精品解析：湖北省咸丰县民族中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

湖北省咸丰县民族中学2024-2025学年八年级下学期期中 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的，请将正确选项填涂在答题卷的相应位置）． 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，则度数（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 7，12，13 C. 5，9，12 D. 3，4，6 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为斜边AB上的中点，则CD为（ ） A. 5 B. 3 C. 2.5 D. 2.4 7. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A. AD∥BC，AB＝CD B. AO＝OC，BO＝OD C. AD＝CB，AB∥CD D. ∠A＝∠B，∠C＝∠D 8. 如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（　　）米． A. 10m B. 15m C. 18m D. 20m 9. 如图，菱形，对角线与分别是6，8，于点E，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填写在答题卷对应题号的位置上）． 11. 计算____． 12. 欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框______（填“合格”或“不合格”）． 13. 已知丶满足，则______． 14. 如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为_____． 15. 如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接并延长，交，于点N，M．若． （1）比较线段大小： __________．（填写“”“”“”） （2）的值等于__________． 三、解答题（本大题共9小题，共75分．请将答案填写在答题卷对应题号的位置上，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. 计算： （1）． （2）． 17. 已知，，分别求下列代数式的值． （1）； （2）． 18. 如图，的对角线，相交于点，点，在上，并且．求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，86中学对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 20. 如图，在中，对角线与相较于点O，E是边的中点，连结． （1）若的周长为36，．求的周长； （2）若，，求的度数． 21. 如图，在中，，点D，E分别为，的中点，连接并延长到F，使，连接，，． （1）四边形是什么特殊的四边形？说明理由； （2）若，当 时，四边形是正方形； （3）若，，求四边形的周长． 22. 小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：①，②，③，④，⑤，⑥． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： （1）_____；_____． （2）化简：． （3）若，请按照小丽的方法求的值． 23. 实践活动 活动背景 我校结合校园内丰富的树木资源，坚持立德树人育人理念，着力打造学校“树惠文化”品牌，以培养学生扎根、向上的品质，逐步形成初一深扎知识土壤，培育基础和品德的“树根文化”，初二淬炼生命筋骨，注重承上启下、塑造责任与担当的“树干文化”，初三舒展理想苍穹，拼搏理想和勇争第一的“树冠文化”，八年级部分学生在学习勾股定理后，对“勾股树”产生了浓厚的兴趣，他们组建了兴趣小组并展开相关探究活动． 素材1 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（图中三角形均为直角三角形，四边形均为正方形）．因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树（勾股树）． 素材2 经过学生兴趣小组讨论，对图形作出改变，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为2cm． 根据规则，三位同学分别画出了如下不同类型的树形图并进行探究． 解决问题 任务一 指导老师就图2，提出问题：你能找出“树根”面积（）、“树干”面积和（）的关系，请直接写出答案：_______． 任务二 图4中小明画出了锐角，则_______． 任务三 图5小金画出了直角，计算的值，写出过程． 任务四 图6小林画出了钝角，，则_______． 活动小结 综合以上三位同学的图形以及结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填锐角、直角或钝角）三角形形成的图形总面积最大． 24. 在平面直角坐标系中，点，如图，以点四点作矩形，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是________； （2）点E是轴一动点，连接，将沿翻折，使点O落在点G处． ①如图1，若点G落在对角线上，求点E的坐标； ②如图2，若点E是线段的中点，连接并延长交于点H，求证：四边形是平行四边形； ③在坐标平面内，是否存在这样的点F，使得为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省咸丰县民族中学2024-2025学年八年级下学期期中 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的，请将正确选项填涂在答题卷的相应位置）． 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得出，求出结果即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， ， 故选：B． 2. 在平行四边形中，，则度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．利用平行四边形的对角相等求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， 故选：C． 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是最简二次根式，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 4. 下列四组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 7，12，13 C. 5，9，12 D. 3，4，6 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【详解】解：A、∵，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确，符合题意； B、∵，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； C、∵，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； D、∵，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，乘法计算，熟知二次根式的乘法和加减计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为斜边AB上的中点，则CD为（ ） A. 5 B. 3 C. 2.5 D. 2.4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得的长度，再根据中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得． 【详解】∠ACB=90°，AC=4，BC=3， , 点D为斜边AB上的中点, ． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键． 7. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A. AD∥BC，AB＝CD B. AO＝OC，BO＝OD C. AD＝CB，AB∥CD D. ∠A＝∠B，∠C＝∠D 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AO＝OC，BO＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故选项B符合题意； C、由AD＝CB，AB∥CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意； D、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的各种判定方法． 8. 如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（　　）米． A. 10m B. 15m C. 18m D. 20m 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长． 【详解】解：∵52+122=169， ∴=13， ∴13+5=18（米）． ∴树折断之前有18米． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．培养同学们利用数学知识解决实际问题的能力，观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 9. 如图，菱形，对角线与分别是6，8，于点E，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得的长，再根据等面积法求解即可． 【详解】解：设对角线、相交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质，会利用等面积法求解是解答的关键． 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可． 【详解】解：如图 ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8， ∴AB==5， 作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值， ∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点， ∴E′在AD上，且E′是AD的中点， ∵AD=AB， ∴AE=AE′， ∵F是BC的中点， ∴E′F=AB=5． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填写在答题卷对应题号的位置上）． 11. 计算____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 12. 欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框______（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理计算即可判断画框的两边是否垂直，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴画框的两边垂直， 故答案为：合格． 13. 已知丶满足，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和代数式求值，理解被开方数为非负数是解题关键． 先根据二次根式有意义的条件求解a，从而确定出b，代入求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， 把代入得 ∴． 故答案为：6． 14. 如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，得出，由勾股定理求出，矩形的面积，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为：． 15. 如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接并延长，交，于点N，M．若． （1）比较线段大小： __________．（填写“”“”“”） （2）的值等于__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及对顶角相等得出，再结合等角的余角相等即可求解； （2）设，，则，，然后利用勾股定理即可得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵四边形是正方形， ∴， 设，， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，余角的性质，等腰三角形的性质和判定以及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定以及勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共75分．请将答案填写在答题卷对应题号的位置上，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，分别求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键； （1）将，代入求解即可； （2）先将式子整理成，再将，代入求解即可； 【小问1详解】 把，，代入中得 ； 【小问2详解】 解：原式= ． 18. 如图，的对角线，相交于点，点，在上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形． 19. 如图，86中学对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】2400元 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，判断出是解答的关键．连接，利用勾股定理求得米，再利用勾股定理的逆定理判断出，再利用割补法求得草坪的面积，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵，米，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴，， ∴， ∴， ∴草坪面积为 （平方米）， （元）， 答：该草坪铺满这块空地共需花费2400元． 20. 如图，在中，对角线与相较于点O，E是边的中点，连结． （1）若的周长为36，．求的周长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质可得，，，然后根据三角形中位线定理求出，即可求解； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵的周长为36， ∴． 又∵E是边的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∴的周长为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 由（1）知，是的中位线， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，点D，E分别为，的中点，连接并延长到F，使，连接，，． （1）四边形是什么特殊的四边形？说明理由； （2）若，当 时，四边形是正方形； （3）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 四边形是菱形，说明理由是： ∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵点D为的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴四边形是菱形； （2） （3）28 【解析】 【分析】此题考查的是正方形的判定与性质、菱形的判定定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）先根据平行四边形的判定得四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可； （2）当时，四边形是正方形，利用勾股定理可得答案； （3）利用勾股定理及四边形周长公式计算可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，四边形是正方形，如图， ∵在中，，， ∴，即， ∴（舍去负值）， ∴当时，四边形是正方形， 故答案为：； 【小问3详解】 解：在中，． ∵． ∴． ∴四边形的周长． 22. 小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：①，②，③，④，⑤，⑥． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： （1）_____；_____． （2）化简：． （3）若，请按照小丽的方法求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）根据二次根式的化简求值，通过整体代入思想求解即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， 23. 实践活动 活动背景 我校结合校园内丰富的树木资源，坚持立德树人育人理念，着力打造学校“树惠文化”品牌，以培养学生扎根、向上的品质，逐步形成初一深扎知识土壤，培育基础和品德的“树根文化”，初二淬炼生命筋骨，注重承上启下、塑造责任与担当的“树干文化”，初三舒展理想苍穹，拼搏理想和勇争第一的“树冠文化”，八年级部分学生在学习勾股定理后，对“勾股树”产生了浓厚的兴趣，他们组建了兴趣小组并展开相关探究活动． 素材1 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（图中三角形均为直角三角形，四边形均为正方形）．因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树（勾股树）． 素材2 经过学生兴趣小组讨论，对图形作出改变，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为2cm． 根据规则，三位同学分别画出了如下不同类型的树形图并进行探究． 解决问题 任务一 指导老师就图2，提出问题：你能找出“树根”面积（）、“树干”面积和（）的关系，请直接写出答案：_______． 任务二 图4中小明画出了锐角，则_______． 任务三 图5小金画出了直角，计算的值，写出过程． 任务四 图6小林画出了钝角，，则_______． 活动小结 综合以上三位同学的图形以及结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填锐角、直角或钝角）三角形形成的图形总面积最大． 【答案】任务一：； 任务二：； 任务三：，理由： 由题意可知，①， ，， ，即， ②， 联立①②得：， 则． 任务四：； 结论：钝角 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键． 任务一：先根据勾股定理得到，再利用正方形的面积公式求解即可得； 任务二：先求出，再利用正方形的面积公式求解即可得； 任务三：先利用勾股定理求出的长，再利用正方形的面积公式求解即可得； 任务四：过点作，交延长线于点，设，则，，，，在中，利用勾股定理可得的值，再利用正方形的面积公式求解即可得； 结论：分别求出三个任务中的的值，由此即可得． 【详解】解：任务一：如图， ∵是直角三角形，， ∴， 又，，， ∴， 故答案为：； 任务二：由题意，，， ，， ， 故答案为：； 任务三：略 任务四：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， 设，则， ，， ， 在中，，即， 解得， ， 则， 故答案为：． 结论：组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．证明如下： 在任务一中，， 在任务二中，， 在任务三中，， ， ∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大． 故答案为：钝角． 24. 在平面直角坐标系中，点，如图，以点四点作矩形，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是________； （2）点E是轴一动点，连接，将沿翻折，使点O落在点G处． ①如图1，若点G落在对角线上，求点E的坐标； ②如图2，若点E是线段的中点，连接并延长交于点H，求证：四边形是平行四边形； ③在坐标平面内，是否存在这样的点F，使得为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①； ②证明：是中点， ， 折叠， ，， ， ∴ ， ， ， ， ∵ 四边形是平行四边形； ③或或 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的性质等，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由题意可求得和的值，根据矩形的性质即可确定的坐标； （2）①根据折叠的性质得出，设，结合图形，利用勾股定理求解即可；②根据折叠的性质及平行四边形的判定证明即可；③分两种情况分析：当为对角线时，当为菱形的边时，分别作出图形，利用菱形的性质结合图形求解即可． 【小问1详解】 解： ，， 点，点， ∵矩形， 点， 故答案为：； 【小问2详解】 ①∵沿翻折，点G落在对角线上， ∴， 设， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， ∴即， 解得：， ∴， ∴； ②略 ③当为对角线时，如图所示， ∵菱形， ∴设， ∴即， 解得：， ∴， ∴； 当为菱形的边时，如图所示， 四边形为菱形， ∴， ∴； 四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， 设， ∴, ， 解得：， ∴ 综上可得：或或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $