福建南平市顺昌县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

2025—2026学年第二学期顺昌一中高一年级期中 数学试题 （时间：120分钟满分：150分） 范围：人教A版必修第二册，第六章，第七章，第八章 一、单选题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知复数，为的共轭复数，则（ ） A． B． C． D． 2．用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得直观图的面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知，，与的夹角为，则（ ） A． B． C．36 D．72 4．如图，已知中，为的中点，，若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ） A． B． C． D． 6．设，为两个平面，，为两条直线，则下列结论中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则或 7．已知的内角，，的对边分别为，，，且面积为．若，且，则（ ） A． B． C． D． 8．已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数满足，则（ ） A． B． C．0 D．1 10．中，，，则（ ） A． B．的角平分线交于，则 C． D．在上的投影向量是 11．正方体中，下列结论正确的是（ ） A．直线与直线所成角为 B．二面角的大小为 C．直线与平面所成角为 D．平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知平面向量，，若，则________． 13．已知棱台的上、下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于__________． 14．正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， （1）求证：； （2）求证：平面； 16．（15分）已知，，与的夹角． （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17．（15分）已知锐角的内角，，所对的边为，，，向量，，且； （1）求角；（2）若，求周长的取值范围． 18．（17分）如图，长方体中，，，点为的中点． （1）求三棱锥的体积． （2）求证：直线平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值； 19．（17分）已知的外接圆半径为，角，，所对的边分别，，，． （1）用表示； （2）求证：； （3）若，、、分别为线段，，上的点，且、、构成等边，求面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年第二学期顺昌一中高一年级期中 数学试题 (时间：120分钟 满分：150分) 范围：人教A版必修第二册，第六章，第七章，第八章 一、单选题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有 一项是符合题目要求的.) 1.C2.B3.A4.D 5.B 6.C7.A8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AC 10.ACD 11.AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 13.1414.112π 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【详解】(1)由正方形ABCD,得AB/CD,1分 又，CD丈平面ABFE,ABC平面ABFE,3分 ∴.CD∥平面ABFE,4分 :CDc平面CDEF,5分 平面CDEF∩平面ABFE=FE,6分 .CDIEF7分 (2)由正方形ABCD,得CD⊥BC,8分 ,平面ABCD⊥平面BCF,平面ABCD∩平面BCF=BC,CDC平面ABCD, .CD⊥平面BCF,11分 由(1)知CD/EF,.EF⊥平面BCF;13分 16.【详解】1)由题意=V+1=反，a-6=2x1x 2=1,4分 所以a+2万=ā+26=后+4a-6+46=V2+4+4=10.7分 (2)因为向量(2a-2b)与(2ā-3b)的夹角为锐角， 所以(2a-1b(2a-3b)>0,且(2a-元b)与(2ā-36)不共线，9分 对于(2a-b)(2a-36)>0, 得2元a2-(22+6)ā.万+3262=4元-22+6)+32>0,11分 即元2-7元+6<0，解得1<入<613分 若(2a-b)与(2a-36)共线， 则存在2a-5=(aā-36，得久=3 2μ=2 ,解得元=±√6,14分 所以若向量(2ā-2b)与(2ā-36)的夹角为锐角，实数元的取值范围为1，v6U(V6,6).15分 17.【解答】(1)：m=a,V3),i=(cosA,sinB)且m/m,∴.asin B-V3 bcos A=-0.2分 由正弦定理sin Asin B-√3 sin BcosA=0,3分 :sinB>0,∴.，得sinA-V3cosA=0,4分 tanA=V3,5分 又40}4 6分 (2)在△4BC中，a=2,A=父，由正弦定理得a=b=c=45 7分 3 sin A sin B sin C 3 :b=45sin8,c=4 3 3sinc9分 b+c=45 3 3 3 45inB+455 10分 32 =2 sin B+2cosB=4sin 0<B< ,△ABC为锐角三角形. 2 12分 0< 2-B< 引8+得到 13分 4s如8+君e254小，14分 b+c∈2V3,4,∴周长C∈2+2V5,6]15分 18.【详解】1>aPC=c=SAc×PD=×)×2x2x2=号. 4分 3 32 (2)设AC∩BD=O,连接OP,因AB=AD=2,且ABCD-AB,CD为长方体，则四边形ABCD为 正方形，故O为线段AC中点，5分 因点P为DD的中点，则OP为△DDB的中位线，则OP∥D,B,6分 又OPC平面PAC,D,B寸平面PAC,则D,B/∥平面PAC.9分 (3)连接PC,OC,由(1)可知0P1IDB, 则直线BD与PC,所成角是∠OPC,或其补角，11分 因AB=AD=2,AA,=4,点P为DD的中点， 则0C=0D=)BD=2,DP=DP=2,13分 在Rt△PD0中，P0=DP2+OD=√22+(V2°=V6,14分 在Rt△D,PC,中，PC=VD,P2+D,C=V22+22=2V2,15分 在R△C0C,申，0C,=VCC2+0C=42+2)'=32, 16分 在△PC,0中由余弦定理得，cos∠0PC=CP+0P2-C02=8+6-18V5 2CP.OP 2×22×V66 故直线BD与P℃所成角的余弦值为 .17分 6 D C B B 19.【解析】(1)由正弦定理得：a=2 R sin A,b=2 R sin B,c=2 R sin C,1分 代入已知等式ab+sin Asin B=2 bsin Asin C,得 4R2 sin Asin B+sin Asin B 4R sin Asin B sin C.2 因为A,B∈(0，π，所以sinA>0,sinB>0,3分 两边同时除以sin Asin B得4R2+1=4 R sin C.4分 即4R+1=4R2R故c=2R2+75分 （2)由1)得sinC=4+1=R+ 1 6分 4R 4R 根据基本不等式，R+ 1 +4R≥2R4限 =1,7分 当且仅当R=即R=】时取等号.8分 1 4R 又因为sinC≤l,所以sinC=l,此时C= .9分 在△4BC中，C=T,故由勾股定理，得a2+b2=c2,10分 2 (3)如图：由A=元，C=元得AB=2R,BC=V5R,设等边△DEF的边长为m,∠CDF=a 3 2 (0<a<元)，则CF=msina,BF=V3R-msina,11分 a一++TI7‘山I0V7王日·亚=☒7+二 乙4ED=a,∠BEF=a-号-∠AED=号-a,12分 在△BEF中，由正弦定理可得， sin∠Bsin∠BEF,即.m=V5R-msina EF BF ,13分 π sin 6 sin 2π -0 3 3R 3R 化简得，m= T≥BR-IR 2sina+v3 cosa 7sin(a+0)77 (其中6为锐角，且tan9=V5 ),15分 2 R2.16分 4 47 28 ②待，R所以s8R23Sx 284112 17分 R D