精品解析：陕西安康市汉阴县2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025~2026学年度第二学期期中质量调研 八年级数学（人教版） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（ ） A. 313 B. 225 C. 169 D. 144 3. 如图，在中，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，于点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，在中，，于点，是斜边的中点，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 平分 8. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，的平分线交边于点E，F是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 化简：________． 10. 用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧，压平后可以得到如图②所示的正五边形，则图②中的度数为_____． 11. 在平面直角坐标系中，正方形的一个顶点的坐标为，则正方形顶点A的坐标是______． 12. 如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为__________． 13. 如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 14. 如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点的直线将菱形分成面积相等的两部分．过点作于点，连接．则线段的最大值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 如图，在中，，是的外角的平分线．请用尺规作图法，在上求作一点D，在上求作一点E，使四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，D为边上一点，E为边的中点，过点C作交的延长线于点F．连接，．求证：四边形是平行四边形． 19. 已知，，求的值． 20. 如图，正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交正方形的边于点P，求的度数． 21. 某校有一块空地，计划将这块空地分割成四边形和，分别种植“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，米，米，，米，米．求种植秋海棠（即四边形）的面积． 22. 如图，中，，平分，过点作交延长线于点，点是中点，连接，． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求边的长． 23. 如图，某重型工业厂区内有一块矩形生产作业区，生产作业区的长为，宽为，在生产作业区内规划两块大小相同的小矩形作为设备检修区（阴影部分），每块小矩形检修区的长为，宽为． （1）求该矩形生产作业区的周长； （2）除设备检修区外，作业区其他部分都要在地面涂刷工业防腐涂层，已知涂刷防腐涂层的费用为50元/，求生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用． 24. 如图，在中，D是边上一点，且，平分交边于点E，平分交边于点F，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 25. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 26. 【问题探究】 （1）如图①，P，Q是正方形的对角线上的点，且，连接，，若，则的长为______； （2）如图②，在梯形中，，E为边上一点，且，，P，Q是对角线上的两个动点，且，连接，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图③，某地计划在一片空地上修建一个森林生态公园平行四边形，并沿其对角线修建一条景观水渠，其中，，．现计划在水渠上找两个点P，Q，且，沿修建健身步道，沿修建塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是20万元/，修建塑胶跑道的费用是40万元/．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中质量调研 八年级数学（人教版） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 2. 如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（ ） A. 313 B. 225 C. 169 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 3. 如图，在中，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：对角相等、邻角互补，先求出的度数，再利用邻角互补求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即， ． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式加法、减法、乘法和除法，二次根式的性质逐一验证各选项即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 故选：． 5. 如图，在中，，于点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，进而根据等面积法求得，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴是直角三角形，且 ∵， ∴是边上的高， ∵ ∴， 在中， 故选：A． 6. 如图，在中，，于点，是斜边的中点，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线性质、直角三角形两锐角互余，结合角度之间的数量关系求出，再通过同角的余角相等，得到即可求解． 【详解】解：在中，，是斜边的中点， ， ， ， ， ， 又，且， ， 解得， ， ． 7. 在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件得出平行四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴四边形是菱形． A选项，菱形本身对角线互相垂直，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． B选项，对角线相等的菱形是正方形，因此添加可判定菱形是正方形，符合要求． C选项，平行四边形本身对角相等，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． D选项，菱形本身对角线平分内角，因此添加平分不能判定四边形是正方形，不符合要求． 8. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，的平分线交边于点E，F是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，然后证明，得出，，在中，根据勾股定理可得出，解方程求出，最后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：过E作交于G， ∵矩形中， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵，F是的中点， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简． 利用商的算术平方根等于算术平方根的商进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧，压平后可以得到如图②所示的正五边形，则图②中的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差计算，掌握正五边形内角的计算方法和等腰三角形的角度推导是解题的关键． 本题考查正五边形的性质、等腰三角形的性质及角的和差计算。解题思路是先根据正五边形内角和公式求出每个内角的度数，再利用等腰三角形的性质求出的度数，最后通过角的和差关系计算． 【详解】解：正五边形的内角和为， ． 在等腰中，，， ． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，正方形的一个顶点的坐标为，则正方形顶点A的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形、三角形全等的判定与性质，作轴，轴，则，证明，得出，，即可求解． 【详解】解：如图，作轴，轴，则， ， ∵顶点的坐标为， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】先判定四边形为平行四边形，求出的长度，再通过的面积求出平行线间的高，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设点到直线的距离为 ∵ 的面积为6 ∴ ∴ ∴． 13. 如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【解析】 【分析】由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点，， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ． 14. 如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点的直线将菱形分成面积相等的两部分．过点作于点，连接．则线段的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点O．取的中点T，连接．求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点O．取的中点T，连接． ∵直线平分菱形的面积， ∴直线经过点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，用勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的除法、乘法法则计算各项，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 17. 如图，在中，，是的外角的平分线．请用尺规作图法，在上求作一点D，在上求作一点E，使四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作的角平分线交于，可得，在上截取，由，可得，结合外角性质与外角角平分线的含义可得，可得，可得四边形是矩形． 【详解】解：如图，点D，E即为所求．（作法不唯一） 18. 如图，在中，D为边上一点，E为边的中点，过点C作交的延长线于点F．连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先得到，证明，得到，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：E是边的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 19. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】可先求出与的值，再利用完全平方公式将变形为，代入数值计算即可． 【详解】解：，， ，， ． 20. 如图，正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交正方形的边于点P，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形得到，，再由菱形得到，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，， 四边形是菱形，是对角线， ， ． 21. 某校有一块空地，计划将这块空地分割成四边形和，分别种植“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，米，米，，米，米．求种植秋海棠（即四边形）的面积． 【答案】种植秋海棠（即四边形）的面积为 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，用的面积减去的面积，即可得到四边形的面积． 【详解】解：在中，由勾股定理，得， 在中，， 是直角三角形，且， ． 22. 如图，中，，平分，过点作交延长线于点，点是中点，连接，． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求边的长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得，则，又，则，从而证明，即可证明四边形是平行四边形，再由菱形的判定方法即可求证； （2）作交延长线于点，则，通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 点是中点， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：作交延长线于点，则， ， ， ， ， ∵， ， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 的长为14． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等角对等边，直角三角形的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 如图，某重型工业厂区内有一块矩形生产作业区，生产作业区的长为，宽为，在生产作业区内规划两块大小相同的小矩形作为设备检修区（阴影部分），每块小矩形检修区的长为，宽为． （1）求该矩形生产作业区的周长； （2）除设备检修区外，作业区其他部分都要在地面涂刷工业防腐涂层，已知涂刷防腐涂层的费用为50元/，求生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用． 【答案】（1）矩形生产作业区的周长为 （2）生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用为元 【解析】 【分析】（1）根据矩形的周长公式计算即可； （2）先求出需要涂刷的面积，再乘以单价即可． 【小问1详解】 解：． 答：矩形生产作业区的周长为； 【小问2详解】 解： ， 元． 答：生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用为元． 24. 如图，在中，D是边上一点，且，平分交边于点E，平分交边于点F，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证，，再由，即可得出结论； （2）先求出，由勾股定理求出，证出是的中位线得出，由勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：平分，平分， ，， ， 即， ，平分， ， 又， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形， ， ，， ，，E是的中点． ， ， ， ，即D是的中点． 是的中位线． ， 25. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】（1）旗杆的高度为 （2）小明需后退 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作垂足为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． 【小问2详解】 解：过E作，垂足为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 26. 【问题探究】 （1）如图①，P，Q是正方形的对角线上的点，且，连接，，若，则的长为______； （2）如图②，在梯形中，，E为边上一点，且，，P，Q是对角线上的两个动点，且，连接，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图③，某地计划在一片空地上修建一个森林生态公园平行四边形，并沿其对角线修建一条景观水渠，其中，，．现计划在水渠上找两个点P，Q，且，沿修建健身步道，沿修建塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是20万元/，修建塑胶跑道的费用是40万元/．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计） 【答案】（1）2 （2） （3）修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为万元 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到； （2）连接、，同理求得，再利用三角形三边关系求解即可； （3）取的中点的中点，连接、，作点关于的对称点交于点，过点作交的延长线于点，连接，利用三角形中位线定理求得，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2，连接、， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴，， 在中，， ， ∴当位于与的交点处时，取得最小值，最小值为； 【小问3详解】 解：由题意知，修建健身步道与塑胶跑道的总费用． 如图3，取的中点的中点，连接、，作点关于的对称点交于点，过点作交的延长线于点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ，， ， ， ， ，，是的中位线， ， 关于对称， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ， 在中，， ， ， ， ． ， 的最小值为， 故修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $