空位， 选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为 ， 所以 ， 又当时，也满足， 综上，. 题型5 均值、方差的性质 21．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【解答过程】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 故选：D. 22．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【解答过程】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A. 23．（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【答案】B 【解题思路】根据题意先求出，再求出，再利用方差的性质即可求解. 【解答过程】由题意得，，， 所以， 所以. 所以.故B正确. 故选：B. 24．（24-25高二下·山东滨州·期末）随机变量X的分布列如下，则_________． X 0 1 2 P 0.3 0.3 【答案】 【解题思路】利用分布列的性质，求出值，再利用期望、方差的定义计算作答. 【解答过程】依题意： . 所以， 所以 . 所以. 故答案为：. 25．（25-26高二上·全国·单元测试）已知离散型随机变量的分布列如下表，且． 0 2 (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据概率和为1，先求得，再由，可得，再由期望公式即可求得. （2）方法一、由求解；方法二、根据求解即可； （3）由求解即可. 【解答过程】（1）由题意知，解得， 因为，所以， 则，解得． （2）方法一： ． 方法二：， ． （3）因为， 所以 ． 题型6 求离散型随机变量的均值 26．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则数学期望（   ） A．m B．2 C．1 D． 【答案】D 【解题思路】先根据分布列的性质求得，然后根据期望公式求解即可. 【解答过程】由，得， 所以． 故选：D. 27．（24-25高二下·湖北武汉·期末）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算. 【解答过程】随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则的可能取值为，，，. 表示在摸出个红球时停止摸球，没有摸到白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且只摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 期望. 故选：D. 28．（24-25高二下·河南郑州·期末）某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记为分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题，记该选手的得分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】的所有可能取值为，0，2，根据组合数及古典概型求出相应概率，列出分布列，根据期望公式求解即可. 【解答过程】的所有可能取值为，0，2， 所以， ， ， 则的分布列为： 0 2 所以. 故选：B. 29．（24-25高二下·江西·期末）一个盒子中有4个球，分别标记为1~4号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则___________． 【答案】 【解题思路】由题知的可能取值为0,1,2，分别计算出概率，再计算期望即可. 【解答过程】由题知，每个球每次被取出的概率为，的可能取值为0,1,2， ， ， ， 所以. 故答案为：. 30．（24-25高二下·天津·期末）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）先结合组合数的计算，根据题意得出从甲、乙两盒中各任取2个球及事件A各包含的不同取法；再根据古典概型的概率公式可求解. （2）先根据题意分析所求事件包含的可能情况，并求出其包含的不同取法；再根据古典概型的概率公式可求解. （3）先根据题意得出根据题意可得：X的可能取值及相应的概率，从而可得出X的分布列；再根据数学期望公式即可求解. 【解答过程】（1）记事件A表示“取出的4个球颜色相同”. 因为从甲、乙两盒中各任取2个球，不同的取法有种， 取出的4个球颜色相同指的是从甲、乙两盒中各任取2个红球，不同的取法有种 则， 所以取出的4个球颜色相同的概率为． （2）记事件B表示“取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球”， 则事件B包含两种情况：从甲盒中取出2个红球，从乙盒中取出1个红球和1个蓝球；从甲盒中取出1个红球和1个蓝球，从乙盒中取出2个红球，不同的取法有种， 所以， 所以取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率为． （3）根据题意可得：X的可能取值为1，2，3，4， ， ， ， . 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 P ∴. 题型7 求离散型随机变量的方差 31．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用离散型随机变量的方差的计算公式进行求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 32．（24-25高二下·河南漯河·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由分布列的性质求得，再由方差公式求方差即可. 【解答过程】由，得． 所以． 故选：D. 33．（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量的分布列如下表，则“”是“”的（   ） 0 1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据期望和方差的计算公式即可结合充分必要条件的定义求解. 【解答过程】由分布列可得，， 若，则，此时，故充分性成立， 若，则，解得或，故必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 34．（24-25高二下·江苏·期末）某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为__________． 【答案】576 【解题思路】求出的可能取值及各个值对应的概率，再根据均值和方差的计算公式进行计算即可. 【解答过程】依题意，的可能取值为190，150，110， 且，，， 则的期望， 所以方差. 故答案为：576. 35．（24-25高二下·山西吕梁·期末）甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析；期望为， 【解题思路】（1）求出的可能值，利用相互独立事件的概率公式求出对应概率，列出分布列. （2）求出的可能值，由（1）的信息求出对应概率，列出分布列并求出期望、方差. 【解答过程】（1）X的可能取值为：， ，，， X的分布列为 X 0 3 P 0.2 0.5 0.3 （2）Y的可能取值为：， 由（1）得，，， ，， ， Y的分布列为： Y 0 3 6 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 所以， . 题型8 二项分布 36．（24-25高二下·新疆喀什·期末）随机变量 X服从二项分布，则 为（     ） A．2 B．8 C．0.25 D．4 【答案】A 【解题思路】利用二项分布的期望公式求解即可. 【解答过程】因为随机变量 X服从二项分布， 所以. 故选：A. 37．（24-25高二下·天津·期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二项分布的期望和方差性质计算可判断AB选项，再由期望值性质可判断C选项，由二项分布定义可求出对应概率可判断D选项. 【解答过程】对于A，因为服从二项分布，所以，即A正确； 对于B，由二项分布可得，因此B正确； 对于C，易知，即C正确； 对于D，显然，可知D错误. 故选：D. 38．（24-25高二下·河南信阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【解答过程】，，， 若是唯一的最大值，则 所以 解得． 因为，， ，，． ． 故选：A． 39．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则_________．    【答案】 【解题思路】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【解答过程】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 故答案为：. 40．（24-25高二下·山东聊城·期末）某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)点 (3)，. 【解题思路】（1），可能值为0，1，2，3，由二项分布概率公式求得各概率后可得分布列； （2）时，设的概率最大，通过与1的大小比较可得晨大值； （3）根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【解答过程】（1）由题意可知，每次向右移动的概率是，向上移动的概率是， 为3次移动中向右移动的次数，其可能值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）时，设的概率最大， 则，， ， 所以当时，，当时，， 所以， 即时概率最大，所以游戏结束时甲同学到达点的概率最大； （3）由题意， 因为，所以，， 所以，. 题型9 超几何分布 41．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【解答过程】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B. 42．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【解题思路】根据超几何分布计算，然后利用期望的性质计算. 【解答过程】因为服从超几何分布，所以， 所以. 故选：C. 43．（24-25高二下·河南郑州·期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合组合、古典概型的概率公式，超几何分布，由进行求解即可. 【解答过程】由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6， 故. 故选：C. 44．（24-25高二下·广东潮州·期末）某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则__________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，可得服从超几何分布，再利用超几何分布的概率公式即可求解. 【解答过程】依题意得，摸出红球个数服从超几何分布，所以. 故答案为：. 45．（24-25高二下·河北保定·期末）昆明是全国十大旅游热点城市，有石林世界地质公园、滇池、安宁温泉、九乡、阳宗海、轿子雪山等国家级和省级著名风景区，还有世界园艺博览园和云南民族村等多处重点风景名胜，多条国家级旅游线路，形成以昆明为中心，辐射全省，连接东南亚，集旅游、观光、度假、娱乐为一体的旅游体系.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查. (1)若一次抽取个团队，在抽取的个团队是同类型团队的条件下，求这个团队全是跟团游团队的概率； (2)若一次抽取个团队，设随机变量为这个团队中私家游团队的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）记事件一次抽取的个团队类型相同，记事件一次抽取的个团队都是跟团游团队，利用条件概率公式可求得的值； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【解答过程】（1）记事件一次抽取的个团队类型相同，记事件一次抽取的个团队都是跟团游团队， 由条件概率公式可得. （2）由题意知，随机变量的所有可能取值为、、、， ，，， . 故的分布列为 故. 题型10 二项分布与超几何分布的综合 46．（24-25高二下·河北石家庄·期末）一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二项分布和超几何分布的期望和方差的性质进行判断即可. 【解答过程】由题意可知服从二项分布，服从超几何分布，因此它们的期望相同， 又因为超几何分布更集中在均值附近，所以有， 故选：A. 47．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】随机变量服从超几何分布, 随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可. 【解答过程】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 48．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【解答过程】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． （2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 49．（24-25高二下·广东江门·期末）从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)分布列见解析，期望为，方差为 【解题思路】由题可知服从超几何分布，c的取值为0，1，2，则易求的分布列和数学期望； 由题意可知服从二项分布，且，计算即可求得随机变量的分布列和数学期望． 【解答过程】（1）由题意知，的值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P ； （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且， ， 的分布列为： 0 1 2 3 P . 50．（24-25高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii），，； (2)，理由见解析. 【解题思路】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小； （2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可. 【解答过程】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则 ， 故， 由（i）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 题型11 随机变量与其他知识的交汇问题 51．（24-25高二下·河南周口·期末）为加强消防安全管理，某公司组织全体员工进行消防安全知识考试，所有考试成绩（单位：分）按照分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于60分为合格. (1)求图中的值； (2)按照各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取20人，求抽取的成绩不合格的员工人数； (3)公司对成绩不合格的员工进行培训后补考，假设成绩在内的员工有的概率补考合格，成绩在内的员工有的概率补考合格，且每个人补考是否合格相互独立，设（2）中抽取的成绩不合格的员工中补考合格的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)4 (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中的各组频率之和为1进行求解即可. （2）首先计算成绩不合格的员工频率，然后根据样本量求出成绩不合格的员工人数. （3）首先确定抽取的成绩不合格的员工中，成绩在内的有1人，在内的有3人，求出的所有可能取值，然后针对每个取值求出对应的概率值，最后列出分布列，求取数学期望即可. 【解答过程】（1）由已知条件可得， 所以. （2）因为低于60分的成绩为不合格，根据频率分布直方图， 成绩不合格的员工频率为， 故抽取的成绩不合格的员工人数为. （3）因为与的频率之比为， 所以抽取的成绩不合格的员工中，成绩在内的有1人，在内的有3人.           的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， .           所以的分布列为 0 1 2 3 4 . 52．（24-25高二下·四川泸州·期末）甲、乙两人参加投篮比赛活动，比赛规则如下：投中者得1分且下一轮继续投篮，未投中者对方得1分且下一轮由对方投篮.已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为，且命中与否相互独立，通过抽签决定首轮投篮方，用表示第轮为甲投篮，用表示甲积分，用表示事件发生的概率，若总共投篮两轮. (1)求； (2)求甲得分的分布列及数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为. 【解题思路】（1）根据题设分析得表示第2轮甲投篮的情况下甲积2分，即可得； （2）由题意，结合对应事件求出对应的概率，写出分布列，进而求期望. 【解答过程】（1）由题意，表示第2轮甲投篮的情况下甲积2分， 要使第2轮甲投篮，则第1轮甲投篮且投中，或第1轮乙投篮且未投中，显然两种情况甲均积1分， 所以要使第2轮甲积2分，则甲必投中，故； （2）由题设， 当，第1轮甲投篮未投中，第2轮乙投篮且投中，或第1轮乙投篮且投中，第2轮乙投篮且投中，则， 当，第1轮甲投篮且投中，第2轮甲投篮未投中，或第1轮甲投篮未投中，第2轮乙投篮未投中，或第1轮乙投篮且投中，第2轮乙投篮未投中，或第1轮乙投篮未投中，第2轮甲投篮未投中， 则， 当，第1、2轮甲投篮且投中，或第1轮乙投篮未投中，第2轮甲投篮且投中， 则， 综上，的分布列如下， 0 1 2 . 53．（24-25高二下·北京房山·期末）习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： (1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； (2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； (3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析， (3) 【解题思路】(1) 有3个行业人工智能渗透度不低于，再由古典概率公式求解； (2)由可取，求出对应的频率，列出分布列，再求出数学期望即可； (3) 设，得，当且仅当，等号成立时，，再由中位数的概念进行求解． 【解答过程】（1）从上图2021年8个行业中，有3个行业人工智能渗透度不低于， 则所求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率为：． （2）从上图2022年8个行业中，有2个行业的人工智能渗透度高于， 2023年8个行业中，有4个行业的人工智能渗透度高于， 则可取， ， ， ， 得的分布列为： X 0 1 2 P 则的数学期望为：． （3）设，则， 则， 得， 当且仅当，等号成立时，， 从上图2023年8个行业中人工智能行业渗透度从小到大依次为： ， 则实数的取值范围为：. 54．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）某知识闯关比赛分为预赛与决赛，预赛胜利后才能参加决赛，预赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参加预赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行预赛闯关，，，，求该小组预赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使预赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)预赛胜利小组的三名队员都可以进入决赛，决赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某队员进入了决赛，他在决赛中第一道题答对的概率为，后两道题答对的概率均为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 【答案】(1) (2)先派出甲 (3) 【解题思路】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式来求解，或用对立事件来求解； （2）利用两类情况，通过概率分布列求解期望，再利用作差法来判断即可； （3）利用获一等奖的概率得到参数的相等关系，再利用获二等奖的概率结合消元变为函数问题，通过求导判断单调性来求最小值即可. 【解答过程】（1）解法一：设“该小组预赛胜利”，则， 所以该小组预赛胜利的概率为． 解法二：利用对立事件，； （2）由题意知，可分两类情况分别进行讨论，再比较他们期望的大小即可． 第一种情况，依次派出甲、乙、丙进行闯关，设派出的人员数目为，则的可能取值为1，2，3． 由题意可知，，，， 此时． 第二种情况，依次派出丙、乙、甲进行闯关，设派出的人员数目为，则的可能取值为1，2，3． 由题意可知，，，， 此时． 因为 而，即有，，所以． 故要使预赛派出人员数目的期望较小，应先派出甲． （3）由题意可得，于是． 则， 令，． 则，令得． 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上可知，当时，． 即的最小值为． 55．（24-25高一下·上海·期末）图为某平台向100名观众征集某电影的评分结果的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这100名观众评分的平均数； (3)从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布、期望和方差． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【解题思路】（1）利用所有小长方形的面积和为1可得答案. （2）将每个矩形的中点乘以每个矩形的高再乘以10后相加可估计平均数. （3）求出的可能取值及对应的概率可得分布列，再由期望公式计算可得答案. 【解答过程】（1）由题意可得：， 解得：. （2）估计这100名观众评分的平均数为： . （3）评分在的观众人数为：， 评分在的观众人数为：. 按照分层抽样的方法，从评分在和的观众中抽取7人，则评分在的观众人数为3人，在的观众人数为4人. 所以的值可能为：0,1,2,3. 且，，，. 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以： . . 题型12 正态分布 56．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.21 B．0.2 C．0.31 D．0.3 【答案】A 【解题思路】根据正态分布曲线的对称性求解即可. 【解答过程】因为随机变量X服从正态分布，且， 所以 . 故选：A. 57．（24-25高二下·山东菏泽·期末）两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可. 【解答过程】由正态分布和的密度函数图象， 的对称轴在的对称轴的左侧， 故， 由图象可得的数据的集中程度相比更加分散， 根据方差的意义可得， 故选：C. 58．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 【答案】C 【解题思路】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【解答过程】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 59．（24-25高二下·广西百色·期末）已知随机变量服从正态分布且，则____________. 【答案】0.25 【解题思路】先求出，由对称性可得. 【解答过程】已知，因此， 根据对称性可得：. 故答案为：0.25. 60．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1)小明有资格参加决赛. (2)175 【解题思路】（1）根据正态分布的对称性结合已知条件求出，再结合人数计算； （2）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解. 【解答过程】（1）由题意得 ， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为， 所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 随机变量及其分布（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 条件概率】 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)=. (2)样本点法：P(B|A)=. 【知识清单2 全概率公式】 1．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有.我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解. 2．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 3．利用全概率公式的解题思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【注】1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 【知识清单3 离散型随机变量及其分布列】 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 4．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【知识清单4 两点分布】 1．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布的理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【知识清单5 离散型随机变量的均值】 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=x1p1+x2p2++xipi++xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 3．求离散型随机变量ξ的均值的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ). 【知识清单6 离散型随机变量的方差】 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；当b=0时，D(aX)=a2D(X). 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 4．求离散型随机变量ξ的方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由方差的定义求D(ξ). 【知识清单7 二项分布】 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【知识清单8 超几何分布】 1．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n,N,M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义. 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 3．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 【知识清单9 正态分布】 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若X~N(μ,σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【注】若X服从正态分布，即X～N(μ,σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题. 题型1 条件概率  1．（24-25高二下·福建·期末）从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东湛江·期末）一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则__________． 5．（24-25高二下·天津南开·期末）A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为，现从这三个地区中任选一人． (1)求这个人有“强基计划”报名资格的概率； (2)如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校的概率． 题型2 全概率公式 6．（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东威海·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 8．（24-25高二下·新疆·期末）某超市鸡蛋成板出售，每板10个．若各板鸡蛋含0，1，2个破损鸡蛋的概率分别为，，．甲计划在该超市购买一板鸡蛋，先由超市服务员随意取一板，再由甲任意抽取该板鸡蛋中的3个鸡蛋，若没有破损鸡蛋，则买下该板鸡蛋，否则退回，则甲买下该板鸡蛋的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·福建厦门·期末）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为__________. 10．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 题型3 利用随机变量分布列的性质解题 11．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 12．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 14．（24-25高二下·新疆巴州·期末）设随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 0.4 2a a 则__________. 15．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. (1)求的值； (2). 题型4 分布列与其他知识的交汇问题 16．（24-25高二下·北京大兴·期末）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 17．（24-25高二下·江西吉安·期末）将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． (1)求该排球筐内有球的概率； (2)求的分布列． 18．（24-25高二下·福建福州·期末）现有、两个不透明的袋子，袋中装有个红球、个白球，袋中装有1个红球、个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜.游戏规则是：玩家先从袋子中随机摸出个球. 情况1：摸出的个球颜色相同，则将这个球放入袋子中，然后从袋子中随机摸出个球：若摸出个球同色，则玩家获得8分；若摸出个球不同色，则玩家获得分； 情况：摸出的个球颜色不同，则将这个球放回袋子中，然后从袋子中再随机摸出个球；若摸出个球同色，则玩家获得分；若摸出个球不同色，则玩家获得分. (1)求玩家甲在游戏中得分的概率； (2)求玩家乙在游戏中获胜的概率； (3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为，求的分布列. 19．（24-25高二下·福建漳州·期末）在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示．      (1)求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； (2)据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列． (3)在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 20．（24-25高二下·重庆·期末）某学校举行教师趣味篮球运动会比赛，选手在连续投篮时，规定：第一次投进得1分，若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知某教师连续投篮n次，记投中次数为X，总得分为Y，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，计算随机变量X的分布列； (2)①当时，求的概率； ②记的概率为，求的表达式． 题型5 均值、方差的性质 21．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 22．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 23．（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 24．（24-25高二下·山东滨州·期末）随机变量X的分布列如下，则_________． X 0 1 2 P 0.3 0.3 25．（25-26高二上·全国·单元测试）已知离散型随机变量的分布列如下表，且． 0 2 (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 题型6 求离散型随机变量的均值 26．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则数学期望（   ） A．m B．2 C．1 D． 27．（24-25高二下·湖北武汉·期末）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二下·河南郑州·期末）某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记为分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题，记该选手的得分为，则（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二下·江西·期末）一个盒子中有4个球，分别标记为1~4号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则___________． 30．（24-25高二下·天津·期末）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． 题型7 求离散型随机变量的方差 31．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 32．（24-25高二下·河南漯河·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 33．（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量的分布列如下表，则“”是“”的（   ） 0 1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34．（24-25高二下·江苏·期末）某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为__________． 35．（24-25高二下·山西吕梁·期末）甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 题型8 二项分布 36．（24-25高二下·新疆喀什·期末）随机变量 X服从二项分布，则 为（     ） A．2 B．8 C．0.25 D．4 37．（24-25高二下·天津·期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高二下·河南信阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 39．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则_________．    40．（24-25高二下·山东聊城·期末）某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 题型9 超几何分布 41．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 43．（24-25高二下·河南郑州·期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高二下·广东潮州·期末）某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则__________. 45．（24-25高二下·河北保定·期末）昆明是全国十大旅游热点城市，有石林世界地质公园、滇池、安宁温泉、九乡、阳宗海、轿子雪山等国家级和省级著名风景区，还有世界园艺博览园和云南民族村等多处重点风景名胜，多条国家级旅游线路，形成以昆明为中心，辐射全省，连接东南亚，集旅游、观光、度假、娱乐为一体的旅游体系.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查. (1)若一次抽取个团队，在抽取的个团队是同类型团队的条件下，求这个团队全是跟团游团队的概率； (2)若一次抽取个团队，设随机变量为这个团队中私家游团队的个数，求的分布列和数学期望. 题型10 二项分布与超几何分布的综合 46．（24-25高二下·河北石家庄·期末）一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 47．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 49．（24-25高二下·广东江门·期末）从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 50．（24-25高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 题型11 随机变量与其他知识的交汇问题 51．（24-25高二下·河南周口·期末）为加强消防安全管理，某公司组织全体员工进行消防安全知识考试，所有考试成绩（单位：分）按照分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于60分为合格. (1)求图中的值； (2)按照各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取20人，求抽取的成绩不合格的员工人数； (3)公司对成绩不合格的员工进行培训后补考，假设成绩在内的员工有的概率补考合格，成绩在内的员工有的概率补考合格，且每个人补考是否合格相互独立，设（2）中抽取的成绩不合格的员工中补考合格的人数为，求的分布列和数学期望. 52．（24-25高二下·四川泸州·期末）甲、乙两人参加投篮比赛活动，比赛规则如下：投中者得1分且下一轮继续投篮，未投中者对方得1分且下一轮由对方投篮.已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为，且命中与否相互独立，通过抽签决定首轮投篮方，用表示第轮为甲投篮，用表示甲积分，用表示事件发生的概率，若总共投篮两轮. (1)求； (2)求甲得分的分布列及数学期望. 53．（24-25高二下·北京房山·期末）习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： (1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； (2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； (3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 54．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）某知识闯关比赛分为预赛与决赛，预赛胜利后才能参加决赛，预赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参加预赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行预赛闯关，，，，求该小组预赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使预赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)预赛胜利小组的三名队员都可以进入决赛，决赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某队员进入了决赛，他在决赛中第一道题答对的概率为，后两道题答对的概率均为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 55．（24-25高一下·上海·期末）图为某平台向100名观众征集某电影的评分结果的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这100名观众评分的平均数； (3)从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布、期望和方差． 题型12 正态分布 56．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.21 B．0.2 C．0.31 D．0.3 57．（24-25高二下·山东菏泽·期末）两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 58．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 59．（24-25高二下·广西百色·期末）已知随机变量服从正态分布且，则____________. 60．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $