吉林长春市第八中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

长春八中2025—2026学年度下学期期中考试 高二年级（数学）试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．离散型随机变量的分布列为（ ） 0 1 2 4 5 0.3 0.2 0.2 0.1 则下列结果正确的有（ ） A． B． C． D． 3．命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件是“AI模型筛选出候选分子”，事件是“AI模型筛选出候选分子”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 5．若，，则（ ） A． B． C． D． 6．十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布（），其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于0.3%，则的值不可能为（ ） （参考数据：，，） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 7．有5个人到三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A．300 B．360 C．390 D．420 8．已知是定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则有（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列结论正确的是（ ） A．若随机变量、满足，则 B．数据（）组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若某地区狗的寿命超过15岁的概率为0.8，超过20岁的概率为0.2，那么该地区一只寿命超过15岁的狗，寿命超过20岁的概率为0.25 D．命题“，”的否定形式是，或 10．下列结论正确的是（ ） A．若回归方程，则变量与负相关 B．设，则“”是“”的充分不必要条件 C．若，则 D．以（）拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则 11．设，且，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.4；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为______． 13．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有______． 14．已知函数（）．若函数有两个不同的零点，求的取值范围______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．设函数，其中．已知在处取得极值． （1）求的解析式： （2）求在点处的切线方程． 16．为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民 居民 居民 居民 居民 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 （1）根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差． 参考公式：相关系数；回归系数 17．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列及数学期望。 18．2021年7月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的100户居民由于台风造成的经济损失（单位：元），将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α=0.05的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关； 项目 经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 总计 捐款超过500元 60 捐款不超过500元 10 总计 100 （2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自家经济损失超过4000元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为（），收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为（），收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为1）． （1）已知，， （ⅰ）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ⅱ）若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，判断事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由； （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $