专题04旋转 专项训练（17大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期.

**基本信息** 系统梳理旋转与中心对称18类题型，从概念识别到动态探究形成完整训练体系，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|题型1-5|生活现象判断、图形识别、要素确定|从旋转定义到中心对称概念，构建基础认知| |性质应用|题型6-9|性质辨析、长度角度面积计算与证明|以旋转不变性为核心，实现性质到量化应用| |作图操作|题型10-14|旋转图形绘制、中心对称补画|培养几何直观，衔接性质与图形变换技能| |综合探究|题型15-17|规律探究、动态旋转与线段最值|整合空间观念与推理能力，提升综合解题素养|

专题04旋转 专项训练 题型梳理归纳 题型1.判断生活中的旋转现象 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 题型3.确定旋转中心、旋转角、对应点 题型4.识别旋转对称图形 题型5.识别中心对称图形，判断对称中心 题型6..旋转性质及辨析 题型7利用旋转的性质求线段长度、角度、面积 题型8利用旋转的性质证明线段相等、角相等 题型9.利用中心对称的性质求面积、长度、角度 题型10.画旋转后的图形 题型11.利用旋转设计图案 题型12.画图形关于某点中心对称的图形 题型13.确定两个中心对称图形的对称中心 题型14.在方格纸中补画图形，使其成为中心对称图形 题型15.旋转规律性问题 题型16.中心对称图形规律探究题 题型17.动态旋转动点问题、线段最值 题型18分层精炼 核心题型精讲 题型1.判断生活中的旋转现象 1．数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．国旗上升的过程 B．输送带运输的行李箱 C．轮船航行时的螺旋桨的转动 D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼 2．有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是________． 3．旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 1．把下图中的三角形，以如图所示的边为轴旋转一周，得到的立体图形是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④．（填平移或旋转）    3．如图①，把沿直线平移线段的长度，得到；如图②，以为轴，把沿翻折，可以得到；如图③，以点为中心，把旋转，可以得到．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题： (1)在图④中，可以使通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到? (2)图中线段与相等吗?为什么? 题型3.确定旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B．C． D． 2．【中档】如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是点 _____ ． 3．如图，的顶点坐标分别为，． (1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的 (4)在中：_____与_____成轴对称；_____与_____成中心对称，且对称中心的坐标为_____． 题型4.识别旋转对称图形 1．以下是回收、绿色包装、节水，低碳四个标志，其中可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 2．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A.矩形；B.正五边形；C.菱形；D.正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：___________（填序号）； （3）下列三个命题： ①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有______个； 3．如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，与成中心对称． (1)画出对称中心； (2)画出将向上平移6个单位长度得到的； (3)绕点按顺时针方向至少旋转多少度，才能与重合？ 题型5.识别中心对称图形，判断对称中心 1．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与成中心对称，则对称中心是____． 3．如图，的顶点坐标分别为，． (1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的 (4)在中：_____与_____成轴对称；_____与_____成中心对称，且对称中心的坐标为_____． 题型6..旋转性质及辨析 1．一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（   ）． ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法：①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．其中说法正确的是________． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)①在图1中，画出线段关于直线对称的线段．连接，线段和直线的关系为______； ②在图1中，将线段AB向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段．连接、，线段和线段的关系为______； (2)在图2中，线段与线段存在旋转变换关系．画出旋转中心O． 题型7利用旋转的性质求线段长度、角度、面积 1．如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是________． 3．如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 题型8利用旋转的性质证明线段相等、角相等 1．如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，此时边经过点，若，，则的长是______． 3．如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中． (1)旋转角是什么？旋转中心是什么？ (2)经过旋转，分别转到什么位置？ (3)与的长有什么关系？与呢？ (4)与有什么关系？ 题型9.利用中心对称的性质求面积、长度、角度 1．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A． 点A与点是对称点 B． B． C． D． 2．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的周长为________． 3．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出关于原点中心对称的； (2)求的面积． 题型10.画旋转后的图形 1．如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形可以看成是把菱形以点为中心（ ） A．逆时针旋转得到 B．逆时针旋转得到 C．顺时针旋转得到 D．顺时针旋转得到 2．如图，将线段绕点P按顺时针方向旋转，得到线段，其中点A、B的对应点分别是点、，则点的坐标是______． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，A，B，C都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留作图痕迹，体现作图过程）． (1)延长至点D，连接，使； (2)将绕点逆时针旋转至，过点E作于点F，并直接写出EF的长． 题型11.利用旋转设计图案 1．在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（    ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为_____cm． 3．（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 题型12.画图形关于某点中心对称的图形 1．如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点_______，且_______＝_______，_______＝_______，_______＝_______. 3．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到，请在图中画出； (2)请画出以点D为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心O；若不是，说明理由． 题型13.确定两个中心对称图形的对称中心 1．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心点E的坐标是______． 3．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 题型14.在方格纸中补画图形，使其成为中心对称图形 1．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 3．我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”图1是由4个可以完全重合的小长方形和一个正方形组成的“回形”正方形． (1)这个图形_______________． A．是轴对称图形，但不是中心对称图形    B．不是轴对称图形，但是中心对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形    D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 (2)①若记小长方形的长为，宽为，观察图形，写出一个三者之间的等量关系式：_____________； ②运用①中的结论，当时，求的值； (3)如图2，是一幅未画完的“回形”正方形，仅用无刻度的直尺，画完这幅“回形”正方形．（保留画图痕迹，不写画法） 题型15.旋转规律性问题 1．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2026个图案与第1个至第4个中的第_____个箭头方向相同．（填序号） 3．【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 题型16.中心对称图形规律探究题 1．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 题型17.动态旋转动点问题、线段最值 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，点、、、都在格点上．按下列要求画图： (1)画出向左平移个单位长度后得到的； (2)画出绕点按逆时针方向旋转后的； (3)在直线上找出一点，使得的值最小． 2．数学是研究数量关系和空间形式的科学．某节数学活动课上，同学们用一副三角尺开展如下探究活动． 【动手实践】 （1）如图1，三角尺和三角尺的边，重合，求的度数； 【深入探究】 如图2，三角尺从图1的位置出发，绕点O顺时针以每秒2度的速度旋转，三角尺的位置不变，设运动时间为t秒． （2）当平分时，求t的值； （3）若与满足：其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，求t的值． 3．已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； (3)当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 分层精练 一、单选题 1．升旗时国旗的运动是（    ），钟面上时针、分针的运动是（    ）． A．平移；旋转 B．旋转；对称 C．对称；旋转 D．旋转；平移 2．如图所示，从甲图案到乙图案的变化过程中，用到的图形变换可以是（   ） A．旋转、轴对称B．平移、轴对称 C．旋转、平移 D．平移 3．如图，在正方形网格中，△绕某一点旋转某一角度得到△，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．下列说法正确的是（　　） A．旋转改变图形的形状和大小 B．对顶角相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．内错角相等 二、填空题 5．如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么对称中心的坐标为_________． 6．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 7．雪花缓缓飘落，为大地披上了一层白纱，如图所示的雪花图案是一个中心对称图形，将该图案绕着它的中心旋转，使其与自身重合，至少应旋转的角度为______________． 8．如图，是由绕点逆时针旋转而得，且，，平分，则________． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将平移至，使得点的对应点的坐标为，请在图中直接画出平移后的； (2)将绕原点旋转后得到，直接在图中画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点________中心对称．（直接写出该点坐标） 10．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 11．如图，在长方形中，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P在边上运动时， （用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 12．已知如图，五边形中，．求证： (1)平分； (2)． 13．如图，将绕点逆时针方向旋转得到； (1)若，求旋转角的度数； (2)若，且，求的度数． 14．如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04旋转 专项训练 题型梳理归纳 题型1.判断生活中的旋转现象 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 题型3.确定旋转中心、旋转角、对应点 题型4.识别旋转对称图形 题型5.识别中心对称图形，判断对称中心 题型6..旋转性质及辨析 题型7利用旋转的性质求线段长度、角度、面积 题型8利用旋转的性质证明线段相等、角相等 题型9.利用中心对称的性质求面积、长度、角度 题型10.画旋转后的图形 题型11.利用旋转设计图案 题型12.画图形关于某点中心对称的图形 题型13.确定两个中心对称图形的对称中心 题型14.在方格纸中补画图形，使其成为中心对称图形 题型15.旋转规律性问题 题型16.中心对称图形规律探究题 题型17.动态旋转动点问题、线段最值 题型18分层精炼 核心题型精讲 题型1.判断生活中的旋转现象 1．数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．国旗上升的过程 B．输送带运输的行李箱 C．轮船航行时的螺旋桨的转动 D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼 【答案】C 【分析】在平面内，绕一个定点沿某个方向转动一个角度的图形变换称为旋转，沿某一方向直线移动的变换称为平移，根据定义逐一判断各选项的运动类型即可． 【详解】解：选项A国旗上升是沿竖直方向直线运动，属于平移，不符合要求； 选项B输送带运输的行李箱沿直线运动，属于平移，不符合要求； 选项C轮船航行时螺旋桨绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合要求； 选项D扶手电梯载顾客上下楼沿直线运动，属于平移，不符合要求． 2．有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是________． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，解决本题的关键是根据旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：时针的转动属于旋转； 摩天轮的转动属于旋转； 地下水位逐年下降属于平移，不是旋转； 传送带上的机器人属于平移，不是旋转． 故答案为： ． 3．旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 【答案】(1)顺时针 (2)加速 (3) (4)；逆时针 【分析】（1）根据大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，即可确定小齿轮转动方向； （2）根据大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快即可得到答案； （3）根据大齿轮转速大齿轮齿数小齿轮转速小齿轮齿数即可得到答案； （4）根据齿轮转速齿轮齿数齿轮转速齿轮齿数即可得到答案． 【详解】（1）解：大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反， 则小齿轮顺时针转动； （2）解：大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快，因此大齿轮带动小齿轮加速； （3）解：设小齿轮每分钟转圈， ， 解得， 因此小齿轮每分钟转动圈； （4）解：设齿轮齿数为， ， 解得， 齿轮顺时针转动，故齿轮逆时针转动． 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 1．把下图中的三角形，以如图所示的边为轴旋转一周，得到的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中的三角形可看成上、下两个直角三角形，上面的直角三角形绕轴旋转一周后得到的几何体是一个圆锥，下面的直角三角形绕轴旋转一周后得到的几何体也是一个圆锥． 【详解】解：图中三角形绕轴旋转一周后得到的几何体应是圆锥和圆锥的组合体． 2．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④．（填平移或旋转）    【答案】 旋转 平移 【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过旋转变换得到图形③； 图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移． 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 3．如图①，把沿直线平移线段的长度，得到；如图②，以为轴，把沿翻折，可以得到；如图③，以点为中心，把旋转，可以得到．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题： (1)在图④中，可以使通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到? (2)图中线段与相等吗?为什么? 【答案】(1)旋转 (2)相等，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的定义得出结果； （2）利用旋转的性质得到． 【详解】（1）解：因为△ABE绕点按逆时针方向旋转后得到△ADF， 故答案为旋转． （2）． 理由： 因为△ABE绕点按逆时针方向旋转后得到△ADF， 根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小， 所以． 【点睛】本题考查旋转的定义以及性质，掌握旋转前后的对应关系是解决问题的关键． 题型3.确定旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意逐项分析． 【详解】解：A、旋转前后图像全等，对应线段相等，即，选项说法正确，不符合题意； B、旋转前后图像全等，对应角相等，即，选项说法正确，不符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法错误，符合题意； D、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法正确，不符合题意． 2．【中档】如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是点 _____ ． 【答案】B 【分析】设中点H与中点为对应点，连接，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：将绕某个点旋转，得到， ∵E与为对应点，中点H与中点为对应点连接， 分别作和的垂直平分线，交于点B，如图所示， 故答案为：B． 3．如图，的顶点坐标分别为，． (1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的 (4)在中：_____与_____成轴对称；_____与_____成中心对称，且对称中心的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)与成轴对称或与成轴对称；与成中心对称， 【分析】（1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：连接交x轴于点E，由图可知， 点E为的中点，， ∴， 在中， 由图可知，与，与成轴对称；与成中心对称，且对称中心的坐标为． 题型4.识别旋转对称图形 1．以下是回收、绿色包装、节水，低碳四个标志，其中可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 根据旋转对称图形的定义与性质逐项分析即可． 【详解】解：A．旋转角为：，故符合题意； B．该图不是旋转对称图形，故不符合题意； C．该图不是旋转对称图形，故不符合题意； D．该图不是旋转对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A.矩形；B.正五边形；C.菱形；D.正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：___________（填序号）； （3）下列三个命题： ①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有______个； 【答案】 B （1）（3）（5） 2 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义即可解答； （2）分别求出各图形的旋转角即可解答； （3）根据旋转对称图形的定义判断即可． 【详解】（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，故选B． （2）图形（1）的旋转角为60°，120°，180°；图形（2）的旋转角为180°；图形（3）的旋转角为60°，120°，180°；图形（4）的旋转角为180°；图形（5）的旋转角为60°，120°，180°；图形（6）的旋转角为°，°，°，°，°；综上，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60°的图形是． 故答案为：． （3）根据旋转对称图形的定义可得：①中心对称图形是旋转对称图形是真命题；②等腰三角形是旋转对称图形是假命题；③圆是旋转对称图形是真命题．所以真命题有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题是新定义题目，熟练运用旋转对称图形的定义是解决问题的关键． 3．如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，与成中心对称． (1)画出对称中心； (2)画出将向上平移6个单位长度得到的； (3)绕点按顺时针方向至少旋转多少度，才能与重合？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平移作图，确定旋转中心，解题的关键是熟练掌握相关知识，并灵活运用． （1）连接、，相交于点O，点O即为所求； （2）先画出点、、平移后的对应点，再依次连接即可； （3）连接，根据图形，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由图可知，， 则绕点按顺时针方向至少旋转，能与重合． 题型5.识别中心对称图形，判断对称中心 1．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意． 2．如图，与成中心对称，则对称中心是____． 【答案】中点（或中点） 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 3．如图，的顶点坐标分别为，． (1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的 (4)在中：_____与_____成轴对称；_____与_____成中心对称，且对称中心的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)；；；； 【分析】（1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： （4） 解：由图可知，与成轴对称，与成中心对称，对称中心为． 题型6..旋转性质及辨析 1．一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（   ）． ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：∵旋转是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小， ∴旋转后对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都不发生变化，即②③④正确； 旋转后对应线段不一定平行，可能相交，因此①错误； 故正确的说法是②③④，选D． 2．一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法：①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．其中说法正确的是________． 【答案】②③④ 【分析】根据平移和旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据平移的性质可知：平移变换对应线段平行或共线；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化； 根据旋转的性质可知：旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化， 所以②③④正确． 【点睛】本题主要考查了图形平移的性质和图形旋转的性质，熟记平移和旋转的性质是解题的关键． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)①在图1中，画出线段关于直线对称的线段．连接，线段和直线的关系为______； ②在图1中，将线段AB向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段．连接、，线段和线段的关系为______； (2)在图2中，线段与线段存在旋转变换关系．画出旋转中心O． 【答案】(1)①见解析；直线垂直平分线段；②见解析；，； (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，平移作图，找旋转中心，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据轴对称图形的性质即可得出结果；②根据图形的平移作图，然后由平移的性质即可求解； （2）分别作对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心． 【详解】（1）①解：如图1，线段即为所求的线段． 直线垂直平分线段； ②解：如图1，线段即为所求的线段． ，； （2） 解：如图2，点和点即为所求的旋转中心． 题型7利用旋转的性质求线段长度、角度、面积 1．如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得出，进而利用角的和与差计算求出即可． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 2．如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是________． 【答案】2 【分析】根据旋转的性质得出，再由求出即可． 【详解】解：∵旋转后到达的位置，， ∴， ∴． 3．如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，证明即可； （2）由题意可知，，，得到，根据三角形的面积公式求解即可； 【详解】（1）证明：将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ． （2）（2）由题意可知，，， ， ，， ， ． 题型8利用旋转的性质证明线段相等、角相等 1．如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转的性质对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，， ∴A、B、C正确，不符合题意； 不一定成立，D符合题意． 2．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，此时边经过点，若，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得出，由解题． 【详解】解：由绕点逆时针旋转一定的角度得到， ， ． 故答案为：． 3．如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中． (1)旋转角是什么？旋转中心是什么？ (2)经过旋转，分别转到什么位置？ (3)与的长有什么关系？与呢？ (4)与有什么关系？ 【答案】(1)或，旋转中心是点O (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角． （1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义回答； （2）根据旋转的定义回答； （3）根据旋转的性质回答； （4）根据旋转的性质回答． 【详解】（1）旋转角是或，旋转中心是点O； （2）经过旋转，分别转到D、E、F的位置； （3）与长的关系，，与长的关系，； （4）与的关系：． 题型9.利用中心对称的性质求面积、长度、角度 1．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A． 点A与点是对称点 B． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵与不是对应角， ∴不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 2．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的周长为________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出关于原点中心对称的； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据中心对称的定义作出A，B，C的对应点，再连成三角形即可； （2）根据（1）作出的图形，观察之后可根据正方形面积减去三角形面积解得的面积； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；      （2）解：； 【点睛】本题考查作图-作中心对称图形，解题的关键是掌握网格的特征和中心对称的概念． 题型10.画旋转后的图形 1．如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形可以看成是把菱形以点为中心（ ） A．逆时针旋转得到 B．逆时针旋转得到 C．顺时针旋转得到 D．顺时针旋转得到 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质以及旋转的性质，观察图象找出是解题的关键．由结合旋转的性质，即可得出结论． 【详解】解：根据旋转的意义，观察图片可知，菱形可以看成是把菱形以为中心逆时针旋转得到． 故选：A． 2．如图，将线段绕点P按顺时针方向旋转，得到线段，其中点A、B的对应点分别是点、，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题考查了图形的旋转作图．根据旋转的要求作出图形即可得到答案． 【详解】解：如图，线段即为所求，则点的坐标是， 故答案为： 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，A，B，C都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留作图痕迹，体现作图过程）． (1)延长至点D，连接，使； (2)将绕点逆时针旋转至，过点E作于点F，并直接写出EF的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，的长为 【分析】本题考查作图——网格作图，勾股定理，旋转，相似三角形，三角形的面积．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）作 即可求解；（2）的面积，，可得出. 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图：的长为． 题型11.利用旋转设计图案 1．在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用中心对称图形的定义结合图形的旋转变换得出答案． 【详解】解：如图所示： 只有选项D可以与已知图形组成中心对称图形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 2．如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为_____cm． 【答案】16 【分析】延长AT交BC于点P，利用三角形的面积公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得结论． 【详解】解：延长AT交BC于点P， ∵AP⊥BC， ∴•BC•AP=12， ∴×6×AP=12， ∴AP=4（cm）， 由题意，AT=PT=2（cm）， ∴BE=CD=PT=2（cm）， ∵DE=BC=6cm， ∴长方形BCDE的周长为6+6+2+2=16（cm）． 故答案为：16． 【点睛】本题考查图形的拼剪，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 3．（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）；（3）作图见解析 【分析】（1）①利用方格纸，取格点，连接即可，②利用方格纸，取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）根据点到直线的距离和线段的定义即可求解； （3）在射线的上方作即可． 【详解】解：（1）①如图，取格点，连接， ∵所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上， ∴点向上平移3格，再向右平移2格与点重合，同时点向上平移3格，再向右平移2格与点重合， 即线段向上平移3格，再向右平移2格与线段重合， ∴， 则即为所作； ②如图，取格点，连接，与交于点， 在和中， ，，， ，， 即绕点顺时针旋转与重合， ∴绕点顺时针旋转与重合， ∴， 由①知：， ∴，即， 则即为所作． （2）∵， ∴， ∴线段的长度表示点到的距离． 故答案为：． （3）如图，在射线的上方作， 又∵， ∴ ， ∴， 则射线即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，尺规作图，平移和旋转，点到直线的距离，角的计算，垂直的判定．解题的关键是掌握基本的作图方法和相关定义及性质． 题型12.画图形关于某点中心对称的图形 1．如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出． 【详解】解：①通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ②通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ③通过画图可知，此方法不可以将与重合，故此方法错误， 故选：A． 2．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点_______，且_______＝_______，_______＝_______，_______＝_______. 【答案】 O； ； ； ； ； ； 【分析】根据中心对称及中心对称图形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵和 关于点O成中心对称， ∴线段、、它们都经过点O；且，，； 故答案为O；，；，；，． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 3．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到，请在图中画出； (2)请画出以点D为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心O；若不是，说明理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)是，画图见解析 【分析】（1）根据平移方式和网格的特点找到点的位置，再作图即可； （2）根据中心对称和网格的特点找到点的位置，再作图即可； （3）根据中心对称的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：与是成中心对称；连接，，则与的交点，即为对称中心O． 题型13.确定两个中心对称图形的对称中心 1．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心点E的坐标是______． 【答案】 【分析】由题意可知和关于点E成中心对称，根据对应点连线经过对称中心可知连接，交于点E，即可得出答案． 【详解】解：连接，交于点E，其坐标是． 3．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、交于点，点即为所作； （2）根据成中心对称的图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图：对称中心O即为所作， （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长． 题型14.在方格纸中补画图形，使其成为中心对称图形 1．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据中心对称的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形即可解答． 【详解】解：如图，把①涂黑后得到图形，绕中心点旋转可与原图重合，为中心对称图形． 2．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 3．我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”图1是由4个可以完全重合的小长方形和一个正方形组成的“回形”正方形． (1)这个图形_______________． A．是轴对称图形，但不是中心对称图形    B．不是轴对称图形，但是中心对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形    D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 (2)①若记小长方形的长为，宽为，观察图形，写出一个三者之间的等量关系式：_____________； ②运用①中的结论，当时，求的值； (3)如图2，是一幅未画完的“回形”正方形，仅用无刻度的直尺，画完这幅“回形”正方形．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】(1)B (2)①；②±5 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的特征进行判断即可； （2）根据面积关系，大正方形的面积等于中心小正方形的面积与四个小长方形的面积之和即可得出等量关系； （3）根据“回形”正方形是中心对称图形，对称中心是正方形的对角线交点，由此即可作图． 【详解】（1）解：沿水平中线、竖直中线或对角线对折，图形均无法完全重合，因此它不是轴对称图形．将图形绕其几何中心旋转，旋转后的图形能与原图形完全重合，因此它是中心对称图形． 综上所述，该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形． 故选 B． （2）①因为大正方形的面积等于中心小正方形的面积与四个小长方形的面积之和． 所以，三者之间的等量关系式为： ， ②由①得： （3）如图： 题型15.旋转规律性问题 1．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，叫做一次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1，即可确定骰子朝上一面的点数． 【详解】解：根据题意可知， 骰子第一次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， 骰子第二次向右翻滚，上面的点数为6，逆时针旋转前面的点数为2， 骰子第三次向右翻滚，上面的点数为3，逆时针旋转前面的点数为1， 骰子第四次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， ， 以此类推可知连续3次变换是一循环． ． 得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：C． 2．如图摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2026个图案与第1个至第4个中的第_____个箭头方向相同．（填序号） 【答案】4 【分析】一圈有360度，每次旋转60度，那么每6次旋转为一个循环，求出除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴每6次旋转为一个循环， ∵， ∴第2026个图案与第1个至第4个中的第4个箭头方向相同． 3．【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒 【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断； （2）根据“友好线”定义即可求解； （3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可． 【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠COD， ∵∠COA＝∠BOC， ∴∠BOD＝∠AOD， ∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”． （2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n， ∴∠BOM＝∠AOB＝n， ∵ON平分∠AOB， ∴∠BON＝∠AOB＝n， ∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n； （3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”． 当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB， 所以3x＝（180﹣5x﹣3x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”． 当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOB， 所以180﹣5x﹣3x＝×3x， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OC的“友好线”． 当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOC， 所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”． 当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝∠COB， 所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180）， 解得x＝30（符合题意）， 即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”． 综上所述，当运动时间为或或或30秒时，符合题意要求． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键． 题型16.中心对称图形规律探究题 1．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 2．如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【详解】解：由题意可得：点，，，，，…… ∴可知6个点一个循环，， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 题型17.动态旋转动点问题、线段最值 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，点、、、都在格点上．按下列要求画图： (1)画出向左平移个单位长度后得到的； (2)画出绕点按逆时针方向旋转后的； (3)在直线上找出一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）分别画出点、、向左平移个单位长度的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； （2）分别画出点、、绕点逆时针旋转的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； （3）作点关于的对称点，连接交直线于点，根据两点之间线段最短可知，此时的值最小． 【详解】（1）解：如下图所示， 分别画出点、、向左平移个单位长度的对应点、、， 连接点、、，得到即为所求； （2）解：如下图所示， 分别画出点、、绕点逆时针旋转的对应点、、， 连接点、、，得到即为所求； （3）解：如下图所示， 作点关于的对称点，连接交直线于点， 则有， ， 此时的值最小． 2．数学是研究数量关系和空间形式的科学．某节数学活动课上，同学们用一副三角尺开展如下探究活动． 【动手实践】 （1）如图1，三角尺和三角尺的边，重合，求的度数； 【深入探究】 如图2，三角尺从图1的位置出发，绕点O顺时针以每秒2度的速度旋转，三角尺的位置不变，设运动时间为t秒． （2）当平分时，求t的值； （3）若与满足：其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，求t的值． 【答案】（1），（2），（3）或 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角尺的角度特征，角的和差运算及分类讨论． （1）根据题意利用三角尺的角度特征可得的度数； （2）根据角平分线的定义求得，再根据题中的信息可设，进而求得t的值； （3）先设，再利用三角尺的角度特征分别求得和的度数，最后分类讨论即可求得t的值． 【详解】解：（1）∵，重合，，， ∴， 即为； （2）∵平分， ∴， 又∵绕点O顺时针以每秒2度的速度旋转， ∴， ∴，解得， 即t的值为30； （3）由（2）知，， ∴，， ①当时， ，解得， ②当时， ，解得， 综上所述，t的值为30或． 3．已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； (3)当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【答案】(1) (2)图见解析，，理由见解析 (3)或； 【分析】（1）由旋转的性质可得，，， 进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形，然后根据旋转的性质以及平行线的判定定理即可得证； （3）分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形，然后根据角的数量关系列方程求解即可；由旋转的性质得， 根据角的和差关系依次表示出， ， ，根据为定值可令含未知数的系数为，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为， ，， ， ， ； （2）解：如图，即为所求； ，理由如下： 由旋转的性质可得，， ， ； （3）解：如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； 由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ，解得， 常数的值为． 分层精练 一、单选题 1．升旗时国旗的运动是（    ），钟面上时针、分针的运动是（    ）． A．平移；旋转 B．旋转；对称 C．对称；旋转 D．旋转；平移 【答案】A 【详解】解：∵升旗过程中，国旗任意两点间的相对方向和距离不变，整体沿直线移动，符合平移的定义， ∴升旗时国旗的运动是平移， ∵钟面上时针、分针都绕钟面中心定点转动，各点到中心的距离不变，符合旋转的定义， ∴钟面上时针、分针的运动是旋转． 2．如图所示，从甲图案到乙图案的变化过程中，用到的图形变换可以是（   ） A．旋转、轴对称B．平移、轴对称 C．旋转、平移 D．平移 【答案】C 【分析】通过对比甲、乙两个图案的方向和位置变化，结合平移、旋转、轴对称三种图形变换的特征，判断用到的变换类型． 【详解】解：∵甲图案主干竖直，乙图案主干倾斜，方向发生了改变． ∴图形变换中包含旋转． ∵甲图案的分枝在主干右侧1枝，左侧2枝，乙图案分枝在主干右侧1枝，左侧2枝． ∴图形变换中包含平移． 综上所述，从甲图案到乙图案的变化过程中，用到的图形变换可以是旋转、平移． 3．如图，在正方形网格中，△绕某一点旋转某一角度得到△，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上．连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点为旋转中心． 【详解】解：如图， △绕某点旋转一定的角度，得到△， 连接、、， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线， 三条线段的垂直平分线正好都过， 即旋转中心是． 故选：． 4．下列说法正确的是（　　） A．旋转改变图形的形状和大小 B．对顶角相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．内错角相等 【答案】B 【分析】根据旋转性质、对顶角性质、平行线判定与性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、旋转不改变图形的形状和大小，原说法错误，不符合题意； B、对顶角相等，说法正确，符合题意； C、根据平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，原说法错误，不符合题意； D、根据平行线的性质，只有平行的时候，才有内错角相等，在没有平行前提条件下，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查命题的真假，熟记相关定义及性质是解决问题的关键． 二、填空题 5．如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么对称中心的坐标为_________． 【答案】 【分析】对应点连线的中点即时对称中心的坐标，以此来求解即可． 【详解】解：的中点坐标是， 故答案是：． 【点睛】本题考查了中心对称变换，掌握根据对应点找出对称中心的方法是求解的关键． 6．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 7．雪花缓缓飘落，为大地披上了一层白纱，如图所示的雪花图案是一个中心对称图形，将该图案绕着它的中心旋转，使其与自身重合，至少应旋转的角度为______________． 【答案】 【分析】本题考查旋转对称图形，生活中的旋转现象等知识，“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为，即可解决问题． 【详解】解：“雪花图案”可以看成正六边形， ∵正六边形的中心角为， ∴这个图案至少旋转能与原雪花图案重合． 故答案为：． 8．如图，是由绕点逆时针旋转而得，且，，平分，则________． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，由平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，最后根据求解即可． 【详解】解：是由绕点逆时针旋转而得，， ，， ， ， 平分， ， ， ． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将平移至，使得点的对应点的坐标为，请在图中直接画出平移后的； (2)将绕原点旋转后得到，直接在图中画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点________中心对称．（直接写出该点坐标） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点对应点，则三角形向左平移4个单位作图即可； （2）根据绕原点旋转，顺次连接即可得到； （3）连接对应点即可确定交点位置，由此可得坐标． 【详解】（1）解：由点对应点， 则向左平移4个单位得到，如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：连接，，，如图，可得交点， 则与关于点中心对称． 10．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 11．如图，在长方形中，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P在边上运动时， （用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解； （3）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，重合，此时不重合， 当重合时，， ； （3）解：当时，或， 解得，或， 或； （4）解：当点在上时，连接，如图甲所示， ， ， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，如图乙所示， ， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 12．已知如图，五边形中，．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查旋转作图及三角形全等的性质， （1）根据旋转后角的度数不变可先证得，从而得到，然后再证明即可得出答案． （2）由（1）得，可得，即可得出结论； 【详解】（1）证明：把旋转的度数如图 ，． 把旋转的度数后和重合，且， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， 平分． （2）由（1）得： ∴ ∴ 由（1）得： ∴ ∴ ∴ 13．如图，将绕点逆时针方向旋转得到； (1)若，求旋转角的度数； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转的性质得到，，再由平行线的性质作答即可； （2）由旋转的性质得到，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：绕点逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ； （2）解：绕点逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ∴． 14．如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)旋转中心是，旋转角是 (2) (3) 【分析】（1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断； （3）根据得出的面积，可得四边形的面积就是正方形的面积与的面积的差． 【详解】（1）解：旋转中心是，旋转角是； （2）延长交于点．    由旋转可知：， ，． 又，， ， ． （3）， 的面积是， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $