精品解析：2026年河南省三门峡市卢氏县两校联考二模数学试题

2026年中考适应性第二次调研考试 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 某智能机器人在一条水平轨道上进行定位测试，若机器人从起点出发，先向右方向移动，记作；向左方向移动，记作，则与两数（ ） A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 和为1 D. 积为10 2. 在新能源汽车电驱壳体试制过程中，一名技术人员将制造壳体平面度误差控制在0.008毫米以内，数据0.008毫米用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 3. 下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，过点C作，连接交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 正面分别印有“太极拳”“少林功夫”“舞龙”“舞狮”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“太极拳”和“少林功夫”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，点，的坐标分别为和，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 有氧运动的心率与人的年龄、运动时间及运动强度有直接的关系．如图1是人的最大心率x与年龄a的关系，如图2是有氧运动的适宜心率y（即从安静心率到运动时心率）与最大心率x的关系，如图3是有氧运动的实际心率与最大心率比值s同运动时间t的关系．根据图象判断，下列说法中错误的是（ ） A. 岁的健康人最大心率约为次/分 B. 有氧运动的适宜心率范围在的人年龄约为岁 C. 将有氧运动的实际心率与最大心率比值s同运动时间t的关系图象向下平移若干单位长度后，近似可以看成一个反比例函数图象的一部分 D. 岁的健康人进行有氧运动一个小时的心率约为次/分 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 如果 那么x的值可以是____________． 12. 某校学生会举行换届选举，分笔试和演讲两部分，笔试和演讲成绩按计算最终成绩．若小明的笔试和演讲成绩分别为分，分，小亮的笔试和演讲成绩分别为分，分，则两名同学中最终成绩较高的是______．（填“小明”或“小亮”） 13. 观察下列一组代数式：，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为____________． 14. 如图，已知 ，以为半径的弧与以为直径的半圆交于点E，点B在上，则图中阴影部分的面积为____________． 15. 如图，正方形中，，M 为边上一动点，延长到点 N，使，连接，过点A作 于点F，交于点E．当点E恰好为边的三等分点时，的长为____________． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. 计算与化简： （1）计算: （2）化简: 17. 为全面落实劳动教育要求，了解城乡学校劳动教育教学质量发展情况，某县从农村和城区各抽取1所学校进行劳动技能抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，测试满分为100分，相关数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的劳动技能成绩（单位：分）：66，73，77，81，83，85，85，90，94，96； 城区学校10名学生的劳动技能成绩（单位：分)：63，71，78，82，84，86，86，89，95，96． （二）描述与分析 城乡学生劳动技能成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 83 a 85 77．6 城区 83 85 b 93．8 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a，b的值，____________，____________； （三）迁移与应用 （2）若本次劳动技能成绩在90分以上(含90分)为优秀，所抽取的农村学校有学生1800名，城区学校有学生3200名．请估计两所学校成绩为优秀的学生共有多少名？ （3）请结合以上统计量对这两所学校的劳动技能成绩进行对比分析，并结合劳动教育教学提出一条合理化建议． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边上作一点E，使 (保留作图痕迹，不写作法)； （2）连接，，若，，求证：平行四边形是菱形． 19. 如图，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过O点作的平分线，交反比例函数的图象于点B，过点A作y轴的平行线，交的延长线于点 C，交x轴于点D，求点B的坐标． 20. 在学校组织的社会实践活动中，数学小组的同学们利用测角仪和皮尺，实地测量了某黄河大桥主塔（塔柱）顶端离水面的竖直高度，如图，点A，B位于黄河岸边的水平地面上，且与点E，F在同一竖直平面内．已知水平地面离黄河水面的高度为，测角仪支架竖直高度，为．测角仪顶端延长线交于点H．数学小组在A点处测得主塔顶端E的仰角．为，在B点处测得主塔顶端E的仰角．为，已知A，B两点间的水平距离为．求黄河大桥主塔（塔柱）顶端离水面的高度的长．（结果精确到，参考数据：，，，) 21. 某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为2400台．公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的2倍．先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； （2）首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产40天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍，要使这40天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 22. 已知抛物线 （b，c为常数）过点． （1）若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式及顶点坐标； ②已知，在该抛物线上，当时，求m的取值范围； （2）若该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，直线在第四象限内有两个交点，请直接写出n的取值范围． 23. 如图，在中，，，过点作于点，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线，交于点． （1）如图，当时，____________，____________; （2）请利用图证明：； （3）当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考适应性第二次调研考试 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 某智能机器人在一条水平轨道上进行定位测试，若机器人从起点出发，先向右方向移动，记作；向左方向移动，记作，则与两数（ ） A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 和为1 D. 积为10 【答案】A 【解析】 【详解】解：与互为相反数． 2. 在新能源汽车电驱壳体试制过程中，一名技术人员将制造壳体平面度误差控制在0.008毫米以内，数据0.008毫米用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三视图，分别判断各几何体的主视图和左视图即可得到答案． 【详解】解：A．三棱柱的主视图为矩形，左视图也是矩形，故选项错误，不符合题意； B．长方体的主视图为矩形，左视图也是矩形，故选项错误，不符合题意； C．三棱锥的主视图为三角形，左视图也是三角形，故选项正确，符合题意； D．圆柱的主视图为矩形，左视图也是矩形，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a、b在数轴上的位置，得出，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：由题意，得， ∴A选项错误； ∵， ∴， ∴B选项错误； ∵， ∴， ∴C选项错误； ∵，为正数， ∴， ∴D选项正确． 5. 如图，在中，，，过点C作，连接交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，由平行线的性质可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． 6. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴顶点坐标为． ∴的最小值为． 8. 正面分别印有“太极拳”“少林功夫”“舞龙”“舞狮”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“太极拳”和“少林功夫”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画列表得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为太极拳和少林功夫的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 太极拳（） 少林功夫（） 舞龙（） 舞狮（） ∴共有种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是“太极拳”和“少林功夫”的结果有：，，共2种， ∴这两张卡片正面恰好是“太极拳”和“少林功夫”的概率为． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，点，的坐标分别为和，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，延长交直线于点，根据等边三角形的性质及的正弦值可得，即可得出，根据平移的性质得出平移距离为，即可得出平移后点的坐标． 【详解】解：过点作于点，延长交直线于点， ∵是等边三角形，点，的坐标分别为和， ∴，，轴，轴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵将沿轴向左平移，点落在直线上， ∴平移距离为， ∴平移后点的横坐标为， ∴平移后点的坐标为． 10. 有氧运动的心率与人的年龄、运动时间及运动强度有直接的关系．如图1是人的最大心率x与年龄a的关系，如图2是有氧运动的适宜心率y（即从安静心率到运动时心率）与最大心率x的关系，如图3是有氧运动的实际心率与最大心率比值s同运动时间t的关系．根据图象判断，下列说法中错误的是（ ） A. 岁的健康人最大心率约为次/分 B. 有氧运动的适宜心率范围在的人年龄约为岁 C. 将有氧运动的实际心率与最大心率比值s同运动时间t的关系图象向下平移若干单位长度后，近似可以看成一个反比例函数图象的一部分 D. 岁的健康人进行有氧运动一个小时的心率约为次/分 【答案】C 【解析】 【详解】根据图1，可知人的最大心率与年龄的关系是，岁的健康人最大心率大约是（次/分），故选项A正确，不符合题意； 根据图2，可知有氧运动的适宜心率（即从安静心率到运动时心率）是最大心率的倍，有氧运动的适宜心率范围在的人最大心率是或，年龄是（岁），故选项B正确，不符合题意； 有氧运动的实际心率与最大心率比值同运动时间的关系图象向下平移若干单位，仍然与轴有交点，不可能是一个反比例函数图象的一部分，故选项C错误，符合题意； 岁的健康人最大心率是次/分，进行有氧运动一个小时对应实际心率与最大心率比值大约是，此时的心率大约是（次/分），故选项D正确，不符合题意． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 如果 那么x的值可以是____________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故x的值可以是2（答案不唯一）． 12. 某校学生会举行换届选举，分笔试和演讲两部分，笔试和演讲成绩按计算最终成绩．若小明的笔试和演讲成绩分别为分，分，小亮的笔试和演讲成绩分别为分，分，则两名同学中最终成绩较高的是______．（填“小明”或“小亮”） 【答案】小明 【解析】 【分析】由加权平均数计算公式代入数据计算后，比较两名同学最终成绩大小即可 【详解】解：小明的成绩为（分）；小亮的成绩为（分）； ∵， ∴小明的最终成绩较高． 13. 观察下列一组代数式：，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为____________． 【答案】 【解析】 【分析】观察代数式可得分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为，由此即可得出结果． 【详解】解：分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为． ∴可表示为． 14. 如图，已知 ，以为半径的弧与以为直径的半圆交于点E，点B在上，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设的中点为，连接，则． ∵， ∴． ∴． ∴． 过点作于点，则． ∴． 15. 如图，正方形中，，M 为边上一动点，延长到点 N，使，连接，过点A作 于点F，交于点E．当点E恰好为边的三等分点时，的长为____________． 【答案】3或 【解析】 【分析】连接，证明，推出垂直平分，进而得到，分2种情况，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵于点， ∴为的中点． ∴垂直平分． ∴． 设，则， ①当点恰好为边靠近点的三等分点时，如图1， 则， ∴． 在中，， ∴．解得． ∴， ②当点恰好为边靠近点的三等分点时，如图2，， ∴． 在中，， ∴． 解得． ∴． 综上：或． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. 计算与化简： （1）计算: （2）化简: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算指数幂，零指数幂和绝对值，然后再进行加减运算即可； （2）先把括号内通分和除法运算转换为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 为全面落实劳动教育要求，了解城乡学校劳动教育教学质量发展情况，某县从农村和城区各抽取1所学校进行劳动技能抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，测试满分为100分，相关数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的劳动技能成绩（单位：分）：66，73，77，81，83，85，85，90，94，96； 城区学校10名学生的劳动技能成绩（单位：分)：63，71，78，82，84，86，86，89，95，96． （二）描述与分析 城乡学生劳动技能成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 83 a 85 77．6 城区 83 85 b 93．8 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a，b的值，____________，____________； （三）迁移与应用 （2）若本次劳动技能成绩在90分以上(含90分)为优秀，所抽取的农村学校有学生1800名，城区学校有学生3200名．请估计两所学校成绩为优秀的学生共有多少名？ （3）请结合以上统计量对这两所学校的劳动技能成绩进行对比分析，并结合劳动教育教学提出一条合理化建议． 【答案】（1） （2）估计两所学校成绩为优秀的学生约有1180名 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义求解即可； （2）将农村学校学生总数1800乘以样本中成绩优秀的学生比例，城区学校学生总数3200乘以样本中成绩优秀的学生比例，两者求和即可解答； （3）根据两所学校成绩的平均数和方差进行分析，并提出建议即可． 【小问1详解】 解：∵农村学校成绩已排序，共10个数据，中位数为第5、6个数据的平均数，从表中可以看出第5个数据为83，第6个数据为85． ∴中位数． ∵城区学校成绩中86出现2次，其余数据均出现1次， ∴众数． 【小问2详解】 解：样本中农村学校成绩优秀的有3人，城区学校成绩优秀的学生有2人， ∴（名）． 答：估计两所学校成绩为优秀的学生约有1180名． 【小问3详解】 解：两所学校劳动技能成绩平均数相同，农村学校方差，小于城区学校方差，说明农村学校学生成绩更稳定，两极分化小，城区学校成绩波动更大，高低分差距明显． 建议：城区学校可针对劳动技能薄弱学生开展分层实操辅导，夯实基础劳动技能，缩小学生成绩差距；农村学校可增设进阶劳动实践项目，挖掘高分学生潜力，推动城乡劳动教育均衡发展． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边上作一点E，使 (保留作图痕迹，不写作法)； （2）连接，，若，，求证：平行四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）由等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质，并结合三角形内角和定理得出，从而可得，即可得证． 【小问1详解】 解：点如图所示： 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵是的外角，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴平行四边形是菱形． 19. 如图，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过O点作的平分线，交反比例函数的图象于点B，过点A作y轴的平行线，交的延长线于点 C，交x轴于点D，求点B的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求出k即可； （2）由，得，利用勾股定理求得，根据平行线和角平分线的性质求出，即，求出点的坐标，求出所在直线的解析式，再求所在直线与反比例函数的图象的交点即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴． 由勾股定理，可得． ∵轴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴点的坐标为． 设所在直线的解析式为． 将点代入， 得， ∴． ∴所在直线的解析式为． 令，解得或（舍去）． 经检验，是原方程的解， ∴． ∴点的坐标为． 20. 在学校组织的社会实践活动中，数学小组的同学们利用测角仪和皮尺，实地测量了某黄河大桥主塔（塔柱）顶端离水面的竖直高度，如图，点A，B位于黄河岸边的水平地面上，且与点E，F在同一竖直平面内．已知水平地面离黄河水面的高度为，测角仪支架竖直高度，为．测角仪顶端延长线交于点H．数学小组在A点处测得主塔顶端E的仰角．为，在B点处测得主塔顶端E的仰角．为，已知A，B两点间的水平距离为．求黄河大桥主塔（塔柱）顶端离水面的高度的长．（结果精确到，参考数据：，，，) 【答案】黄河大桥主塔（塔柱）顶端离水面的高度约为 【解析】 【分析】由题意可知四边形为矩形，则，设，在中，解直角三角形得出，从而可得，在中，解直角三角形得出，从而即可得出结果． 【详解】解：由题意可知，四边形为矩形． ∴． 设，在中，， ∴． ∴． 在中，，． 化简得， 解得． ∴． 答：黄河大桥主塔（塔柱）顶端离水面的高度约为． 21. 某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为2400台．公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的2倍．先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； （2）首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产40天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍，要使这40天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】（1）甲车间每天生产240台智能机器人，乙车间每天生产120台智能机器人 （2）要使这40天的生产总量最大，应安排甲车间生产30天，乙车间生产10天 【解析】 【分析】（1）设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人，结合先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务，再建立分式方程求解即可． （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这40天的生产总量为台，进一步利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人， 根据题意得，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（台）． 答：甲车间每天生产240台智能机器人，乙车间每天生产120台智能机器人． 【小问2详解】 解：设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这40天的生产总量为台， 根据题意，得，． ∵，∴随的增大而增大． ∵安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍， ∴，解得， 由于天数不能为负数， ∴．． ∴当时，取得最大值，此时（天）． 答：要使这40天的生产总量最大，应安排甲车间生产30天，乙车间生产10天． 22. 已知抛物线 （b，c为常数）过点． （1）若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式及顶点坐标； ②已知，在该抛物线上，当时，求m的取值范围； （2）若该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，直线在第四象限内有两个交点，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1）①， ；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得抛物线过点和，用待定系数法即可求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可求顶点坐标；②根据抛物线的对称性求出关于的对称点为，结合增减性，列不等式求解即可； （2）由抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，得，再求出，画出抛物线图象，找出临界点求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意可知抛物线过点和， ∴解得， ∴； ∴顶点坐标为； ②由①可知抛物线关于对称，开口向上， 则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴关于的对称点为， ∵， ∴或， 解得或； 【小问2详解】 解：∵该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3， ∴，即， 将代入得，， 解得， ∴， 又∵直线在第四象限内与抛物线有两个交点， ∴令，解得（舍去）或， ∴当经过点时，在第四象限内与抛物线有1个交点， 即解得； 令即， 当时，解得； ∴直线在第四象限内与抛物线有两个交点时，． 23. 如图，在中，，，过点作于点，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线，交于点． （1）如图，当时，____________，____________; （2）请利用图证明：； （3）当时，请直接写出的长度． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）的长度为或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练运用相关几何性质和定理是解答本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质与旋转的性质，结合平行线的判定与性质，先判定四边形为平行四边形，求出的长度；再利用角度关系判定四边形为平行四边形，进而求出的值； （2）通过作辅助线构造平行线，利用旋转的性质、等腰三角形的性质推导角与边的等量关系，再通过证明三角形全等，得出为的中点，从而证明； （3）根据分两种情况讨论：当点与点重合时，直接得到；当点与点重合时，先证明，再利用相似三角形的对应边成比例求出的长度． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，即点是的中点， ； 【小问3详解】 解：，， ， 由旋转得，， 当时，分以下两种情况进行讨论： ①如图，点与点重合，； ②如图，点与点重合，， ，，， ， ，， ， ， ， ， 综上所述，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $