第3讲 不等式及其性质 教案- 2027届新高考高三数学第一轮复习

该高中数学高考复习教案聚焦不等式及其性质核心考点，涵盖不等式定义、实数大小关系、基本性质及作差（商）比较法，按“基础概念-性质推导-应用拓展”逻辑构建知识网络，通过知识网络化梳理、基础实战自测、题型系统化剖析等环节，帮助学生突破性质应用易错点，形成严谨解题思路。 教案采用分层训练与方法建模策略，如比较大小专题通过作差变形判号步骤培养推理能力，范围求解题型用待定系数法构建模型，结合高考真题改编题强化应用意识。设置基础辨析、能力提升、综合应用三级练习，即时反馈易错点，助力学生高效掌握解题方法，为教师精准把控复习节奏提供实用框架。

备课时间 第（ ）周星期（ ） 授课时间 第（ ）周星期（ ）1.3 不等式及其性质 课 题 总第 课时 教学 目标 1.理解用等式与不等式的联系与区别. 2.理解用作差法（作商法）比较两个实数大小的理论依据. 2.理解不等式的性质,掌握不等式性质的简单应用. 课 型 复习课 关键内容 & 内容提要 T 方法&策略 反思&评价 1、 基础知识复习，知识网络化 不等式及其性质 2、 基础实战自测，题型基础化 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)a>b⇔ac3>bc3.(　　) (2)a=b⇔ac=bc.(　　) (3)若>1,则a>b.(　　) (4)a<x<b<0⇒<<.(　　) (5)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (6)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．(　　) (7)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) 2.(人教A必修一P43T8改编)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<b<0,则> 3.(苏教必修一P53例3改编)设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为　　　　. 4．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3、 题型归纳剖析，考点系统化 考点一　比较两个数(式)的大小 例1 (1)若实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,则(　　) A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m (2)已知M=,N=,则M,N的大小关系为　　　　. 训练1 (1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2-2x>-3(x∈R) B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R) C.a2+b2>2(a-b-1) D.<(b>a>0) (2)已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的关系随c而定 考点二　不等式的基本性质 例2 (1)(多选)(2026·株洲模拟)已知a>b>0>c,则下列各选项正确的是(　　) A.< B.> C.> D.a+>b+ (2)(多选)(2026·聊城联考)下列命题中的真命题是(　　) A.若a>b>0,c∈R,则ac2>bc2 B.若a<b,则a3<b3 C.若c>a>b>0,则> D.若ln(a+2)<ln(b+2),则< 训练2 (1)(多选)若<<0,则下列不等式正确的是(　　) A.< B.|a|+b>0 C.a->b- D.ln a2>ln b2 (2)(2026·绵阳诊断)下列四个条件中,使a>b成立的充要条件是(　　) A.> B.|a|>b C.a2>b2 D.2a>2b (3)(2026·河南名校联考)若c>a>b>0,则下列不等式成立的是(　　) A.abbc>acbb B.2ln b>ln a+ln c C.a->b- D.logac>logbc 考点三　不等式性质的应用 例3 (1)(多选)(2026·大庆调研)已知1<x<6,2<y<3,则下列结论正确的是(　　) A.3<x+2y<9 B.-1<x-y<3 C.2<xy<18 D.<<6 (2)(2026·淮南段考)已知0<x+y<5,2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是(　　) A. B. C. D. 训练3 (多选)(2026·西安调研)已知-2≤a+b≤4,2≤a-b≤6,则下列结论正确的是(　　) A.0≤a≤5 B.-4≤b≤1 C.-8≤3a+2b≤17 D.ab的最大值为5 (多选)已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,则(　　) A.-1<x<2 B.-2<y<1 C.-3<x+y<3 D.-1<x-y<3 4、 课堂归纳总结，作业精细化 板书设计 1.3 不等式及其性质 一、基础知识复习，知识网络化 1. 基础概念：定义、实数大小关系 2. 基本性质：对称、传递、加减、乘除性质 3. 作差比较法：作差 — 变形 — 判号 — 定论 4. 常用推论：同向相加、正数同向相乘 二、基础自测摸底，习题实战化 易错点：乘除负数不等号方向改变 三、题型归纳剖析，考点系统化 性质判断、大小比较、范围求解 反思&评价 本节课围绕不等式性质与作差比较法展开复习，搭建清晰知识框架。课堂练习中发现，学生对基础性质记忆较为扎实，但涉及负数乘除运算时，极易忽略不等号方向变化。作差变形环节因式分解、配方能力有所欠缺，解题步骤不够规范。后续教学将强化易错点对比训练，规范解题流程，借助典型例题夯实方法，提升学生逻辑推导与运算严谨度。 参考答案 5、 基础知识复习，知识网络化 不等式及其性质 6、 基础实战自测，题型基础化 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)a>b⇔ac3>bc3.(　　) (2)a=b⇔ac=bc.(　　) (3)若>1,则a>b.(　　) (4)a<x<b<0⇒<<.(　　) (5)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (6)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．(　　) (7)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ (5)√　(6)×　(7)× 2.(人教A必修一P43T8改编)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<b<0,则> 【答案】ABD 【解析】C中,若a=-2,b=-1,则a2>ab>b2,故C错误.其余均为真命题. 3.(苏教必修一P53例3改编)设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为　　　　. 【答案】M>N 【解析】M-N=x2+y2+1-2x-2y+2,=(x-1)2+(y-1)2+1>0.故M>N. 4．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2 且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A. 7、 题型归纳剖析，考点系统化 考点一　比较两个数(式)的大小 例1 (1)若实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,则(　　) A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m 【答案】A 【解析】因为实数m,n,p满足m=4,n=5,p=, 则m>0,n>0,p>0,所以==·<1,所以m<n; 又==·>1,所以m>p.所以p<m<n. (2)已知M=,N=,则M,N的大小关系为　　　　. 【答案】M>N 【解析】令f(x)=，==+, 显然f(x)是R上的减函数, ∴f(2 025)>f(2 026),即M>N. 训练1 (1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2-2x>-3(x∈R) B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R) C.a2+b2>2(a-b-1) D.<(b>a>0) 【答案】AD 【解析】∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0, ∴x2-2x>-3,故A正确; a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). ∵(a-b)2≥0,a+b的符号不确定, ∴a3+b3与a2b+ab2的大小不确定,故B错误; ∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0, ∴a2+b2≥2(a-b-1),故C错误; 用作差法比较得-=, ∵b>a>0,∴>0, ∴<,故D正确. (2)已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的关系随c而定 【答案】C 【解析】法一　由题设,易知x>0,y>0,又==<1,∴x<y. 法二　设f(x)=-,定义域为[1,+∞), 则f(x)=,故f(x)为减函数, 又c+1>c>1,则f(c+1)<f(c),即x<y. 考点二　不等式的基本性质 例2 (1)(多选)(2026·株洲模拟)已知a>b>0>c,则下列各选项正确的是(　　) A.< B.> C.> D.a+>b+ 【答案】AC 【解析】由a>b>0>c,得-==<0, 则<,A正确; 取a=2,b=1,c=-3,满足a>b>0>c,而=-1<-=,B错误; 由a>b>0>c,得a-c>b-c>0,则>>0,故>,C正确; 取a=2,b=1,c=-3,满足a>b>0>c,而a+=-1<-=b+,D错误. (2)(多选)(2026·聊城联考)下列命题中的真命题是(　　) A.若a>b>0,c∈R,则ac2>bc2 B.若a<b,则a3<b3 C.若c>a>b>0,则> D.若ln(a+2)<ln(b+2),则< 【答案】BC 【解析】当c=0时,ac2=bc2,故A错误; 由a<b,函数f(x)=x3为增函数,所以a3<b3,故B正确; 由c>a>b>0,得0<c-a<c-b,所以>>0, 又a>b>0,所以>>0,因此>,故C正确; 由ln(a+2)<ln(b+2),得0<a+2<b+2,即-2<a<b, 当a=1,b=2时,<不成立,故D错误. 训练2 (1)(多选)若<<0,则下列不等式正确的是(　　) A.< B.|a|+b>0 C.a->b- D.ln a2>ln b2 【答案】AC 【解析】由<<0,可知b<a<0. A中,因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0,则<,故A正确; B中,因为b<a<0,所以-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故B错误; C中,因为b<a<0,又<<0,则->->0,所以a->b-,故C正确; D中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上单调递减,可得b2>a2>0,而y=ln x在定义域(0,+∞)上单调递增, 所以ln b2>ln a2,故D错误. (2)(2026·绵阳诊断)下列四个条件中,使a>b成立的充要条件是(　　) A.> B.|a|>b C.a2>b2 D.2a>2b 【答案】D 【解析】当a=1,b=-1时,a>b成立,但无意义,故>不是a>b成立的必要条件,故A错误; 当a=-2,b=1时,满足|a|>b,但a>b不成立,所以|a|>b不是a>b成立的充分条件,故B错误; 当a=-3,b=1时,a2>b2成立,但a>b不成立, 所以a2>b2不是a>b成立的充分条件,故C错误; 由y=2x在R上单调递增,可得2a>2b是a>b成立的充要条件,故D正确. (3)(2026·河南名校联考)若c>a>b>0,则下列不等式成立的是(　　) A.abbc>acbb B.2ln b>ln a+ln c C.a->b- D.logac>logbc 【答案】C 【解析】对于A,因为c>a>b>0,所以>1,b-c<0,则==<1,所以abbc<acbb,故A错误; 对于B,由c>a>b>0得ln b<ln a<ln c,则ln a-ln b+ln c-ln b>0, 可得2ln b<ln a+ln c,故B错误; 对于C,因为c>a>b>0,所以>>0,-<-<0,又b<a,所以a->b-,故C正确; 对于D,若c=1,则logac=logbc=0,故D错误. 考点三　不等式性质的应用 例3 (1)(多选)(2026·大庆调研)已知1<x<6,2<y<3,则下列结论正确的是(　　) A.3<x+2y<9 B.-1<x-y<3 C.2<xy<18 D.<<6 【答案】CD 【解析】因为2<y<3,所以4<2y<6, 因为1<x<6,所以5<x+2y<12,故A错误; 因为2<y<3,所以-3<-y<-2, 因为1<x<6,所以-2<x-y<4,故B错误; 因为1<x<6,2<y<3,所以2<xy<18,故C正确; 因为2<y<3,所以1<y-1<2,所以<<1,又1<x<6, 所以<<6,故D正确.故选CD. (2)(2026·淮南段考)已知0<x+y<5,2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设2x-3y=m(x+y)+n(x-y),则2x-3y=(m+n)x+(m-n)y, 即 所以由0<x+y<5,2<x-y<3, 可得-<-(x+y)<0,5<(x-y)<, 则-+5<-(x+y)+(x-y)<0+, 即<2x-3y<,故选C. 训练3 (多选)(2026·西安调研)已知-2≤a+b≤4,2≤a-b≤6,则下列结论正确的是(　　) A.0≤a≤5 B.-4≤b≤1 C.-8≤3a+2b≤17 D.ab的最大值为5 【答案】AB 【解析】根据题意,-2≤a+b≤4,① 2≤a-b≤6,② 则①+②得0≤a≤5,A正确; 由②得-6≤b-a≤-2,与①相加得-4≤b≤1,故B正确; 设3a+2b=x(a+b)+y(a-b), 则3a+2b=(x+y)a+(x-y)b, 即 则3a+2b=(a+b)+(a-b), 结合①②可得-4≤3a+2b≤13,故C错误; 由①可得0≤(a+b)2≤16, 即0≤a2+2ab+b2≤16, 由②可得4≤(a-b)2≤36, 即4≤a2-2ab+b2≤36, 则-36≤-a2+2ab-b2≤-4, 所以-9≤ab≤3,故D错误.故选AB. (多选)已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,则(　　) A.-1<x<2 B.-2<y<1 C.-3<x+y<3 D.-1<x-y<3 【答案】ABD 【解析】x=[(x+2y)+2(2x-y)]∈(-1,2),故A正确; y=(x+2y)-(2x-y)∈(-2,1),故B正确; x+y=∈(-2,2),故C错误; x-y=∈(-1,3),故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $