精品解析：甘肃省金昌市永昌县2024--2025学年下学期期中联考八年级数学试卷

2024—2025学年度第二学期期中试卷八年级数学 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）． A. 1，2， B. 2，3，4 C. 7，24，25 D. 9.12，15 2. 下列运算中正确是（ ） A. B. C. D. 3. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 7. 如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（ ） A B. C. D. 8. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(　　) A. 16 B. 16 C. 8 D. 8 9. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则DE的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 代数式中x的取值范围是 ________． 12. 比较大小：_____.（填“”、“”或“”） 13. 如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高为________. 14. 矩形两条对角线的夹角为60°，矩形的较短的一边为5，则矩形的对角线的长是_____． 15. 如图，在中，分别为的中点，若，则______． 16. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）  17. （1）计算：； （2）计算：． 18 先化简，再求值，其中，． 19. 如图，在四边形中，，，，且于点B，求的度数． 20. 如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． （1）求证：． （2）若，求的面积． 21. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 22. 已知：如图，在中，点在上，且，求证：四边形是平行四边形． 23. 在平行四边形中，过点B作于点E，点F在边上，，连结． （1）求证：四边形是矩形； （2）当平分时，若，求的长． 24. 观察下列等式： ①； ②； ③； … 回答下列问题： （1）仿照上列等式，写出第n个等式：　 　； （2）利用你观察到的规律，化简：； （3）计算：…． 25. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期中试卷八年级数学 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）． A. 1，2， B. 2，3，4 C. 7，24，25 D. 9.12，15 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：A、12+22＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； B、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； C、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； D、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算正确，符合题意； C．，原式计算错误，不符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 4. 如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质与判定，平行线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质以及三角形中位线的性质，可得，根据两直线平行内错角相等即可求得． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线与相交于点O， ， E是边的中点， ∴，而， 故选B 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的值计算出的值，再代入原式计算可得． 【详解】解： ， ， ， 则原式． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次根式的运算，关键是根据平方差公式进行二次根式的运算，然后进行代值求解即可． 6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 7. 如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数． 详解】解：由题意可得， AB=2，BC=1，AB⊥BC， ∴AC=， ∴AD=， ∴点D表示数为：-1， 故选B. 【点睛】本题考查实数与数轴和勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(　　) A. 16 B. 16 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝120°可知∠ABC=60°，AB=AC，即△ABC为等边三角形，则AB=AC=BC=4，作AE⊥BC于点E，可得BE=2，AE= ，求得S菱形ABCD=BC·AE=4×= 【详解】解：在菱形ABCD中，有AB=AC ∵∠BAD＝120° ∴∠ABC=60° ∴△ABC为等边三角形 即AB=AC=BC=4 作AE⊥BC于点E ∴BE=2，AE= ∴S菱形ABCD=BC·AE=4×= 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形的判定，30°，60°，90°角三角形的边长关系，解本题的关键是发现图中的等边三角形，将对角线长度转化为菱形边长． 9. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则DE的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=（3-x）2，解方程即可得到DE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=5，AB=CD=3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF=AD=5，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF==4， ∴CF=BC-BF=5-4=1， 设CE=x，则DE=EF=3-x， 在Rt△ECF中，CE2+FC2=EF2， ∴x2+12=（3-x）2， 解得x=， ∴DE=3-x=， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用．灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键． 10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连接BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°， 而CE=DF， ∴AF=DE， 在△ABF和△DAE中 ∴△ABF≌△DAE， ∴AE=BF，所以（1）正确； ∴∠ABF=∠EAD， 而∠EAD+∠EAB=90°， ∴∠ABF+∠EAB=90°， ∴∠AOB=90°， ∴AE⊥BF，所以（2）正确； 连接BE， ∵BE＞BC， ∴BA≠BE， 而BO⊥AE， ∴OA≠OE，所以（3）错误； ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF=S△DAE， ∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF， ∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”． 二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 代数式中x的取值范围是 ________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故答案为：且． 12. 比较大小：_____.（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，先比较绝对值的大小即可得出结论. 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：. 13. 如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据旗杆与地面垂直，可知是直角三角形，且直角边的长度分别为和，利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即为旗杆折断之前的高． 【详解】解：如下图所示， ，，， ， 旗杆折断之前的高为． 故答案为：． 14. 矩形两条对角线的夹角为60°，矩形的较短的一边为5，则矩形的对角线的长是_____． 【答案】10 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，然后再根据矩形两条对角线的夹角为60°，证得△AOB是等边三角形，即可解答本题． 【详解】解：如图：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=AC，OB=BD，AC=BD ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=OB=AB=5， ∴AC=2OA=10，即矩形对角线的长为10. 故答案为：10. 【点睛】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，弄清题意、画出图形是解答本题的关键． 15. 如图，在中，分别为的中点，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长．此题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴， ∴， ∵在中，为的中点， ∴， 故答案：3 16. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，如图所示，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）  17. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】， 【解析】 【分析】（1）先化简为最简二次根式，然后计算加减法即可； （2）利用平方差公式计算乘法，同时计算除法，然后计算加减即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键． 18. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，先计算括号内分式的减法运算，再计算分式的除法运算，再把的值代入计算即可. 【详解】解： ； ∵，， ∴， ∴原式； 19. 如图，在四边形中，，，，且于点B，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 连接，由题意知，，利用勾股定理可求，并可求，而，，得，可证是直角三角形，，从而求的度数； 【详解】解：如图所示，连接， ， ∴为等腰直角三角形， ，， 又， ， ， 是直角三角形， ， ． 故的度数为． 20. 如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． （1）求证：． （2）若，求的面积． 【答案】（1）详见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）根据翻折变换的性质得，由平行线的性质得，可得，根据等腰三角形的判定即可得到结论； （2）根据勾股定理列出关于线段的方程即可解决问题． 【小问1详解】 由翻折变换的性质得：， ∵四边形为矩长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 由翻折变换的性质得：BE＝DE， 设，则， 由勾股定理得： ， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识．解题的关键是翻折变换的性质、勾股定理等知识点来解题． 21. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的高度为米 （2）他应该往回收线8米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 22. 已知：如图，在中，点在上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．连接交于点，根据平行四边形的性质可得，结合已知可得，即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形，点是对角线、的交点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 23. 在平行四边形中，过点B作于点E，点F在边上，，连结． （1）求证：四边形是矩形； （2）当平分时，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由矩形的性质得，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，证出，进而得到结论． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． ∴四边形是矩形； 小问2详解】 由（1）得：四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵由勾股定理，得． ∴ ∴由勾股定理，得． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，属于中考常考题型． 24. 观察下列等式： ①； ②； ③； … 回答下列问题： （1）仿照上列等式，写出第n个等式：　 　； （2）利用你观察到的规律，化简：； （3）计算：…． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据观察，发现规律，由发现的规律可得答案， （2）利用平方差公式把分母化为有理数，即可得到答案， （3）利用（1）中发现的规律依次把每一个二次根式化简，再观察可得答案． 【详解】解：（1）根据规律得到第n个等式： 故答案为： （2） （3）…． 【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算中的规律题，掌握化简的方法，概括出发现的规律是解题的关键． 25. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，理由见解析 （3）当或时，四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$