云南曲靖市麒麟区第七中学2025－2026学年数学八年级下学期数学期末试卷

**基本信息** 以航天纪念章设计、校园规划建模等真实情境为载体，融合二次根式、函数、几何与统计知识，通过赵爽弦图探究等题设计，考查抽象能力、空间观念与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|15/30|二次根式、函数概念、多边形内角和|结合航天纪念章考正八边形内角和，体现文化传承| |填空题|4/8|函数关系、统计图表、圆柱侧面最短路径|蚂蚁爬行路径问题考查空间观念| |解答题|7/62|勾股定理应用、统计分析、动态几何探究|校园平面建模动点题（27题）融合空间观念与创新意识，赵爽弦图验证勾股定理（26题）培养推理能力|

云南省曲靖市麒麟区八年级下册数学期末试卷 细目标表 1、 逐题细目标分明细表： 题型说明：单选题15题×2分=30分；填空题4题×2分=8分；解答题共62分；总分100分 题型 题号 分值 核心考查知识点 难度层级 单选题 1 2 最简二次根式的定义与判定 基础 2 2 函数的定义（唯一对应关系）图像判定 基础 3 2 多边形内角和公式计算（正八边形） 基础 4 2 方差的意义：方差越小，数据越稳定整齐 基础 5 2 勾股定理、直角三角形判定、命题真假辨析 中档 6 2 自变量取值范围（二次根式+分式综合） 基础 7 2 箱线图数据分析（极差、中位数、数据分布、方差） 中档 8 2 中点四边形性质、原四边形对角线特征判定 中档 9 2 三角形中位线定理实际应用（测距问题） 基础 10 2 正比例函数增减性、参数取值范围求解 基础 11 2 台阶展开最短路径、勾股定理实际应用 中档 12 2 菱形性质、直角三角形斜边中线、菱形面积计算 中档 13 2 数轴上无理数表示、勾股定理求值 基础 14 2 一次函数与正比例函数图像综合辨析 中档 15 2 矩形折叠性质、勾股定理综合计算 拔高 填空题 16 2 一次函数实际应用（剩余油量关系式） 基础 17 2 行程函数图像解读、速度与路程时间分析 中档 18 2 角平分线、线段中点、垂直性质、线段计算 中档 19 2 圆柱侧面展开最短路径、勾股定理应用 中档 解答题 20 5 二次根式加减乘除混合运算 基础 21 6 勾股定理求边长、不规则四边形分割求面积 中档 22 8 统计综合：中位数、众数、扇形统计图、样本估计总体 中档 23 8 分式方程实际应用、一次函数最值方案选择 拔高 24 7 一次函数与反比例函数综合、函数不等式、三角形面积 中档 25 8 平行四边形性质、菱形判定几何证明 中档 26 8 赵爽弦图验证勾股定理、勾股数证明与实际应用 拔高 27 12 平面直角坐标系动点、动态面积、线段求解、周长最值综合探究 拔高 二、知识模块分值统计（总分100） 1. 二次根式模块：7分（基础计算+概念判定） 2. 函数模块（一次/正比例/反比例）：24分（图像、性质、取值、实际应用） 3. 特殊四边形模块（平行四边形、矩形、菱形、多边形）：26分（性质、判定、中点四边形、折叠） 4. 勾股定理模块（含最短路径）：18分（计算、证明、实际场景应用） 5. 统计数据分析模块：10分（方差、箱线图、中位数、样本估计总体） 6. 方程与实际应用题模块：16分（分式方程、一次函数最值方案） 7. 几何动点综合探究模块：12分（压轴重难点、最值与动态计算） 三、难度分值分布 基础题：42分｜中档题：40分｜拔高题：18分 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省曲靖市麒麟区八年级下学期数学期末试卷参考答案 题号 1 3 4 5 6 7 9 12 13 14 15 答案 C C C A A C A A A A B 1．C 【详解】解：∵ = ，被开方数含分母，A不符合要求； ∵ 的被开方数含分母，B不符合要求； ∵ 满足最简二次根式的两个条件，C符合要求； ∵ 分母含根号，化简后为，原式不是最简二次根式，D不符合要求； 2．A 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意． 3．C 【详解】解：， 即正八边形徽章的内角和为． 4．C 【详解】∵ ，，，且 ， ∴ ． ∵ 方差越小，数据的波动越小，身高越整齐， ∴ 参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班． 5．A 【详解】解：对命题①，∵中，未说明6和8均为直角边，当8为斜边时，第三边长为，不是10，∴①是假命题； 对命题②，∵在中，满足，根据勾股定理逆定理，直角是和的夹角，即，不是，∴②是假命题； 对命题③，∵，三角形内角和为，∴，是直角三角形，∴③是真命题； 对命题④，∵，设，，，则，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，∴④是真命题； 因此假命题是①②． 6．A 【详解】解：函数的自变量应满足，解得， ∴自变量的取值范围是． 7．C 【详解】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 8．B 【详解】解：如图， 根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点， ∴EF=FG=CH=EH， ∴EF是△ABD的中位线 ∴，即BD=2EF 同理可得，即AC=2FG ∴BD=AC ∴原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．注意掌握数形结合思想的应用．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 9．A 【详解】解：点D，E分别是，的中点 ， 是的中位线 ， ． 10．A 【详解】解：由题目可知，当 x1<x2 时，有 y1>y2 我们可以判断：k＜0， 即2m-1＜0， 即m<.即答案选A. 【点睛】本题考查了正比例函数，熟悉掌握相关性质是解题关键. 11．B 【详解】最短路径 故答案为：B． 【点睛】本题考查了利用勾股定理求最短路程的问题，掌握勾股定理是解题的关键． 12．A 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 13．A 【详解】解：点A所表示的数是． 14．A 【详解】解：选项中，一次函数图像过一、二、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，符合描述； 选项中，一次函数图像过一、三、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，但图中正比例函数过一、三象限，不符合描述； 选项中，一次函数图像过一、三、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，但图中正比例函数过一、三象限，不符合描述； 选项中，一次函数图像过一、二、三象限，，，则 ，正比例函数应过一、三象限，但图中正比例函数过二、四象限，不符合描述． 15．B 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处． ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得 即的长为． 16． 【详解】解：根据题意得：油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是． 故答案为： 17．①④ 【详解】解：由图象可知，轴表示路程，最大值为， 甲、乙两地相距，故①正确； 由图象可知，的图象经过点和， 的速度为（）， 行驶所需时间为（），故②错误； 由图象可知，在时出发，在时出发， 比晚出发，故③错误； 由图象可知，的图象经过点和， 行驶路程为，用时（）， 的平均速度为（），故④正确． 综上所述，正确的结论是①④． 18．7 【详解】解∶延长至点N，使，连接，设交于点G，如图 ∵M为中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19． 【详解】解：该圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 如下图，其侧面展开图长为，宽为， 由勾股定理得，其侧面展开图对角线长为， 蚂蚁爬行的最短路径长度为． 20． 21．（6分） 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∴，的距离为．--------------------------3分 （2）解：由（1）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为：．------------------6分 22．（8分） 【详解】（1）解：由扇形统计图可得，组的人数为：（人）；组的人数为：（人）； 由题意可得，组的人数为：（人）， ∴组的人数为：（人）； 把组的数据从小到大排列为：，，，，，， 七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第个数据是，第个数据是， ∴； ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴； ∵七年级组的人数为：（人）， ∴， ∴．--------------------------3分 （2）解：该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好， 理由：∵该校七、八年级学生阅读知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数， ∴该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好．--------------------------5分 （3）解：由题意可得，七年级等级的人数为人； 把八年级名学生竞赛成绩从小到大排列可得满足等级的人数为人， ∴； 答：我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有人．--------------------8分 23．（8分） 【详解】（1）解：设每个 种书架的价格为x元，每个 种书架的价格为y元 答：每个种书架、每个种书架的价格分别是1200元、1000元；------------------------4分 （2）解：设购买A种书架个，B种书架个， 则， 解得：； ，其中， 当时，W随a的增大而增大， 当时，W取得最小值21600； 此时； 答：A书架购买8个，B书架购买12个，购买书架的总费用最低为21600元．------------8分 24．（7分） 【详解】（1）解：把点，代入反比例函数得：，， ∴， ∴点，， 把点，代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， --------------------------2分 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为；--------------------------3分 （2）解：由图象可得不等式的解集为或．--------------------------5分 （3）解：∵点，，， 则 ．--------------------------8分 25．（7分） 【详解】（1）解：①或③--------------------------2分 （2）方案一：选① 证明：四边形是平行四边形， .   在和中，，，， ，    ， ∴四边形为菱形. --------------------------7分    方案二：选③， 证明：四边形是平行四边形， .   在和中，，，， ，    ， ∴四边形为菱形.--------------------------7分 26．（9分） 【详解】解：（）∵正方形的面积为，或 ， ∴；--------------------------2分 （）∵，，， ∴， ∴，，是勾股数；--------------------------5分 取，， ∴，，， ∴勾股数为，，， 故答案为：，，（答案不唯一）；--------------------------7分 （）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜．--------------------------9分 27．（12分） 【详解】（1）解：，， ∵， ，又，， ， 四边形的面积；----------------3分 （2）当四边形是平行四边形时，， ， ，解得； 当四边形是等腰梯形时，，如图，过点，作，于点，， 则，，    ， ， ，解得， 综上所述：的值为或；--------------------------4分 （3）如图，在上取点使， 过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点，    轴， ， ， 点是线段中点， 点是线段中点， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是梯形的中位线， ， ， ∴ 在中，根据勾股定理得：， 四边形周长， 当最小时，四边形周长最小， ∵ 根据两点之间线投最短，当点，，共线时，设与轴交于点， ∴ 即在时，此时最小， 四边形周长最小值．--------------------------12分 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰梯形的性质，梯形中位线定理，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，关键是利用分类讨论思想解决问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省曲靖市麒麟区八年级下学期数学期末试卷 满分100分，考试时间120分钟 一、单选题（共15题，每小题2分，共30分） 1．下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章的内角和大小为（     ） A． B． C． D． 4．某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．无法确定 5．给出下列命题： ①在中，如果两边长分别为6和8，那么第三条边长为10； ②在中，如果满足，那么； ③在中，如果，那么是直角三角形； ④在中，如果，那么是直角三角形． 其中假命题的是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 6．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 8．若顺次连接一个四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．一组对边相等 D．一组邻边相等 9．如图，小张要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．已知正比例函数y＝(2m－1)x的图象上两点A(－1，y1)，B(2，y2)，且有y1>y2，那么m的取值范围是(  ) A．m< B．m> C．m<2 D．m>2 11．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm 12．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 13．如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 14．一次函数与正比例函数在同一直角坐标系内的图像可能为（    ） A． B． C． D． 15．如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共4题，每小题2分，共8分） 16．一辆汽车油箱中现存油30升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 _______________ ． 17．A骑摩托车，B骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间之间存在函数关系，图象如图所示． 给出下面的结论： ①甲、乙两地相距； ②B行驶了用了； ③B比晚出发； ④A行驶的平均速度为每小时． 则上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 18．如图，在中，是的平分线，过的中点M作的垂线，分别交，的延长线于点F，E，若，则的长为__________． 19．一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 三、解答题 20．（5分）计算：． 21． （6分）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配． 如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． (1)求点之间的距离； (2)求四边形的面积． 22．（8分）年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？ 22． （原创）（8分）某校图书馆计划购买两种书架，已知购买3个种书架2个B书架需要5600元，购买2个A书架3个B书架需要5400元。 (1)每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买、两种书架共20个，且种书架数量不少于种书架数量的．设购买种书架个，为使购买书架总费用（单位：元）最低，应购买种书架和种书架各多少个？购买书架的总费用最低为多少元？ 24．（7分）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式及点C的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 25．（7分）如图，已知四边形为平行四边形，于点，于点．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． (1)你选择的补充条件可以是________；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 26．26．第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）青菜社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 27.（原创）（12分）（校园平面建模动点探究项目） 【项目背景】为美化校园环境，学校后勤部门对教学楼前矩形休闲区域进行规划建模。 在平面直角坐标系中，x轴、y轴分别代表校园的东西向、南北向主干道，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，已知线段AC垂直于x轴，OA=8cm，cm，AC∥OB，且AC:OB=3:5。构成如图基础休闲区域。 【项目运动规则】为测试区域动线规划合理性，设置两个动态运动点：点P从A点出发，以2cm/s的速度向终点C匀速运动；点Q从B点同时出发，以3cm/s的速度向终点O匀速运动。两点同时开始运动，任意一点到达终点时，所有运动立即终止，设运动时间为t秒（t≥0）。 请结合项目场景，完成以下探究任务： (1)【基础建模：面积动态表示】运动t秒后，请用含t的代数式表示四边形APQO的面积； (2)【参数求解：相等位置探究】在运动过程中，若PQ=BC，求此时运动时间t的值； (3)【最值探究：周长最优规划】已知点D是线段AC的中点，点E是线段OB上的动点（始终在点Q左侧），且运动全过程中线段EQ的长度恒为4cm保持不变。请探究运动过程中四边形AEQD的周长最小值，直接写出结果即可。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $