2026年中考数学二轮复习：反比例函数

**基本信息** 以题载法构建反比例函数解题体系，融合几何直观与代数推理，覆盖概念理解、性质应用及综合拓展。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|10题|k的几何意义、交点坐标求法、性质判定|从定义到性质，从单一函数到与一次函数综合| |填空|5题|规律探究、图形面积转化、参数计算|从基础计算到动态几何，渗透数形结合思想| |解答|5题|函数建模、面积最值、综合证明|从方程应用到代数推理，培养模型意识与运算能力|

2026年中考数学二轮复习：反比例函数 一．选择题（共10小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC＝1，tan∠BOC，则k2的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 2．如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y（x＞0）上，连接OB、OE、BE，则S△OBE的值为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 3．如图，在平面直角坐标系中，函数y（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（　　） A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1 5．已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线y与边BC交于点D、与对角线OB交于中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（　　） A．10 B．5 C． D． 6．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y的图象恰好经过点M，则k的值为（　　） A． B． C． D．12 8．如图，点A是反比例函数（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 9．对于函数y，下列说法错误的是（　　） A．这个函数的图象位于第一、第三象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 10．如图，两个反比例函数y1和y2在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．2 C．1 D．6 二．填空题（共5小题） 11．如图是三个反比例函数y，y，y在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为 　 　 ． 12．函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，则m＝　 　 ． 13．如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn，则S1＝　 　 ，Sn＝　 　 ．（用含n的代数式表示） 14．如图，点P、Q是反比例函数y图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1　 　 S2．（填“＞”或“＜”或“＝”） 15．如图，点A在双曲线y的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD． （1）求∠P的度数及点P的坐标； （2）求△OCD的面积； （3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数y图象上的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点． （1）m＝　 　 ，点C的坐标为　 　 ； （2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值． 19．如图，A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D． （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1﹣y2＞0？ （2）求一次函数解析式及m的值； （3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标． 20．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 　 　 象限内交点的坐标． （2）画出函数图象 函数y（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x． （3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象 ①当直线平移到与函数y（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 　 　 ； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围． （4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 　 　 ． 2026年中考数学二轮复习：反比例函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC＝1，tan∠BOC，则k2的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【答案】D 【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论． 【解答】解：∵直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，2）， ∴OC＝2， ∵S△OBC＝1， ∴BD＝1， ∵tan∠BOC， ∴， ∴OD＝3， ∴点B的坐标为（1，3）， ∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B， ∴k2＝1×3＝3． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标，难度不大． 2．如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y（x＞0）上，连接OB、OE、BE，则S△OBE的值为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】反比例函数及其应用． 【答案】A 【分析】连接CE．只要证明CE∥OB，推出S△OBE＝S△OBC，即可解决问题； 【解答】解：连接CE． ∵四边形ABCO，四边形DEFC都是正方形， ∴∠ECF＝∠BOC＝45°， ∴CE∥OB， ∴S△OBE＝S△OBC， ∵BC＝OC，点B在y上， ∴BC＝OC＝2， ∴S△OBE2×2＝2， 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，在平面直角坐标系中，函数y（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；模型思想；应用意识． 【答案】C 【分析】根据函数的关系式可求出交点坐标，进而确定a、b的值，代入计算即可． 【解答】解： 法一：由题意得， ，解得，或（舍去）， ∴点P（，）， 即：a，b， ∴； 法二：由题意得， 函数y（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b）， ∴ab＝4，b＝a﹣1， ∴； 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是正确计算的前提． 4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（　　） A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1 【考点】反比例函数的性质． 【专题】模型思想． 【答案】B 【分析】反比例函数y（k≠0，k为常数）中，当k＞0时，双曲线在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小判定则可． 【解答】解：∵k＝2＞0， ∴函数为减函数， 又∵x1＞0＞x2， ∴A，B两点不在同一象限内， ∴y2＜0＜y1； 故选：B． 【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握． 5．已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线y与边BC交于点D、与对角线OB交于中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（　　） A．10 B．5 C． D． 【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【答案】D 【分析】设E点的坐标是（x，y），根据E是OB的中点，得到B点的坐标，求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出k． 【解答】解：设E点的坐标是（x，y）， ∵E是OB的中点， ∴B点的坐标是（2x，2y）， 则D点的坐标是（，2y）， ∵△OBD的面积为10， ∴（2x）×2y＝10， 解得，k， 故选：D． 【点评】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 6．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【考点】反比例函数综合题． 【专题】压轴题． 【答案】C 【分析】分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC＝BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD＝OE＝a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB＝S梯形ADEB﹣S△AOD﹣S△BOE求解． 【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E， ∵AC＝CB， ∴OD＝OE， 设A（﹣a，），则B（a，）， 故S△AOB＝S梯形ADEB﹣S△AOD﹣S△BOE（）×2aaa3． 解法二：过A，B两点作y轴的垂线，由AC＝BC求两个三角形全等，再求面积， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的综合运用，关键是作辅助线构造直角梯形，根据AC＝BC，得出OC为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y的图象恰好经过点M，则k的值为（　　） A． B． C． D．12 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质． 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【答案】B 【分析】过点M作MH⊥OB于H．首先利用相似三角形的性质求出△OBM的面积＝9，再证明OHOB，求出△MOH的面积即可． 【解答】解：过点M作MH⊥OB于H． ∵AD∥OB， ∴△ADM∽△BOM， ∴（）2， ∵S△ADM＝4， ∴S△BOM＝9， ∵DB⊥OB，MH⊥OB， ∴MH∥DB， ∴， ∴OHOB， ∴S△MOHS△OBM， ∵， ∴k， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是求出△OMH的面积． 8．如图，点A是反比例函数（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【专题】计算题；模型思想；应用意识． 【答案】C 【分析】作AH⊥OB于H，根据平行四边形的性质得AD∥OB，则S平行四边形ABCD＝S矩形AHOD，再根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S矩形AHOD＝6，所以有S平行四边形ABCD＝6． 【解答】解：作AH⊥OB于H，如图， ∵四边形ABCD是平行四边形ABCD， ∴AD∥OB， ∴S平行四边形ABCD＝S矩形AHOD， ∵点A是反比例函数（x＜0）的图象上的一点， ∴S矩形AHOD＝|﹣6|＝6， ∴S平行四边形ABCD＝6． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 9．对于函数y，下列说法错误的是（　　） A．这个函数的图象位于第一、第三象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【考点】反比例函数的性质． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质：对于反比例函数y，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大解答即可． 【解答】解：函数y的图象位于第一、第三象限，A正确； 图象既是轴对称图形又是中心对称图形，B正确； 当x＞0时，y随x的增大而减小，C错误； 当x＜0时，y随x的增大而减小，D正确， 由于该题选择错误的，故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，掌握对于反比例函数y，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大是解题的关键． 10．如图，两个反比例函数y1和y2在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．2 C．1 D．6 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的图象；反比例函数的性质． 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可． 【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B， ∴， ∴S△POB＝2﹣1＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 二．填空题（共5小题） 11．如图是三个反比例函数y，y，y在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为 k1＜k2＜k3 ． 【考点】反比例函数的图象． 【答案】k1＜k2＜k3 【分析】本题考查反比例函数与的图象特点． 【解答】解：读图可知：三个反比例函数y的图象在第二象限；故k1＜0；y，y在第一象限；且y的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3；综合可得：k1＜k2＜k3．故填k1＜k2＜k3． 【点评】反比例函数y的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大． 12．函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，则m＝　3　 ． 【考点】反比例函数的定义． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的一般形式得到m2﹣2m﹣4＝﹣1且m+1≠0，由此来求m的值即可． 【解答】解：∵函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数， ∴m2﹣2m﹣4＝﹣1且m+1≠0， 解得m＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是（k≠0）． 13．如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn，则S1＝　4　 ，Sn＝　　 ．（用含n的代数式表示） 【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【专题】压轴题；规律型． 【答案】4； 【分析】求出P1、P2、P3、P4…的纵坐标，从而可计算出面积分别为S1、S2、S3、S4…的矩形的高，进而求出S1、S2、S3、S4…，从而得出Sn的值． 【解答】解：当x＝2时，P1的纵坐标为4， 当x＝4时，P2的纵坐标为2， 当x＝6时，P3的纵坐标为， 当x＝8时，P4的纵坐标为1， 当x＝10时，P5的纵坐标为：， … 则S1＝2×（4﹣2）＝4＝2[]； S2＝2×（2）＝22[]； S3＝2×（1）＝22[]； … Sn＝2[]； 故答案为：4；． 【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出各阴影的面积表达式是解题的关键． 14．如图，点P、Q是反比例函数y图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1　＝　 S2．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【答案】＝ 【分析】设P（a，b），Q（m，n），根据三角形的面积公式即可求出结果． 【解答】解；设P（a，b），Q（m，n）， 则S△ABPAP•ABa（b﹣n）aban， S△QMNMN•QN（m﹣a）nmnan， ∵点P，Q在反比例函数的图象上， ∴ab＝mn＝k， ∴S1＝S2． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 15．如图，点A在双曲线y的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为　　 ． 【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【专题】函数及其图象． 【答案】 【分析】由AE＝3EC，△ADE的面积为3，得到△CDE的面积为1，则△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则k＝ab，AB＝a，OC＝2AB＝2a，BD＝ODb，利用S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC得（a+2a）×bab+42ab，整理可得ab，即可得到k的值． 【解答】解：连DC，如图， ∵AE＝3EC，△ADE的面积为3， ∴△CDE的面积为1， ∴△ADC的面积为4， 设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a， 而点D为OB的中点， ∴BD＝ODb， ∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC， ∴（a+2a）×bab+42ab， ∴ab， 把A（a，b）代入双曲线y， ∴k＝ab． 第二种解法，因为三角形ADC的面积为4，所以梯形面积为8，而梯形面积又可以表示为，即8，所以k，故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系． 三．解答题（共5小题） 16．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD． （1）求∠P的度数及点P的坐标； （2）求△OCD的面积； （3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【考点】反比例函数综合题． 【专题】几何综合题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如图，作PM⊥OA于 M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，利用勾股定理求出a，b之间的关系，求出OC，OD即可解决问题． （3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，可得AB＝6﹣a﹣b，推出OA+OB+AB＝6，可得a+b6，利用基本不等式即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H． ∴∠PMA＝∠PHA＝90°， ∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA， ∴△PAM≌△PAH（AAS）， ∴PM＝PH，∠APM＝∠APH， 同理可证：△BPN≌△BPH， ∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH， ∴PM＝PN， ∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°， ∴四边形PMON是矩形， ∴∠MPN＝90°， ∴∠APB＝∠APH+∠BPH（∠MPH+∠NPH）＝45°， ∵PM＝PN， ∴可以假设P（m，m）， ∵P（m，m）在y上， ∴m2＝9， ∵m＞0， ∴m＝3， ∴P（3，3）． （2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b， ∴AB＝6﹣a﹣b， ∵AB2＝OA2+OB2， ∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2， 可得ab＝6a+6b﹣18， ∴3a+3b﹣9ab， ∵PM∥OC， ∴， ∴， ∴OC，同法可得OD， ∴S△COD•OC•DO•••9． 解法二：连接OP． ∵∠POA＝∠POB＝∠CPD＝45°， ∴∠COP＝∠POD＝135°， ∵∠POB＝∠PCO+∠OPC＝45°，∠APO+∠OPD＝45°， ∴∠PCO＝∠OPD， ∴△COP∽△POD， ∴OC•OD＝OP2＝18，可求△COD的面积等于9． （3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b， ∴AB＝6﹣a﹣b， ∴OA+OB+AB＝6， ∴a+b6， ∴26， ∴（2）6， ∴3（2）， ∴ab≤54﹣36， ∴S△AOBab≤27﹣18， ∴△AOB的面积的最大值为27﹣18． 【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，基本不等式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数y图象上的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数解析式； （2）求出点B的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出S△AOC，再根据S△POC＝3S△AOC求出S△POC，即可求出． 【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+m过点A（3，1），B（﹣1，n）． ∴1＝3+m， ∴m＝﹣2， ∴一次函数的解析式为y＝x﹣2， ∵反比例函数的图象过点A（3，1）， ∴k＝3×1＝3， ∴反比例函数的解析式为y； （2）把B（﹣1，n）代入y＝x﹣2，得n＝﹣1﹣2＝﹣3， ∴点B的坐标为（﹣1，﹣3）， 观察图象，不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞3； （3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x＝2， 即点C的坐标为：C（2，0）， ∴S△AOC1， ∵S△POC＝3S△AOC， ∴S△POC， ∴|yP|＝3， 当点P的纵坐标为3时，则3，解得x＝1， 当点P的纵坐标为﹣3时，则﹣3，解得x＝﹣1， ∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题关键． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点． （1）m＝　6　 ，点C的坐标为　（2，0）　 ； （2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标； （2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE（x﹣1）2，由二次函数的性质即可求得结论． 【解答】解：（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，）， ∴m6， ∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点． ∴C（2，0）； 故答案为6，（2，0）； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（4，），C（2，0）代入得，解得， ∴直线AB的解析式为yx； ∵点D为线段AB上的一个动点， ∴设D（x，x）（0＜x≤4）， ∵DE∥y轴， ∴E（x，）， ∴S△ODEx•（x）x2x+3（x﹣1）2， ∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，二次函数的性质，根据三角形面积得到二次函数的解析式是解题的关键． 19．如图，A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D． （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1﹣y2＞0？ （2）求一次函数解析式及m的值； （3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方； （2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y可计算出m的值； （3）设P点坐标为（m，m），利用三角形面积公式可得到••（m+4）•1•（2m），解方程得到m，从而可确定P点坐标． 【解答】解：（1）当y1﹣y2＞0， 即：y1＞y2， ∴一次函数y1＝ax+b的图象在反比例函数y2图象的上面， ∵A（﹣4，），B（﹣1，2） ∴当﹣4＜x＜﹣1时，y1﹣y2＞0； （2）∵y2图象过B（﹣1，2）， ∴m＝﹣1×2＝﹣2， ∵y1＝ax+b过A（﹣4，），B（﹣1，2）， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：yx， （3）设P（m，m），过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N， ∴PMm，PN＝﹣m， ∵△PCA和△PDB面积相等， ∴BD•DN， 即；， 解得m， ∴P（，）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． 20．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 　一　 象限内交点的坐标． （2）画出函数图象 函数y（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x． （3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象 ①当直线平移到与函数y（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 　8　 ； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围． （4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 m≥8　 ． 【考点】反比例函数综合题． 【专题】压轴题；数形结合；一元二次方程及应用；模型思想． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解； （2）直接画出图象即可； （3）①把点（2，2）代入y＝﹣x即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y和y＝﹣x并整理得：x2mx+4＝0，即可求解； （4）由（3）可得． 【解答】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数， 故点（x，y）在第一象限， 答案为：一； （2）图象如下所示： （3）①把点（2，2）代入y＝﹣x得： 2＝﹣2，解得：m＝8， ②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8（1个交点时，m＝8）； （4）由（3）知，两个函数有交点时，m≥8． 【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大． 学科网（北京）股份有限公司 $