吉林长春市第八中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 长春八中高二数学期中卷以AI医药筛选、商业航天等时代热点为情境，通过概率统计、函数导数等知识考查数学建模与数据分析能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、概率分布、正态分布等|结合AI筛选考条件概率（题4），商业航天背景考正态分布应用（题6）| |多选|3/18|回归分析、不等式证明|考残差计算与回归方程（题10D），培养推理意识| |填空|3/15|全概率公式、排列组合|餐厅选择考全概率（题12），体现数据观念| |解答|5/77|线性回归、独立性检验、信号传输概率|台风灾害结合独立性检验（题18），信号传输方案比较（题19），强化应用意识与创新思维|

长春八中2025-2026学年度下学期期中考试 高二年级（数学）试卷 出题人：吴宇杰 审题人：杨帆、王丽梅 时 间：120分钟 分 值：150分 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝（　　） A.{0，2，4，6，8}　 B.{0，1，4，6，8} C.{1，2，4，6，8} 　D.U 2．离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 4 5 P q 0.3 0.2 0.2 0.1 则下列结果正确的有(　　) A.E(X)=1 B.E(X)=4 C.D(X)=14 D.D(X)=2.8 3.命题p：“∃x∈R，ax2＋2ax－3≥0”为假命题，则a的取值范围是（　　） A.－4＜a≤0 B.－4≤a＜0 C.－3＜a≤0 D.－4≤a≤0 4．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 5．若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则(　　) A.a1+a2+…+a10=1 B.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=-310 C.a2=160 D.+++…+=-1 6．十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（   ） （参考数据：） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 7．有5个人到三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是(　　) A.300 B.360 C.390 D.420 8.已知f（x）是定义在（0，）上的函数，f'（x）是它的导函数，且恒有f'（x）＞f（x）tan x成立，则有（　　） A.f（）＞f（） B.f（）＞2cos 1·f（1） C.2f（）＜f（） D.f（）＜f（） 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分) 9．下列结论正确的是（   ） A．若随机变量、满足，则 B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若某地区狗的寿命超过15岁的概率为，超过20岁的概率为，那么该地区一只寿命超过15岁的狗，寿命超过20岁的概率为 D．命题“∃x∈R，1＜f（x）≤2”的否定形式是∀xR，f（x）≤1或f（x）＞2 10．下列结论正确的是（   ） A．若回归方程，则变量与负相关 B．设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的充分不必要条件 C.若b＞a＞0，则＞ D．以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则 11．设0＜a＜b，且a＋b＝2，则（　　） A.1＜b＜2　　 B.2a－b＞1 C.ab＜1　　 D.＋≥ 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.某学校有A，B两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.4；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为　　. 13.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有　　 14.已知函数f（x）＝ln x＋（a∈R）.若函数f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围. 四、解答题(本题共5小题，共77分) （15）设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R.已知f（x）在x=3处取得极值. （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）在点A（2，12）处的切线方程. 16．为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民 居民 居民 居民 居民 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 (1)根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； (2)求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差. 参考公式：相关系数；回归系数. 17..某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列及数学期望。 18．2021年7月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的100户居民由于台风造成的经济损失(单位：元)，将收集的数据分成[0，2 000]，(2 000，4 000]，(4 000，6 000]，(6 000，8 000]，(8 000，10 000]五组，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α＝0.05的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4 000元有关； 项目 经济损失不超过 4 000元 经济损失超过 4 000元 总计 捐款超过500元 60 捐款不超过500元 10 总计 100 (2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自家经济损失超过4 000元的户数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E(ξ)和方差D(ξ)． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 19．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）. (1)已知，， （i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由； (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B D D C D ABC ACD 题号 11 答案 ACD 1．A　详解：因为U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}.故选A. 2．D 由离散型随机变量X的分布列的性质， 得q=1-0.3-0.2-0.2-0.1=0.2， 则E(X)=0×0.2+1×0.3+2×0.2+4×0.2+5×0.1=2， D(X)=(0-2)2×0.2+(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.2+(4-2)2×0.2+(5-2)2×0.1=2.8，所以D正确； 3．A　详解：命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－3≥0为假命题，即命题􀱑p：∀x∈R，ax2＋2ax－3＜0为真命题.①a＝0时，－3＜0恒成立，符合题意；②a≠0时，则a＜0且Δ＝（2a）2＋12a＜0，即－3＜a＜0，综上可知，－3＜a≤0，故选C. 4．B【详解】因为，所以.所以. 由，得. 所以. 5．　D 解析　对于A， =a0+a1x+a2x2+…+a10x10， 令x=0，得a0=1，令x=1， 得a0+a1+a2+…+a10=1， 所以a1+a2+…+a10=0，故A错误； 对于B，因为 =a0+a1x+a2x2+…+a10x10， 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|表示的各项系数之和， 令x=1，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=310，故B错误； 对于C，a2x2=·=180x2，所以a2=180，故C错误； 对于D，因为=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，a0=1， 令x=，则=1++++…+=0， 则+++…+=-1，故D正确. 6．D 先根据题意确定，再根据正品率和原则确定的取值范围. 【详解】已知，. 又指标的部件为正品，即区间为正品. 要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间，则， 所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能. 7.C 解析　当5人中恰有三人被录取，则不同的录取情况数为=60；当5人中恰有四人被录取，则不同的录取情况数为=180；当5人全部被录取，则不同的录取情况数为+=150；故不同的录取情况数为60+180+150=390. 8．D　∵x∈（0，），∴sin x＞0，cos x＞0.由f'（x）＞f（x）tan x，得f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，构造函数g（x）＝f（x）cos x，则g'（x）＝f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，∴函数g（x）在（0，）上单调递增.结合选项知，g（）＜g（），即f（）cos＜f（）cos，∴f（）＜f（）.故选D. 9．ABC 【详解】对于选项A，由，可知，所以A正确； 对于选项B，回归直线方程为，当时，， 所以，即， 去除一个异常点后，，可得新的均值为， 即新的回归直线必过点，所以B正确； 对于选项C，设事件为“狗的寿命超过15岁”，则，设事件为“狗的寿命超过20岁”，则，则， 则该地区一只寿命超过15岁的狗，寿命超过20岁的概率，即，所以选项C正确； 对于选项D，原命题的否定形式为“∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”故D错误 10．ACD 【详解】对于A，回归方程为，因为，所以变量与负相关，故A正确； 对于B，不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件故B错误； 对于C中，由真分数性质知C正确 对于D，依题意，， 又，所以且，即， 所以，故D正确. 11．解析：ACD　因为0＜a＜b，a＋b＝2，所以0＜a＜1＜b＜2，故A正确；因为a＜b，设a＝，b＝，则2a－b＝2－1＜1，故B错误；因为0＜a＜b，所以ab＜（）2＝1，故C正确；因为（a＋b）（＋）＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即a＝2（－1），b＝2（2－）时，等号成立，此时满足0＜a＜b，a＋b＝2，所以＋≥，故D正确.故选A、C、D. 12．解析：设A1＝“第一天去A餐厅用餐”，B1＝“第一天去B餐厅用餐”，A2＝“第二天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得，P（A1）＝P（B1）＝0.5，P（A2｜A1）＝0.4，P（A2｜B1）＝0.8，由全概率公式，得P（A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＋P（B1）P（A2｜B1）＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6. 13．解析：先将丙和丁捆在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后将甲插入中间两空，有种排列方式，所以不同的排列方式共有＝24种 14．解：0＜a＜. 15．解　（1）f'（x）=6x2-6（a+1）x+6a.因为f（x）在x=3处取得极值，所以f'（3）=6×9-6（a+1）×3+6a=0， 解得a=3.所以f（x）=2x3-12x2+18x+8. （2）点A在f（x）上，由（1）可知f'（x）=6x2-24x+18，f'（2）=-6，所以切线方程为y=-6x+24. 16．(1)，与成正相关，有较强的相关性； (2)，1.1. （1）根据给定的数表求出相关系数，进而推断相关程度. （2）利用最小二乘法求出线性回归方程，进而求出指定的残差. 【详解】（1）由给定数表得， ， ， ， 所以样本相关系数，与成正相关，有较强的相关性. （2）由（1）得， 所以身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程为， 当时，，所以居民的身体活力指数残差为. 17．解：用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个， 再从中随机抽取3个，则抽到的精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3， 则P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 18．解析　(1)由频率分布直方图可得，在抽取的100户中，经济损失不超过4 000元的有70户，经济损失超过4 000元的有30户，补全表格数据如下： 项目 经济损失不超过4 000元 经济损失超过4 000元 总计 捐款超过500元 60 20 80 捐款不超过500元 10 10 20 总计 70 30 100 零假设H0：捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4 000元无关， 则χ2＝≈4.762>3.841＝x0.05. 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为H0不成立，即认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4 000元有关． (2)由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4 000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B， P(ξ＝0)＝C30××＝， P(ξ＝1)＝C31××＝， P(ξ＝2)＝C32××＝， P(ξ＝3)＝C33××＝. 从而ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝np＝3×＝0.9，D(ξ)＝np(1－p)＝3××＝0.63. 19．(1)（i）；（ii）不相互独立，理由见解析； (2) 【详解】（1）（i）记事件为“至少收到一次0”， 则至少收到一次0的概率为． （ii）证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”， 则， ， ， ， 事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”不相互独立． （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”， ，， 根据题意得，， ，，， 解得， 的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $