第十章 二元一次方程组 单元练习-2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 初中数学二元一次方程组单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，融合《算法统宗》古算文化与智能机器人等现代科技情境，适配单元复习，全面考查方程定义、解法及实际应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|7|二元一次方程定义（题2）、加减消元法（题7）|基础概念辨析，聚焦运算能力| |填空题|5|古算问题建模（题12）、方程变形（题9）|文化传承与数学表达结合，体现模型意识| |解答题|4|错解分析（题14）、科技情境最优方案（题16）|综合考查推理能力与创新应用，契合真题趋势|

第十章：二元一次方程组 一．选择题（共7小题） 1．已知关于x，y的方程组的解满足3x+3y＝4，则m的值为（　　） A． B．1 C． D． 2．下列各方程中，是二元一次方程的是（　　） A．3x+4y＝7 B．5x﹣8＝0 C． D．x﹣2xy＝6 3．方程组不能转化为（　　） A．﹣2b+3b＝6 B．4a+3（﹣2a）＝6 C．b＝6 D．2a+2b＝﹣6 4．已知是关于x，y的二元一次方程，则nm的值为（　　） A．﹣8 B．6 C．8 D．9 5．由关于x，y的二元一次方程组，可得x与y的关系是（　　） A．y＝5x+3 B．y＝﹣3x﹣3 C．y＝3x﹣3 D．y＝3x+3 6．为紧急安置100名灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，每个帐篷都住满，则搭建方案有（　　） A．7 种 B．8种 C．9种 D．10 种 7．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×5+② C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 二．填空题（共5小题） 8．已知方程（m﹣1）x|m|+yn＝3是关于x、y的二元一次方程，则m+n的值为　 　 ． 9．把二元一次方程3x﹣y＝4改写成用含x的式子表示y的形式，则y＝　 　 ． 10．已知方程组，则x2﹣y2＝　 　 ． 11．已知关于x，y的二元一次方程组，若x+2y＝1，则a的值是　 　 ． 12．今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干．（选自《算法统宗》）题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则可列方程组为　 　 ． 三．解答题（共4小题） 13．已知方程组，其中z≠0．求的值． 14．一个星期天，小明、小文同解一个二元一次方程组．小明把方程①抄错，求得的解为；小文把方程②抄错，求得的解为，求原方程组的解． 15．为丰富新学期校园文体生活，学校计划采购两类器材：A类：篮球，B类：羽毛球拍套装．根据预算，共需资金1636元．已知购买1个篮球和2副羽毛球拍共需236元；购买2个篮球和1副羽毛球拍共需208元． （1）购买一个篮球和一副羽毛球拍分别需要多少元？ （2）若学校计划购买的篮球数量比羽毛球拍套装数量的2倍多3个，且全部预算资金恰好用完，则学校购买篮球、羽毛球拍套装各多少个？ 16．根据如下素材，完成探索任务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材1 买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元； 买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件 素材3 用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台． 解决问题 任务1 求A、B两种型号智能机器人的单价； 任务2 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．已知关于x，y的方程组的解满足3x+3y＝4，则m的值为（　　） A． B．1 C． D． 【考点】二元一次方程组的解． 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】C 【分析】先求出二元一次方程组的解，用m表示出x，y，再代入3x+3y＝4计算即可． 【解答】解：方法1：， ①×3﹣②×2得： 5x＝﹣5m﹣5， 解得：x＝﹣m﹣1③， 把③代入①得： y＝2m+2， ∵关于x，y的方程组的解满足3x+3y＝4， ∴3（﹣m﹣1）+3（2m+2）＝4， 解得：； 方法2：， ①+②得： 5（x+y）＝5（m+1）， 解得：x+y＝m+1， ∵3x+3y＝4， ∴x+y， ∴m+1， 解得：； 故选：C． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，注意正确计算． 2．下列各方程中，是二元一次方程的是（　　） A．3x+4y＝7 B．5x﹣8＝0 C． D．x﹣2xy＝6 【考点】二元一次方程的定义． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程，由此判断即可． 【解答】解：A、3x+4y＝7是二元一次方程，故此选项符合题意； B、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、含有分式，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键． 3．方程组不能转化为（　　） A．﹣2b+3b＝6 B．4a+3（﹣2a）＝6 C．b＝6 D．2a+2b＝﹣6 【考点】解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】将原方程组中的方程变形后逐项判断即可． 【解答】解：， 由①得2a＝﹣b，将其代入②得﹣2b+3b＝6，则A不符合题意， 由①得b＝﹣2a，将其代入②得4a+3（﹣2a）＝6，则B不符合题意， ﹣2b+3b＝6，解得b＝6，则C不符合题意， ①﹣②得﹣2a﹣2b＝﹣6，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 4．已知是关于x，y的二元一次方程，则nm的值为（　　） A．﹣8 B．6 C．8 D．9 【考点】二元一次方程的定义；绝对值． 【专题】方程与不等式；运算能力． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数x，y的次数为1且对应系数不为0，先求出m和n的值，再代入计算nm即可． 【解答】解：根据题意可知，|m|﹣2＝1且m+3≠0，n2﹣3＝1且n﹣2≠0， 解得：m＝3，n＝﹣2， ∴nm＝（﹣2）3＝﹣8． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，绝对值，掌握二元一次方程的定义是关键． 5．由关于x，y的二元一次方程组，可得x与y的关系是（　　） A．y＝5x+3 B．y＝﹣3x﹣3 C．y＝3x﹣3 D．y＝3x+3 【考点】解二元一次方程组． 【专题】方程与不等式；运算能力． 【答案】B 【分析】利用代入消元法消去参数m，整理即可得到x与y的关系． 【解答】解：， 把①代入②得，y＝x﹣（4x+3）， y＝x﹣4x﹣3， 解得：y＝﹣3x﹣3， ∴x与y的关系为：y＝﹣3x﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 6．为紧急安置100名灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，每个帐篷都住满，则搭建方案有（　　） A．7 种 B．8种 C．9种 D．10 种 【考点】二元一次方程的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】设容纳6人的帐篷x个，容纳4人帐篷y个，得出，50是偶数，则3x是偶数，同时50﹣3x＞0，即，找出x的值，即可求解． 【解答】解：设容纳6人的帐篷x个，容纳4人帐篷y个，则 6x+4y＝100， ∴，即50﹣3x是偶数， ∵50是偶数，则3x是偶数，同时50﹣3x＞0，即， ∴x＝2，4，6，8，10，12，14，16，共8个取值，即对应8种方案． 故选：B． 【点评】本题考查二元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 7．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×5+② C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 【考点】解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】利用加减消元法消去一个未知数即可． 【解答】解：， 要消去y，可以将①×5+②×3， 要消去x，可以将①×3﹣②×2， 故选：C． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．已知方程（m﹣1）x|m|+yn＝3是关于x、y的二元一次方程，则m+n的值为　0　 ． 【考点】二元一次方程的定义；绝对值． 【专题】方程与不等式；运算能力． 【答案】0． 【分析】根据二元一次方程的定义，可知含未知数的项的次数为1，且含未知数的项的系数不为0，据此求出m与n的值，再代入计算m+n即可． 【解答】解：根据题意可知，， 解得：， ∴m+n＝﹣1+1＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，绝对值，掌握二元一次方程的定义是关键． 9．把二元一次方程3x﹣y＝4改写成用含x的式子表示y的形式，则y＝　3x﹣4　 ． 【考点】解二元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】3x﹣4． 【分析】利用等式的性质将原式变形即可． 【解答】解：3x﹣y＝4， 两边同时减去3x得：﹣y＝4﹣3x， 两边同时乘以﹣1得：y＝3x﹣4， 故答案为：3x﹣4． 【点评】本题考查解二元一次方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 10．已知方程组，则x2﹣y2＝　5　 ． 【考点】解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】5． 【分析】把方程①+②求出x+y，方程①﹣②求出x﹣y，再利用平方差公式分解所求式子，最后把x+y，x﹣y的值代入进行计算即可． 【解答】解：， ①+②得：4x+4y＝4， x+y＝1， ①﹣②得：2x﹣2y＝10， x﹣y＝5， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝1×5＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组． 11．已知关于x，y的二元一次方程组，若x+2y＝1，则a的值是　﹣2　 ． 【考点】解二元一次方程组；解一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣2． 【分析】用第一个方程减去第二个方程可得：x+2y＝a+3，再根据已知x+2y＝1，可得a+3＝1，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【解答】解：， ①﹣②，得（2x+y）﹣（x﹣y）＝2a﹣（a﹣3）， 去括号，得2x+y﹣x+y＝2a﹣a+3， 合并同类项，得x+2y＝a+3， ∵x+2y＝1， ∴a+3＝1， ∴a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，掌握解二元一次方程组的方法，解一元一次方程的方法是解题的关键． 12．今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干．（选自《算法统宗》）题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则可列方程组为　　 ． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】． 【分析】设绳长是x尺，井深是y尺，根据先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺；列出二元一次方程组． 【解答】解：设绳长是x尺，井深是y尺， 由题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 三．解答题（共4小题） 13．已知方程组，其中z≠0．求的值． 【考点】解三元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】． 【分析】解方程组，用含z的代数式分别表示出x，y，然后代入原式并约分即可． 【解答】解：， ①×2+②得：7y＝49z， 则y＝7z， 将y＝7z代入①得：x+14z＝17z， 则x＝3z， 原式． 【点评】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 14．一个星期天，小明、小文同解一个二元一次方程组．小明把方程①抄错，求得的解为；小文把方程②抄错，求得的解为，求原方程组的解． 【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】． 【分析】根据小明的算法方程②的x、y值，根据小文的算法，可得方程①的x、y值，把方程x、y的值代入，可得关于a、b方程组，解方程组，可得a、b的值，再解方程组，可得答案． 【解答】解：由．小明把方程①抄错，求得的解为，得﹣b+3a＝1，小文把方程②抄错，求得的解为，得3a+2b＝16， 由，解得． 原方程组为， ①×5﹣②×2，得21y＝78，解得y， 把y代入②得5x+21．解得x， 故原方程组的解为． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，先由题意得出关于a、b的方程组是解题关键，再求出原方程组的解． 15．为丰富新学期校园文体生活，学校计划采购两类器材：A类：篮球，B类：羽毛球拍套装．根据预算，共需资金1636元．已知购买1个篮球和2副羽毛球拍共需236元；购买2个篮球和1副羽毛球拍共需208元． （1）购买一个篮球和一副羽毛球拍分别需要多少元？ （2）若学校计划购买的篮球数量比羽毛球拍套装数量的2倍多3个，且全部预算资金恰好用完，则学校购买篮球、羽毛球拍套装各多少个？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）篮球60元，羽毛球拍88元； （2）篮球17个，羽毛球拍7套． 【分析】（1）设篮球、羽毛球拍单价为未知数，根据两组购买总价列二元一次方程组，求解单价； （2）设羽毛球拍数量为未知数，用关系式表示篮球数量，按总预算列一元一次方程求解数量． 【解答】解：（1）设一个篮球x元，一副羽毛球拍y元， 根据题意列方程组：， 解得：， 答：一个篮球60元，一副羽毛球拍88元； （2）设购买羽毛球拍套装m副，则购买篮球（2m+3）个， 依题意列方程：60（2m+3）+88m＝1636， 120m+180+88m＝1636， 208m＝1456， 解得m＝7， 篮球个数：2×7+3＝17， 答：购买篮球17个，羽毛球拍套装7副． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意正确列方程． 16．根据如下素材，完成探索任务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材1 买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元； 买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件 素材3 用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台． 解决问题 任务1 求A、B两种型号智能机器人的单价； 任务2 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】任务1：A型80万元，B型60万元；任务2：买5台A型，5台B型． 【分析】任务1：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元、y万元，利用“买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元”和“买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元”列式求解即可； 任务2：设每天分拣快递的件数为w万件，购买A型号智能机器人a（a≥0，且a为整数）台，则购买B型号智能机器人（10﹣a）台，列出w关于a的一次函数，再利用“用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台”列出不等式，求出a的范围，最后利用一次函数的性质即可求解． 【解答】解：任务1：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元、y万元，由“买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元”和“买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元”可得： ， ∴， 答：A、B两种型号智能机器人的单价分别为80万元、60万元； 任务2：设每天分拣快递的件数为w万件，购买A型号智能机器人a（a≥0，且a为整数）台， w＝22a+18（10﹣a）＝4a+180， ∵80a+60（10﹣a）≤700， ∴a≤5， ∴0≤a≤5， ∵w＝4a+180，4＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝5时，w取得最大值4×5+180＝200（万件）， 10﹣a＝5（台）， 即购买A型号智能机器人5台，购买B型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多． 【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，熟练根据题意正确列出等式、式子、不等式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $