2026年中考数学二轮复习：一次函数

**基本信息** 聚焦一次函数核心考点，以题载法构建“概念-图像-应用”逻辑体系，通过分层训练培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与图像|选择1-5、填空11|k/b符号与图像象限关系、正比例函数性质|从定义（k≠0）到图像特征，构建“数-形”对应逻辑| |综合应用与几何|选择6-10、填空12-13、解答20|交点与方程组关系、面积分割转化、最短路径（垂线段/对称）|函数与几何融合，体现“代数推理+几何直观”思维链| |实际应用与建模|填空14-15、解答16-19|分段函数建模、行程/费用问题分析|从实际情境抽象函数关系，培养数据意识与应用能力|

2026年中考数学二轮复习：一次函数 一．选择题（共10小题） 1．一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 3．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 5．如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 6．如图，直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b分别与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，则不等式组的解集为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3或x＜﹣1 7．已知直线的图象如图所示．若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最大值，则y的最小值是（　　） A．4 B．3 C． D． 8．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 9．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝3；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　） A．yx B．yx C．yx D．yx 二．填空题（共5小题） 11．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为　 　 ． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 　 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝　 　 ． 14．A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发　 　 小时后和乙相遇． 15．直线y＝﹣x+m与y＝x+5的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞x+5＞0的整数解为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．已知，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点． （1）求三角形ABC的面积S△ABC； （2）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数； （3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值． 17．为了美化环境，建设宜居城市，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元． （1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式； （2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？ 18．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 19．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： （1）A、B两点之间的距离是　 　 米，甲机器人前2分钟的速度为　 　 米/分； （2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式； （3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为　 　 米/分； （4）求A、C两点之间的距离； （5）若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米． 20．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC． （1）求直线BD的解析式； （2）求△OFH的面积； （3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2026年中考数学二轮复习：一次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数的图象． 【专题】模型思想． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论． 【解答】解：在y＝﹣2x﹣1中， ∵﹣2＜0，﹣1＜0， ∴此函数的图象经过二、三、四象限， 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象在一、二、四象限是解答此题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）． 【答案】C 【分析】首先将点A的横坐标代入y＝x+3求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解． 【解答】解：∵直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b）， ∴当x＝﹣1时，b＝﹣1+3＝2， ∴点A的坐标为（﹣1，2）， ∴关于x、y的方程组的解是， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系． 3．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数的图象． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小， ∴k＜0， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限； ∵kb＜0， ∴b＞0， ∴图象与y轴的交点在x轴上方， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 4．已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【考点】正比例函数的定义；正比例函数的性质． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义得出m2﹣3＝1，m+1＜0，进而得出即可． 【解答】解：∵函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内， ∴m2﹣3＝1，m+1＜0， 解得：m＝±2， 则m的值是﹣2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义以及其性质，得出m+1的符号是解题关键． 5．如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【考点】正比例函数的图象． 【专题】函数及其图象． 【答案】D 【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案． 【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0， 再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c． 则b＞c＞a， 即a＜c＜b． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大 6．如图，直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b分别与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，则不等式组的解集为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3或x＜﹣1 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【专题】一次函数及其应用． 【答案】A 【分析】观察函数图象，写出直线y1＝k1x+b在x轴上方和直线y2＝k2x+b在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝k1x+b＝0，则x＞﹣1时，y1＝k1x+b＞0， 当x＝3时，y2＝k2x+b＝0，则x＜3时，y2＝k2x+b＞0， 所以当﹣1＜x＜3时，k1x+b＞0，k2x+b＞0， 即不等式组的解集为﹣1＜x＜3． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 7．已知直线的图象如图所示．若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最大值，则y的最小值是（　　） A．4 B．3 C． D． 【考点】一次函数的性质；一次函数的图象． 【专题】函数思想；应用意识． 【答案】C 【分析】读懂题意，根据图象分段找到y 的值应该属于那条直线上的部分，在从范围内找到最低点，求值即可． 【解答】解：过y1、y2 的交点作y轴的平行线l，过y2、y3的交点作y轴的平行线m， 由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示， ∴y的最小值是y2、y3交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得x，代入y2 或y3解析式求得y． 故选：C． 【点评】考查一次函数的图象与性质，关键要能灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况，找到符合题意的那一种． 8．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 【考点】正比例函数的性质． 【专题】计算题． 【答案】D 【分析】根据正比例函数图象所在象限，可判断出m、n的正负． 【解答】解：A、m＞0，n＞0，则A、B两点在同一象限，故A错误； B、m＞0，n＜0，则A、B两点不在同一个正比例函数，故B错误； C、m＜0，n＞0，则A、B两点不在同一个正比例函数，故C错误； D、m＜0，n＜0，则A、B两点在同一个正比例函数的不同象限，故D正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小． 9．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝3；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】一次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；几何直观；模型思想． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）． 【解答】解：∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，）， ∴方程组的解为， 故①正确； 把B（0，4），C（，）代入直线l1：y＝kx+b，可得 ，解得， ∴直线l1：y＝2x+4， 又∵直线l2：yx+m， ∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°， ∴△BCD为直角三角形， 故②正确； 把C（，）代入直线l2：yx+m，可得m＝1， yx+1中，令x＝0，则y＝1， ∴D（0，1）， ∴BD＝4﹣1＝3， 在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∴AO＝2， ∴S△ABD3×2＝3， 故③正确； 点A关于y轴对称的点为A'（2，0）， 设过点C，A'的直线为y＝ax+n，则 ，解得， ∴yx+1， 令x＝0，则y＝1， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）， 故④正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　） A．yx B．yx C．yx D．yx 【考点】一次函数综合题． 【答案】A 【分析】直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，根据待定系数法即可得到该直线l的解析式． 【解答】解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C， ∵正方形的边长为1， ∴OB＝3， ∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴三角形ABP面积是8÷2+1＝5， ∴BP•AB＝5， ∴AB＝2.5， ∴OA＝3﹣2.5＝0.5， 由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3） 设直线方程为y＝kx+b，则， 解得． ∴直线l解析式为yx． 故选：A． 【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作PB⊥y轴，作PC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABP面积是5，利用三角形的面积公式求出AB的长． 二．填空题（共5小题） 11．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为　　 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短． 【答案】 【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案． 【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB＝90°， 当PM⊥AB时，PM最短， 因为直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B， 可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3）， 在Rt△AOB中，AO＝4，BO＝3，AB5， ∵∠BMP＝∠AOB＝90°，∠B＝∠B，PB＝OP+OB＝7， ∴△PBM∽△ABO， ∴， 即：， 所以可得：PM． 【点评】本题主要考查了垂线段最短，以及三角形相似的性质与判定等知识点，是综合性比较强的题目，注意认真总结． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 　　 ． 【考点】待定系数法求一次函数解析式． 【专题】操作型；转化思想；待定系数法． 【答案】 【分析】延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．把将多边形OABCDE分割两个矩形，过两个矩形的对角线的交点的直线把多边形OABCDE分割成面积相等的两部分．而M点正是矩形ABFO的中心，求得矩形CDEF的中心N的坐标，设y＝kx+b，利用待定系数法求k，b即可． 【解答】解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N． 由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分． 又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以， 过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分． 于是，直线MN即为所求的直线l．设直线l的函数表达式为y＝kx+b，则 解得，故所求直线l的函数表达式为． 故答案为． 【点评】本题考查了一次函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），要有两组对应量确定解析式，即得到k，b的二元一次方程组．同时考查了不规则图形面积的平分方法；过矩形对角线交点的直线必平分它的面积． 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝　2　 ． 【考点】一次函数综合题． 【答案】2 【分析】只有过正方形对角线交点的直线，才能把正方形分成面积相等的两部分．点B的坐标为（4，4），则y＝mx﹣2经过点（2，2），代入直线解析式得m＝2． 【解答】解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分 ∴直线必经过正方形的中心 ∵点B的坐标为（4，4） ∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝2 【点评】本题用到的知识点为：过平行四边形对角线交点的直线，把平行四边形分成面积相等的两部分． 14．A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发　　 小时后和乙相遇． 【考点】一次函数的应用． 【专题】应用题． 【答案】 【分析】由图象得出解析式后联立方程组解答即可． 【解答】解：乙提高后的速度为：（20﹣2）÷（4﹣1﹣1）＝9， 由图象可得：y甲＝4t（0≤t≤5）；y乙； 由方程组，解得t． 故答案为． 【点评】此题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答． 15．直线y＝﹣x+m与y＝x+5的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞x+5＞0的整数解为　﹣3，﹣4　 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【答案】﹣3，﹣4 【分析】满足不等式﹣x+m＞x+5＞0就是直线y＝﹣x+m位于直线y＝x+5的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可求得整数解． 【解答】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝x+5的交点的横坐标为﹣2， ∴关于x的不等式﹣x+m＞x+5的解集为x＜﹣2， ∵y＝x+5＝0时，x＝﹣5， ∴x+5＞0的解集是x＞﹣5， ∴﹣x+m＞x+5＞0的解集是﹣5＜x＜﹣2， ∴整数解为﹣3，﹣4． 故答案为﹣3，﹣4． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，关键是根据不等式﹣x+m＞x+5＞0就是直线y＝﹣x+m位于直线y＝x+5的上方且位于x轴的上方的图象来分析． 三．解答题（共5小题） 16．已知，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点． （1）求三角形ABC的面积S△ABC； （2）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数； （3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值． 【考点】一次函数的性质；三角形的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先求出A、B两点的坐标，利用勾股定理得到AB的长，等腰Rt△ABC的面积为AB平方的一半； （2）三角形BOP的底边BO＝2，BO边上的高为P点的横坐标1，所以它的面积是一个常数1； （3）实际上给定△ABP的面积，求P点坐标．利用面积和差求△ABP的面积，注意要分类讨论． 【解答】解：（1）令中x＝0，得点B坐标为（0，2）； 令y＝0，得点A坐标为（3，0）． 由勾股定理可得， 所以S△ABC＝6.5； （2）不论a取任何实数，三角形BOP都可以以BO＝2为底，点P到y轴的距离1为高， 所以S△BOP＝1为常数； （3）当点P在第四象限时， 因为，S△BOP＝1， 所以， 即3a﹣1，解得a＝﹣3， 当点P在第一象限时， ∵S△ABO＝3，S△APOa，S△BOP＝1， ∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO， 即1a﹣3， 用类似的方法可解得． 【点评】掌握一次函数的性质，会求一次函数与两坐标轴的交点坐标；会用坐标表示线段；掌握用面积的和差表示不规则图形的面积． 17．为了美化环境，建设宜居城市，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元． （1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式； （2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？ 【考点】一次函数的应用． 【专题】分类讨论；待定系数法；一次函数及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可． （2）设甲种花卉种植为 am2，则乙种花卉种植（1200﹣a）m2，根据实际意义可以确定a的范围，结合种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少． 【解答】解：（1）y （2）设甲种花卉种植为 am2，则乙种花卉种植（1200﹣a）m2． 由题意得，， ∴200≤a≤800 当200≤a≤300时，W1＝130a+100（1200﹣a）＝30a+120000． 当a＝200 时．Wmin＝126000 元 当300＜a≤800时，W2＝80a+15000+100（1200﹣a）＝135000﹣20a． 当a＝800时，Wmin＝119000 元 ∵119000＜126000 ∴当a＝800时，总费用最少，最少总费用为119000元． 此时乙种花卉种植面积为1200﹣800＝400m2． 答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2 和400m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元． 【点评】本题是看图写函数解析式并利用解析式的题目，考查分段函数的表达式和分类讨论的数学思想． 18．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）的结论联立方程组解答即可； （3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可． 【解答】解：（1）设y甲＝k1x， 根据题意得4k1＝80，解得k1＝20， ∴y甲＝20x； 设y乙＝k2x+80， 根据题意得：12k2+80＝200， 解得k2＝10， ∴y乙＝10x+80； （2）解方程组 解得：， ∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元； （3）当y＝240时，y甲＝20x＝240， ∴x＝12； 当y＝240时，y乙＝10x+80＝240， 解得x＝16； ∵12＜16， ∴选择乙种更合算． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键． 19．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： （1）A、B两点之间的距离是　70　 米，甲机器人前2分钟的速度为　95　 米/分； （2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式； （3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为　60　 米/分； （4）求A、C两点之间的距离； （5）若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米． 【考点】一次函数的应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）结合图象得到A、B两点之间的距离，甲机器人前2分钟的速度； （2）根据题意求出点F的坐标，利用待定系数法求出EF所在直线的函数解析式； （3）根据一次函数的图象和性质解答； （4）根据速度和时间的关系计算即可； （5）分前2分钟、2分钟﹣3分钟、4分钟﹣7分钟三个时间段解答． 【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米， 甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2＝95米/分； （2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y＝kx+b， ∵1×（95﹣60）＝35， ∴点F的坐标为（3，35）， 则， 解得，， ∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝35x﹣70； （3）∵线段FG∥x轴， ∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分； （4）A、C两点之间的距离为70+60×7＝490米； （5）设前2分钟，两机器人出发x分钟相距28米， 由题意得，60x+70﹣95x＝28， 解得，x＝1.2， 前2分钟﹣3分钟，两机器人相距28米时， 35x﹣70＝28， 解得，x＝2.8． 4分钟﹣7分钟，直线GH经过点（4，35）和点（7，0）， 则直线GH的方程为yx， 当y＝28时，解得x＝4.6， 答：两机器人出发1.2分或2.8分或4.6分相距28米． 【点评】本题考查的是一次函数的综合运用，掌握待定系数法求一次函数解析式、正确列出一元一次方程、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 20．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC． （1）求直线BD的解析式； （2）求△OFH的面积； （3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题． 【专题】压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）解方程可求得OC、BC的长，可求得B、D的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式； （2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得△OFH的面积； （3）当△MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分∠MFD＝90°、∠MDF＝90°和∠FMD＝90°三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标． 【解答】解： （1）解方程x2﹣6x+8＝0可得x＝2或x＝4， ∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC， ∴BC＝2，OC＝4， ∴B（﹣2，4）， ∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的， ∴OD＝OC＝4，DE＝BC＝2， ∴D（4，0）， 设直线BD解析式为y＝kx+b， 把B、D坐标代入可得，解得， ∴直线BD的解析式为yx； （2）由（1）可知E（4，2）， 设直线OE解析式为y＝mx， 把E点坐标代入可求得m， ∴直线OE解析式为yx， 令xx，解得x， ∴H点到y轴的距离为， 又由（1）可得F（0，）， ∴OF， ∴S△OFH； （3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形， ∴△DFM为直角三角形， ①当∠MFD＝90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1， 由（2）可知OF，OD＝4， 则有△MOF∽△FOD， ∴，即，解得OM， ∴M（，0），且D（4，0）， ∴G（，0）， 设N点坐标为（x，y），则，0， 解得x，y，此时N点坐标为（，）； ②当∠MDF＝90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2， 则有△FOD∽△DOM， ∴，即，解得OM＝6， ∴M（0，﹣6），且F（0，）， ∴MGMF，则OG＝OM﹣MG＝6， ∴G（0，）， 设N点坐标为（x，y），则0，， 解得x＝﹣4，y，此时N（﹣4，）； ③当∠FMD＝90°时，则可知M点为O点，如图3， ∵四边形MFND为矩形， ∴NF＝OD＝4，ND＝OF， 可求得N（4，）； 综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，）或（﹣4，）或（4，）． 【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的性质等．在（1）中求得B、D坐标是解题的关键，在（2）中联立两直线求得H点的横坐标是解题的关键，在（3）中确定出M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较基础，难度适中． 学科网（北京）股份有限公司 $