命题大赛 2026年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）数学模拟试题（江苏省）

**基本信息** 本卷原创与改编题结合，融入机器狗捕捉、海虾统计等真实情境，覆盖复数、立体几何、概率统计等核心知识，梯度设计适配月考，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数象限、集合运算、充要条件|改编题“圆锥圆柱重组”考查体积守恒，原创题“独立性检验”结合生活数据| |多选|3/18|函数单调性、数列新定义|原创“4-数列”定义题，融合递推关系与逻辑推理| |填空|3/15|向量投影、二项式定理|原创“椭圆变换求最值”，体现几何直观与转化思想| |解答|5/77|立体几何、概率统计、抛物线|原创“机器狗捕捉足球”综合运动学与三角函数，改编“抛物线与圆相切”论证数列等差，培养模型意识|

2026年普通高等学校招生全国统一考试 (全国I卷数学模拟试题) 命题双向细目表 题号 题型 分值 难度 考查的主要知识点 易 中 难 1 单选题 5 ✓ 复数的运算与几何意义 2 单选题 5 ✓ 集合的运算 3 单选题 5 ✓ 基本不等式与条件判断 4 单选题 5 ✓ 列联表与独立性检验 5 单选题 5 ✓ 空间几何体的体积计算 6 单选题 5 ✓ 比较大小与推理证明 7 单选题 5 ✓ 椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系及数学中的转化思想 8 单选题 5 ✓ 数学运用与三角变换、导数 9 多选题 6 ✓ 三角函数的性质 10 多选题 6 ✓ 数列中的新定义问题，考查等差数列，等比数列基本量运算，数列裂项求和，数列不等式恒成立问题。 11 多选题 6 ✓ 二项分布的概率与期望辨析求解 12 填空题 5 ✓ 平面向量的投影向量 13 填空题 5 ✓ 二项式定理及应用 14 填空题 5 ✓ 轨迹问题及数形结合思想 15 解答题 13 ✓ 空间向量与立体几何 16 解答题 15 ✓ ✓ 解三角形的实际应用 17 解答题 15 ✓ 独立事件的概率与期望计算 18 解答题 17 ✓ ✓ 抛物线与圆，数列相融合创新问题 19 解答题 17 ✓ 导数的综合运用 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 (全国I卷数学模拟试题) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（改编题）若，则在复平面内，复数表示的点位于（ ） A．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】，表示的点坐标为，位于第三象限． 2.（原创题）已知集合,，则集合=（ ） A．{0,1} B．{0,3} C．{1,3,9} D．{0，1,3，9} 【答案】B 【解析】，，故． 3．（原创题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，必要性成立； 若，取，满足条件，则，不满足，故充分性不成立， 故选B 4.某人在网上购买了100只海虾，开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表： 中小虾 大虾 白色 40 15 灰色 20 25 则可以认为大虾与其颜色有关的概率（ ） A．至多为 B．至少为 C．至多为 D．至少为 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】B 【解析】补成如下的列联表 中小虾 大虾 合计 白色 40 15 55 灰色 20 25 45 合计 60 35 100 所以，， 所以我们认为大虾与其颜色有关的概率至少为. 5.（改编题）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】由体积相等得： 6.（原创题）已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，因为，所以，所以，所以 ，所以，选项与此矛盾. 7.（原创题）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆 上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称， 所以且，由题意知：，两式相减得： ，即， 又，由椭圆的离心率的取值范围是， 即，所以，即，故选：D. 8.（改编题）有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊．设可通过的最大极限长度为米（不计硬管粗细）．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则的值是（ ）． A 6 B 8 C 9 D 10 【答案】B 【解析】如图，铁管不倾斜时，令， ，，，， . 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时通过最大长度，所以，所以倾斜后能通过的最大长度，所以.故选B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （改编题）若函数在上单调递增，则（    ） A．曲线关于点对称 B．的最大值为 C．的最小值为-2 D．最大值 【答案】ACD 【解析】 对于A：因为，所以关于对称，A正确； 对于B：由，得， 因为，所以，即， 所以的最大值为，B错误； 对于C：因为，所以，又在单调递增， 由，可得，, 所以， 所以，即的最小值为，C正确； 对于D：由C分析可知，无最大值，D错误. 10. （原创题）设正项数列的前项和为，且对任意的正整数都有，，称是“数列”．下列结论正确的是（ ）． A. 若是首项为1公差为2的等差数列，则是“4－数列” B. 若是首项为1公比为2的等比数列，则不是“2－数列” C．若的通项公式为，则恒为“数列” D. 若的通项公式为，若是“数列”，则最小值为3. 【 答案】AC 【解析】对于A，若是首项为1公差为2的等差数列，则， 所以，，， 所以，所以是“4－数列”，A正确； 对于B，若是首项为1公比为2的等比数列，则， 所以，，， 所以，所以是“2－数列”，B错误； 对于C，的通项公式为，则 恒成立 故恒为“数列”，故C正确 对于D，的通项公式为，故， 由可得，即，又，故最小值为2，D错 11. （改编题）若数轴的原点处有一个质点，每次向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，设移动次后该质点坐标为随机变量.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 移动次后，质点最有可能位于坐标为的位置 【答案】ACD 【解析】设移动次中，向左移动次，向右移动次，则，， 对于A，由，知，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以B错误， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以，则， 由，得到，又，所以且， 则移动次，向左移动次的概率最大， 所以移动次后，质点最有可能位于坐标为的位置，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. (原创题) 已知，则在上的投影向量为______ 【答案】 【解析】因为，所以 所以在上的投影向量为，故选B 13.(原创题)已知，则 被5除的余数为_____ 【答案】0 【解析】令，由已知可得，， 令，可得， 所以. 因为 ， 所以被5除的余数为1，即被5除的余数为0， 14．（原创题）已知椭圆：，若将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.点，，均在曲线上，且，则的最大值为_________________. 【答案】 【解析】设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为， 则代入中得：. 设的中点为，因为，所以 所以，即. 所以.故最大值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15 (改编题)(13分)在三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱AA1和底面成45°角． （1）若BD⊥AC;求值; （2）求二面角A1—AC—B的余弦值大小. A B O C D A1 B1 C1 【解】以O点为原点,OC为x轴,OA为y轴,OA1为z轴建立空间直角坐标系．由题意知∠A1AO=45°,A1O=3．∴O(0,0,0),C(,0,0),A(0,3,0),A1(0,0,3),B(－,0,0)． (1)设AD=a,则D(0,3－a,a),所以=(－,3－a,a),=(,－3,0)．若 BD⊥AC,则·=3－3(3－a)=0,得a=2,A B O C D A1 B1 C1 x z y 而AA1=3,∴A1D=,∴. …………5分 (2)∵=(0,－3,3),=(2,0,0) 设平面ACA1的法向量为n1=(x,y,z), 则 令z=1,则x=,y=1,∴n1=(,1,1) ………………………………7分 而平面ABC的法向量为n2=(0,0,1), ………………………………8分 所以cos<n1,n2>= 又显然所求二面角的平面角为锐角, 故所求二面角的余弦值的大小为. ………………………………10分 16.（改编题）（15分）某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，． (1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ (2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值； 【解】（1）在中，由正弦定理知，即，…….2分 因为，，所以，…….4分 解得，因为，所以，…….5分 此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功．….7分 （2）法一：在中，由余弦定理知， 故， 整理得，………………10分 即，当且仅当时等号成立，此时，………..13分 ，点在矩形内，捕捉成功． 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米．…………………..15分 法二：在中，由正弦定理知，…………9分 所以． 当，即当时，有最大值为8，…………13分 此时，，点在矩形内，捕捉成功． 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米．………………….15分 17.（改编题）(15分)某校田径队有编号为的四名队员，每天训练前，都要从四名队员中随机选出一人担任队长. （1）求1号队员在三天内至少担任一次队长的概率； （2）记天中选取的队员对应的最大编号为. （i）时，求； （ii）求使得成立的最小的的值. 【解】（1）设每天选到号队员的事件为，，. 设事件为“三天都不选1号”，则. …………….2分 所以1号队员在三天内至少担任一次队长的概率……………..4分 （2）（i）等价于三天选取的编号均不大于2，且至少有一次为2. ……………….7分 （ii）， ，. 期望， …………………..9分 …………………….11分 即. 由，得 ………………13分 时，左边； 时，左边； 时，左边. 故最小的为3……………………………….15分 18.（原创题）（17分）在抛物线上有一系列点，以点为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切.已知，点到的焦点的距离为. (1)求抛物线方程; (2)求证:数列是等差数列； (3)设，求证: 数列的前项和. 【解】（1），设抛物线的焦点为，根据题意可知，解得. ,故抛物线方程为…………4分 （2）因为圆与圆彼此外切，所以 则…………7分 因为，所以，即. 因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列………….11 （3）由(2)知,， 两式相减得…………….15分 故，………………….17分 19.(改编题)（17分）已知为定义在上的奇函数且连续可导，令.当时，有 (1)讨论在区间上的单调性，并证明：当时，； (2)当时，解不等式：； (3)我们可以找到满足题意的一个函数.现在利用这个函数，重新构造函数，记，若实满足，证明：. 【解】（1）当时，， ∴为奇函数……2分 当时，， ∴，∴在上单调递增， ∵为奇函数，∴在上单调递增……..3分 令，， ∴，∴在上单调递增， ∴，∴……………..5分 （2）等价于 ， 即，………7分 ∵，∴，， 由（1）知在上单调递增，∴，即， 故原不等式的解集为…………………10分 （3）由， 可得，整理得， ∵，∴在上单调递增， ，且，故………….13分 要证.，只需证， 只需证， 只需证， 即证………………….15分 令， ， 令，∴， 故在上单调递增， 所以，故在上单调递减， ， 即成立， 故.………………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 (全国I卷数学模拟试题) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（改编题）若，则在复平面内，复数表示的点位于（ ） A．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.（原创题）已知集合,，则集合=（ ） A．{0,1} B．{0,3} C．{1,3,9} D．{0，1,3，9} 3．（原创题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.某人在网上购买了100只海虾，开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表： 中小虾 大虾 白色 40 15 灰色 20 25 则可以认为大虾与其颜色有关的概率（ ） A．至多为 B．至少为 C．至多为 D．至少为 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 5.（改编题）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为（ ） A B C D 6.（原创题）已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（   ） A． B． C． D． 7.（原创题）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆 上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（改编题）有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊．设可通过的最大极限长度为米（不计硬管粗细）．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则的值是（ ）． A 6 B 8 C 9 D 10 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （改编题）若函数在上单调递增，则（    ） A．曲线关于点对称 B．的最大值为 C．的最小值为-2 D．最大值 10. （原创题）设正项数列的前项和为，且对任意的正整数都有，，称是“数列”．下列结论正确的是（ ）． A. 若是首项为1公差为2的等差数列，则是“4－数列” B. 若是首项为1公比为2的等比数列，则不是“2－数列” C．若的通项公式为，则恒为“数列” D. 若的通项公式为，若是“数列”，则最小值为3. 11. （改编题）若数轴的原点处有一个质点，每次向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，设移动次后该质点坐标为随机变量.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 移动次后，质点最有可能位于坐标为的位置 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. (原创题) 已知，则在上的投影向量为______ 13.(原创题)已知，则 被5除的余数为_____ 14．（原创题）已知椭圆：，若将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.点，，均在曲线上，且，则的最大值为_________________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15 (改编题)(13分)在三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱AA1和底面成45°角． （1）若BD⊥AC;求值; （2）求二面角A1—AC—B的余弦值大小. A B O C D A1 B1 C1 16.（改编题）（15分）某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，． (1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ (2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值； 17.（改编题）(15分)某校田径队有编号为的四名队员，每天训练前，都要从四名队员中随机选出一人担任队长. （1）求1号队员在三天内至少担任一次队长的概率； （2）记天中选取的队员对应的最大编号为. （i）时，求； （ii）求使得成立的最小的的值. 18.（原创题）（17分）在抛物线上有一系列点，以点为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切.已知，点到的焦点的距离为. (1)求抛物线方程; (2)求证:数列是等差数列； (3)设，求证: 数列的前项和. 19.(改编题)（17分）已知为定义在上的奇函数且连续可导，令.当时，有 (1)讨论在区间上的单调性，并证明：当时，； (2)当时，解不等式：； (3)我们可以找到满足题意的一个函数.现在利用这个函数，重新构造函数，记，若实满足，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $