重庆市巴蜀中学校2026届高三下学期5月模拟考试数学试卷

**基本信息** 以人形机器人赛事、牛顿迭代法等真实情境为载体，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配高三模考综合训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数、排列组合、双曲线|第4题排课问题结合实际场景，考查应用意识| |多选题|3/18|分层抽样、函数极值|第10题大模型任务抽样，体现数据观念| |填空题|3/15|抛物线、正态分布|第14题正态分布与随机游走综合，考查建模能力| |解答题|5/77|独立性检验、立体几何、牛顿迭代法|第15题机器人避障系统关联分析，第19题牛顿迭代法证明，突出逻辑推理与创新意识|

数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知 ，则 A. B. C. 5 D. 2. 命题 “ ” 的否定为 A. B. C. D. 3. 已知函数 ,则 A. B. 1 C. e-1 D. 4. 给某班级星期一上午排课，一共 5 节课，语数外各一节，体育课两节，要求两节体育课必须相邻， 则不同的排课种数有 A. 48 B. 60 C. 24 D. 12 5. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 分别为其左、右焦点,点 为双曲线 上一点, ,则 A. 3 B. 6 C. 10 D. 14 6. 已知点 为函数 的一个对称中心，则 的最小值为 A. B. C. D. 7. 在正方形 中, ,点 在直线 上满足 ,点 在直线 上满足 . 已知 ,则 A. B. 1 C. D. 2 8. 在平面直角坐标系中, 为两不同的动点,以 为直径的圆与直线 相切,则 的最小值为 A. B. 4 C. D. 二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 已知等差数列 的首项为 3,公差为 2 . 数列 满足 ,下列说法中正确的有 A. B. 数列 是公差为 2 的等差数列 C. 是等比数列 D. 对任意正整数 成立 10. 某大模型用于处理两类推理任务:代码生成与数学证明，任务数量分别为 5000 个与 3000 个. 现按比例分层抽样, 共抽取 160 个任务进行延迟测试 (单位: ms). 经计算, 代码生成样本均值为 212ms，方差为 ；数学证明样本均值为 ，方差为 ，下列说法中正确的有 A. 每个数学证明任务被抽中的概率为 B. 代码生成任务应抽取 100 个 C. 总样本的均值为 D. 总样本的方差为 11. 已知函数 ,其中 且 ,则下列说法正确的是 A. 一定存在极大值点 B. 若 有且仅有 3 个极值点,则极大值一定大于 0 C. 若 存在极小值,则极小值一定小于 0 D. 若 有且仅有 3 个极值点 ,且 ,则 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知抛物线 的准线方程为 ，则 _____. 13. 已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则当 时， _____. 14. 一随机变量 服从正态分布 ，则 ， _____. 已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量 表示走完 8 步后，粒子向右移动的总步数， 与 相互独立，则 _____. 四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 13 分) 2026 年 4 月 19 日, 第二届人形机器人半程马拉松在北京亦庄举行, 来自各地的机器人参赛队伍同场竞技，引发广泛关注. 为研究 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 之间是否存在关联，某科研团队对本次参赛的 500 台机器人进行统计，得到如下列联表 (单位: 台): 完成比赛 未完成比赛 搭载智能避障系统 180 70 未搭载智能避障系统 120 130 附: ,其中 . 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 有关? (2)从该 500 台机器人中，采用按比例分层抽样的方法(以是否搭载智能避障系统分类)，抽取一个容量为 10 的样本. 再从这 10 台机器人中, 不放回地随机抽取 3 台, 设其中 “搭载智能避障系统” 的台数为 . 求 的数学期望 . 16. (本小题满分 15 分) 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，平面 平面 ，平面 平面 且二面角 的余弦值为 . (1)求证: 平面 ； (2)求三棱锥 的体积. 17. (本小题满分 15 分) 在锐角 中,角 所对边分别为 且满足 . (1)求 ； (2)若 的角平分线交 于点 ，求 的最小值. 18. (本小题满分 17 分) 已知点 ，过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点(A 在 的左侧),且 为线段 中点. (1)求椭圆的离心率； (2)记原点为 ,椭圆的左、右顶点记为 ，直线 与 交于点 ,记 的面积为 ,四边形 面积为 . (i) 证明: ; (ii) 求 的取值范围. 19. (本小题满分 17 分) 牛顿迭代法 (又称牛顿切线法) 是求方程近似根的重要方法. 对于方程 ,若 可导, 从一个初始近似值 出发,构造迭代公式 ,在适当条件下,随着 的增大, 会越来越接近于方程的根. 已知函数 ,区间 满足上述迭代公式且初值 . (参考数据: ) (1)证明:方程 在区间 内有唯一实根 ； (2)证明: ； (3)对 ，记 . 证明:数列 单调递减. 学科网（北京）股份有限公司 $