重庆市巴蜀中学校2026届高三下学期5月模拟考试数学试卷

**基本信息** 结合机器人比赛、牛顿迭代法等真实情境，覆盖函数、几何、统计等模块，梯度设计兼顾基础与创新，体现用数学思维解决实际问题的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数、函数、排列组合等|基础概念与基本运算结合| |多项选择|3/18|数列、统计、导数极值|选项分层考查逻辑推理| |填空|3/15|抛物线、数列递推、正态分布|知识综合与数学表达| |解答|5/77|统计（独立性检验）、立体几何（体积计算）、解三角形、圆锥曲线、导数迭代|第15题以机器人赛事为背景，第19题融入牛顿迭代法，体现科技前沿与数学应用|

答案 A A 答案 ACD BC BD 答案 4 2m-2 1:2 15.(本小题满分13分】 解：(1)设零假设H。：“机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”无关， 由列联表得X 500×(180×130-70×120)2 =30>10.828 …(4分) 300×200×250×250 根据小概率值=0.001的2独立性检验，推断H。不成立， 认为机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”有关 …(6分 (2)500台机器人中搭载智能避障系统的比例为 180+702501 500=5002, 按比例分层抽样，样本容量为10，则样本中搭载智能避障系统的台数为10×二=5台. 2 从10台（其中5台搭载，5台未搭载）中不放回抽取3台， X服从超几何分布N=10,M=5,n=3, -3 53 期望E(X)=n· 102 16.(本小题满分15分) (1)证明：因为平面PAB⊥平面ABCD且交于AB,ADLAB, ADC平面ABCD,所以AD⊥平面PAB, 又PAC平面PAB,所以AD⊥PA. 同理可得AB⊥PA, 又AD∩AB=A,AD,ABC平面ABCD, 所以PAL平面ABCD。…(6分》 图2 (2)解：如图2，以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建系 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2) 由题有P匣=PC(0<1<1),解得E(2九2九2-2). 取平面BDC的法向量为m=(0,0,1),设平面BDE的法向量为n=(,片，)， 则 n.BD=-2x1+24=0 页·配=(22-2%+2别+2-25=0'殿新=元-1，得n=(2-1-h2-D 1cos<mn>外/m.n |22-1 12-1‖-6 3 ，解得元=4 即 |m‖n √2-1)2+(2-1)2+(22-1)2V622-82+3 3 眼》 (13分） 所以PE、3 Pc4,mEC、1 1P六=1记E到平面BCD的距离为d=PA=1 1 322. 11 11 所以W-cae=-om=3 SABCD·d= …(15分) 23 17.(本小题满分15分) 解：(1)sin(C-B)+sinA=sin(C-B)+sin(π-B-C)=sin(C-B)+sin(B+C) =2sin C cos B. 数学参考答案· ■■■口口口■口 因为B,Ce0,2 所以sinC>0,cosB>0 5 C=ic-B+n4=2 2sinCooB→如4=5 sinA 因为A∈0， 所以A=π …(7分》 3 2）-方面，saue-csin4=5be, 另一方面，S△Bc=S△8D+S△1cD= Ih.AD.sin+cAD.sin6-1+) 11 (11 2b c 故bc=b+c→ =1,则2b+c=(2b+c)+=3+D+≥3+2 c b =3+2V5 2b c 当且仅c b=1+ 立，c=V2+1时到等号， bc=b+c, 此时a2=b2+c2-2 becosA=(3-2)b2 此时，c>b,则B必为锐角，而a2+b2-c2=(3-2)b2+b2-2b2=(2-V2)b2>0, 所以C为锐角，满足题意， 所以2b+c的最小值为3+2N2. …（15分) (说明，若未验证取等条件时满足锐角三角形的，扣1分) 18.(本小题满分17分) (1)解：设A(,),B(:,y2),且x<x2,由于M为线段AB中点，叭 x+x2=4 出+y=2. 足片=1 又 ，两式相减可得 学兰战号 b2 解得6、1 (4分) (2)(i)证明：记MT与PQ的交点为R. S=SAOIM SAORM-SAORT =(SAPRM-SPOM)-(SPRT-SPOT) =(S△Pw-S△Par)-(S△PoN-S&POT)=S△Pw-(S2ow-Sor) -SaPTM-(Scom+Son)=SPTM-S Or-S, 化简可得：2S=S△m-S△rw得证 【另解】记P,O,Q到TM的距离为d,d2,d,,TM与P?的夹角为6 2d2=2ORIsin0=(PRI-ORI)sin0=PRIsin0-1ORI sin0=d-d3. 25omMdp5som …(8分) (ii)解：由椭圆方程知P(-,0),Q(a,0). 第1页（共2页） 由(1)可知a=2b, 椭圆方程为犬+42 =1,直线1方程为y=- +2, x 4y2 x+x2=4 =1 联立方程 2 、 ,可得2x-8x+16-d=0→5=16，a 2 x+2 2 △=64-8(16-a2)>0 解得2<a<4,则a的取值范围为(2N2,4), 11 -aA-4爱-682m-16, …(11分) 记直线1与x轴交点为S,则S(4,0), 5,=Sa-S.8=54+aM-24-a 1 =201-)+304+） =6引+)*4-i6+a 置bai6 S2-V2a-16+a=81+ (22<a<4),得到S2a2-16 1 ,2- （aV2a-16 关于a单递减. 8 由于ae(2N2,4), 【另解】记a=m, V2d-16=n,则有m-元 =1 816 a= 2 作换元 cos日 0,4 v2a2-16=4tan0 25 .4tam日 tanθ 则 cos0 84tan0+ 2W5 21+V5sin6) cose 设f()= tan日 1+2sin0 1+2sin0 则f'()= >0 (1+2sine)'cos20 所以0式0引上键运锦，则oo-引 的值范为0，) 综上，3 …(17分） 19.(本小题满分17分) 证明：f-l经如=-1<0，fe=ne-sine=1-sine>0 2 数学参考答案 ■■■口口口■口 由零点存在定理，)在行内至少有-个李点 e=os,当r[经所>0， cosx≤0， 故f'(x)>0,即f(x)严格单调递增 因此f(x)在区间1内有唯一零点x. 00000000n0000”(4分》 (2)ef(e)=e-1-sine f'(e)1 由于1-sine>0, 1-cose>0,则<e= --cose e 下证：f(x)≥f(e)+f(ex-e),xeI f)=血中产血：一专>0，放时到在区1上单澜碳微 令g(x)=f(x)-f(e)-f"(ex-e),则g(x)=f()-f(e)≤0， 故g(x)在区间I上单调递减，得到g(x)≥g(©)=0， 取x=x,得0=fx)≥fo+feXr-e)→x≤e-f8=x, f(e) 由于x≠x(否则与f(x)≠0矛盾)，故x<x,因此x<x<x。· …（10分) (3)先证明：neN,xn>x. 对neN,令h()=fx)-fc)-f'"(c-x),xeI,则hn(x)=f(x)-fx). 由于)在区阿1上单调递增，则九()在行上单调速减，在（化，日）上单海递增 得到h.()≥h,()=0,xeI.由于xeI且x≠xn,则h,(x)>0, o-f@)>f)-) f(x) Xn+1· 则a-=-，01-4,=1-,= f(x) f(x)' 又xn∈(x,©).由(1)可知f(x)严格单调递增，则f(xn)>f(x)=0,且f'(xn)>0, 所以a州1一a,<0,所以数列an}单调递减…(17分） 第2页（共2页） 数学试卷 注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.试卷由"整理排版。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知z=3+4i,则 A. B. C.5 D. 2.命题的否定为 A. B. C. D. 3.已知函数则f(f(e))= A.ln2 B.1 C.e-1 D. 4.给某班级星期一上午排课，一共5节课，语数外各一节，体育课两节，要求两节体育课必须相邻，则不同的排课种数有 A.48 B.60 C.24 D.12 5.已知双曲线C:的一条渐近线方程为分别为其左、右焦点，点M为双曲线C上一点，则 A.3 B.6 C.10 D.14 6.