精品解析：湖北恩施市书院中学2026年春八年级数学期中质量监测卷

2026年春八年级数学期中质量监测卷 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟。 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 4. 在下列以线段，，的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ，， D. ，， 5. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6. 如图，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A. 64 B. 54 C. 108 D. 48 9. 如图，在平行四边形中，于E，于F，，且，则平行四边形的周长是（　　） A. B. C. 6 D. 12 10. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 6 D. 8 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个大于的无理数：____________． 12. 4的算术平方根是_____． 13. 如图，在数轴上点表示的实数是___________． 14. 如图，在四边形中，．过点B作，垂足为点E．若则四边形的面积是_______． 15. 如图，点为的对角线上一点，，连接并延长至点，使得，连接，则为__________． 三、解答题（共7小题，共75分） 16. 计算：． 17. 已知，，求的值． 18. 如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 20. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 21. 全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． （1）连接，求的长度． （2）已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 22. 问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）请用以上方法化简： ； （2）计算：； （3）若，求的值． 23. 活动与实践： 教材重现（新人教版八年级上册数学教材第94页综合与实践牧民饮马问题） 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 抽象为数学问题：如图2，已知点、在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小． 探究活动1（问题转化） 如图3，若点、在直线的异侧时，连接，交直线于点，由“两点之间线段最短”知，对于直线上任意一点，均有，故、、三点在同一条直线上时最小，得所求点即为点． （1）问题1：如图3，若、两点距直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 针对图2点、在直线的同侧，利用轴对称知识，如图4，作出点关于直线的对称点，连接交直线于点．由轴对称性质知直线是线段的垂直平分线，故，同（1）可知所求点即为点． （2）问题2：如图4，若、两点到直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 探究活动2（数形结合） 例：求代数式的最小值． 解：代数式的几何意义： 如图5，线段，分别以、为垂足在线段的同侧作的垂线段和，且，在线段上取点，设，则． （3）问题3：中，根据勾股定理用含的代数式表示 ，同理 ．那么求的几何意义就是求线段、的长度和．此时的最小值为 ． （4）问题4：已知，利用几何意义探究代数式的最小值为 ． 探究活动3（拓展迁移） （5）问题5：求代数式的最小值为 ． （6）问题6：已知、均为正数，且是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是 ．（用含、的式子表示）． 24. 在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春八年级数学期中质量监测卷 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟。 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、满足最简二次根式的条件，是最简二次根式，符合题意； B、含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合题意； D、，含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零． 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘运算，掌握二次根式的相关运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的运算法则逐一验证各选项． 【详解】A．无法合并，结果不等于，错误． B．无法合并，结果不等于，错误． C．，正确． D．，错误． 故选：C． 4. 在下列以线段，，的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理解答，验证较小的两边平方和是否等于最大边的平方． 【详解】A、∵，∴该三角形是直角三角形； B、设，∵，∴， ∴，∴该三角形是直角三角形； C、∵，∴该三角形是直角三角形； D、∵，∴该三角形不是直角三角形； 故选：D． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，正确区分边长的大小，熟记勾股定理的逆定理的计算公式是解题的关键． 5. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴． 6. 如图，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，平行线的判定等知识，由题中四个选项，结合平行四边形的判定定理逐项验证即可得到答案，熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、， 四边形是平行四边形，该选项不符合题意； B、由平行四边形的判定定理，，无法确定四边形是平行四边形，选项符合题意； C、由平行四边形的判定定理，，确定四边形是平行四边形，选项不符合题意； D、， ， 四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：B． 7. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得： 解得． 故选C． 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A. 64 B. 54 C. 108 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，于E，于F，，且，则平行四边形的周长是（　　） A. B. C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由于E，于F，，易求得的度数，又由在平行四边形中，证得与是等腰直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：∵，，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， 设，则， 在中， 根据勾股定理可得，， 同理可得， ∴平行四边形的周长是． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注意证得与是等腰直角三角形是关键． 10. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个大于的无理数：____________． 【答案】答案不唯一，如 【解析】 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如，，等． 【详解】解：大于的无理数，如， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数和估算无理数的大小的应用，题目比较好，难度不大． 12. 4的算术平方根是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 13. 如图，在数轴上点表示的实数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．先根据勾股定理求出圆弧半径，再根据数轴即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 斜边长恰好是圆弧的半径， 则点A表示的实数为， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，．过点B作，垂足为点E．若则四边形的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解∶， 四边形的面积的面积的面积 故答案为：． 15. 如图，点为的对角线上一点，，连接并延长至点，使得，连接，则为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，连接交于O，由平行四边形的性质推出，，判定是的中位线，推出，求出的长，即可求解． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 三、解答题（共7小题，共75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 17. 已知，，求的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的基本性质将分式化简，然后代入求值即可． 【详解】解： = = 将，代入，得 原式== 【点睛】此题考查的是分式的化简求值和二次根式的运算，掌握分式的基本性质和二次根式的除法公式是解决此题的关键． 18. 如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）只要证明，即可． （2）先证明得，再在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． （2）四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ， 在中， ，，， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的定义画出图形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形即可． （3）对图形进行点标注，连接，如图，由勾股定理可得，，由此可得是等腰直角三角形，继而得到结果． 【小问1详解】 解：如图1的正方形的边长是，面积是10； 【小问2详解】 如图2的三角形的边长分别为2，，； 【小问3详解】 如图3，连接， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 即． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）梯子顶端距离地面的高度为24米 （2）梯子的底端在水平方向滑动了8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【小问1详解】 解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； 【小问2详解】 梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 21. 全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． （1）连接，求的长度． （2）已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】（1）15米 （2）22800元 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理直接计算求解即可． （2）根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式， 面积乘以单价计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 故的长为15米． 【小问2详解】 解：∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为：． 购买运动型塑胶地板的总费用为（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 22. 问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）请用以上方法化简： ； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）将每个式子的分母有理化后，根据规律进行运算即可； （3）先进行分母有理化，再仿照题干的解法进行计算． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴的值为49． 23. 活动与实践： 教材重现（新人教版八年级上册数学教材第94页综合与实践牧民饮马问题） 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 抽象为数学问题：如图2，已知点、在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小． 探究活动1（问题转化） 如图3，若点、在直线的异侧时，连接，交直线于点，由“两点之间线段最短”知，对于直线上任意一点，均有，故、、三点在同一条直线上时最小，得所求点即为点． （1）问题1：如图3，若、两点距直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 针对图2点、在直线的同侧，利用轴对称知识，如图4，作出点关于直线的对称点，连接交直线于点．由轴对称性质知直线是线段的垂直平分线，故，同（1）可知所求点即为点． （2）问题2：如图4，若、两点到直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 探究活动2（数形结合） 例：求代数式的最小值． 解：代数式的几何意义： 如图5，线段，分别以、为垂足在线段的同侧作的垂线段和，且，在线段上取点，设，则． （3）问题3：中，根据勾股定理用含的代数式表示 ，同理 ．那么求的几何意义就是求线段、的长度和．此时的最小值为 ． （4）问题4：已知，利用几何意义探究代数式的最小值为 ． 探究活动3（拓展迁移） （5）问题5：求代数式的最小值为 ． （6）问题6：已知、均为正数，且是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是 ．（用含、的式子表示）． 【答案】（1） （2） （3）；； （4） （5） （6） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算出即可； （2）由轴对称的性质可得，，点到直线的距离为，则，利用勾股定理计算出，结合可得，的最小值为； （3）由勾股定理计算出和，仿照（2）的解法，得出的最小值； （4）构造线段，在两侧构造垂线段，，在上取点，使得，，则，仿照（1）的解法进行计算即可； （5）构造线段，在两侧构造垂线段，，在上取点，使得，则，仿照（1）的解法进行计算即可； （6）构造矩形，，，、分别为、的中点，由勾股定理可得，，，因此即为所求三角形，使用割补法计算面积即可． 【小问1详解】 解：∵、两点距直线的距离分别为和， ∴， 在中，， ∵， ∴的最小值为； 【小问2详解】 解：∵点到直线的距离为， 又∵点和点关于直线对称， ∴点到直线的距离为，， ∵点到直线的距离为， ∴， 在中，， ∵， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：在中，， 在中，， 如图，作点关于直线的对称点，连接、，作于点， 由轴对称的性质可得，，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值； 【小问4详解】 解：如图，点在线段上，线段，，，，且，，作，交的延长线于点，连接， 在中，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； 【小问5详解】 解：如图，点在线段上，线段，，，，且，，作，交的延长线于点，连接， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； 【小问6详解】 解：如图，矩形中，，，、分别为、的中点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵、分别为、的中点， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴即为所求三角形， ． 24. 在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①；②F是线段的中点．理由见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）①连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ②连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． 【小问1详解】 证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（1）知，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即F是线段的中点． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $