命题大赛 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学(冲刺卷1）

**基本信息** 2026年高考数学冲刺卷1以原创题（如第8、18、19题）为核心亮点，覆盖集合、向量、立体几何等高频考点，通过单位圆点分布、数列操作探究、异面直线轨迹等问题，考查创新意识与逻辑推理，适配模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、向量数量积、立体几何位置关系、统计图表分析|第8题单位圆点分布最小值问题，考查空间观念；第10题结合统计数据，体现数据观念| |填空题|3题/15分|三角函数求值、双曲线离心率、空间点存在性|第14题空间点计数，培养数学眼光| |解答题|5题/77分|解三角形、通信概率、函数极值、数列操作、异面直线轨迹|第18题数列操作探究，发展推理能力；第19题轨迹方程及定值证明，强化数学语言表达|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点或考查点 难度系数（预估） 1 单选题 5 集合、绝对值不等式、一元二次不等式 0.95 2 单选题 5 平面向量(坐标运算、模) 0.9 3 单选题 5 等差数列(中项公式、通项公式、公差) 0.85 4 单选题 5 立体几何(直线与直线、直线平面、平面与平面位置关系) 0.85 5 单选题 5 古典概型及其概率计算公式、排列组合 0.8 6 单选题 5 三角恒等变换(和角差角的正余弦、和差化积、二倍角公式) 0.75 7 单选题 5 直线和圆的位置关系 0.65 8 单选题 5 圆、解三角形，问题解读和翻译、探究能力 0.5 9 多选题 6 三角函数(奇偶性、单调性、最值、最值、零点) 0.7 10 多选题 6 统计(折线图、平均数、标准差、极差、中位数) 0.7 11 多选题 6 立体几何(多面体)、数列(累加法)，空间想象能力 0.25 12 填空题 5 复数运算 0.9 13 填空题 5 双曲线(几何特性、离心率) 0.7 14 填空题 5 排列组合 0.25 15 解答题 13 解三角形(正弦面积公式、正弦定理、余弦定理)、三角恒等变换、数列 0.55 16 解答题 15 概率的求解、离散型随机变量的分布列和期望 0.5 17 解答题 15 三角函数、三角恒等变换、导数 0.45 18 解答题 17 数列，问题解读和翻译、探究能力 0.35 19 解答题 17 立体几何、解三角形、圆锥曲线 0.15 $ 绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试(冲刺卷1) 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 5．甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8(原创题)．个不同的点分布在单位圆内部和边界， 的最小值为，则的最大值分别为 ( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数，则（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的最小值为 D．在上有个零点 10．据国家统计局网站2023年9月15日消息，8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长（同比一般情况下是指本年第N月与去年的第N月比）.其中，除汽车以外的消费品零售额为33820亿元，增长. 1∼8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，同比增长.其中，除汽车以外的消费品零售额为271888亿元，增长．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速如下： 则下列说法正确的是（    ） A．2023年1~8月份，社会消费品零售总额的月平均值约为25422.6亿元 B．2022年8月份，社会消费品零售总额约为36264.8亿元 C．除掉2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的最大值和最小值所得数据的标准差比原数据的标准差小 D．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的极差比中位数的8倍还多 11(原创题)．凸面体的各个面所在的平面将空间分成个部分，则下列说法正确的是（ ） A. 时， B. 时，可能有 C. ，可能有 D. 时，可能有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，则 ． 13．设双曲线的左、右焦点分别为，为的左顶点，为双曲线一条渐近线上的两点，四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为 ． 14(原创题).已知空间中的点,且,,则这样的点有 个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，内角所对的边分别为，且. (1)若，求角的大小； (2)求证：成等差数列. 16．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． (1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； (2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 17.已知，． (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点． 18(原创题)．将数列从首项开始从左到右依次排列，得到数组，然后执行以下操作：将移到右侧，然后剔除，再将移到右侧，然后剔除，继续以上操作，即将最左边的数移到最右边，然后剔除新数组最左边的数，直到剩下最后一个数.若令此操作为，则，且确定的值可确定的值，如，，. (1)证明：； (2)证明：； (3)若，证明：. 19(原创题)．设异面直线与所成的角为，公垂线段为，且，分别直线、上的动点，且，为线段中点，建立适当的平面直角坐标系可确定点的轨迹方程. (1)请根据自己建立的平面直角坐标系求出. (2)为的任意内接三角形，点为的外心，若直线的斜率存在，分别为，证明：为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试(冲刺卷1) 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 解析：由题意得：或， ，所以. 答案：D 2．已知向量满足，，则（    ） A． B． C．0 D．1 解析：∵，，∴，，∴. 答案：B. 3．若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：设5个正数组成数列，则，则，解得. 答案：D 4．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 解析：对于A项，因，设,在平面过点作直线，过点作直线，则 ， 由可得，，故垂直于由直线和直线组成的平面，由过一点有且只有一个平面与已知直线垂直的性质可知，故有或，故A项正确； 对于B项，如图，，设，由，则，同理，设构成平面，则，设,则，故得,故，B项正确； 对于C项，如图，因，，则；又，则，故得：，故C项正确； 对于D项，如图，取平面为平面，平面为平面，取为，为，因平面，平面,则，又, 平面，故平面，因平面，故,即，但与不垂直，故D项错误. 答案：D 5．甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（    ） A． B． C． D． 解析：因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择，所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案， 当分配方案为2，2，1时，共有种不同的选择方案；当分配方案为3，1，1时，共有种不同的选择方案；所以满足要求的不同选择种数为； 所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为. 答案：C 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 解析：由和差化积公式，得，，所以．所以． 答案：A 7．在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：连接，设（即以轴正方向为始边，为终边的角），由题意对于直线上任意一点，存在，使得，则直线绕原点顺时针旋转后，点对应点为，即，因为在直线上，所以满足. 设，所以，即所在直线方程为， 而圆的圆心，半径分别为， 若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，所以圆心到直线的距离，解得. 答案：A 8(原创题)．个不同的点分布在单位圆内部和边界， 的最小值为，则的最大值分别为 ( ) A. B. C. D. 解析：命题背景：Circle packing问题 考查：问题解读、发散思维、探究能力、灵活应对 题意解析：求单位圆内个点两两间距最小值的最大值。 思路：让个点尽量分散且均匀的分布在圆的内部和边界。 转化为“等圆packing问题”——用个等大的小圆尽量满的填充一个大圆. 解答： ①时，个点（图中蓝色点）两两间距最小值的最大值，有下面两种情况： ②时，个点（图中蓝色点）两两间距最小值的最大值，有下面一种情况： 答案：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数，则（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的最小值为 D．在上有个零点 解析：对A：的定义域为，又，故为偶函数，A正确； 对B：令，显然是关于的单调增函数； 此时，其对称轴为，故是关于的单调增函数； 根据复合函数单调性可知，在单调递增，故B正确； 对C：由A可知，为偶函数，故在上的最小值即为其在上的最小值； 令，，则，故的最小值也即的最小值； 又，当时，取得最小值为；故的最小值为，C正确； 对D：由A可知，为偶函数，故只需先判断在上的零点个数； 当，令，即，解得或，故可得，或，有个零点；故在有个零点，D错误. 答案：ABC 10．据国家统计局网站2023年9月15日消息，8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长（同比一般情况下是指本年第N月与去年的第N月比）.其中，除汽车以外的消费品零售额为33820亿元，增长. 1∼8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，同比增长.其中，除汽车以外的消费品零售额为271888亿元，增长．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速如下： 则下列说法正确的是（    ） A．2023年1~8月份，社会消费品零售总额的月平均值约为25422.6亿元 B．2022年8月份，社会消费品零售总额约为36264.8亿元 C．除掉2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的最大值和最小值所得数据的标准差比原数据的标准差小 D．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的极差比中位数的8倍还多 解析：对于A，由2023年1~8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，可得社会消费品零售总额的月平均值约为亿元，故A错误； 对于B，由2023年8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长，可得2022年8月份，社会消费品零售总额约为亿元．故B正确； 对于C，由图表可知去掉，18.4数据更集中，标准差相对于原数据来说变小了，故C正确； 对于D，极差为，中位数为，可得，，故D错误. 答案：BC 11(原创题)．凸面体的各个面所在的平面将空间分成个部分，则下列说法正确的是（ ） A. 时， B. 时，可能有 C. ，可能有 D. 时，可能有 解析：A选项，正四面体满足；B选项，正四棱锥满足； C、D选项，需探究出一个重要规律“n个平面最多把空间分成个部分” 根据此规律，6个平面最多可将空间分成个部分，8个平面最多可将空间分成个部分，故C错误，D正确. 综上，正确答案为ABD. 下面详细证明此规律 先证明：条直线,最多把平面分成个部分 依此类推，条直线，第条直线最多与前条相交，把空间中的部分一分为二，再分出个部分。 故条直线，最多把平面分成个部分。 下面证明个平面最多把空间分成个部分。 设个平面最多把空间分成个部分，则个平面最多把空间分成个部分， 第个平面与前个平面交线数最多条， 这条直线都在第个平面上，最多把第个平面分成个部分， 这个部分可以把它们各自所在的空间一分为二又分出个部分， 故，, ， ，，， 累加得，得证. 答案：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，则 ． 解析：由题意，所以. 答案：10 13．设双曲线的左、右焦点分别为，为的左顶点，为双曲线一条渐近线上的两点，四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为 ． 解析：令双曲线的半焦距为c，显然，由双曲线的对称性，不妨令点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，由四边形为矩形，得，令，则，，，于是， 则，， ，即直线的斜率，因此，即，所以双曲线的离心率为. 答案： 14(原创题).已知空间中的点,且,,则这样的点有 个. 解析：首先忽略条件，采用隔板法研究仅考虑的情况时，空间中点的个数，下面据三个例子方便大家理解隔板法如何求此时空间中点的个数 所以，仅考虑时，点的个数是,推广到则是。 当为偶数且能被3整除的时候，可分成三种情况： ①时，这样的点只有1种； ②有且仅有两个相等时，即为这两个相等的数，这样的数组的个数就是从0到的所有的偶数的个数，即，再排除掉①的情况，所以应为，又因为这个偶数可以是，所以要从中选一个放这个偶数，因此应为种； ③两两均不相等时，设这样的数组有个，数组中的三个数安排给，所以有种。 所以有，得。 现在再加上条件，考虑到有且仅有两个相等的时候，三个数会自动排序，两两都不相等的时候，三个数会自动排序，所以完全满足题干所有条件的点的个数就是，这就是当为偶数且能被3整除的时候满足题干所有条件的点的个数。 所以当时，，故答案为。 答案：1027. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，内角所对的边分别为，且. (1)若，求角的大小； (2)求证：成等差数列. 解析：(1)由得，，(1分) 由正弦定理得，即，(2分) ∵，∴，∴，(4分) 即，∵，∴；(6分) (2)由题意得，，(7分) 由正弦定理得，即，(9分) 又，(11分) ∴，即，则，，成等差数列. (13分) 答案：(1)；(2)证明见解析 16．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． (1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； (2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 解析：(1)由题可知，(3分) 因为，所以当时，的最小值为．(6分) (2)由题设知，的可能取值为1，2，3，4．(7分) ①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010． 因此，，(8分) ②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011． 因此，，(9分) ③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000． 因此，，(10分) ④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．因此，．(11分) 所以的分布列为 1 2 3 4 (13分) 因此，的数学期望．(15分) 答案：(1)；(2)分布列见解析；期望为 17.已知，． (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点． 解析：(1)当时，，(2分) 令，得，(3分) ，解得，(5分) 故解集为．(6分) (2)，(7分) 在上，， ，(9分) 令，则， 在上单调递增，且，(11分) 若函数在上有唯一的极值点，则在该区间有唯一解， 即有唯一解，故的取值范围为，(13分) 设为该极值点， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 极值点为极大值点．(15分) 答案：(1) ；(2)略 18(原创题)．将数列从首项开始从左到右依次排列，得到数组，然后执行以下操作：将移到右侧，然后剔除，再将移到右侧，然后剔除，继续以上操作，即将最左边的数移到最右边，然后剔除新数组最左边的数，直到剩下最后一个数.若令此操作为，则，且确定的值可确定的值，如，，. (1)证明：； (2)证明：； (3)若，证明：. 解析：(1)证明：如图①将以角标为编号首尾相连，执行J操作剔掉k项后，得到图②，重新编号得到图③. (2分) 然后对图③执行完整的J操作得到，图③新编号B与图②旧编号A满足，，，… …，即，故.(5分) (2)证明：由(1)问可知当为偶数时，，所以 ，得，(7分) 所以, ，… …，，(9分) 累乘得 ，得，又，所以.(11分) (3)由题意，数组可写成，执行J操作剔掉项后，最左侧的一项为，得到新数组 ，共项. (14分) 由(2)问可知，继续执行J操作最后一个数一定是，故 若，则.(17分) 答案：(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析 19(原创题)．设异面直线与所成的角为，公垂线段为，且，分别直线、上的动点，且，为线段中点，建立适当的平面直角坐标系可确定点的轨迹方程. (1)请根据自己建立的平面直角坐标系求出. (2)为的任意内接三角形，点为的外心，若直线的斜率存在，分别为，证明：为定值. 解析：(1)过MN的中点O作，，因为,，,平面，平面，所以平面. 过作于，过作于，则，，所以，所以与共面，连接,,则与交于点，则有，所以,所以与重合，所以，,立体几何 合理建系 建系的好坏决定第二问能否求解 ，.(3分) 如图，以的两条角平分线为坐标轴建立平面直角坐标系，令. 若P在①②区域及边界，则.设，则 ，得，(4分) 在中由余弦定理得，得 ，得 .(5分) 若P在③④区域及边界，则，设，则 ，得，(6分) 在中由余弦定理得，代入化简得. (7分) 由对称性可知，P在其它区域时，其轨迹也为.8 综上，的轨迹方程为.(9分) (2)设,则，，(10分) 设的外接圆方程为, 则有，二式相减得 ①. (12分) 又，二式相减得，二次点差处理 得②，(13分) ②代入①得，两边同除以得，即③，同理可得④，(14分) ④减③得，代入③得 ，所以 ，(15分) 又②化为，同②求法可得，代入得 ，得，得证. (17分) 答案：(1)见解析；(2)见解析 学科网（北京）股份有限公司 $