2026年中考数学二轮复习：锐角三角函数

**基本信息** 以生活实践与几何综合为载体，构建"概念-推理-应用"三阶训练体系，强化三角函数工具性与模型思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|5题|定义转化、特殊角应用|从三角函数定义到直角三角形边角关系| |几何综合|7题|辅助线构造、方程思想|结合圆、等腰三角形等图形性质综合推理| |实际应用|8题|模型抽象、数据处理|将仰角俯角/坡度等实际问题转化为解直角三角形|

2026年中考数学二轮复习：锐角三角函数 一．选择题（共10小题） 1．“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，点N是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是5cm，∠P＝60°，正方形CDEF边长为2cm．所有正确结论的序号是（　　） ①无论不倒翁如何摇晃∠ANB的度数始终不变且为60°； ②； ③点P到CF的距离为； ④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为180°的扇形． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝3，点D在BC的延长线上，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，连接AE，则sin∠CAE的值是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，以A为圆心，AD长为半径作弧，与线段CD交于点E．若△ABD和△AEC的面积之比为3：1，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图为路桥区域局部示意图（各地点用点表示），中央山公园位于汽车南站的北偏东45°方向的4个单位长度处．若以汽车南站为原点建立平面直角坐标系，则中央山公园所在位置的坐标为（　　） A．（2，2） B． C． D． 5．如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD＝（　　） A． B． C． D． 6．九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方，它是由9个正方形组成的图案，如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC 的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（　　）米． A． B． C． D． 8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠B和∠C均为锐角，若c•cosB＝b•cosC，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 9．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角∠BAC＝130°，伞圈D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝30cm；如图2，伞完全收拢时，伞圈D滑动到D′的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度DD′可表示为（　　） A．60﹣30sin65° B．60﹣30cos65° C．60﹣60sin65° D．60﹣60cos65° 10．对于题目：“如图，∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OA上存在两点M，N，OM＝MN＝2，P为OB上一点，当△MNP为等腰直角三角形时，求tanα的值．”对于其答案，甲答：tanα＝1．乙答：tanα＝2．丙答：或．则正确的是（　　） A．只有甲答案对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 二．填空题（共5小题） 11．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，则点C离地面的高度升高了约　 　 cm．（结果保留整数，参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6） 12．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，以AB为边在AB上方作△ADB，使得，，连接CD，交AB于点E，则BE的长为　 　 ． 13．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，∠BAF＝2∠ACD，边AF与DC的延长线相交于点F，BC的延长线与AF相交于点M，过点C作CE⊥AF于点E．若CE＝1，CD＝2，则tanF＝　 　 ． 14．在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG，若正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为17：9，则tan∠EGD＝　 　 ． 15．如图，△ABC与△EBD均为直角三角形，∠ABC＝∠EBD＝90°，AB＝6，BC＝3，EB＝2，射线AE与直线CD交于点P．若AB∥ED，则tan∠PAC的值为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．跳台滑雪要想取得好成绩，运动员必须在起跳阶段获得足够快的速度，因此大跳台需搭建到一定的高度．如图1所示的首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上首个与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，也是世界首例永久性保留并投入使用的滑雪大跳台场馆．其跳台整体造型设计，融入了中国世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，AC为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由CD，DE，EB三段组成（其中DE平行于地面AB）．数学兴趣小组测得BE＝20m，DE＝60m，∠B＝45°，∠CDE＝145°，从E处看C的仰角为20°（即∠CED＝20°），请你根据兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点C离地面AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，．） 17．南宁市某中学九年级学生在课外实践活动中，要利用测角仪测量青山塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6米，CD的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（结果保留个位） （参考数据：tan27°≈0.5， 18．项目式学习 背景：位于山西大同的魁星楼作为晋北地区极具代表性的明清古建筑，不仅承载着当地崇文重教的文化传统，还是市民日常游览打卡的地标．为深化对古建筑的保护与研究，同时落实数学学科实践育人的要求，特开展本次项目式学习． 项目主题 魁星楼高度的测量与计算 活动过程 测量工具 测距仪、测角仪等 方案说明 1．在点C处用测角仪（CD）测出点A的仰角∠ADG； 2．从点C面向魁星楼行进一定距离到达点F，用测距仪测出C，F两点间的距离； 3．在点F处用测角仪（EF）测出点A的仰角∠AEG． 说明：B，F，C与D，E，G分别在同一水平直线上，A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内 数据记录 ∠ADG＝37°，∠AEG＝45°，CD＝EF＝1.5m，CF＝10.5m 计算 … 交流展示 … 请根据以上信息，计算魁星楼的高度AB（结果精确到1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 19．如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝15cm，∠ABC＝37°． （1）在图2中，∠BCD＝　 　 ； （2）靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若乘客水杯FG竖直放在杯托E处（F与E重合，水杯FG宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小于0.6cm． ①∠ACD＝　 　 °； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，， 20．在很多景区，我们都可以看到类似图①这种凉亭，供游人休憩，小明想利用太阳光线与地面的夹角来测量凉亭顶点A到地面的距离．如图②，已知∠BAC＝120°，AB＝AC，且B，C两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为2.8m，当太阳光恰好能照射到石桌中心点E处，此时太阳光与桌面的夹角为53°．已知石桌位于凉亭正中心（即A，E，D三点共线），高度DE为0.5m，M，N为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内），求凉亭顶点A到地面的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，1.73） 2026年中考数学二轮复习：锐角三角函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，点N是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是5cm，∠P＝60°，正方形CDEF边长为2cm．所有正确结论的序号是（　　） ①无论不倒翁如何摇晃∠ANB的度数始终不变且为60°； ②； ③点P到CF的距离为； ④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为180°的扇形． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点】解直角三角形的应用；简单组合体的三视图；由三视图判断几何体；三角形的重心；勾股定理的应用；圆周角定理；切线的性质；圆锥的计算；轴对称图形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】①设圆心为O，连接OA，OB，根据切线的性质求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理可得出∠ANB的度数，则可判断正误；②先证得PO平分∠APB，则有，再根据锐角三角函数解直角三角形即可求得AP，BP的长度；③利用垂径定理求得点O到DE的距离，取DE的中点Q，CF的中点为M，点P到CF的距离为PM＝PO+OQ﹣DM，计算出长度即可；④分别求出圆锥底面半径，圆锥的母线长，圆锥底面周长，再根据弧长公式求展开图扇形的圆心角即可判断． 【解答】解：①如图1，设圆心为O，连接NA，NB，OP，OA，OB， ∵PA，PB分别与所在圆相切于点A，B， ∴OB⊥PB，OA⊥PA， ∵∠APB＝60°，∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴圆心角∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°． 由图可知点N一直在优弧AB上， ∴，故①正确； ②∵OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB， ∴PO平分∠APB， ∴， ∵OA＝5cm，则， 同理，． ∴，故②正确； ③如图2，取DE的中点Q，CF的中点为M， ∵∠APO＝30°，OA＝5cm， ∴OP＝2OA＝10cm， 正方形CDEF边长为2cm，底部居中放置，其中心在对称轴上，则点Q，M，O，P都在对称轴上， ∴点P到CF的距离即PM的长度， ∵， ∴． ∴PM＝PO+OQ﹣QM＝10+22＝（8+2）cm，故③错误； ④如图， 圆锥的母线长， 设圆锥底面圆心为O′，且在PO上， ∴． ∴圆锥底面周长， ∴，， ∴展开图是圆心角为180°的扇形，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号是①②④． 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质，正方形 到现在，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝3，点D在BC的延长线上，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，连接AE，则sin∠CAE的值是（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】如图，延长BA到M，过点A作AH⊥BC于点H．证明∠EAC＝∠ACB，求出sin∠ACB可得结论． 【解答】解：如图，延长BA到M，过点A作AH⊥BC于点H． ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝HCBC， ∴AH， ∴sin∠ACB， ∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点E， ∴AE平分∠MAC， ∴∠MAE＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴sin∠EAC＝sin∠ACB． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 3．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，以A为圆心，AD长为半径作弧，与线段CD交于点E．若△ABD和△AEC的面积之比为3：1，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理． 【答案】C 【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．由△ABD和△AEC的面积之比为3：1，推出BD＝3CE，设CE＝k，则BD＝3k，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出AH，BH可得结论． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H． ∵△ABD和△AEC的面积之比为3：1， ∴BD＝3CE， 设CE＝k，则BD＝3k， ∵AD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴AD＝DB＝DC＝3k， ∴DE＝DC﹣CE＝2k， ∵AD＝AE，AH⊥DE， ∴DH＝HE＝k， ∴BH＝4k，AH2k， ∴tanB． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 4．如图为路桥区域局部示意图（各地点用点表示），中央山公园位于汽车南站的北偏东45°方向的4个单位长度处．若以汽车南站为原点建立平面直角坐标系，则中央山公园所在位置的坐标为（　　） A．（2，2） B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】过A点作AE⊥x轴于E，利用等腰直角三角形得出点A的坐标即可． 【解答】解：过A点作AE⊥x轴于E， 由题意可知，OA＝4，∠AOE＝90°﹣45°＝45°， ∴OE＝AE＝2， ∴A（2，2）， 即 则中央山公园所在位置的坐标为（2，2）， 故选：C． 【点评】此题考查直角三角形，关键是利用等腰直角三角形得出点A的坐标解答． 5．如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD＝（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】如图，取格点J，连接AJ，BJ．利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明∠A＝90°，再证明∠AMD＝∠ABJ可得结论． 【解答】解：如图，取格点J，连接AJ，BJ． ∵DJ＝BC，DJ∥BC， ∴四边形DJBC是平行四边形， ∴CD∥BJ， ∴∠AMD＝∠ABJ， ∵AB，AJ＝2，BJ5， ∴AB2+AJ2＝BJ2， ∴∠A＝90°， ∴sin∠AMD＝sin∠ABJ． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 6．九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方，它是由9个正方形组成的图案，如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC 的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；模型思想． 【答案】B 【分析】取格点D，连接BD，利用勾股定理求出AB，AD，BD的长，利用正弦的定义，进行计算即可． 【解答】解：设小正方形的边长为1，取格点D，连接BD， 如图： 由勾股定理得， AD2＝22+22＝4+4＝8， BD2＝12+12＝2， AB2＝12+32＝10， ∵8+2＝10， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， ∵AB，BD， ∴sin∠BAC． 故选：B． 【点评】本题考查网格中计算三角函数值．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（　　）米． A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】B 【分析】如图，根据矩形的性质得到DE＝CF，得到AE＝DE2（米），求得CF＝2米，得到BF＝4米，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图， ∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB， ∴四边形CDEF是矩形， ∴DE＝CF， ∵扶梯AD的坡比为1：1， ∴1， ∴AE＝DE2（米）， ∴CF＝2米， ∵滑梯BC的坡比为1：2， ∴， ∴BF＝4米， ∴BC2（米）， 答：滑梯CB的长为2米． 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答中涉及勾股定理，理解题意，掌握坡度的含义，熟练运用勾股定理是解题的关键． 8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠B和∠C均为锐角，若c•cosB＝b•cosC，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【考点】解直角三角形；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；等腰直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】先根据∠B和∠C均为锐角判断∠A，再分类讨论．当A为锐角、钝角时，过点A作AD⊥BC，利用直角三角形的边角间关系、c•cosB＝b•cosC及等腰三角形的判定得结论． 【解答】解：△ABC中， ∵∠B和∠C均为锐角， ∴∠A可能是直角、钝角、锐角． 当∠A是直角时，如图一所示： ∵cosB，cosC， c•cosB＝b•cos C， ∴c•b•，即c2＝b2． ∵b、c均为正数， ∴c＝b． ∴三角形为等腰直角三角形； 当∠A为锐角或钝角三角形时，如图二所示： 过点A作AD⊥BC，垂足为D． ∵cosB，cosC，c•cosB＝b•cos C， ∴c•b•，即BD＝CD． ∵AD⊥BC， ∴AB＝AC． ∴三角形为等腰三角形． 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、等腰三角形的边角间关系是解决本题的关键． 9．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角∠BAC＝130°，伞圈D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝30cm；如图2，伞完全收拢时，伞圈D滑动到D′的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度DD′可表示为（　　） A．60﹣30sin65° B．60﹣30cos65° C．60﹣60sin65° D．60﹣60cos65° 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】连接EF交AD于点M，根据AE＝AF＝DE＝DF＝30cm，得到四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质可知△AEM是直角三角形且∠EAM＝65°，根据余弦的定义可得AM＝30cos65°，根据菱形的定义可知AD＝2AM＝60cos65°，再根据DD′＝AD′﹣AD，即可得出结果． 【解答】解：如图所示，连接EF交AD于点M， ∵AE＝AF＝DE＝DF＝30cm， ∴四边形AEDF是菱形， ∴，EM⊥AD， ∵∠BAC＝130°， ∴∠EAM＝65°， 在Rt△AEM中，， ∴， ∴AM＝30cos65°， ∴AD＝2AM＝60cos65°， 由题意：AD′＝AE+D′E＝30+30＝60， ∴在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度DD′＝AD′﹣AD＝60﹣60cos65°； 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．对于题目：“如图，∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OA上存在两点M，N，OM＝MN＝2，P为OB上一点，当△MNP为等腰直角三角形时，求tanα的值．”对于其答案，甲答：tanα＝1．乙答：tanα＝2．丙答：或．则正确的是（　　） A．只有甲答案对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【考点】解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形． 【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力． 【答案】C 【分析】依题意，当△MNP为等腰直角三角形时，有以下三种情况：①当∠PMN＝90°时，则PM＝MN＝OM＝2，此时tanα1；②当∠PNM＝90°时，则PN＝MN＝2，MN＝4，此时tanα；③当∠MPN＝90°时，过点P作PH⊥OA于点H，则PH＝MH＝NHMN＝1，OH＝3，此时tanα；综上所述即可得出答案． 【解答】解：依题意，当△MNP为等腰直角三角形时，有以下三种情况： ①当∠PMN＝90°时，如图1所示： ∵△MNP为等腰直角三角形， ∴PM＝MN， ∵OM＝MN＝2， ∴PM＝OM＝2， 在Rt△OPM中，tanα1； ②当∠PNM＝90°时，如图2所示： ∵△MNP为等腰直角三角形， ∴PN＝MN， ∵OM＝MN＝2， ∴PN＝MN＝2，MN＝OM+MN＝4， 在Rt△OPM中，tanα； ③当∠MPN＝90°时，过点P作PH⊥OA于点H，如图2所示： ∵△MNP为等腰直角三角形， ∴PH＝MH＝NHMN， ∵OM＝MN＝2， ∴PH＝MH＝NHMN＝1， ∴OH＝OM+MH＝3， 在Rt△OPM中，tanα； 综上所述：甲、丙答案合在一起才完整． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，则点C离地面的高度升高了约　16　 cm．（结果保留整数，参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6） 【考点】解直角三角形的应用；三角形的稳定性；多边形． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】16． 【分析】如图，延长BC与底面交于点K，过点D作DQ⊥CK于点Q，则四边形DHKQ为矩形，可得QK＝DH＝208，证明四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，当∠GAE＝60°时，则∠QCD＝∠QBA＝∠GAE＝60°，此时∠CDQ＝30°，CQ＝288﹣208＝80，CD＝2CQ＝160，当∠GAE＝54°时，则∠QCD＝∠QBA＝∠GAE＝54°，CQ＝CD•cos54°≈160×0.6＝96，即可求解． 【解答】解：如图，延长BC与底面交于点K，过点D作DQ⊥CK于点Q，则四边形DHKQ为矩形， ∴QK＝DH＝208， ∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 当∠GAE＝60°时，则∠QBA＝∠GAE＝∠QCD＝60°， 此时CQ＝288﹣208＝80（cm），∠CDQ＝30°， ∴CD＝2CQ＝160（cm）， 当∠GAE＝54°时，则∠QCD＝∠QBA＝∠GAE＝54°， ∴CQ＝CD•cos54°≈160×0.6＝96， 而96＞80，96﹣80＝16， ∴点C离地面的高度升高了约16cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，以AB为边在AB上方作△ADB，使得，，连接CD，交AB于点E，则BE的长为　　 ． 【考点】解直角三角形；等边三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】． 【分析】过D点作DF⊥AB于F点，过C点作CG⊥AB于G点，先通过三角函数以及勾股定理求出BF，DF的长，然后根据等边三角形三线合一及勾股定理求出BG，CG，再证得△DFE∽△CGE，最后利用比例式计算即可． 【解答】解：△ABC是边长为12的等边三角形，以AB为边在AB上方作△ADB， 过D点作DF⊥AB于F点，过C点作CG⊥AB于G点， ∴DF∥CG，△DBF为直角三角形， ∴， ∴， ∵BD2＝DF2+BF2，， ∴， ∴BF＝1（负值已舍）， ∴， ∵CG⊥AB， ∴，， ∵DF∥CG， ∴△DFE∽△CGE， ∴， 设BE＝x，则EF＝BE﹣BF＝x﹣1，EG＝BG﹣BE＝6﹣x， ∴， 解得． 【点评】本题考查解直角三角形，正确进行计算是解题关键． 13．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，∠BAF＝2∠ACD，边AF与DC的延长线相交于点F，BC的延长线与AF相交于点M，过点C作CE⊥AF于点E．若CE＝1，CD＝2，则tanF＝　　 ． 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】先求得CM平分∠ECF，作MN⊥CF于点N，证明Rt△CMN≌Rt△CME（HL），求得CN＝CE＝1，ND＝3，再证明△FMN∽△FAD，求得FN＝ND＝3，在Rt△CEF中，解直角三角形即可求解． 【解答】解：在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，∠BAF＝2∠ACD，边AF与DC的延长线相交于点F，BC的延长线与AF相交于点M， ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵CE⊥AF， ∴∠CEF＝∠ADF＝90°， ∵∠F＝∠F，∠BAF＝2∠ACD， ∴∠ECF＝∠BAF＝2∠ACD＝∠ACB， 又∠ACD＝∠BCD＝∠MCF， ∴∠ECM＝∠MCF，即CM平分∠ECF， 作MN⊥CF于点N， ∵CE⊥AF，MN⊥CF， ∴MN＝ME， ∵CM＝CM， ∴Rt△CMN≌Rt△CME（HL）， ∴CN＝CE＝1， ∴ND＝3， ∵MN⊥CF，CD⊥AB， ∴MN∥BD， ∴△CMN∽△CBD， ∴，即， ∴AD＝BD＝2MN， ∵MN∥AD， ∴△FMN∽△FAD， ∴，即， ∴FD＝2FN， ∴FN＝ND＝3， ∴FC＝4， 在Rt△CEF中，CE＝1，FC＝4， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了求角的正切值，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 14．在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG，若正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为17：9，则tan∠EGD＝　　 ． 【考点】解直角三角形；勾股定理的证明． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】根据题意，先表示出两个正方形的边长，再利用三角函数和勾股定理，分别求出DM，GM，利用锐角三角函数求出结果． 【解答】解：∵正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为17：9， ∴正方形ABCD与正方形EFGH的边长之比为：3， 如图，令ADa，EF＝3a， ∵赵爽弦图， ∴AF＝DE， 设AF＝DE＝x，则DF＝EF+DE＝3a+x， ∵在Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2， ∴x2+（3a+x）2＝17a2， ∴x＝a，x＝﹣4a（舍去）， ∴AF＝DE＝a， 如图，过D点作DM⊥GE于点M， ∵正方形EFGH，EF＝3a， ∴∠GEH＝45°，EG3a， ∴∠MED＝45°， ∴在Rt△MED中，DM＝DE•sin∠MED， ∴ME＝DMa， ∴MG＝ME+EG， ∴在Rt△GFD中，tan∠EGD． 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 15．如图，△ABC与△EBD均为直角三角形，∠ABC＝∠EBD＝90°，AB＝6，BC＝3，EB＝2，射线AE与直线CD交于点P．若AB∥ED，则tan∠PAC的值为　　 ． 【考点】解直角三角形；勾股定理． 【专题】解直角三角形及其应用；推理能力． 【答案】． 【分析】令BC交ED于点N，过点E作EM⊥AB，则EM＝BN，BM＝EN，则，可得△PED，△CND，△AME，都是等腰直角三角形，则，，即可求解． 【解答】解：如图，令BC交ED于点N，过点E作EM⊥AB，则EM＝BN，BM＝EN， 由勾股定理可得， ∵AB∥ED， ∴BN⊥DE， ∴， ∴CN＝BC﹣BN＝3﹣2＝1，， ∴CN＝DN， ∴∠PDE＝45°， ∵EM＝BN＝2，BM＝EN＝4， ∴AM＝2， ∴AM＝EM， ∴∠EAB＝45°， ∴∠PED＝∠EAB＝45°， ∴△PED，△CND，△AME，都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 三．解答题（共5小题） 16．跳台滑雪要想取得好成绩，运动员必须在起跳阶段获得足够快的速度，因此大跳台需搭建到一定的高度．如图1所示的首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上首个与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，也是世界首例永久性保留并投入使用的滑雪大跳台场馆．其跳台整体造型设计，融入了中国世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，AC为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由CD，DE，EB三段组成（其中DE平行于地面AB）．数学兴趣小组测得BE＝20m，DE＝60m，∠B＝45°，∠CDE＝145°，从E处看C的仰角为20°（即∠CED＝20°），请你根据兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点C离地面AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，．） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】大跳台最高点C离地面AB的高度约为59m． 【分析】连接CE，过点C作CM⊥AB于M，过点E作EN⊥AB于N，延长ED交CM于P，则四边形PMNE是矩形，先求出，设PC＝xm，根据三角函数的定义，得出，，利用DE＝60m，即可得出关于x的方程，解方程求出x的值，进而可得答案． 【解答】解：数学兴趣小组测得BE＝20m，DE＝60m，∠B＝45°，∠CDE＝145°，从E处看C的仰角为20°（即∠CED＝20°）， 如图，连接CE，过点C作CM⊥AB于M，过点E作EN⊥AB于N，延长ED交CM于P， ∵DE平行于地面AB， ∴∠PEN＝∠ENM＝∠PMN＝90°， ∴四边形PMNE是矩形， ∴PM＝EN，∠CPE＝90°， ∵在Rt△ENB中，∠B＝45°，BE＝20m， ∴， ∵∠CDE＝145°， ∴∠CDP＝180°﹣∠CDE＝35°， 设PC＝xm， ∵在Rt△CPD中，， ∴， ∵在Rt△CPE中，∠CED＝20°，， ∴， ∵DE＝PE﹣PD＝60m， ∴， 解得x≈44.5， ∴， 答：大跳台最高点C离地面AB的高度约为59m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 17．南宁市某中学九年级学生在课外实践活动中，要利用测角仪测量青山塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6米，CD的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（结果保留个位） （参考数据：tan27°≈0.5， 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】（1）DE的长为3米； （2）塔AB的高度约为11米． 【分析】（1）根据已知易得：在Rt△CDE中，tan∠DCE，从而可得∠DCE＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DE＝AF＝3米，DF＝AE，然后设AC＝x米，则DF＝AE＝（3x）米，分别在Rt△ACB和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB和BF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵CD的坡度为， ∴， 在Rt△CDE中，tan∠DCE， ∴∠DCE＝30°， ∴DECD＝3（米）， ∴CEDE＝3（米）， ∴DE的长为3米； （2）过点D作DF⊥AB，垂足为F， 由题意得：DE＝AF＝3米，DF＝AE， 设AC＝x米， ∵CE＝3米， ∴DF＝AE＝CE+AC＝（3x）米， 在Rt△ACB中，∠ACB＝45°， ∴AB＝AC•tan45°＝x（米）， 在Rt△ABD中，∠FDB＝27°， ∴BF＝DF•tan27°≈0.5（3x）米， ∵AB＝BF+AF， ∴x＝0.5（3x）+3， 解得：x＝6+3， ∴AB＝6+311（米）， ∴塔AB的高度约为11米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．项目式学习 背景：位于山西大同的魁星楼作为晋北地区极具代表性的明清古建筑，不仅承载着当地崇文重教的文化传统，还是市民日常游览打卡的地标．为深化对古建筑的保护与研究，同时落实数学学科实践育人的要求，特开展本次项目式学习． 项目主题 魁星楼高度的测量与计算 活动过程 测量工具 测距仪、测角仪等 方案说明 1．在点C处用测角仪（CD）测出点A的仰角∠ADG； 2．从点C面向魁星楼行进一定距离到达点F，用测距仪测出C，F两点间的距离； 3．在点F处用测角仪（EF）测出点A的仰角∠AEG． 说明：B，F，C与D，E，G分别在同一水平直线上，A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内 数据记录 ∠ADG＝37°，∠AEG＝45°，CD＝EF＝1.5m，CF＝10.5m 计算 … 交流展示 … 请根据以上信息，计算魁星楼的高度AB（结果精确到1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；推理能力． 【答案】魁星楼的高度AB约为33m． 【分析】先证AG＝EG，设AG＝EG＝x，则DG＝x+10.5利用，，据此求解即可． 【解答】解：由题意，得四边形CDEF和四边形BCDG均为矩形， ∴∠BGD＝90°，DE＝CF＝10.5，BG＝CD＝1.5． ∴∠AGD＝90°． ∵∠AEG＝45°， ∴∠GAE＝45°， ∴AG＝EG． 设AG＝EG＝x，则DG＝x+10.5． 在Rt△ADG中，∠ADG＝37°， ∴， ∴， 解得x＝31.5． ∴AG＝31.5． ∴AB＝AG+BG＝33（m）． 答：魁星楼的高度AB约为33m． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝15cm，∠ABC＝37°． （1）在图2中，∠BCD＝　127°　 ； （2）靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若乘客水杯FG竖直放在杯托E处（F与E重合，水杯FG宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小于0.6cm． ①∠ACD＝　53　 °； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，， 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】（1）127°； （2）①53°； ②乘客水杯的最大高度约为20﹣1+0.7＝19.7（cm）． 【分析】（1）过点B作BF∥CD，由平行线的性质得出∠BCD+∠CBF＝180°，由已知条件得出∠CBF＝57°，进而可求出∠BCD； （2）①根据题意可知∠ACD＝180°﹣∠BCD代入计算即可； ②过点E作CD的垂线交AB于点F，过点G作GH⊥CF于点H．求出EF，GF，再加上0.7cm减去1cm即可求出答案． 【解答】解：（1）过点B作BF∥CD， ∴∠CBF+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝37°， ∴∠CBF＝90°﹣37°＝53°， ∴∠BCD＝180°﹣53°＝127°， 故答案为：127°； （2）①当靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置， 由（1）知∠BCD＝127°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BCD＝53°， 故答案为：53°； ②如图，过点E作CD的垂线交AB于点F，过点G作GH⊥CF于点H． 在Rt△CEF中，EF＝CEtan∠FCE＝15×tan53°≈1520（cm）， 在Rt△FGH中，FG1（cm） 乘客水杯的最大高度约为20﹣1+0.7＝19.7（cm）． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．在很多景区，我们都可以看到类似图①这种凉亭，供游人休憩，小明想利用太阳光线与地面的夹角来测量凉亭顶点A到地面的距离．如图②，已知∠BAC＝120°，AB＝AC，且B，C两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为2.8m，当太阳光恰好能照射到石桌中心点E处，此时太阳光与桌面的夹角为53°．已知石桌位于凉亭正中心（即A，E，D三点共线），高度DE为0.5m，M，N为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内），求凉亭顶点A到地面的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，1.73） 【考点】解直角三角形的应用；线段垂直平分线的性质． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】凉亭顶点A到地面的距离约为3.2m． 【分析】连接AE，BC交于点O，先计算OB的长度，再计算OE＝OB•tan∠OBE，，然后求出AD即可． 【解答】解：石桌位于凉亭正中心（即A，E，D三点共线），高度DE为0.5m，M，N为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内） 如图，连接AE，BC交于点O， 则AE⊥BC，BC∥MN， ∴∠OBE＝53°， ∵AB＝AC， ∴，， 在Rt△AOB中，， 在Rt△OBE中，OE＝OB•tan∠OBE， ∴（m）． 答：凉亭顶点A到地面的距离约为3.2m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $