2026年中考数学二轮复习：一元二次方程

**基本信息** 以“解法-性质-应用”为主线，系统整合配方法、根与系数关系等核心方法，通过实际问题与新定义题型培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法应用|选择1/4、填空12|配方法步骤及变形技巧|从直接配方到方程变形，体现转化思想| |根的性质|选择3/5、填空9|根与系数关系及判别式应用|先化为一般式，再用韦达定理解决求值问题| |实际建模|选择2/6、填空8/11、解答15|增长率/面积/利润问题等量关系构建|从生活情境抽象方程，培养应用意识| |新定义问题|解答16|“倍根方程”定义理解与根的关系应用|结合因式分解，深化根的性质综合运用|

2026年中考数学二轮复习：一元二次方程 一．选择题（共7小题） 1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+4＝0时，此方程可化为（　　） A．（x﹣2）2＝0 B．（x+2）2＝0 C．（x﹣4）2＝8 D．（x+4）2＝20 2．俗语“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”．其意思是：知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比均为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程是（　　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣x2＝50% D．1﹣2x＝50% 3．一元二次方程﹣x2+4x＝﹣3的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝﹣3 C．x1x2＝﹣4 D．x1x2＝﹣3 4．用配方法解一元二次方程x2﹣12x﹣5＝0，配方后得到（x﹣6）2＝m，则m的值是（　　） A．31 B．41 C．14 D．37 5．已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根分别为a，b，则a+b﹣ab的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 6．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 7．根据下列表格，判断一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0，a、b为常数）的一个解x的取值范围是（　　） x 2 3 4 5 6 ax2+bx﹣2 ﹣4 ﹣2 2 8 16 A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 二．填空题（共5小题） 8．近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件，设每个月平均增长率为x，则根据题意可列方程为　 　 ． 9．已知关于x的一元二次方程ax2+ax﹣3a＝0的两根分别为x1、x2，则的值为　 　 ． 10．关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3m﹣3＝0在﹣2≤x≤2范围内有且只有一个根，则m的取值范围为　 　 ． 11．小明参加“做文明市民”宣讲小分队，利用周末时间发放宣传材料．第一周发放300份，第三周发放363份．若周平均增长率相同，设为x，依题意可列方程为　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 　 　 ． 三．解答题（共4小题） 13．已知关于x的一元二次方程a2x2+bx﹣2＝0（a≠0）． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求代数式8a2+4b的值． 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m﹣1＝0．若△ABC的一条边AC的长为，另两边AB，CB的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形？ 15．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤；若每斤降低1元，则可多售出60斤． 任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； 任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为 　 　 ． 16．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请判断关于x的方程x2﹣9x+18＝0 　 　 “倍根方程”．（填“是”或“不是”） （2）若关于x的方程（x﹣a+1）（x﹣1）＝0有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+4＝0时，此方程可化为（　　） A．（x﹣2）2＝0 B．（x+2）2＝0 C．（x﹣4）2＝8 D．（x+4）2＝20 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】通过配方将方程转化为完全平方形式，需根据一次项系数确定配方的常数项，并保持等式成立． 【解答】解：一元二次方程x2﹣4x+4＝0， 即（x﹣2）2＝0， 故选：A． 【点评】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 2．俗语“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”．其意思是：知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比均为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程是（　　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣x2＝50% D．1﹣2x＝50% 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据每天遗忘百分比x，两天后记得的知识量为（1﹣x）2，以此可列出方程． 【解答】解：根据题意可得：（1﹣x）2＝50%， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 3．一元二次方程﹣x2+4x＝﹣3的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝﹣3 C．x1x2＝﹣4 D．x1x2＝﹣3 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】需先将一元二次方程化为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系（两根之和为，两根之积为，其中a、b、c为一般形式ax2+bx+c＝0的系数，且a≠0判断选项即可． 【解答】解：原方程移项化为一般形式：﹣x2+4x+3＝0，两边同乘﹣1得x2﹣4x﹣3＝0， 此方程中a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， 根据根与系数的关系： ，． 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟练掌握该知识点是关键． 4．用配方法解一元二次方程x2﹣12x﹣5＝0，配方后得到（x﹣6）2＝m，则m的值是（　　） A．31 B．41 C．14 D．37 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【解答】解：原方程移项可得： ∴x2﹣12x＝5， 配方得：x2﹣12x+36＝5+36， 即（x﹣6）2＝41， ∴m＝41． 故选：B． 【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 5．已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根分别为a，b，则a+b﹣ab的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【解答】解：由条件可知，， ∴a+b﹣ab＝3﹣（﹣5）＝8． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和与两根之积的公式是解题关键． 6．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】C 【分析】设劳动基地中的道路宽为x米，根据种植面积为480平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设劳动基地中的道路宽为x米， 由题意得，（34﹣2x）（18﹣x）＝480， 整理得：x2﹣35x+66＝0， 解得：x1＝2，x2＝33（不符合题意，舍去）， 即劳动基地中的道路宽为2米， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．根据下列表格，判断一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0，a、b为常数）的一个解x的取值范围是（　　） x 2 3 4 5 6 ax2+bx﹣2 ﹣4 ﹣2 2 8 16 A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【考点】估算一元二次方程的近似解． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】B 【分析】函数y＝ax2+bx﹣2与x轴交点横坐标的范围就是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的解的范围． 【解答】解：观察表格中的数据，当x＝3时，函数值y＜0；当x＝4时，函数值y＞0，则当3＜x＜4时，存在x，使得y＝ax2+bx﹣2的函数值为0，由此可判断一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的范围为3＜x＜4． 故选：B． 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 二．填空题（共5小题） 8．近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件，设每个月平均增长率为x，则根据题意可列方程为　10（1+x）2＝14.4　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】10（1+x）2＝14.4． 【分析】设月平均增长率为x，十二月份的件数为10（1+x）2，然后列出方程即可． 【解答】解：设月平均增长率为x．去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件，设 根据题意可列方程为10（1+x）2＝14.4． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确记忆增长率问题可用公式a（1+x）2＝b列方程求解是解题关键． 9．已知关于x的一元二次方程ax2+ax﹣3a＝0的两根分别为x1、x2，则的值为　　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，将变形后代入数值计算即可． 【解答】解：由条件可知，， ∴， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 10．关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3m﹣3＝0在﹣2≤x≤2范围内有且只有一个根，则m的取值范围为　或　 ． 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】或． 【分析】本题需分两种情况讨论：一是方程有且只有一个实数根且在﹣2≤x≤2范围内；二是方程有两个不相等实数根，但只有一个根在﹣2≤x≤2范围内．通过判别式、二次函数对称轴的符号来求解m的取值范围． 【解答】解：情况一：方程只有一个解且在﹣2≤x≤2范围时， Δ＝m2+12m+12＝0， 解得， ∵， ∴﹣4≤m≤4， ∴， 情况二：当方程有两个不相等的实数根，且只有一个在﹣2≤x≤2的范围内时， Δ＝m2﹣4×（﹣3m﹣3）＝m2+12m+12＞0， 解得或， ∴，不等式组无解， 或 ，解得， ∴m取值范围或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系以及利用端点函数值符号判断根的分布是解题的关键． 11．小明参加“做文明市民”宣讲小分队，利用周末时间发放宣传材料．第一周发放300份，第三周发放363份．若周平均增长率相同，设为x，依题意可列方程为　300（1+x）2＝363　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】300（1+x）2＝363． 【分析】根据平均增长率模型，第三周发放量等于第一周发放量乘以（1+增长率）的平方． 【解答】解：第一周发放300份，第三周发放363份．若周平均增长率相同， 设周平均增长率为x，则第二周发放量为300（1+x）， 第三周发放量为300（1+x）2， 由题意第三周发放363份，故列方程为300（1+x）2＝363， 故答案为：300（1+x）2＝363． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 12．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 x＝2021　 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】x＝2021 【分析】结合已知条件得到x+2＝2022，求得x即可． 【解答】解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023， ∴关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根为x+2＝2023， 解得x＝2021． 故答案为：x＝2021． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到x+2＝2023是解题的难点． 三．解答题（共4小题） 13．已知关于x的一元二次方程a2x2+bx﹣2＝0（a≠0）． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求代数式8a2+4b的值． 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）证明：关于x的一元二次方程为a2x2+bx﹣2＝0（a≠0） 则Δ＝b2﹣4a2×（﹣2）＝b2+8a2， ∵a≠0， ∴△＝b2+8a2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）3． 【分析】（1）计算出一元二次方程的判别式，根据判别式的符号即可证明； （2）把方程的根2代入一元二次方程中，得到4a2+2b﹣2＝0，即有2a2+b＝1，再整体代入代数式中即可求得值． 【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程为a2x2+bx﹣2＝0（a≠0） 则Δ＝b2﹣4a2×（﹣2）＝b2+8a2， ∴△＝b2+8a2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由条件可知4a2+2b﹣2＝0， 即2a2+b＝1， ∴6a2+3b ＝3（2a2+b） ＝3×1 ＝3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，求代数式的值等知识，掌握这些知识是解题的关键． 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m﹣1＝0．若△ABC的一条边AC的长为，另两边AB，CB的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形？ 【考点】根与系数的关系；三角形三边关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】m＝4． 【分析】先利用一元二次方程的根与系数关系得到方程两根的和与积，再结合勾股定理将边长关系转化为关于m的方程，求解后需验证两根为正数，舍去不符合条件的解． 【解答】解：设AB，CB的长分别为x1，x2，则x1，x2是方程x2﹣（m+3）x+2m﹣1＝0的两个实数根， 根据根与系数关系得：， ∵△ABC是以AC为斜边的直角三角形，， ∴， 又∵，， ∴（m+3）2﹣2（2m﹣1）＝35， 解得m＝﹣6或m＝4， ∵AB，CB是三角形的边长， ∴x1＞0，x2＞0， ∴x1+x2＝m+3＞0，x1x2＝2m﹣1＞0， 当m＝﹣6时，x1+x2＝﹣6+3＝﹣3＜0，不符合题意，舍去； 当m＝4时，x1+x2＝4+3＝7＞0，x1x2＝2×4﹣1＝7＞0，符合题意， 即当m＝4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形． 【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 15．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤；若每斤降低1元，则可多售出60斤． 任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； 任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为 　（15﹣m﹣9）（200+60m）＝1450　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）草莓产量的年平均增长率为30%； （2）此时纸盒的高为10cm； （3）（15﹣m﹣9）（200+60m）＝1450． 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为hcm，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可； （3）若设每斤草莓降价m元，由题意得每斤草莓获利（15﹣m﹣9）元，每天可售出（200+60m）斤，根据日利润为1450元列方程即可． 【解答】解：（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： 10（1+x）2＝16.9， 解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为30%； （2）设此时纸盒的高为hcm，根据题意可得： （75﹣2h）（80﹣2h）＝3300， 解得h1＝10，（舍去）， 则此时纸盒的高为10cm； （3）若设每斤草莓降价m元，由日利润为1450元得（15﹣m﹣9）（200+60m）＝1450． 故答案为：（15﹣m﹣9）（200+60m）＝1450． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，年平均增长率，长方形的面积和营销问题，正确理解题意并列出方程是解题的关键． 16．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请判断关于x的方程x2﹣9x+18＝0 　是　 “倍根方程”．（填“是”或“不是”） （2）若关于x的方程（x﹣a+1）（x﹣1）＝0有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）是； （2）a的值为3或． 【分析】（1）通过解方程得到根，判断是否满足倍根关系． （2）根据因式分解形式直接得到根，结合有两个不等根和倍根条件求a的值． 【解答】解：（1）由条件可得（x﹣3）（x﹣6）＝0， ∴x1＝3，x2＝6， ∵x2＝2x1， ∴该方程是“倍根方程”， 故答案为：是． （2）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴a﹣1≠1， 即a≠2， 又∵该方程是“倍根方程”， ∴有两种情况：情况一：a﹣1＝2×1， ∴a﹣1＝2， ∴a＝3， 情况二：1＝2×（a﹣1）， ∴1＝2a﹣2， 2a＝3， ∴， 经检验，a＝3和均满足a≠2， ∴a的值为3或． 【点评】本题是阅读理解类题目，主要考查了解一元二次方程，解题的关键是读懂题意． 学科网（北京）股份有限公司 $