重庆市巴蜀中学校2026届高三5月模拟考试数学试题

**基本信息** 立足核心素养，融合数学史（如僧一行“九服晷影算法”）与真实情境（铁球熔化铸棱台），梯度设计覆盖基础到综合，适配高中数学模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、函数定义域、等比数列充要条件|第3题结合等比数列单调性考查逻辑推理| |多项选择|3/18|向量运算、正四面体概率|第10题通过随机抛掷事件考查独立与互斥| |填空|3/15|复数、等差数列求和、曲线交点|第14题含参曲线交点考查数形结合| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、函数零点、概率分布、抛物线综合|第19题抛物线切线综合题，融合几何证明与面积最值，体现创新应用|

数 学 试 卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 若集合 ,则 A. B. C. D. 2. 函数 的定义域是 A. B. C. . D. 3. 在等比数列 中,命题 : 数列 的首项 且公比 ,命题 : 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 将一个半径为 1 的铁球熔化后, 浇铸成一个正四棱台形状的铁锭, 若这个铁锭的上、下底面边长分别为 1 和 2 , 则它的高为 A. B. C. D. 5. 已知 ,若直线 上存在点 满足 ,则实数 的最大值是 A. -26 B. -16 C. 4 D. 14 6. 我国古代数学家僧一行应用 “九服晷影算法” 在《大衍历》中建立了影长 与太阳天顶距 )的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表. 根据三角学知识可知，晷影长 等于表高 与太阳天顶距 正切值的乘积,即 . 对同一“表高”测量两次,第一次和第二次太阳天顶距分别为 ,若第一次的 “晷影长” 是 “表高” 的 2 倍,且 ,则第二次的“晷影长”是“表高”的 A. 倍 B. 1 倍 C. 倍 D. 倍 7. 已知函数 ,若 ,则 的最小值是 A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知 是椭圆 上一点， ， 是椭圆的两个焦点， ， ,则椭圆 的离心率为 A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 已知向量 ，则下列说法正确的是 A. B. C. 与 夹角的余弦值为 D. 在 上的投影向量为 10. 一个正四面体的四个面上分别标以数字1,2,3,4,将其随机抛掷两次,记与地面接触面上的数字依次为 ,事件 “ ”,事件 “ ”,事件 “ ”,事件 “ 5”, 则 A. 与 互斥 B. C. D. 与 相互独立 11. 已知函数 ,数列 满足: ,且 ,下列说法正确的是 A. 当 时, B. C. 是递增数列 D. 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知 是虚数单位,复数 ,则 13. 已知首项和公差都不为 0 的等差数列 ,其前 项和为 ,且 ,则 _____. 14. 当 时,曲线 的图象与曲线 的图象有唯一交点,则正实数 的取值范围是_____. 四、解答题(共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知 中,内角 的对边分别为 ,满足 . (1)求 ； (2)若 ； 是 边上一点，且 ，求 的值. 16. 如图，在四棱台 中， ， ， ； ， . (1)证明: 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. 已知函数 . (1)若 ，求 的最大值； (2)若 有两个零点，求实数 的取值范围. 18. 已知一个不透明的箱子内装有大小质地一样, 只有颜色不同的 6 个小球, 其中 4 个红球, 2 个白球,现从箱子内不放回地逐一依次取球,当箱子内的小球颜色只剩一种时就停止取球. 用 表示停止取球时取出的两种颜色小球的个数之和,用 表示停止取球时箱子内剩余的白球个数. (1) 求 ; (2)求 ； (3)求 的分布列及期望. 19. 已知抛物线 ， 为其焦点， 为抛物线外一点，过 作抛物线的切线，切点分别为 ,点 为抛物线弧 上的动点,抛物线在 处的切线分别交 于点 . (1)证明: ， ， 成等比数列； (2)若过点 作抛物线的两条切线 ，分别交 轴于 两点，求 的外接圆方程; (3)当 为一给定的定点时，求四边形 面积的最小值(结果用 表示). 学科网（北京）股份有限公司 $