精品解析：江西省鹰潭市第二中学2025-2026学年七年级下期中数学试卷

鹰潭市第二中学2025-2026学年七年级下期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分）（共6小题） 1. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 2. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 人体白细胞是机体防御疾病的重要“卫士”，某白细胞的直径约为．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由x的取值而定 5. 如图的四个转盘中，，转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分）（共6小题） 7. 若与是对顶角，且，则的补角是_______． 8. 若、，则的值为______． 9. 一个不透明的袋子中有3个白球，4个红球，5个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中 随机摸出一个球，是红球的概率是___________． 10. 如图，，平分，，且，则的度数为_______． 11. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是__________． 12. 一副直角三角板叠放如图所示，现将含30°角的三角板ABC固定不动，把含45°角的三角板ADE绕顶点A顺时针转动，若0°＜∠BAD＜180°，要使两块三角板至少有一组互相平行，则符合要求的∠BAD的值为________． 三、解答题（共11小题） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 现有甲、乙两个不透明盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个；乙盒装有红球5个，白球20个和黑球10个．每个球除颜色外都相同． （1）如果想摸出1个黑球，从____盒中抽取成功的可能性大； （2）小明同学说：“将10个红球再放入乙盒后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想摸出1个红球，选乙盒成功的可能性大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 16. 如图，在方格纸上有一线段和一点C． （1）过点C画出与平行的直线； （2）过点C画出与垂直的直线． 17. 补全下列推理过程：如图，，，试说明：． 解：因为（已知）， 所以（_________________________）， 所以（________________________）． 因为（已知）， 所以（等式的性质）， 即， 所以________（___________________________）， 所以（___________________________）． 18. 如图，已知，． （1）求证：； （2）连接，恰好满足平分．若，，求的度数． 19. 已知计算的结果中不含项． （1）求的值． （2）在（1）的条件下，求的值． 20. （1）【观察】 ①_____； ②______； ③______；… （2）【猜想】由此可得： ______； （3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 21. 口袋里有除颜色外其它都相同的个红球和个黑球． （1）先从袋子里取出个黑球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件． 如果事件是必然事件，请直接写出的值； 如果事件是随机事件，请直接写出的值． （2）先从袋子中取出个黑球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值． 22. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 图1：___________； 图2：___________． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是__________． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为25，求的面积． 【知识迁移】 （4）当时，则的值是__________．（直接写出结果） 23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动． （1）如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数； （2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系； （3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，则与的数量关系是什么？用含α，β的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹰潭市第二中学2025-2026学年七年级下期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分）（共6小题） 1. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查必然事件的概念，即在一定条件下一定会发生的事件．根据成语的含义，判断哪个事件是必然发生的． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，分析各成语描述的事件，只有“瓮中捉鳖”表示一定能做到的事情，属于必然事件． 【详解】必然事件是必然会发生的事件； 项“守株待兔”是偶然事件，不一定发生； 项“水中捞月”是不可能事件，不会发生； 项“刻舟求剑”是不可能事件，不会发生； 项“瓮中捉鳖”比喻事情很容易成功，一定会发生，属于必然事件； 故选． 2. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，利用同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，积的乘方逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵，∴选项A错误； ∵ 和不是同类项，无法合并，∴选项B错误； ∵ ，∴选项C正确； ∵ ，∴选项D错误； 故选：C． 3. 人体白细胞是机体防御疾病的重要“卫士”，某白细胞的直径约为．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 若，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由x的取值而定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可． 【详解】解：， ， ∵ ， ， ∴． 故选：A． 5. 如图的四个转盘中，，转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指针落在阴影区域内的概率是：阴影面积比总面积，分别求出概率比较即可 【详解】A、指针落在阴影区域内的概率是 B、指针落在阴影区域内的概率是 C、指针落在阴影区域内的概率是 D、指针落在阴影区域内的概率是 ∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D 故选：D 【点睛】本题考查了几何概率，计算阴影区域面积占总面积的比例是解题关键． 6. 如图，能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．在复杂的图形中具有相等关系的两角，首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 【详解】解：A、不能判断出，故A选项不符合题意； B、不能判断出，故B选项不符合题意； C、只能判断出，不能判断出，故C选项不符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，可以得出，故D选项符合题意． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分）（共6小题） 7. 若与是对顶角，且，则的补角是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查的是对顶角的性质和补角的定义，掌握对顶角的性质和补角的定义是解题的关键．由对顶角的性质可知，然后根据补角的定义计算即可． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角． 故答案为：． 8. 若、，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法将进行变形后计算即可． 【详解】解：、， ． 9. 一个不透明的袋子中有3个白球，4个红球，5个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中 随机摸出一个球，是红球的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可， 本题考查了，概率公式，解题的关键是：熟练掌握概率公式． 【详解】解：袋子中一共有球：（个），其中4个红球， 从中随机摸出一个球，是红球的概率是：， 故答案为：． 10. 如图，，平分，，且，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义．延长交的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质解答． 【详解】解：如图，延长DE交AB的延长线于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为， ， 大正方形的面积， 小球停留在阴影部分的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 12. 一副直角三角板叠放如图所示，现将含30°角的三角板ABC固定不动，把含45°角的三角板ADE绕顶点A顺时针转动，若0°＜∠BAD＜180°，要使两块三角板至少有一组互相平行，则符合要求的∠BAD的值为________． 【答案】45°或90°或120° 【解析】 【分析】分三种情况根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图1，当AE//BC时，则∠BAE+∠ABC=180°， ∴∠BAE=180°-90°=90°, ∴∠BAD＝90°-45°=45°； 如图2，当DE//AB时，∠BAD＝∠D=90°； 如图3，当DE//AC时，则∠CAD=∠D=90°， ∴∠BAD＝30°+90°=120°； 综上所述，满足条件的∠BAD的值为45°或90°或120°． 故答案为：45°或90°或120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角． 三、解答题（共11小题） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的代数意义、零指数幂的定义、积的乘方逆运算以及负整数指数幂的定义进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，涉及完全平方公式，多项式除以单项式等运算法则，据此即可作答． 【详解】解： 把，代入， 则 15. 现有甲、乙两个不透明盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个；乙盒装有红球5个，白球20个和黑球10个．每个球除颜色外都相同． （1）如果想摸出1个黑球，从____盒中抽取成功的可能性大； （2）小明同学说：“将10个红球再放入乙盒后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想摸出1个红球，选乙盒成功的可能性大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【答案】（1）甲 （2）小明的说法是不正确的，见解析 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个黑球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； 【小问1详解】 解：从甲盒中随机取出 1 个黑球的概率为：， 从乙盒中随机取出 1 个黑球的概率为：， ∵， ∴从甲盒中抽取成功的机会大； 故答案为：甲． 【小问2详解】 解：在甲盒中，一共有10个球，其中红球有5个，所以在甲盒中抽到红球的概率为：， 在乙盒中，再放多10个红球，则乙盒中一共有45个球，其中红球有15个，所以在乙盒中抽到红球的概率为：， 由于， 所以在甲盒中抽到红球的概率比乙盒大，因此小明的说法是不正确的． 16. 如图，在方格纸上有一线段和一点C． （1）过点C画出与平行的直线； （2）过点C画出与垂直的直线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由图形可知，点A向右移动3格，再向下移动1格到达点B，根据平行线的性质，点C向左移动3格，再向上移动1格得到点D，连接点D与点C并延长，此时； （2）从点C向左移动1格，再向下移动3格得到点E，连接点E与点C并延长，此时，垂足为点． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求． 17. 补全下列推理过程：如图，，，试说明：． 解：因为（已知）， 所以（_________________________）， 所以（________________________）． 因为（已知）， 所以（等式的性质）， 即， 所以________（___________________________）， 所以（___________________________）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，先根据已知条件得出，再根据平行线的性质得出，根据角的和差关系得出，即可证明，再由平行线的性质即可得出． 【详解】解：因为（已知）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以（等式的性质）， 即， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； 18. 如图，已知，． （1）求证：； （2）连接，恰好满足平分．若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判断得出； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据垂直定义得出，根据平行线的性质得出，最后求出即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线定义理解，补角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定． 19. 已知计算的结果中不含项． （1）求的值． （2）在（1）的条件下，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解； （2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可； 【小问1详解】 解：， ， ， 的结果中不含项， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 当时，原式． 20. （1）【观察】 ①_____； ②______； ③______；… （2）【猜想】由此可得： ______； （3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 【答案】（1）①；②；③；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了多形式与多项式的乘法的规律问题，灵活运用规律求解是解答本题的关键． （1）根据多项式乘以多项式解答即可； （2）根据已知等式找出规律解答即可； （3）根据（2）规律解答即可． 【详解】解：（1）①； 故答案为： ②； 故答案为： ③； 故答案为： （2）由此可得：； 故答案为：； （3）原式 ． 21. 口袋里有除颜色外其它都相同的个红球和个黑球． （1）先从袋子里取出个黑球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件． 如果事件是必然事件，请直接写出的值； 如果事件是随机事件，请直接写出的值． （2）先从袋子中取出个黑球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值． 【答案】（1）； 的值为或或； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件和随机事件定义，求概率，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率公式是解题的关键． 根据必然事件的定义可知：从袋子里随机摸出一个球一定是红球，袋子里一定全部是红球，没有黑球，所以黑球要全部被拿走，所以的值是； 根据随机事件的定义可知：从袋子里随机摸出一个球可能是红球也可能是黑球，所以袋子里一定既有红球又有黑球，所以的值为或或； 取出个黑球，再放入个一样的红球，袋子里的小球的总数仍是个，其中红球的个数是，根据摸出一个球是红球的可能性大小是，可得：，解方程求出即可． 【小问1详解】 解：事件是必然事件， 从袋子里随机摸出一个球一定是红球， 袋子里一定全部是红球，没有黑球， 黑球要全部被拿走， ； 解：事件是随机事件， 从袋子里随机摸出一个球可能是红球也可能是黑球， 袋子里一定既有红球又有黑球， 袋子里的黑球不能全部被拿走，最少有一个黑球， 的值为或或； 【小问2详解】 解：袋子里一共有个球， 取出个黑球，再放入个一样的红球，袋子里的小球的总数仍是个， 其中红球的个数是， 摸出红球的可能性大小是， 根据题意得：， ． 22. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 图1：___________； 图2：___________． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是__________． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为25，求的面积． 【知识迁移】 （4）当时，则的值是__________．（直接写出结果） 【答案】（1），；（2）；（3）6；（4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据条件先求解，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）图1阴影的面积等于边长为的正方形的面积， 即； 图2阴影的面积等于边长为的正方形的面积， 即； （2）图3阴影的面积等于边长为的正方形的面积，也等于边长为的正方形的面积减去4个长方形的面积 即； （3）由题意可知，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动． （1）如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数； （2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系； （3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，则与的数量关系是什么？用含α，β的式子表示． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）．理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质求角度以及探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由得到，再由平角的意义结合得到，再解方程即可； （2）过点F作，则，那么，，故； （3）由，则． 【小问1详解】 解：因为， 所以． 因为，， 所以，解得． 【小问2详解】 解： 如图，过点F作． 因为， 所以， 所以，， 所以． 因为， 所以． 【小问3详解】 解：．理由如下： 因为， 所以， 即， 整理可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $