命题大赛 2026年普通高等学校招生全国统一考试试卷猜想卷（二）数学

**基本信息** 2026年高考数学猜想卷（二）以AI二进制、座位安排等真实情境为载体，通过梯度化题型覆盖函数、几何、概率等核心模块，适配高三月考对知识掌握与逻辑推理能力的检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算、等比数列性质|基础题注重概念辨析，如第2题结合充分必要条件考查数列单调性| |多选题|3/18|统计量、三角函数图像变换|选项分层设计，如第10题综合图像变换与单调性判断| |填空题|3/15|复数模、圆的切线、数学期望|第14题以座位安排为背景考查离散型随机变量期望| |解答题|5/77|解三角形与数列、函数导数综合|第16题结合AI二进制考查二项分布，第19题导数应用渗透逻辑推理与数学证明|

2026年普通高等学校招生全国统一考试试卷猜想卷（二） 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 2．已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“数列单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 7．设为坐标原点，直线的倾斜角为且过抛物线：的焦点，且与交于，两点，，以为直径画圆与的准线交于点，则（   ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知一组从小到大排列的样本数据，其中，则下列说法中正确的是（   ） A．若第一项与最后一项的数据忽略不计，则样本数据的极差减小 B．这组样本数据的上四分位数为 C．这组样本数据的平均数为 D．若为这组样本数据增加两个数据，则众数可能不变 10．已知函数，将图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后，再向右平移个单位，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．的对称轴可表示为 C．的最小正周期为 D．若函数在区间上不单调，则 11．已知正四棱台侧面与底面夹角为，，分别是，的中点，则（    ） A．与是异面直线 B．平面平面 C．侧棱与底面的夹角正弦值为 D．若存在球与该正四棱台每个面都相切，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，则________． 13．已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 14．有10个连续编号的座位(1到10)，随机安排4名红队队员、4名蓝队队员和2名白队队员入座，则红队队员中坐在最右边的队员的座位号的数学期望为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若a，b，c成等差数列，且，设数列满足，求的前n项和. 16．（15分） 随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 17．（15分） 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，分别是，上的点，且，过的平面与，分别交于点，． (1)证明：； (2)若锐二面角的余弦值为，求梯形的面积． 18．（17分） 在平面直角坐标系中，某曲线左右焦点坐标分别为，，动点P在曲线上且满足距离条件，设． (1)P的轨迹方程； (2)若动点P在第一象限，且直线的斜率为； （i）求直线斜率表达式，并讨论其定义域内的单调性； （ii）判断曲线上是否存在点P满足不等式． 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且，证明：. 绝密★启用前 数学试题 第1页（共4页） 试卷第2页，共4页 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想卷（二） 数学参考答案及评分标准 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B A A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ACD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：（1）在中，，由， 则， 1分 所以， 2分 化简得， 3分 由于A，，故，，则， 4分 所以，因为，故. 5分 （2）由（1）知，则，即， 因为a，b，c成等差数列，所以， 6分 而，则，则，即， 7分 因为，所以，从而， 8分 由此可得，. 9分 所以， 10分 则 11分 . 13分 16．（15分） 解：（1）5位二进制数形如，由于每个有0，1两个取值， 所以全体5位二进制数总量为个．其中满足的二进制数有5个， 1分 分别为，所以． 3分 （2）2026位二进制数首位数码为1，数码0独立且等可能出现在剩下的2025个数位上， 每个数位出现0的概率为，所以0出现的次数服从二项分布，即， 5分 所以，所以， 7分 记，则最大等价于最大： ， 10分 所以，此时单调递增； 12分 ，此时单调递减， 14分 所以为最大值．综上，当取得最大值时求的值为1013． 15分 17．（15分） 解：（1）因为，所以，又因为平面，平面， 1分 所以平面， 2分 又因为平面，平面平面， 3分 所以，所以； 4分 （2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 5分 由（1）可知，，设，， 6分 则，，，， 7分 设平面的一个法向量， 则，取，则，所以平面的一个法向量为； 9分 设平面的一个法向量， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 11分 由题意可知，， 13分 解得或（舍去），所以，， 14分 所以梯形的面积． 15分 18．（17分） 解：（1）由， 则点P的轨迹为以，为焦点的双曲线， 1分 且，则， 2分 所以P的轨迹方程为. 3分 （2）（i）由动点在曲线上，设，则， 4分 而，则， 6分 则，， 7分 而 8分 ， 9分 令，则， 10分 而函数在上单调递减，函数在上单调递减， 11分 根据复合函数的单调性，可知在上单调递增. 12分 （ii）由（i）知，，则等价于， 13分 则 ，即，则， 15分 又，解得或， 16分 则曲线上存在点P满足不等式． 17分 19．（17分） 解：（1）当时，， 1分 因为，所以， 2分 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 3分 （2）由，则， 令，则，令，解得， 4分 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，则在上单调递增， 又，所以在上恒成立. 5分 若，令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 7分 又，所以时，单调递减，， 与在上恒成立矛盾. 综上所述，若在上恒成立，则的取值范围是. 8分 （3）已知，由（2）可知在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以时，时，. 9分 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 10分 设，则 . 11分 设， 12分 则. 13分 所以在上单调递减. 又，所以，从而在上单调递增. 14分 因为，所以. 因为，所以， 15分 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 16分 所以，即. 17分 2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想卷（二） 数学部分试题解析部分 1．B 解：由可得，点同时满足集合、的对应函数方程， 将代入的方程，得，解得； 将和代入的方程，得，解得，因此. 2．D 解：等比数列的前项和，当“”，若时，则， 因为，所以随着的增大而增大，随着的增大而减小， 又，所以随着的增大而减小，即可得数列单调递减，因此充分性不一定成立；当数列单调递增，若，，则， 因为，所以随着的增大而减小，随着的增大而增大； 又，，所以随着的增大而增大，即数列单调递增，此时， 所以“数列单调递增”推不出“”，即必要性不成立， 因此“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件. 3．C 解：因为定义在上的奇函数，所以， 两边取导数可得，即，所以， 因为时，，所以时，，所以. 4．B 解：由换底公式可得 ， 原式化为 ，所以 ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，取等号成立.所以的最小值是. 5．A 解：由三角恒等变换可知，解得， 原式. 6．A 解：对A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此三点共线， 对B，，，不存在实数使，不共线； 对C,，，不存在实数使，不共线； 对D,，，不存在实数使，不共线. 7．C 解：因直线的倾斜角为，则其斜率为，又经过抛物线的焦点，故直线的方程可设为，将其代入消去，整理得， 设，则， 于是，，， 由，解得， 则，，由中点的横坐标是， 可知到准线的距离为， 故以为直径的圆与准线相切于点，则轴，于是， 8．B 解：因为是定义在上的奇函数，又为偶函数， 所以，，且， 则，即， 所以，即是以为周期的周期函数， 由，，， 所以，，， 所以． 9．BD 解：对A,由题意知，这组样本数据从小到大排列，原数据极差为，去掉第一项和最后一项之后，极差为，而，，所以，极差可能不变或减小，故A错误； 对B,因为，且，因为计算结果不是整数，所以上四分位数取第5位，故上四分位数为，故B正确； 对C，由题得这组样本数据的平均数，故C错误； 对D，根据题意，这组样本数据从小到大排列，若增加的两个数据与原来的样本数据均不同，则众数不变，故正确. 10．ACD 解：对A，由，横坐标缩小为原来的，得； 向右平移个单位，得：，故A正确； 对D，当时，相位的范围为： ， 不单调区间内存在正弦函数的最值点， 结合，则，该范围内仅有的最值点为， 因此要求：， 右半部分：，符合题设；左半部分： 综上，的取值范围是，故D正确. 11．AD 解：显然A正确，B错误（因为与不一定平行）． 对C，如图，设平面于上的点，于点， 不妨设，则， 侧面与底面所成夹角的平面角， 故，， 所以，故C错误； 对D，先将问题转化为平面几何问题： 记上下底面中心分别为， 过且垂直于的平面截该棱台得一等腰梯形，其一半为如图所示直角梯形，且． 若存在球与该正四棱台每个面都相切，不妨记该内切球球心为，半径为，由题意知，， 即，解得，故D正确． 12.解：因为 所以，，故． 13.解：由点，线段为的一条直径，得， 的半径， 由两条切线的斜率均存在，设切线方程为，则， 整理得，因此是方程的两个根，所以. 14.解：设红队队员中坐在最右边的队员的座位号为随机变量，则的可能取值为4，5，6，…，10，在10个位置中随机选择4个位置，共有种选择方法， 其中，若，则共有种选择方法，故，所以 ． 答案第2页，共13页 数学试题答案 第8页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试试卷猜想卷（二） 数学命题细目表 一、双向命题细目表（题号—内容—能力—分值） 说明： · “知识模块”参照高考数学常见模块划分。 · “能力层级”参考高考评价体系，按识记/理解、推理、运算求解、直观想象、数学建模、数据分析、综合创新等归纳。 · “难度”分为易/中/较难/难，依据题型位置与综合程度估计。 题号 题型 分值 知识模块 主要考点 核心能力 预计难度 1 单选 5 集合与函数 集合表示、交集、二次函数与一次函数图象交点 理解、运算求解 易 2 单选 5 数列 等比数列前n项和、充分必要条件判断 逻辑推理、概念辨析 中 3 单选 5 导数与函数性质 奇函数、导函数奇偶性、分段/已知表达求导 推理、运算 中 4 单选 5 指数对数 对数恒等变形、基本不等式求最值 转化化归、运算求解 中 5 单选 5 三角函数 已知tan(α+π/4)，求三角恒等式值 三角恒等变换、运算 中 6 单选 5 平面向量 向量线性表示、共线条件 数形结合、推理判断 中 7 单选 5 圆锥曲线 抛物线定义、焦点弦、圆与准线位置关系、面积 直观想象、综合运算 较难 8 单选 5 函数 奇函数、函数平移对称性质、周期/代值规律 抽象概括、推理 中 9 多选 6 统计 极差、四分位数、平均数、众数 数据分析、概念判断 易 10 多选 6 三角函数与图象 图象伸缩平移、解析式、对称轴、周期、单调性 图象变换、推理 中 11 多选 6 立体几何 正四棱台、线面位置关系、面面平行、线面角、球切多面体 直观想象、空间推理 较难 12 填空 5 复数 复数化简、复数模 运算求解 易 13 填空 5 解析几何 圆的方程、过定点切线、斜率关系 几何转化、运算 中 14 填空 5 概率统计/计数 随机排列、顺序统计量、数学期望 概率思想、计数、推理 较难 15 解答 13 解三角形+数列 三角恒等变形、求角；边成等差；递推/通项与求和 推理、运算、综合应用 中 16 解答 15 概率统计+二项分布思想/计数原理 n位二进制数、随机取样、概率计算、最值分析 数学建模、分类计数、推理 较难 17 解答 15 立体几何 线线平行证明、二面角、面积求解 空间想象、逻辑证明、运算 较难 18 解答 17 圆锥曲线+导数/函数单调 双曲线定义求轨迹；斜率函数；单调性；不等式判定 综合推理、解析几何运算 难 19 解答 17 导数与函数 切线方程、参数范围、恒成立、零点与不等式证明 逻辑论证、导数应用、综合创新 难 二、按知识模块统计的命题分布表 知识模块 涉及题号 题量 分值 占总分比例 集合与常用逻辑用语 1、2 2 10 6.67% 函数与导数 3、8、19 3 27 18.00% 数列 2、15 2 18 12.00% 三角函数与解三角形 5、10、15 3 24 16.00% 平面向量 6 1 5 3.33% 立体几何 11、17 2 21 14.00% 解析几何/圆锥曲线 7、13、18 3 27 18.00% 概率与统计 9、14、16 3 26 17.33% 复数 12 1 5 3.33% 合计 19 150 100% 评价 这份试卷的知识覆盖比较完整，较符合新高考/全国卷数学命题特点： · 函数、解析几何、概率统计占比较高； · 立体几何、三角、数列保持稳定； · 复数、集合、向量承担基础题与入口题功能； · 综合压轴集中在圆锥曲线与导数两大板块，符合高考命题习惯。 三、按能力要求统计表 能力维度 主要对应题号 分值估计 占比 说明 基础知识理解与辨析 1、2、4、9、12 26 17.33% 基本概念、性质辨析、公式应用 运算求解能力 3、4、5、12、13、15、19 47 31.33% 体现高考“算理结合、算能支撑” 逻辑推理能力 2、6、8、10、11、17、18、19 76 50.67% 贯穿整卷，是核心能力要求 直观想象能力 7、11、17、18 43 28.67% 空间与解析几何并重 数据分析能力 9、14、16 26 17.33% 统计与概率情境明显 数学建模与应用意识 14、16 20 13.33% 二进制情境、随机安排情境体现应用化 综合创新能力 7、16、18、19 54 36.00% 压轴与中高档题体现明显 注：能力维度存在交叉，上表为“主要体现”，分值比例不作简单相加。 四、按难度层级统计表 难度层级 题号 题量 分值 占比 易 1、9、12 3 16 10.67% 中 2、3、4、5、6、8、10、13、15 9 47 31.33% 较难 7、11、14、16、17 5 46 30.67% 难 18、19 2 34 22.67% 合计 19 150 100% 难度评价 整体呈现较典型的高考梯度： · 前段基础入手平稳； · 中段加强综合与方法迁移； · 后段压轴突出导数、圆锥曲线与空间推理； · 有较好的区分度与选拔功能。 五、分题命题意图简析 第1题集合 · 命题意图：考查集合表示与交集、函数图象交点思想。 · 定位：送分基础题。 · 考查层级：基础知识+简单运算。 第2题数列与逻辑 · 命题意图：考查等比数列前n项和单调性与充分必要条件。 · 定位：基础概念辨析题。 · 特点：强调逻辑语言准确性。 第3题奇函数与导数 · 命题意图：考查函数奇偶性和导函数性质的联动。 · 定位：中档小综合题。 · 特点：突出函数整体性质。 第4题对数与最值 · 命题意图：通过对数关系转化到代数最值问题。 · 定位：常规中档题。 · 特点：强调转化思想与基本不等式应用。 第5题三角恒等变换 · 命题意图：考查诱导公式、和角公式及三角式求值。 · 定位：中档计算题。 · 特点：运算量适中。 第6题向量共线 · 命题意图：借助向量线性表示判断点的共线关系。 · 定位：中档选择题。 · 特点：数形结合。 第7题抛物线综合 · 命题意图：考查抛物线焦点弦、圆、准线、面积综合。 · 定位：选择压轴。 · 特点：综合性强，运算与几何直观要求高。 第8题抽象函数 · 命题意图：考查奇偶性与函数变换结构。 · 定位：思维型中档题。 · 特点：规律提取能力要求较高。 第9题统计基础 · 命题意图：考查极差、四分位数、平均数、众数。 · 定位：多选基础题。 · 特点：概念覆盖面广。 第10题三角函数图象变换 · 命题意图：考查图象伸缩平移、周期、对称轴、单调性。 · 定位：多选中档综合题。 · 特点：兼顾图象与解析式。 第11题立体几何多选 · 命题意图：考查正四棱台中的线面关系、角、球切问题。 · 定位：多选压轴。 · 特点：空间想象要求较强。 第12题复数 · 命题意图：考查复数代数形式化简与模。 · 定位：填空基础题。 第13题圆与切线 · 命题意图：考查圆的直径性质、外点作切线、斜率关系。 · 定位：填空中档题。 第14题概率与期望 · 命题意图：考查排列随机模型下“最右边座位号”的期望。 · 定位：填空压轴。 · 特点：背景新颖，思维含量高。 第15题解三角形+数列 · 命题意图：先解三角形，再与数列求和衔接。 · 定位：解答题起始题。 · 特点：入口平稳，综合适度。 第16题二进制情境概率 · 命题意图：考查计数、概率分布、函数最值/二项系数比较。 · 定位：创新应用题。 · 特点：体现学科交叉与信息化背景。 第17题立体几何证明与计算 · 命题意图：考查线线平行证明、二面角求值、面积计算。 · 定位：标准立体几何大题。 · 特点：符合高考常规命题样式。 第18题双曲线综合 · 命题意图：考查轨迹方程、斜率函数、单调性、不等式判定。 · 定位：解析几何压轴。 · 特点：层次分明，区分度强。 第19题导数综合 · 命题意图：考查切线、恒成立参数范围、构造证明。 · 定位：全卷终极压轴。 · 特点：导数工具应用充分，论证要求高。 六、与高考标准的匹配评价 1.知识覆盖符合高考要求 本卷覆盖了高考数学核心主干知识： · 集合 · 函数与导数 · 数列 · 三角函数与解三角形 · 平面向量 · 立体几何 · 圆锥曲线 · 概率统计 · 复数 覆盖完整，主干突出，符合高考“全面考查基础、突出重点主干”的命题原则。 2.能力考查符合高考评价体系 本卷较好体现了： · 基础性：前12题中有较明确基础分布； · 综合性：15—19题逐步增强综合； · 应用性：第14、16题具有现实/信息背景； · 创新性：二进制背景、综合函数问题均有创新色彩。 3.难度梯度合理 · 前易后难； · 选择、填空和解答题之间层次分明； · 压轴题设置在导数和圆锥曲线，符合高考区分人才功能。 4.命题风格较接近全国卷/新高考卷 · 小题注重基础与灵活； · 中档题强调方法迁移； · 大题强调规范表达、逻辑论证与综合运算； · 情境题不过分花哨，数学本质明确。 七、结论性评价 这份试卷整体上： · 结构规范 · 知识覆盖全面 · 主干突出 · 难度梯度清晰 · 具备较好的区分度与选拔性 从命题质量看，基本符合高考数学“立足基础、突出能力、强调综合、注重思维品质”的标准。若用于高三二轮、三轮模拟训练，具有较强参考价值。 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想卷（二） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={(x,y川y=2},B={(x,y)川y=ax-b},A∩B={(L,3)},则b=() A.-2 D.1 2.已知等比数列{a}的公比为9，前n项和为Sn,则“g>1”是“数列{S}单调递增”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f'(x),当x>1时，f(x)=x2,则f'(3)=() A.-9 B.-6 C.6 D.9 1 1 4.设a>0且a≠1，b>0且b≠1，若1o2.3+og,31,则a+b的最小值是(） A.3 B.6√5 C.9 D.18 5.己知tana+ 4 =2,则sin2au+2sin2a的值为（) B.3 8 D.3 4 6.已知平面向量a,b不共线，AB=3a+36,Bc=-a+3b,CD=a+3b,则() A.A,C,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,B,D三点共线 D.B,C,D三点共线 7.设O为坐标原点，直线1的倾斜角为60°且过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与 C交于M,N丙点，-9，以N为直径面圆与C的准线交于点2，则S mad=《) A 2w3 B.4V2 c.325 D. 32W3 3 3 9 3 数学试题第1页（共4页） 8.已知f()是定义在R上的奇函数，若+)为函数且0=2，则 f(2024)+f(2025)+f(2026)=() A.-2 B.0 C.-4 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知一组从小到大排列的样本数据x,x2…,x,其中=6，则下列说法中正确的是() A.若第一项与最后一项的数据忽略不计，则样本数据的极差减小 B.这组样本数据的上四分位数为x C.这组样本数据的平均数为) i=1 D.若为这组样本数据增加两个数据x,,则众数可能不变 10.已知数f)-s如x+) 将∫(x)图象上的所有点的横坐标缩小为原来的5后，再 向右平移mm∈0)引个单位，得到函数8（四的图象，则下列结论正确的是(） A.8()=sin2x-2m+ 6 B.g)的对称轴可表示为x=无+m+kk∈Z) 12 2 C.g(x)的最小正周期为π ππ D.若函数8(x)在区间 0,6 上不单调，则∈ 3’2 11.已知正四棱台ABCD-ABCD侧面与底面ABCD夹角为60°，E,F分别是AB,CD的 中点，则() A.BC1与AD是异面直线 D B.平面ADDA//平面EFC1B C.侧棱与底面的夹角正弦值为西 3 D.若存在球与该正四棱台每个面都相切，则AB=3AB 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12如复数：=是测啡或 13.已知点A(-1,1),B(3,3),线段AB为⊙M的一条直径.设过点C(2,-1)且与⊙M相切 的两条直线的斜率分别为k,飞，则k+k=」 14.有10个连续编号的座位(1到10)，随机安排4名红队队员、4名蓝队队员和2名白队队 员入座，则红队队员中坐在最右边的队员的座位号的数学期望为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△1BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且in4+sim cosA+cos B .sinC. (1)求C: (2)若a,b,c成等差数列，且a=2,设数列{a}满足a=sin”A+sin”B,求{an}的前 n项和Sn 16.(15分) 随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的 是二进制.一般地，k位二进制数可以表示为a4,a1…a,其中4∈0,1}(i=1,2,,k),并约 定a≠0，比如全体3位二进制数构成的集合为100,101,110,111.设全体n位二进制数构 成的集合为A,其中正整数之2，从集合A中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制 数中数码0出现的次数为5 (1)若n=5,求概率P(5>2): (2)若n=2026,记5=k的概率为Pk,当k·P取得最大值时，求k的值. 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AP,AB,AC两两垂直，且AB=3,AC=AP=6,E, F分别是PB,PC上的点，且PR==}过P的平面与AB,4C分别交于点M,N.了 (1)证明：N//BC: (2)若锐二面角B-EF-M的余弦值为B0, 求梯形BCNM的面积. 6 18.(17分) 在平面直角坐标系中，某曲线左右焦点坐标分别为(-3,0)，F(3,0),动点P在曲线 上且满足距离条件P-P=4,设OP=(化，y). (1)P的轨迹方程： (2)若动点P在第一象限，且直线P的斜率为k,: ()求直线P耳斜率表达式k(x),并讨论其定义域内的单调性： 国0台线上足香行流点洗起不等式小反岩 19.(17分) 已知函数f(x)=x2-2axlr-1(aeR) (1)当a=-1时，求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程： (2)若f(x)≥0在[1，+o)上恒成立，求4的取值范围： (3)已知a=1,若0<x<x3,且∫（化）+∫(x2)=0,证明：+x>2. 数学试题第4页（共4页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想卷（二） 数学参考答案及评分标准 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ACD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 15 14特 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(I)在△ABC中，A+B+C=π，由sinA+sinB=sinC(cosA+cosB), 则sin(B+C)+sin(A+C)=sinC(c0SA+C0sB）,.1分 所以sin BcosC+cos Bsin C+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sin CcosB,2分 化简得c0sC(sinA+SinB)=0,3分 由于A,B∈(0，兀)，故sinA>0,sinB>0,则sinA+sinB≠0，.4分 所以cosC=0,因为0<C<π，故C= 2 5分 2)由4知c=子则4C1C,即d+5-c2, 因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c, 6分 而a=2,则c=2b-2,则22+b2=(2b-2)},即3b2-8b=0,.7分 因为b>0,所以6=，从而c=10 3’ 8分 数学试题答案第1页（共11页） 由此可得sin4=a=3 sinB==4 9分 5 所以a=4+mB=)+ .10分 则-))+)周++) 11分 数单 .13分 1- 1 16.(15分) 解：(1)5位二进制数形如1a44,44,由于每个4(i=123,4)有0,1两个取值， 所以全体5位二进制数总量为24=16个.其中满足5>2的二进制数有5个，1分 分别为1000,10100,10010,10001,10000，所以P(传>2)= 5 6 3分 (2)2026位二进制数首位数码为1，数码0独立且等可能出现在剩下的2025个数位上， 每个数位出现0的概率为5，所以0出现的次数服从二项分布，即5~B225 ,5分 2025-k 所以=c)=c( 1 2025 2025 所以.=C25 , .7分 记f(k)=C5,则仰，最大等价于f(k)最大： fk+1）_(k+1)C8_k+1 20251 k(2025-k)1_2025-k ,10分 f(k) C2025 k(k+1)(2024-k)1 20251 k 所以f(k+1)>f(k)台2k<2025台k=0,1,2,,1012,此时f(k)单调递增；12分 f(k+1)<f(k)→2k>2025→k=1013,1014,,2025,此时f(k)单调递减，14分 所以f(1013)为最大值.综上，当k·P.取得最大值时求k的值为1013.…15分 17.(15分) 解：I)国为器得-片所以C,艾因为BCc干面AC,平西BC 1分 所以EF/1平面ABC, 2分 又因为EFC平面EFMM,平面EFNMO平面ABC=MN, 3分 数学试题答案第2页（共11页) 所以EF/IMN,所以N/IBC; 4分 （2)如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则B(3,0,0),C(0,6,0）),P(0,0,6),E(1,0,4),F(0,2,4),.5分 由(1)可知，4N=4C=2,设M化.0,0），N0,2,0)0<t<3),…6分 AM AB 则BC=(3,6,0),Bp=(-3,0,6),EF=(-1,2,0),EM=(t-1,0,-4),.7分 ZA 设平面PBC的一个法向量m=(x1,,), m.BC=-3x1+6y=0 则 取x=2,则4=3=1，所以平面PBC的一个法向量为m=(2,1,1): m-BP=-3x+6z1=0 9分 设平面EFMM的一个法向量i=(x2,为，2)， i.EF=-x2+2y2=0 则 nM=-1x,-4轻=0取5=4，则为=2，马=1-1， 所以平面EFM的一个法向量为=(4,2，t-1), .11分 由题意可知，cosm,i= m 8+2+t-1 V30 1m园√4+1+1：V16+4+(t-1)2 6 ’13分 解得t=1或t=6（舍去)，所以AM=1,AN=2,14分 1 所以梯形BCMM的面积S=Sac-S.Aw=2×3x6- 2-8 15分 18.(17分) 解：(1)由P-PE=4<=6, 则点P的轨迹为以耳(-3,0)，(3,0)为焦点的双曲线， 1分 且2a=4,C=3,则a=2,b2=C2-d=5,2分 数学试题答案第3页（共11页） 所以P的轨迹方程为_严 45 .3分 (2)(①由动点P在曲线二=1上，设P(x,),x>2>0,则y 45 41 4分 而耳(-3,0)，则 5(x2-4) .6分 o= x+3 x+3 2(x+3) 则k(x)= 5-4) x>2, 2(x+3) 7分 而飞)=-4 √5 x2-4V5 (x+3)2-6(x+3)+5 2(x+3) 2 V(x+3)2 8分 2 (x+3)2 6 1 2V(x+3)x+3 .9分 =中30<t<行则%（倒=g0)=5-《1. 令ts、1 .10分 而酒数=-《1在0兮)上单调递减，西数=在(2网列上单调滋减。-1分 根据复合函数的单调性，可知k(x)在(2，+∞)上单调递增 ..12分 (ii)由(i)知y= 任：2，F-小等价于k-厚1,8分 则（区-4矿≥等1，即r-8+16≥ -1,则3.x2-32x+68≥0,15分 又x>2,解得2<x≤16-25或x≥16+2国 3 3 16分 则曲线上有在点P满足不等式小F- .17分 数学试题答案第4页（共11页) 19.(17分) 解：(1)当a=-1时，f(x)=x2+2xnx-1,f(1)=0,1分 因为f'(x)=2x+2nx+2,所以f'(（1)=4,2分 所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-0=4(x-1),即4x-y-4=0.3分 (2)由f(x)=x2-2alnx-1,则f'(x)=2x-2alnr-2a, 令8)=f'(x)=2x-2x-2a,则g)=2-20-2x-a0,令gs)20,解得x2a, 4分 若a≤1，则g(x)≥0在[1，+o)上恒成立，所以8(x)=f'(x)在[1，+o)上单调递增， 又f'(1)=2-2a≥0，所以f'(x)≥0，则f(x)在[山，+∞)上单调递增， 又f(1)=0,所以f(x)≥0在[1，十0）上恒成立.5分 若a>1,令8'(x)=0,得x=a, 当x∈[1，a)时，8(x)<0,g(x)=f'(x)单调递减； 当x∈(a+0)时，g(x)>0,8(x)=(x)单调递增7分 又f'(1)=2-2a<0,所以x∈[1，a)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，f(x)<f(1)=0, 与f(x)≥0在[1，+∞)上恒成立矛盾. 综上所述，若f(x)≥0在[，+m)上恒成立，则a的取值范围是（仁0，.8分 (3)已知a=1,由(2)可知f'(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增. 又f'()=0,所以f"(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即f(x)在(0，+∞)上单调递增， 又f(1)=0,所以x∈(0,1)时，f(x)<0,x∈(1，+o)时，f(x)>0 9分 若0<x<x3≤1，则f()+f(32)<0,不合题意： 若1≤x<x3,则∫（化）+f(化3)>0，不合题意，所以0<左<1<210分 设F(x)=f(x)+f(2-x),0<x<1,则 F'(x)=f'(x)-f'(2-x)=2x-2nx-2-「2(2-x)-2ln(2-x)-2]=2n(2-x)-2nx+4x-4. 数学试题答案第5页（共11页） 11分 设h(x)=F'(x)=2ln(2-x)-2lnr+4x-4,0<x<1,.12分 4 +4< +4=0 x(2-x) x+2-x 13分 2 所以h(x)=F'(x)在(0,1)上单调递减. 又F(①)=0，所以F'(x)>0,从而F(x)在(0,1)上单调递增.14分 因为F(1)=2f(1)=0,所以F(x)<0. 因为0<X<1,所以F(出)=f()+f(2-)<0, .15分 又f(x)+f()=0,所以-f()+f(2-x)<0,即f(2-)<f(x) 又f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以2-<x3,即+x3>2.16分 所以+>+>1，即+>217分 数学试题答案第6页（共11页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想卷（二） 数学部分试题解析部分 1.B 解：由A⌒B={L,3)}可得，点1,3)同时满足集合A、B的对应函数方程， 3 将1,3)代入A的方程y=2x,得3=21，解得a= 2 3 路Q,)和a上代入B的方程y=公-b,得31-6，解得子3，因此03 2 2 2.D 114,q=1 解：等比数列{a}的前n项和S 41-q ,q+1当学9>1，若4<0时，则思= 41-q™) 1-q 1-g 因为9>1，所以q”随着n的增大而增大，1-q随着n的增大而减小， 又a<0,l-q<0,所以Sn随着n的增大而减小，即可得数列{S}单调递减，因此充分性不 一定成立：当数列，}单调递增，若4>0,0<g<1,则s-a-）, 1-q 因为0<q<1,所以q随着n的增大而减小，1-q”随着n的增大而增大： 又4>0,1-q>0,所以S随着n的增大而增大，即数列{Sn}单调递增，此时0<q<1, 所以“数列{S}单调递增”推不出“q>1”,即必要性不成立， 因此“q>1”是“数列{Sn}单调递增的既不充分也不必要条件. 3.C 解：因为定义在R上的奇函数f(x),所以∫(-x)=-∫(x), 两边取导数可得f"(-x)(-x)=-f"(x),即f"(-)=f(),所以f"(-3)=f'(3), 因为x>1时，f(x)=x2,所以x>1时，f(x)=2x,所以f(-3)=f"(3)=2×3=6. 4.B 解：由换底公式可得1og。 1 _=log,a.loge 3 1，=logb, 原式化为log3a+log3b=log3(ab)=1,所以ab=3(a>0,b>0), 数学试题答案第7页（共11页） 因为a>0,b>0,由基本不等式得a+9b≥2Wa.9b=2x3√b=63, 当且仅当a=9b,即a=35,b=3时，取等号成立.所以a+b的最小值是65. 3 5.A 解：由三角恒等变换可知tama+-tama+ 4 1-tana =2,解得tana= 3 sin'a 4sinacosa 4× 原式=sia+4 sin-cosc0sa- tan a+4tang 3 313 sin a+cos2a sin a cos'a tan'a+1 10 cos'a'cos'a +1 3 6.A 解：对A,AC=AB+BC=(（3a+3b)+(-a+3b)=2a+65=2(a+3b), 又CD=a+3b,因此AC=2CD, AC与CD共线，且两个向量有公共点C,因此A,C,D三点共线， 对B,AB=3a+3b,AC=2a+6b,不存在实数1使AB=AC,不共线： 对C,AD=AB+BC+CD=3a+9b,AB=3a+3b,不存在实数使AB=AD,不共线； 对D,BC=-a+3b,CD=a+3b,不存在实数1使BC=2CD,不共线. 7.C 解：因直线1的倾斜角为60°，则其斜率为tam60=√5，又经过抛物线的焦点F化，0)，故直 的方程回设为xy+卫，将其代入y2*消去，整理得3少-2V3w-3D 2 设MN,),则4+为= 3 yy=-p 于是，55=5 6+)+p=p,-=p 4p2 D. 4W3 则4+马= 3， 5+5=10 ，由MN中点H的横坐标是+= 出1为=-4 x2=1 23 可知H 52W3 3’3 至添线x=1形E浅为a-了0=片N0, 数学试题答案第8页（共11页） 故以MN为直径的圆与准线相切于点T,则HT//x轴，于是， 18 45y-4x(④= 325 8.B 解：因为)是完义在R上的奇司数，又个+到引为偶函数。 所以()-f),fo)-=0,且fx+》f+动 期+引引+引引即-)=+， 所以f(x+6)=f[(x+3)+3=-f(x+3)=f(x),即f(x)是以6为周期的周期函数， 由f(1)=f(2)=2,f(3)=f(0),f(4)=-f1)=-2, 所以f(2024)=f(6×337+2)=f(2)=f(1)=2,f(2025)=f(6×337+3)=f(3)=f(0)=0, f(2026)=f(6×337+4)=f(4)=-f(1)=-2, 所以f(2024)+f(2025)+f(2026)=0. 9.BD 解：对A,由题意知，这组样本数据从小到大排列，原数据极差为x一x,去掉第一项和最后 一项之后，极差为x-x2,而x2≥1，x≤x6,所以x一x3≤x6-1,极差可能不变或减小， 故A错误； 对B,因为=6，且6×75%=4.5，因为计算结果不是整数，所以上四分位数取第5位，故 上四分位数为x,故B正确： 对C,由题得这组样本数据的平均数x=-名+，++x4++=1 ,故C错误： 6 6=1 对D,根据题意，这组样本数据从小到大排列，若增加的两个数据与原来的样本数据均不同， 数学试题答案第9页（共11页） 则众数不变，故D正确. 10.ACD 解：对A,由f(x)=sinx+ 君)碳华标缩小为原来的时·得=m2x+君： 向右平移m个单位，得：(2(x-m侧引-m2-2m+,故A正确： 6 对D,当e(时，相位0=22m+的花用为：0e2m子2训 g)不单调台区间6 正-2m,是-2内存在正弦函数的最值点， 合m引则子 -2m 5ππ (6’2 该范围内仅有的最值点为子， 因此要求：亚-2m<-工<不-2m, 6 22 右半部分： -2l→m< 2， 符合题设：左半部分： -2m<- 22 综上，m的取值范围是32 兀兀 故D正确。 11.AD 解：显然A正确，B错误（因为AA与EB,不一定平行）. 对C,如图，设AH⊥平面ABCD于AC上的点H,HK⊥AB于点K, D 不妨设HK=1,则AH=√2，侧面与底面所成夹角的平面角∠AH=60°， 故AH=V5,tam乙44服=5 所以sin∠44H=3_Vi5 V55 故C错误； 对D,先将问题转化为平面几何问题：记上下底面中心分别为9，Q, 过马，Q且垂直于BC的平面截该棱台得一等腰梯形，其一半为如图所示直角梯形，且 ∠E,E0=60°. 数学试题答案第10页（共11页） 91 E 若存在球与该正四棱台每个面都相切，不妨记该内切球球心为O,半径为”，由题意知 ∠00=30°，B0=V500,即B-=5×51B-A),解得A8=34码，故D正确. 4 (1-i)21+i2-2i-2i 12解：因为9= (1+i)1-i)1-i 2 所以，z=-i,故巨+31=i+3列=|2=V02+22=2 13.解：由点A(-1,1),B3,3),线段AB为⊙M的一条直径，得ML,2), oM的半径r4=51-+0-3=5, 由两条切线的斜率均存在，设切线方程为y=(-)-1,则-5. V1+k2 整理得2：-3冰-2=0，因此k,k是方程2农-3水-2=0的两个根，所以+。- 14解：设红队队员中坐在最右边的队员的座位号为随机变量X,则X的可能取值为4,5， 6,,10,在10个位置中随机选择4个位置，共有C种选择方法， 其中，若X=k,则共有C种选择方法，故P(X=k) C,所以 n-含x--音号-含总e1c1s)e智 10 数学试题答案第11页（共11页）