特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题 专项训练- 2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦特殊四边形与圆中相似问题，通过动态图形变换与多问探究，系统覆盖相似判定与性质的综合应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊四边形中的相似问题|3例+3变式，涵盖菱形、正方形、矩形|动态问题（动点/翻折/旋转），多问探究（求证/计算/数量关系）|以相似三角形判定为核心，串联特殊四边形性质，构建“图形性质→相似条件→比例计算”推理链条| |圆中的相似问题|3例+3变式，涉及切线、直径、圆周角|结合圆的切线性质与直径特征，多步推理与综合计算|融合圆的切线、圆周角定理，建立“圆的性质→等角关系→相似判定”应用路径|

特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 考点目录 特殊四边形中的相似问题 圆中的相似问题 考点一 特殊四边形中的相似问题 例1．（2026·湖北襄阳·一模）四边形是菱形，点在边上，点在边的延长线上，，连接并延长，交线段于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求的长； (3)如图3，连接，交于点． ①求证：； ②当是的中点时，直接写出的值． 例2．（2026·湖北随州·二模）在四边形中，点E是对角线上一点，连接，过点E分别作，的垂线，分别交直线，于点F，G． (1)如图1，若四边形是正方形，求证：； (2)若四边形是矩形，且，． ①如图2，当点F在的延长线上时，求的值； ②当时，请直接写出的长度． 例3．（2026·江苏连云港·二模）【问题探究】 (1)如图1，在正方形中，点、分别为、边上不与端点重合的一动点，连接交于点，交对角线于点，且． ①与的关系是________； ②若，求的值． 【类比探究】 (2)如图2，在矩形中，，，点、分别在边、上，点为线段上一动点，过点作的垂线分别交边、于点、点．若线段恰好平分矩形的面积，且，求的长； 【知识迁移】 (3)如图3，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】 (4)如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为________（用、的代数式表示）． 变式1．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，点E是线段上的动点，连接，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，交于点K，连接交于点H． (1)【问题解决】如图，______度，写出图中一对相似三角形：________； (2)【问题探究】连接，试探究线段与的数量关系； (3)【深入研究】当点E为的中点时，求的值． 变式2．（2026·湖南岳阳·二模）【问题情境】 在矩形中，点为线段上一点，连接，将沿所在的直线翻折，得到，延长交线段边于点，射线与射线交于点，如图（1）． (1)【问题解决】若，． ①当点是的中点时，求的长； ②当时，求的长； (2)【问题探究】连接，如图（2）．若为直角三角形，且满足，试探究线段与线段的数量关系． 变式3．（2026·贵州贵阳·一模）如图，在矩形中，，点E在矩形内部，，，与的延长线相交于点F，连接． (1)【新知初探】如图①，当点F与点C重合时，写出一个30度的角 ； ； (2)【问题延伸】如图②，当点F与点C不重合时，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)【拓展应用】连接，当时，求的值． 考点二 圆中的相似问题 例1．（2026·贵州贵阳·一模）如图，在中，，是的外接圆，点是上的一点，且，连接与交于点，是的一条切线，与的延长线交于点． (1)请用尺规作图找到圆心点的位置（保留作图痕迹），点 线段上；（填“在”或“不在”） (2)猜想与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知内接于，为直径，过点C做的切线，交的延长线于点D．          (1)求证：； (2)点K为上一点，连接并延长交于点G，连接、，，求证； (3)在（2）的条件下，延长交于点F，连接并延长交于点E，连接、，在的延长线上取一点H，连接，若，，，求的面积． 例3．（2026·四川绵阳·二模）如图，线段是圆的直径，弦于点，点是弧上任意一点，． (1)求圆的半径的长度； (2)求； (3)如图，直线交直线于点，连接交于点，求的值． 变式1．（2026·浙江台州·二模）如图，点是上的一个定点，点，是上的动点，且，为锐角，过点作的垂线分别交，于点，，点在边上，，交于点． (1)求证：． (2)连结，如图，求证：． (3)已知半径为，求的值． 变式2．（2026·四川泸州·二模）如图所示，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点，是上一点，连接并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3．求的长． 变式3．（2026·山东济南·二模）如图，是四边形的外接圆，点在上，过点作的切线交延长线于点，对角线，交于点，是的直径． (1)求证： (2)若，，求直径的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 考点目录 特殊四边形中的相似问题 圆中的相似问题 考点一 特殊四边形中的相似问题 例1.(2026湖北襄阳一模)四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，DE=CF,连接 AE并延长，交线段DF于点G. 0 图1 图2 图3 (1I)如图1，求证：△ADE≌aDCF; (2)如图2，若CE=2DE,DG=3,求GF的长； (3)如图3，连接BD,交AE于点H. ①求证： DH EG BH HG ②当G是DF的中点时，直接写出 DH 的值. BH 【答案】()见解析 (2)5 (3)①见解析；②√2-1 【分析】(I)根据菱形的性质得到AD=DC,AD∥BC,则∠ADE=∠DCF,再利用SAS证明△ADE≌△DCF即可： (2)根据菱形的牲质可得AD=DC,进而得到D=DC-3,由aADB2ADCF得到∠DAE=∠CDF,AE=DF, DEDE 证明&ADGADEG,得到AC-DC-AD, 求出AG=9,EG=1,再利用线段的和差以及等量代换即可求解； DG EG DE (3)①连接CH,利用菱形的性质证明△ADH≌aCDH(SAS),得到∠DAE=∠ECH，,再证明aCEH∽△DEG得到 EH CE ,利用比例的性质得出C_CD 再证明△ABH∽△EDH得到B班=AB 结合AB=CD即可证明结 EG DE EG DE DH DE 论，②设DH、EG BH HG m,结合O可知CH∥DF,推出&BDFn△BHC,△DEG△CEH,得到DF-BD CH BH =m+1, DG EG m CH EH 1-m ，根据中点的定义列出关于m的方程，求出m的值即可解答. 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是菱形， ·AD=DC,AD∥BC, 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 ∠ADE=∠DCF, 又DE=CF, ·△ADE≌△OCF(SAS); (2)解：四边形ABCD是菱形， .AD =DC, CE =2DE, :DC=CE+DE=3DE AD _DC=3, DE DE 由(1)得，△ADE≌aDCF, ∠DAE=∠CDF,AE=DF, 又~∠DGA=∠EGD, ∴.△ADG∽△DEG, AG DG AD DG EG DE 即4=3=3， AG=9,EG=1, AE=AG-EG=9-1=8, .DF=AE=8, GF=DF-DG=8-3=5; (3)①证明：如图3，连接CH, D 图3 ~四边形ABCD是菱形， AB=AD=CD,BD平分∠ADC,AB∥CD, ∴∠ADH=∠CDH, DH=DH, △ADH≌aCDH(SAS), ∠DAH=∠DCH, 即∠DAE=∠ECH, 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 由(2)得，LDAE=LCDF, :.ZECH ZCDF, CH∥DF, ∴△CEH∽△DEG, EH CE EG DE' EH +l=C +L,即EH+EG_CE+DE EG DE EG DE HG CD EG DE AB∥CD, ·△ABH∽△EDH, BH AB DH DE 又AB=CD, BH HG DH EG DH EG BH HG ②解：由①中的结论得， DH EG BH HG' 设DH、EG =m,则DH=mBH,EG=mHG, BH HG :.BD=DH+BH=(m+1 BH EH HG-EG =(1-m HG, 由①得，CH∥DF, ∴BDFABHC,△DEG∽△CEH, :.DF_BD (m+1)BH DG EG mHG m CH BH BH =m+1,CH=EH-(1-m)HG 1-m' G是DF的中点， .DF=2DG, DF 2DG CHCH 2m ∴m+1= 1-m 解得m=√2-1（负值已舍去）， DH =√2-1. BH 例2.(2026湖北随州二模)在四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE,过点E分别作AC,BE的 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 垂线，分别交直线BC,CD于点F,G. G B 图1 图2 备用图 (I)如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：BF=CE; (2)若四边形ABCD是矩形，且AB=3,BC=4. ①如图2，当点F在CB的延长线上时， BF的值： CG ②当CG=1时，请直接写出CE的长度。 【答案】（①）见解析 Q0房②cE的长为或号 【分析】(1)证明△EFB≌△ECG即可得出BF=CE; (2)①证明△BEF∽△GEC,先利用相似比，再利用同一个角tan值可用不同边表示即可； ②分情况讨论F在线段上和线段外，再利用相似比即可. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∠ACB=LACD=45°， :EF⊥AC, .∠EFC=45°， :EF=EC,∠EFB=LECG, ·EF⊥AC,BE⊥EG, :ZFEC ZBEG, .∠FEB=∠CEG. 在△BEF和aGEC中， ∠EFB=∠ECG EF=EC ∠FEB=∠CEG .△BEF≌aGEC(ASA, .BF=GC. 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 (2)解：①、：四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90° LBCE+∠ACD=90°， :EF⊥AC, .∠BCE+∠EFB=90°，∠FEB+∠BEC=90°， :ZECG=ZEFB 又：BE⊥EG, .∠CEG+∠BEC=90°， ∠FEB=LCEG, ∴△BEFn△GEC, BF EF CG EC' 在直角ABC中， tan∠ACB=AB-3 BC 4 在直角△EFC中， tan∠ECF=E C' EF 3 EC 4' BF 3 CG-4 ②在直角△EFC中， EF 3 EC 4' :设EF=3k,EC=4k, CF=V4k)2+(3k)2=5k, EC 4k 4 CF=5k=5' CG=1, 当F在线段BC上时： 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 D B G 此时CF=BC-BF=4- 313 44， 当F在CB的延长线上时： D G B 319 此时CF=BC+BF=4+ 44 4 41919 ∴.CE=CF=2x= 5 545 例3.(2026江苏连云港·二模)【问题探究】 E D 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上不与端点重合的一动点，连接AF交BE于点O,交 对角线BD于点G,且∠ABE=∠DAF. ①BE与AF的关系是 ②若DG=)BG,求 2 D的值. 【类比探究】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,点G、H分别在边AB、CD上，点M为线段GH上一动点，过点 M作GH的垂线分别交边AD、BC于点E、点F,若线段GH恰好平分矩形ABCD的面积，且BG=1,求EF的长； 【知识迁移】 (3)如图3，在四边形ABCD中，LADC=90°，点E、F分别在线段AD、CD上，且BE⊥AF,连接BD,若 6 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 △ABD为等边三角形，求BE的值： AF 【拓展应用】 (④)如图4，在矩形ABCD中，CD=m,AD=n,点E,F分别在边AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点 B的对应点点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H,则mBH+nEF的最小值为 (用m、的代数式表 示). 【答案】(I)OBE=AF;BE1AF;②5 3 (2)EF=4V29 3)3 2 (4)mVm2+4n2 【分析】(1)①由△ABE≌△DAF可证得BE=AF,又有同角的余角相等可得LDAF+LAEB=90°，BE⊥AF; ②FG0”64GB,可卷GG-5-由各个线段的比例关系、勾股定理衣示出各个线段长，再求解C的 AD 值； (2)正确添加辅助线，过B作BK‖GH交CD于K,过C作CQ∥EF交AD于Q,连接BD交GH于O,可证得 CK=2,再由勾股定理求解即可； (3)正确添加辅助线，补全矩形，由三角形相似和等边三角形、矩形的性质，即可证得4严_BE AD AF (4)由△EFM∽aBGC,可证得mBG=nEF,通过等量代换可得，mBH+nEF=mBH+BG),由轴对称和三角形 两边之和大于第三边可知，当A,G,B'三点共线时，BH+BG有最小值，最小值为AB,由勾股定理即可求解. 【详解】(1)解：①~四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAE=∠ADF, ∠ABE=∠DAF, AABE≌△DAF(ASA, BE AF ∠ABE=∠DAF,∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠DAF+∠AEB=90°，即BE⊥AF; ②设正方形ABCD的边长为a,则AB=AD=a, AB∥CD, ∠DFG=∠BAG,∠GDF=∠GBA, AFGD∽aAGB, 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 DG_FG DF 1 BG AG AB 2 ∴DF=AB=a,FG=AG, 2 2 六AF=VAD'+DF= 20, FG-IAG, 2 ÷4G=2=5 a, 3 3 5a 43-5 A -a3 (2)解：过B作BK IGH交CD于K,过C作CQ∥EF交AD于Q, A H K G B R EF⊥GH,∴CQ⊥BK, ~BK‖GH,BG|KH,四边形BKHG是平行四边形， BG=HK=1, GH平分矩形ABCD的面积，连接BD交GH于O, 0B=0D, ~AB∥CD,所以∠BGO=∠DHO,∠GBO=∠HDO aBOG≌△D0HAAS, BG=DH =1, :.CK =CD-KH-DH =2, BK=VBC2+CK2=V52+22=V29, CQ⊥BK, ∠CBK=∠DCQ, ∠BCK=∠CDQ=90°， △CBKDCO, 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 CB BK DC CO CO= DC·BK4V29 CB 5 ~CQ∥EF,EQ∥CF, ∴四边形EQCF是平行四边形， ∴EF=CQ= 4V29 5 (3)解：过点B作BV⊥DC,交DC的延长线于点V,过点A作AW⊥BV于点W,过点E作ER⊥BV于点R, w-- B ∠V=∠W=90°， ∠CDA=90°， ∴四边形ADVW是矩形， 又BE⊥AF, .∠DAF+∠AEB=90°， ∠AEB=∠EBV,∠BER+∠EBV=90°， ∠DAF=∠BER, AERB∽△ADF, ER BE AD AF 又~ER=AW, :.AW BE AD AF ~△ABD是等边三角形， ∠BAD=60°，AB=AD, ∠BAW=30°， 、APA AD AB =cos∠BAp=cos30°= 2 BE3 AF2 (4)解：连接AG,BG,过点E作EM⊥BC于点M,作点B关于CD的对称点B', 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 ≥B 由翻折的性质，AB=GH,BF=FG,AE=EH,EF⊥BG,∠ABF=∠HGF=90°， ∴.∠FBG=∠FGB, ∠ABF-∠FBG=∠HGF-∠FGB,即∠ABG=∠HGB, 在△ABG与△HGB中， AB=HG ∠ABG=∠HGB, BG=GB ·△ABG≌AHGB(SAS), ∴.AG=BH, 由(3)可知，△EFM∽△BGC, .EF=EM=CD-m,mBG=nEF BG BC AD n mBH +nEF =mBH+mBG m(BH+BG), 由对称的性质可知，BG=BG,BC=BC=n,BB=2n, BH+BG=AG+BG≥AB, 当A,G,B三点共线时，BH+BG有最小值，最小值为AB', AB'=AB2+BB2 =m2+(2n)2=m2+4n2, mBH+nEF=mBH+BG)的最小值为mVm2+4n2. 变式1.(2026·贵州黔东南二模)如图，在正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，连接DE,将DE绕点E 顺时针方向旋转90°得到线段EF,EF交BC于点K,连接DF交BC于点H. H A E 备用图 10 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 (I)【问题解决】如图，∠ADE+∠CDH=度，写出图中一对相似三角形： (2)【问题探究】连接BF,试探究线段AE与BF的数量关系： (③)【深入研究】当点E为AB的中点时， BK的值· C 【答案】(1)45°，△DAE∽△EBK BF=2AE e 【分析】(1)由旋转性质得DE=EF,∠DEF=90°，则△DEF是等腰直角三角形，进而可得LEDF=∠F=45°， 由正方形的性质和余角定义可得到∠ADE+∠CDH=45°，∠ADE=∠BEK,又LDAE=∠EBK=90°，利用相似三 角形的判定可得答案； (2)过点F作FM⊥AB延长线于点M,利用一线三垂直全等模型证明△DAE≌△EMF(AAS),再证明 AE=BM=MF,再结合勾股定理即可得出结论； (3)设AE=BE=a,则AD=AB=BC=CD=2a,过点F作FM⊥AB延长线于点M,过点F作FG⊥BC于点G, 证明四边形BMFG是正方形得到BG=FG=MF=BM=AE=a,则FG=BE,证明△FGK≌△EBK(AAS)得到 2 【详解】(1)解：由旋转性质得DE=EF,∠DEF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形，LAED+∠BEK=90°， ∠EDF=∠F=45°， 四边形ABCD是正方形， .∠ADC=∠DAB=∠ABC=90°， LADE+∠CDH=∠ADC-∠EDF=90°-45°=45°，∠AED+∠ADE=90°， ∠ADE=∠BEK,又∠DAE=∠EBK=90°， ADAE∽△EBK; (2)解：如图，过点F作FM⊥AB延长线于点M,则∠FME=90°， B 由旋转得DE=FE,∠DEF=90°， 0 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 ∠AED+∠FEM=90°， 在正方形ABCD中，∠BAD=90°，AD=AB, LEAD=∠FME=90°，∠AED+∠EDA=90°， ·∠EDA=∠FEM, ·ADAE≌△EMF(AAS), .AE=MF,AD=EM, AD=AB, AB=EM,即AE+EB=EB+BM, .AE BM MF, FM⊥AB, BF2=BM2+MF2=2BM2=2AE2, ∴BF=V2AE; (3)解：点E是AB的中点， 设AE=BE=Q,则AD=AB=BC=CD=2a, 过点F作FM⊥AB延长线于点M,过点F作FG⊥BC于点G, H G A E B 则∠FMB=∠MBG=∠BGF=90°， 四边形BMFG是矩形， 由(2)知，MF=BM=AE, 四边形BMFG是正方形， :.BG FG MF=BM AE =a FG=BE ∠FGK=∠EBK=90°，∠GKF=∠BKE, AFGK≌EBK(AAS, 1 ∴GK=BK=BG=5a, 2 ∠C=∠FGH=90°， 2 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 DC∥GF, ADCH△FGH, CHCD_20=2, GH GF a ∴CH=2GH, CH+GH=CG=BC-BG=a, 2 .CH=a, 3 1 BK 24 3 4 变式2.(2026·湖南岳阳·二模)【问题情境】 在矩形ABCD中，点O为线段BC上一点，连接AO,将△ABO沿AO所在的直线翻折，得到△AOP,延长AP交线 段CD边于点E,射线A0与射线DC交于点F,如图(1). B 图(1) 图(2) (备用图) (I)【问题解决】若AB=3,AD=4. ①当点O是BC的中点时，求OP的长： ②当B0=3C0时，求4B的长； )【问题探究】连接OE,如图(2).若FOE为直角三角形，且满足an∠OFE,试探究线段AB与线段BC 数量关系 【答案】(1)①0P=2;②AE=41 10 ②0-昌aC攻Bc 4 【分析】(1)①根据折叠的性质，直接得出答案即可； ②费△AB0aFC0,卷出行-号求出DP=CD+CP=3+2=5,证明E=P,设4B=F,则 DE=5-x,根据勾股定理得出42+(5-x)=x2,求出x的值即可； (2)分两种情况：当∠OEF=90°，当∠E0F=90°，分别画出图形进行求解即可. 13 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 【详解】(1)解：①四边形ABCD为矩形， AD=BC=4,AB=CD=3,∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，AB∥CD, ~点O是BC的中点， B0=C0=BC=2, 2 根据折叠可得：OP=B0=2; ②B0-c0, BO 3 “c02' AB∥CD, aAB0∽△FC0, AB BO 3 CF CO 2 CF=24B=2, DF=CD+CF=3+2=5, 根据折叠可得：∠BAF=∠EAF, AB∥CD, ∠F=∠BAF, ∠EAF=∠F, AE EF, 设AE=EF=x,则DE=DF-EF=5-x, 在RtAADE中，根据勾股定理得：AD2+DE2=AE2, 即42+(5-x)2=x2, 41 解得：x= 10’ 即AE=10 1 (2)解：当LOEF=90°，点E与C重合时，aOEF为直角三角形，如图所示： 14 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 B O C(E) 根据(1)可得：AC=CF, ~tan∠OFE= 3 .0C2 CF3 设0C=2k,则AC=CF=3k,设B0=2x, ABI∥DC, ∠BAO=∠OFE, tan∠BA0=OB-2 AB3' AB =3x, CD=AB=3x,AD =BC=B0+0C=2x+2k, 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2, 即(3k)2=(3x2+(2k+2x)2, 整理得：13x2+8-5k2=0, 解得：x=5k或x=-k（舍去， 13 AB 13 5 BC 2x5k+2k 12 13 AB=5 BC: 12 当∠E0F=90°，如图所示： E D 15 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 ~tan∠OFE=2 .0C2 设0C=2k,则AC=CF=3k,，设B0=2x, ~AB∥DC, .∠BA0=∠OFE, tan∠BA0=OB=2 AB3' .AB =3x, 根据(1)可得：AE=EF, ∠E0F=90°， EO⊥AF, .A0=0F, ∠BAO=∠OFC,∠AOB=LCOF, ∴△AOE≌△FOC(ASA, ∴0B=0C, 2k=2x, 2.x=k, AB=3x=3k,BC=0B+0C=2x+2k=2k+2k=4k, 、AB3k3 BC 4k4' 3 ÷AB=三BC: 4 综上，AB=5BC或AB=2BC、 3 12 4 变式3.(2026·贵州贵阳一模)如图，在矩形ABCD中， B=5,点E在矩形内部，∠AEB=90°， AD CG∥BE,BG∥AE,CG与AE的延长线相交于点F,连接BF, C(F) G G 图① 图② 备用图 (①)【新知初探】如图①，当点F与点C重合时，写出一个30度的角-： B EF=: (2)【问题延伸】如图②，当点F与点C不重合时，猜想CG与AE的数量关系，并证明你的结论； 16 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 (国【托晨应用】连接0F,当二-5时，求8的位 DE 【答案】(I)LDCA,∠BAC,∠BCG,∠CBE(写出一个即可)；√5 2g5,证明见解析 CG ③7或a@ 8 4 【分析】(1)由矩形的性质得到4D=BC,∠ABC=90°，DC∥AB,然后得到an∠ACB=4B-4-5,求出 BC AD ∠4CB=60°，然后利用正切的定义得到E=an60°=5，然后利用同角的余角相等和平行线的性质求解即可； CE (2)首先证明四边形BEFG是矩形，得到LEBG=LG=90,然后证明△ABEO△CBG,即可得到二-4 =√5 CG BC ； (3)设CF=x,则EF=√3x,表示出FG=BE=3x,然后分两种情况讨论，证明出点A,D,F,B四点共圆，求 出∠DFB=90°，然后利用勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：~四边形ABCD是矩形 AD=BC,∠ABC=90°，DC∥AB ,4g-5 AD tan LACB=4B-4B= BC AD ∠ACB=60 ∴.∠BAC=90°-60°=30° DC∥AB ∠DCA=∠BAC=30°； ∠BEC=∠AEB=90° 六LABE=90°-30°=60°， BE =tan∠ACB=tan60°=√5： CE ∠CBE=90°-60°=30 YBE∥CG .∠BCG=∠CBE=30° 30度的角有∠DCA,∠BAC,LBCG,∠CBE(写出一个即可)： (2)解：二5，证明如下： CG 由1)得， BC CG∥BE,BG∥AE 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 四边形BEFG是平行四边形 ZBEF ZAEB=90 ·四边形BEFG是矩形 ∴∠EBG=∠G=90° ∠ABC=90° ∴LABC-LEBC=∠EBG-LEBC,即LABE=∠CBG 又LAEB=LG=90° ∴△ABE∽△CBG ,4E-4B=5; CG BC (3)解：：EF=5 CF ∴设CF=x,则EF=√5x, 由(2)得，△ABE∽△CBG AE_BE-AB= CG BG BC ~四边形BEFG是矩形 ·FG=BE=V3BG=V3EF=3x 如图，当点F在线段CG上时， CG=CF+FG=x+3x=4x ∴AE=V3CG=4V3x .∠BEF=∠AEB=90 DC=AB=VAR+BE=57x BF=BE+EF:=23x tan ZEFB-3 ∠EFB=60 ,4B=5 AD 六AD=V9x,an∠ADB=AB =5 AD ∠ADB=60°=∠EFB 18 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 ∴点A,D,F,B四点共圆 ∠DFB=180°-∠DAB=90° BD=√AD2+AB2=219x, ÷DF=VBD2-BF2=8x .DC-57x-V57 DF 8x 8 如图，当点F在射线GC上时， G 同理可得，FG=BE=V5BG=V5EF=3x ∴CG=FG-CF=3x-x=2x ∴AE=V3CG=2V5x ZBEF ZAEB =90 ∴DC=AB=VAE2+BE2=√21x,BF=√BE2+EF2=2V5x ,4B=5 AD AD=7x, 同理可得，∠DFB=90 BD=AD2+AB2=27x, ∴DF=VBD2-BF2=4x .DC_ix_21 DF 4x 4 的值为5或@】 综上所述，C 8 4 19 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 考点二 圆中的相似问题 例1.(2026贵州贵阳一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，⊙0是Rt△ABC的外接圆，点D是⊙0上的一 点，且AD=AC,连接DC与AB交于点E,AF是OO的一条切线，与BC的延长线交于点F. (1)请用尺规作图找到圆心点O的位置（保留作图痕迹），点0_线段BC上；（填“在”或“不在”） (②)猜想∠BEC与∠ACF的数量关系，并说明理由： (3)在(2)的条件下，若AE=2,BE=6,求CF的长， 【答案】（①）见解析，在 (2)LBEC=∠ACF,理由见解析 3)cF=45 3 【分析】(1)作BC的垂直平分线，与BC的交点即为圆心O: (2)根据三角形外角的性质得到∠BEC=90°+∠ACD,根据等弧所对圆周角相等可知∠ACD=∠ABC,进而可知 ∠BEC=90°+∠ABC,根据三角形外角的性质得到∠ACF=90°+∠ABC,则∠BEC=∠ACF; (3)连接OA,证明ACE4BC,得到二=4C,进而得到4C=4,由勾股定理求出BC=45,证明 AC AB C:0,可E4CFn:84.则号6-，可：30r,8F:4F:GE,作据 BF=BC+CF即可求出CF的长. 【详解】(1)解：如图，可知点O在线段BC上； D E B ∠BAC=90°， ·BC为直径， 20 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 ∴O为BC中点； (2)解：∠BEC=∠ACF,理由如下： ~∠BEC是△AEC的外角，∠BAC=90°， ∠BEC=∠BAC+∠ACD=90°+∠ACD, AD=AC, ∠ACD=∠ABC, 因此∠BEC=90°+LABC. 又~∠ACF是ABC的外角， .∠ACF=∠BAC+∠ABC=90°+∠ABC, ∴∠BEC=LACF; (3)解：在△ACE和ABC中：∠ACE=∠ABC,∠CAE=∠BAC=90°， AACE△ABC, 得E、4C AC AB AE=2,BE=6, :.AB AE BE =8, ∴AC2=AEAB=2×8=16, 即AC=4(负值舍去). 在Rt△ABC中，由勾股定理：BC=√AC2+AB2=√4+82=4V5, 如图，连接OA, D B AF是⊙O的切线， ∠CAF+∠CA0=90°. ∠BA0+∠CA0=90°， ∠BA0=∠CAF. 0A=0B, ∠BAO=∠ABC, 21 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 ∠CAF=∠ABC, 又∠F=∠F, △ACFn△BAF, CF AF AC 4 1 “AF BF AB82' 即AF=2CF,BF=2AF=4CF. 又BF=BC+CF,代入得：4CF=4V5+CF, 解得CF=4 3 例2.(2026黑龙江哈尔滨·二模)已知ABC内接于⊙0，BC为直径，过点C做⊙0的切线，交BA的延长线于点 D D DE K 图1 图2 图3 (I)求证：∠B=∠ACD; (2)点K为AB上一点，连接K0并延长交⊙0于点G,连接BC、CG,∠AKG=3LACD,求证CG=AC; (3)在(2)的条件下，延长GK交O0于点F,连接FA并延长交CD于点E,连接CK、A0,在A0的延长线上取 一点H,连接BH,若∠OHB=90°+∠ACD,OH=1,CE=4,求△BCK的面积， 【答案】（①）见解析 (2)见解析 贸 【分析】(1)根据切线的性质得到LBCD=90°，由圆周角定理得到∠BAC=90°，从而得出结论； (2)连接OA,设LACD=a,则∠B=a,LAKG=3a,利用三角形外角的定义求出∠BOK,进而证明 ∠A0C=LCOG,从而得出结论； (3)连接AG交BG于点L,连接BF,由圆周角定理求出∠FAG=90°，进而求出∠OLG=90°，证明 △ABF≌△ABH(ASA),则AF=AH,设AO=x,则AF=AH=x+1,过点O作OM⊥AF于点M,四边形EMOC 为矩形，在Rt△AMO中，利用勾股定理列出方程，求出x的值，再利用勾股定理求出AB、AC长，证明 480,则繁-异利用船 cAB求解即可. 22 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 【详解】(1)证明：：CD与圆O相切于点C, ∴.∠BCD=90°， LACD+LACB=90°， :BC为O0的直径， ∠BAC=90°， ∠B+∠ACB=90°， LB=∠ACD; (2)证明：连接OA,设LACD=a,则∠B=a,LAKG=3a, ∠A0C=2∠B=2a, :LB0K=∠AKG-∠B=3a-a=2a, ∠C0G=LB0K=2a, :ZAOC =ZC0G :CA=CG; (3)解：如图，连接AG交BG于点L,连接BF, DE 图3 由(2)知，∠A0C=∠C0G=2a, .∠A0G=∠A0C+∠C0G=4a, ∠AFG=1∠40G=2a, 2 :GF是⊙0的直径， ∠FAG=90°， :∠AGF=90°-∠AFG=90°-2a, ∠0LG=180°-∠C0G-∠AGF=180°-2a-(90°-2a）=90°， :∠AL0=90°， :∠FAL+∠ALB=I80°， ∴.AF BC, :∠FAB=∠ABC=a, 25 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 :0A=0B, ∠OAB=∠ABC=a, :∠FAB=∠OAB=a, .∠ABH=180°-∠AHB-∠BAH=180°-(90°+a-a=90°-2a, :LABF=∠AGF=90°-2a, .∠ABF=∠ABH, 在△ABF和△ABH中， ∠FAB=∠HAB AB=AB ∠ABF=∠ABH △ABF≌△4BH(ASA), :AF =AH, 设A0=x,则AF=AH=x+1, 过点O作OM⊥AF于点M, 0A=0F, .AM=MF=1AF=x+1 2 :AF∥BC,∠OCD=90°， LFEC=180°-L0CD=90°， 又：∠AM0=90°， :四边形EMOC为矩形， 0M=CE=4,∠AEC=90°， 在Rt△AM0中，AM2+OM2=OA2, 即x+1 2+4=x2, 解得：x=5或x=-3 (舍去)， 3 ÷ME=0C=5、AM=5+=3, 2 :AE=ME-AM=2、AF=2AM=6、BC=20C=10, 在RtAACE中，由勾股定理得：AC=√AE2+CE2=V22+4=25, 24 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 在R0ABC中，由勾股定理得：AB=VBC2-AC2=02-(25=4N5, :S.c=)×AB×4C=-x45x2N5=20, 1 :LFAK=∠OBK、∠FKA=∠OKB, .△AFK∽△BOK, AK AF 6 BK BO3' BK 5 AB111 S.=2 xBKX AC BK5 S.ABC 2XABXAC AB 1 5 ∴.SBCK=SABc =20× 5100 11 1111 例3.(2026四川绵阳二模)如图1，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点H,点M是弧CBD上任意一点， AH=4,CH=8. E M 图1 图2 (1)求圆0的半径r的长度： (2)求tan∠CMD; (3)如图，直线BM交直线CD于点E,连接BN交CE于点F,求HEHF的值. 【答案】(1)10 a (3)64 【分析】(1)连接半径OC,利用垂径定理和勾股定理，结合已知的CH=8、OH=r-4,列方程求解出圆的半径 r=10; (2)先根据垂径定理得到弧的关系，再结合圆周角定理推出∠CMD=∠AOC,最后在RIACOH中计算出 tan∠CMD的值； (3)先利用直径所对圆周角为直角和已知线段长度算出HB=16;再通过同角的余角相等、同弧所对圆周角相等 推导角相等，结合直角证明△EHB∽△AHF;最后用相似三角形的比例关系，得到HEHF=AHHB=64. 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 【详解】(1)解：连接0C, M B~CD⊥AB于H,AB是圆O直径，CH=8, 在RtaC0H中，CH=8,OH=r-4,OC=r, 由勾股定理，得r-4)2+82=2, 解得r=10. 2)解：连接0C、0D,则∠CMD=4C0D, M XO B弦CD与直径AB垂直， :.AD=AC=CD, 1 .∠AOC=5∠COD, ∠CMD=∠coD, ∠CMD=∠AOC, AH=4,CH=8,r=10, 0H=r-AH=10-4=6, ∴tan∠CMD=tan∠AOc=CH_8-4 OH63: (3)解：连接AM、AF,则LAMB=90°， E M 由题意得AH=4,AB=2r=20, A D :.HB=AB-AH =16, ~AB是直径， 26 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 ∠AMB=90°，即∠AME=90°， CD⊥AB,∠EHB=90°， ∴LE+∠ABM=90°，∠BAM+∠ABM=90°， ∠E=∠BAM, 同弧BM所对圆周角∠BAM=∠BNM, ∴LE=BNM, 连接AN,则∠ANB=90°， ∠AHF=90°， 4、N、F、H四点共圆， LFAH=∠HNF=∠E, M ∠EHB=∠AHF=90°， B aEHB∽aAHF,得：HE_HB AH HF 即HE.HF=AH·HB=4x16=64. 变式1.(2026浙江台州二模)如图1，点A是O0上的一个定点，点B,C是⊙0上的动点，且AB=AC,∠A为 锐角，过点B作AC的垂线分别交AC,AC于点D,E,点F在边AB上，FE=FB,FE交AC于点G. A G (图1) (图2) (I)求证：∠BFE=2LBAC. (2)连结0F,如图2，求证：AF=0F. (3)已知00半径为5，求AC.CG的值. 【答案】（①）证明见详解； (②)证明见详解； 27 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 (3)AC.CG=50. 【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质、垂直平分线的判定与性质、平行线的判定、相似三角形的判定 与性质以及圆周角定理等知识点，熟练运用相关几何定理与性质是解答本题的关键， (1)利用等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，结合三角形内角和定理证明角度的倍数关系； (2)通过连接圆心与圆上的点，结合垂直平分线的判定与性质、平行线的判定，利用等角对等边证明线段相等： (3)利用(1)(2)的结论，结合等腰三角形的性质推导线段间的数量关系，再通过相似三角形的性质将所求乘积 转化为与圆半径相关的式子，进而求出结果. 【详解】(1)证明：：AC⊥EB, LA=90°-∠ABE, BF =EF ∠ABE=LE, ∠BFE=180°-2LABE, .∠BFE=2∠A; (2)证明：连接A0,BO,CO,EO, AB=AC,BO=CO, (图2) A0垂直平分BC, ∠CA0=∠BA0, .FE=FB,OB=OE, ∴.OF垂直平分BE, :AC⊥BE, .OF∥AC, ∠A0F=∠CA0=∠BA0, :.AF=OF; (3)解：连接AE,A0,OF,BO, 28 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 F G E∠BFE=2LBAC, D C (图1) :∠AGF=∠BAC, :AF =FG, :AB=AC,AC⊥EB, ∠CBE=90°-∠C=180°-2∠C∠AGF 2 2 :ZGAE=ZCBE=ZAEG, .AG=EG, FB=FE,AB=AC, ..CG=AC-AG=AC-(AB-AF-FG)=2AF, AF=OF,OA=0B, LAB0=∠BA0=∠AOF, △AOF∽△AB0, .AC.CG=2AB.AF=20A2=50 变式2.(2026四川泸州二模)如图所示，C是以AB为直径的⊙0上一点，CD⊥AB于点D,过点B作⊙0的切 线，与AC的延长线相交于点E,F是CD上一点，连接AF并延长与BE相交于点G,延长CG与AB的延长线相交 于点H,且GB=EG. G OD B H (1)求证：CH是o0的切线： (2)若FG=BG,O0的半径为3.求BD的长. 【答案】(1)见解析 (2)BD=2 【分析】(1)连接CO、BC,由已知可得∠BCE=90°，证明G是斜边BE的中点，推出LGCB=LGBC,结合 29 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 ∠0CB=∠0BC,得到L0CG=90°，即可证明； (2)过点G作GT⊥CF,证明CD∥BE,进而证明aGBA∽△FDA,△GEA∽△FCA,推出点F是CD的中点，再 证明△TGF∽△DAF,进而证明四边形GTDB是矩形，推出AB=AD+DB=3TG,即可求解. 【详解】(1)证明：连接CO、BC, :AB是⊙0的直径， O D :∠ACB=90°， :∠BCE=90°， 在RtABCE中， GB=EG, G是斜边BE的中点， ∴.CG=GB=EG. :LGCB=∠GBC, 又0C=0B, :∠0CB=L0BC, ∠0BC+∠GBC=90°，即L0CB+∠GCB=90°， ∴∠0CG=90°， :0C是半径， :CH是⊙O的切线； (2)解：过点G作GT⊥CF, G F OD 由1)得cG-B=G=8G, FG=BG, :FG=CG, 30 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 :GT⊥CF, 1 CT-TF-CF, :EB⊥AB,CD⊥AB, ∴.CDBE, ∠GBA=∠CDA,∠BGA=∠DFA, △GBAn△FDA, AF_FD AG GB 又CD∥BE, :∠E=∠FCA,LEGA=∠CFA, △GEA∽△FCA, CF AF EG AG FD CF 则 GB EG ·G是EB的中点 :F是CD的中点， :CF =DF, F=)DF,即g= FD 2' :CD⊥AB,GT⊥CF, ∠GTF=∠TDA=90°， :∠GFT=∠DFA, ∴.△TGF∽△DAF, TG TF 1 ADFD2 ·AD=2TG, :过点B作⊙0的切线，与AC的延长线相交于点E, AB⊥EB,即∠GBD=∠BDT=∠GTF=90°， :四边形GTDB是矩形， :DB=GT, 即AB=AD+DB=3TG, :00的半径为3， .AB=2×3=6, 31 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 TG=6÷3=2,即BD=2. 变式3.(2026山东济南二模)如图，⊙0是四边形ABCD的外接圆，点O在AB上，过点D作⊙0的切线DF交 BA延长线于点F,对角线AC,BD交于点E,CG是OO的直径. (I)求证：∠ADF=∠ACD 2)若CD=6,sin∠AED= ,求直径cG的长. 5 【答案】()见解析 (2)5√5 【分析】(1)连接OD,根据切线的性质得出LODF=90°，由题可知AB是⊙0的直径，得出∠ADB=90°，进而根 据等角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得证： 2)光证明△D4Ea△DGC答甜LHD=LGCD,求得sin∠GCD2G3,设DG=VBx,CG=5,根 勾股定理求得x=√5，即可求解， 【详解】(1)解：如图，连接OD, D A B:FD为OO的切线， G .L0DF=90°， ,∠ADF+∠ADO=90°， 由题可知AB是OO的直径 LADB=90°， LAD0+∠0DB=90°， ∠ADF=∠ODB .OD=0B, .∠ODB=∠OBD, .AD=AD, 32 特殊四边形中的相似问题、圆中的相似问题专项训练 ∠ACD=∠OBD, .∠ACD=∠ADF. (2)连接DG D BCG是O0的直径， .∠CDG=∠ADB=90°， CD=CD, LDAE=∠DGC, ∴.△DAE∽△DGC, ∠AED=LGCD. 在Rt△GCD中，∠CDG=90° sin∠GcD= DG 13 CG 5 设DG=V13x,CG=5x DG+CD2=CG,即(V13x)2+62=(5x)2 解得x=√5 CG=55. 33