已知点P(3,y0)为函数的一个对称中心，则ω的最小值为 A. B. C. D. 7.在正方形ABCD中,AB=1,点E在直线AD上满足点F在直线CB上满足已知则λ+μ= A. B.1 C. D.2 8.在平面直角坐标系中,M(m,0),N(0,n)为两不同的动点,以MN为直径的圆与直线l:2x+y-5=0相切，则|MN|的最小值为 A. B.4 C.2 D.2 二、多项选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知等差数列的首项为3，公差为2.数列满足下列说法中正确的有 A. B.数列是公差为2的等差数列 C.是等比数列 D.对任意正整数n，k成立 10.某大模型用于处理两类推理任务：代码生成与数学证明，任务数量分别为5000个与3000个.现按比例分层抽样，共抽取160个任务进行延迟测试(单位：ms).经计算，代码生成样本均值为212ms,方差为80ms2;数学证明样本均值为180ms,方差为50ms2,下列说法中正确的有 A.每个数学证明任务被抽中的概率为 B.代码生成任务应抽取100个 C.总样本的均值为200ms D.总样本的方差为65ms2 11.已知函数 其中a>0,b>c,k>n>1且n,k∈N*,则下列说法正确的是 A.f(x)一定存在极大值点 B.若f(x)有且仅有3个极值点，则极大值一定大于0 C.若f(x)存在极小值，则极小值一定小于0 D.若f(x)有且仅有3个极值点、、,且则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知抛物线的准线方程为x=-1，则a=______. 13.已知数列前n项和为,且满足则当n≥2时,=______. 14.一随机变量ξ服从正态分布N(4,σ²),则∀t∈R,P(ξ≤t)+P(ξ≤8-t)=.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量X表示走完8步后，粒子向右移动的总步数,X与ξ相互独立,则P(X+ξ≤8)=______. 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 2026年4月19日，第二届人形机器人半程马拉松在北京亦庄举行，来自各地的机器人参赛队伍同场竞技，引发广泛关注.为研究“机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”之间是否存在关联，某科研团队对本次参赛的500台机器人进行统计，得到如下列联表(单位：台): 完成比赛 未完成比赛 搭载智能避障系统 180 70 未搭载智能避障系统 120 130 附：其中n=a+b+c+d. α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”有关? (2)从该500台机器人中，采用按比例分层抽样的方法(以是否搭载智能避障系统分类)，抽取一个容量为10的样本.再从这10台机器人中，不放回地随机抽取3台，设其中“搭载智能避障系统”的台数为X.求X的数学期望E(X). 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，平面且二面角E-BD-C的余弦值为 (1)求证:PA⊥平面ABCD; (2)求三棱锥B-CDE的体积. 17.(本小题满分15分) 在锐角△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c且满足 (1)求A; (2)若A的角平分线交BC于点D,求2b+c的最小值. 18.(本小题满分17分) 已知点M(2，1)，过点M且斜率为的直线l与椭圆交于A、B两点(A在B的左侧)，且M为线段AB中点. (1)求椭圆的离心率； (2)记原点为O，椭圆的左、右顶点记为P，Q，直线AQ与BP交于点T，记△TMO的面积为S₁,四边形ABQP面积为. (i)证明: (ii)求的取值范围 19.(本小题满分17分) 牛顿迭代法(又称牛顿切线法)是求方程近似根的重要方法.对于方程f(x)=0，若f(x)可导，从一个初始近似值出发，构造迭代公式在适当条件下，随着n的增大，会越来越接近于方程的根.已知函数.区间满足上述迭代公式且初值 (参考数据： (1)证明：方程f(x)=0在区间I内有唯一实根； (2)证明: (3)对n∈N,记证明：数列单调递减. 学科网（北京）股份有限公司 $