江苏常州市2025-2026学年八年级数学下学期期末素养评价（苏科版八年级下册）

**基本信息** 八年级数学下册期末卷以真实情境与文化传承为载体，融合统计调查、勾股定理应用（如《算法统宗》荡秋千问题）、地方实际（常州地铁行程）等，考查抽象能力、模型意识与推理能力，实现知识与素养的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|统计抽样、分式意义、平行四边形判定|第3题以谚语考不可能事件，体现数学眼光| |填空题|8/16|因式分解、几何概率、二次根式应用|第10题结合冰雪天气刹车距离，强化应用意识| |解答题|9/64|方程应用、几何探究、规律推理|21题地铁行程问题（模型意识），25题几何最值（推理能力），23题规律探究（创新意识）|

八年级数学下册期末素养评价试卷 答案解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的.） 1.C 了解某市八年级学生的视力情况要进行抽样调查，抽取的样本要具有随机性和代表性 A.选项，方式不对 B.在市中心几所重点中学抽取部分学生进行抽样调查，不具有代表性 C. 在全市范围内按学校类型、区域等随机抽取部分学生进行抽样调查，正确 D. 在眼科医院门口随机调查过往的八年级学生，不具有代表性 2.A 要有意义只需分母不为零，即所以，答案为A. 3.A 不可能事件是一定不会发生的事件，葫芦藤上只会结葫芦，不会结南瓜，答案为A. D 平行四边形的对边相等，故隔一个的数字要相等。 B 因式分解的定义是把多项式写成几个因式相乘的形式，B选项符合要求，其他选项没有分解完全. 6.B 过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴尺， 在中，尺， ∴尺， 即此时踏板相比静止时升高了尺． 7．C ∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴． 8．C ∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 二、填空题（（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置上.） 9． 解： 10. 根据公式，带入数据得： 这张破纸面积大约为（）。 12．1 ∵将沿直线方向平移到的位置， ， ∴四边形为平行四边形， 与同底等高， ， ， ． 13． 如图， 大长方形的面积可以表示为一个正方形和五个长方形的面积之和：， 还可以表示为：长宽， ∴可得到因式分解的式子为． 或 糖水甜度不变，即是浓度不变，原来的浓度为，，混合后的浓度为，浓度不变即是或者. 15. 设纸较长边的长为，较短边长为，由题意，得第一次折痕长为， ∵第次的折痕与纸较长的边重合， ∴，即. 16．6 如图， 连接交于点P， 由折叠知，点E与点F关于对称， ∴， ∴，即此时的值最小，最小值为的长． ∵矩形中，， ∴， ∴． 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为 三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.） 17．解： ----------------3分 ----------------5分 ． ----------------6分 （1）解： ----------------2分 ----------------4分 （2）解：． ----------------2分 ----------------4分 19．(1)解：， ， ， ， ， ----------------2分 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． ----------------4分 (2)解：方程两边同时乘，得： ， ， ， ----------------2分 检验：当时，， ∴是增根， ∴原方程无解． ----------------4分 20．解：分式有意义的条件为：， 原式 ， ----------------3分 当时，原式． ----------------6分 21.解：设列车在AC段行驶速度为： 则列车在CB段行驶速度为： 由题意得： ---------------3分 解之得： ---------------4分 经检验，是原分式方程的解，且符合题意。 ---------------5分 答：列车在AC段行驶速度为12.5. ---------------6分 22.解：， 故答案为：； ---------------2分 延长交延长线于，如图所示： 则四边形、四边形都为长方形， 正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ；------------4分 延长交延长线于，如图所示： 则四边形、四边形、四边形都为长方形， 正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ，， 点是线段的中点， ， ---------------5分 四边形是正方形， 四边形是直角梯形， ； ---------------6分 ，， ，--------------7分 ， ， ， ． ---------------8分 23.解：（1）； ； 故答案为：；；． ---------------3分 （2）选择霖霖的解题思路： ∵， ∴， ∴， ∴； ---------------5分 选择欣欣的解题思路： ， ∴， ∴， ∴； ---------------5分 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； ---------------5分 （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为， ∴` ---------------6分 ∴，，- --------------7分 ∴第三个因式为． ---------------8分 24.【详解】（1）解：， --------------2分 ， 令， ； --------------4分 （3）解：，--------------5分 ， ，--------------7分 ．--------------8分 25.（1）解：，理由： -------------2分 在 中，，，， ． 如图1，过点作于点， 平分，且，， ． ， ，即， 解得； （2）解：四边形是菱形，，， ，，． 在中，． --------------3分 如图2，连接，由菱形的对称性可知，点、关于对称， ， ． --------------4分 如图3，当 、、 三点共线，且 时， 取得最小值，最小值为菱形边上的高． ， --------------5分 又 ， ， 所以的最小值为； --------------6分 （3）解：四边形周长会变化，它的最小值为．理由： 平分，， ， 如图4，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， ， ， ． --------------7分 ，， ， ． 设 ，则 ，，， 在中， ， --------------8分 在中，      ， 表示的代数式的几何意义如图5所示， 其中，，， 则. --------------9分 根据两点之间线段最短可知，连接，交于点O，则的长度即为的最小值， 由图5易知，， 此时有，解得，即，的实际位置如图6所示，满足，的条件． 如图5，在中， ， ． ∵四边形的周长， ∴L的最小值为， 即四边形的周长会发生变化，其最小值为 ．--------------10分 $ 八年级数学下册期末素养评价 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的.） 1.为了解某市八年级学生的视力情况，市教育局准备进行一次调查。下列调查方式中，最合理的是（　　） A. 对全市所有八年级学生进行普查 B. 在市中心几所重点中学抽取部分学生进行抽样调查 C. 在全市范围内按学校类型、区域等随机抽取部分学生进行抽样调查 D. 在眼科医院门口随机调查过往的八年级学生 2.若分式有意义，则 的取值范围是（　　） A.  B. C.  D.且 3．下列谚语所描述的事件中属于不可能事件的是（   ） A．夜里星光明，明朝依旧晴 B．种瓜得瓜种豆得豆 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．葫芦藤上结南瓜 4．在学习平行四边形章节时，王老师安排学生课前动手操作，用四根小棒摆成一个平行四边形。某小组甲、乙、丙、丁四名同学每人准备了四根小木棒（单位：），把四人准备的小木棒首尾顺次连接，可以拼成一个平行四边形的是（   ） A．2，3，4，5 B．3，3，2，2 C．3，4，5，4 D．2，3，2，3 5.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A.  B. C. D. 6．《算法统宗》是中国古代数学名著，书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；绳索二十尺，良工巧算记之；送行二步水平齐，问君升高几许？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，秋千的绳索总长为20尺．将它往前水平推送两步（两步尺）时，秋千的绳索始终保持拉直的状态，问此时踏板相比静止时升高了多少尺？”（   ） A． B． C． D． 7．学校为了打造“课间15分钟休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集运动区、阅读区和绿植观察区的小型休闲广场．已知运动区（正方形）和阅读区（正方形）的面积分别为、，则绿植观察区的边长的长为（   ） A． B． C． D． 8．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 二、填空题（（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置上.） 9．因式分解：= 10．（原创）冰雪天气路面湿滑，极易发生追尾事故。交警在处理一起险些追尾的交通事故时，通过测量后车的刹车痕迹来估算车速。已知后车在雪地上紧急刹车后，滑行距离 米才停下。若重力加速度 取，轮胎与雪地间的摩擦系数 ，根据经验公式，该车刹车前的速度为 （结果化为最简二次根式）。 11．小华想估测一张不规则破纸的面积，他把它放在一个半径为1米的圆圈内，随后他向圈内抛小石子，掷了100粒石子在圈内，其中有30粒石子在这张纸上，那么这张破纸面积大约为________． 12．如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 12题图 13题图 13．如图所示的四个长方形正好拼成一个面积为的大长方形，由此可得出因式分解后的结果是_____ _． 14.在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，混合后，糖水甜度不变． 可以用式子表示为 ． 15．《数学实验手册》中有一个实验主题叫做“打印纸中的数学”，该实验中使用的打印纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一标准，打印纸被广泛的应用于我们的生活和生产实践中．如图，将纸次折叠，发现第次的折痕与纸较长的边重合，由此可得出纸较长边与较短边的比为________． 16．如图，将矩形对折，使点与点重合，折痕分别与矩形的边和相交于点、，交对角线于，为线段上一个动点，若，，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.） 17．(6分)计算： 18．(8分)把下列各式因式分解： (1)； (2)． 19．(8分)解方程：（1） （2） ． 20.(6分)先化简，再求值：，其中． 21．(6分)（原创）常州地铁1号线从环球港站（A）到北郊中学站（B）的线路中，途经换乘点C。已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=3公里，BC=4公里。列车从A站出发，先沿AC段匀速行驶至C站，换乘耗时固定为0.1小时，再沿CB段匀速行驶至B站。已知列车在CB段的行驶速度为在AC段的行驶速度的两倍。根据地铁运营规范，列车实际行驶速度不得超过最高设计时速80公里/小时。若全程总耗时（含换乘）恰好为0.5小时，求在AC段的行驶速度。 22．(8分)如图，已知正方形的边长为，正方形的边长为，点在边上，点在边的延长线上，交边于点连接、． (1)填空：用，表示的面积______（写出化简后结果）； (2)用，表示的面积，并化简； (3)如图，若点是线段的中点，连接、、，试比较的面积和的面积的大小（写出过程）． 23．(8分)【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 24．(8分)阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知x、y是两个正整数，且记作、则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： (1)分母有理化：______；化简“理想二次根式”：______． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 25．(10分)【问题探究】 (1)如图①，已知中，平分交于，，，则______． (2)如图②，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值． 【问题解决】 (3)如图③，某植物园计划开垦一片劳动实践区四边形，按设计要求，，，对角线平分，．实践区计划在区域内种植辣椒，在区域内种植西红柿，同时在实践区外围修建篱笆（篱笆宽度忽略不计），若保持实践区面积不变，那么修建篱笆的长度，即四边形的周长是否发生变化？若不变化，请求出这个周长；若变化，请求出四边形周长的最小值． $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 选择题 2 普查与抽样调查 0.95 2 选择题 2 分式有意义的条件 0.9 3 选择题 2 事件的判定 0.9 4 选择题 2 四边形为平行四边形的条件判定 0.85 5 选择题 2 因式分解的的判定 0.8 6 选择题 2 二次根式的计算 0.8 7 选择题 2 菱形的性质应用 0.75 8 选择题 2 含参的分式方程 0.6 9 填空题 2 分解因式 0.95 10 填空题 2 二次根式化简 0.9 11 填空题 2 用频率估计概率 0.85 12 填空题 2 平行四边形性质应用 0.8 13 填空题 2 因式分解与图形 0.8 14 填空题 2 分式的性质 0.75 15 填空题 2 二次根式的应用 0.7 16 填空题 2 四边形的综合运用 0.6 17 解答题 6 二次根式的运算 0.9 18 解答题 8 解分式方程 0.88 19 解答题 8 因式分解 0.85 20 解答题 6 先化简再求值 0.86 21 解答题 6 分式方程解应用题 0.8 22 解答题 8 正方形的性质与判定 0.75 23 解答题 8 操作类：因式分解与图形 0.7 24 解答题 8 二次根式有关的新定义 0.6 25 解答题 10 四边形的综合问题 0.5 100 $