精品解析：2026年辽宁省锦州市中考二模考试数学试题

锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（二） 数学试卷 考试时间120分钟试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 参考公式：抛物线（）顶点坐标为 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 水星是太阳系中最靠近太阳的行星，白天其表面温度可达到零上，记作，夜间其表面温度会下降至零下，则零下可记作（ ） A. B. C. D. 2. 辽宁省统计局发布的数据显示，年我省粮食产量再创新高，达 吨，较上年增长 ，增速居粮食主产区第位．数据 用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某校学生的户外运动时间，现对该校学生进行抽样调查，下列抽样方式较合理的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校名学生 C. 在操场上随机抽取名学生 D. 随机抽取该校名男生 4. 科技小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，图1是密度计浸在某种液体中的示意图．已知该密度计竖直漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，其图象如图2所示（）．当此密度计浸在某种液体中的高度为时，该液体的密度为（ ） A. B. C. D. 5. 一副三角板按如图所示的方式摆放，顶点A，E，C，F在同一条直线上，，，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 唐三彩是唐代经典的低温釉陶器，也是我国古代陶瓷艺术的杰出代表（如图1）．如图2，小颖依据该唐三彩器物的纹样，用木棒摆放如下规律图案：第①个图案中有10根木棒，第②个图案中有16根木棒，第③个图案中有22根木棒，…，按照这一规律，第⑤个图案中木棒的根数是（ ） A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 7. 某班组织趣味活动，共设计了两个不同的项目，甲、乙两名同学分别从这两个项目中随机选一个参加，他们选中同一个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F；以点A为圆心，长为半径作弧，分别交，于点，；以点为圆心，长为半径作弧，交上一段弧于点G；作射线，交于点M，交延长线于点N．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接．若，则的长为__________． 13. 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，并规定它的运算法则为．例如：．若，则x的值为__________． 14. 小明与小亮计划周末一同到辽沈战役纪念馆参观．小明家、小亮家和纪念馆的方位如图所示．若小亮家在小明家的正东方向，小亮家到纪念馆的距离为，则小明家与小亮家的距离约为_________．（参考数据：，，） 15. 在正方形中，，P是正方形内的一点，连接，，，，记的面积为，的面积为．若，则的最小值是__________． 三、解答题（本题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的周长． 18. 为丰富学生校园体育生活，引导学生积极参与体育锻炼，某校利用大课间开展足球、篮球、排球、乒乓球、羽毛球五项球类活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间球类活动情况，随机抽取了该校60名学生进行调查，得到如下两幅不完整的统计图（图1和图2）： （1）请将球类活动调查数据条形统计图补充完整； （2）求球类活动调查数据扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形圆心角的度数； （3）为备战篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入篮球队．已知甲、乙两名同学近6周定点投篮测试成绩（每次测试时间为3分钟，共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图3所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求k的值； （2）若直线与直线的交点在x轴的上方，求t的取值范围． 20. 综合与实践 项目主题 均衡膳食 科学运动 项目背景 健康生活，既要均衡膳食，也要坚持运动．某校数学兴趣小组的同学们计划查阅资料，利用所学知识，为同学们提供科学的膳食搭配参考与合理的运动建议． 项目资料1 表1：食材营养含量表 食材 蛋白质 碳水化合物 蛋清 燕麦 项目资料2 表2：常见运动热量消耗 运动项目 热量消耗 1组开合跳 30千卡 1组仰卧起坐 25千卡 项目任务 （1）若一种早餐由若干份蛋清（每份）和若干份燕麦（每份）制成．其营养成分表显示蛋白质含量共，碳水化合物含量共．求这份早餐需要的蛋清和燕麦的份数； （2）维持身体热量平衡，合理饮食与适量运动缺一不可．结合青少年健康成长规律，初中生除日常基础消耗外，还需要通过运动消耗400千卡热量．若用开合跳和仰卧起坐两种运动组合起来进行日常锻炼，共有哪几种运动方案？（运动方案中要同时包含开合跳和仰卧起坐两种运动） 21. 如图，在中，，以为直径在的上方作半圆O，分别交，于点D，E，过点B的直线交射线于点F，． （1）求证：是半圆O的切线； （2）若，，求的长． 22. 数学活动课上，同学们对角平分线的尺规作图进行了深入研究，智慧小组的作法如下： 如图1，在的两边，上分别取点A，B（）；以点O为圆心，长为半径作弧交射线于点E；再以点O为圆心，长为半径作弧交射线于点F；连接，交于点C；作射线，则射线即为的平分线． 【思路研讨】 勤学小组提出：可通过3次三角形全等，证明智慧小组的作法正确；善思小组认为：通过添加适当的辅助线，仅用1次或2次三角形全等即可完成证明． 【推理验证】 （1）请证明智慧小组上述作法的正确性； 【变式探究】 （2）智慧小组发现，按上述方法作出角平分线后，保持A，B，C三点的位置不变，改变点E，F的位置（如图2），使与相交于点P．若，，则与存在确定的数量关系，请写出该数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，H为的平分线上的一点，连接，作于点Q．若，，，求的长． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点，且过点，其对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线平移后得到抛物线，使抛物线的顶点落在直线上，当时，抛物线上存在一点的纵坐标与该点横坐标的差有最小值，求满足条件的抛物线的顶点坐标； （3）点M在直线上且位于x轴下方，N为抛物线上的一点．若满足的点N恰好只有3个，求点M，N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（二） 数学试卷 考试时间120分钟试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 参考公式：抛物线（）顶点坐标为 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 水星是太阳系中最靠近太阳的行星，白天其表面温度可达到零上，记作，夜间其表面温度会下降至零下，则零下可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵白天其表面温度可达到零上，记作， ∴零上温度记作正，则零下应记作负， 因此零下可记作． 2. 辽宁省统计局发布的数据显示，年我省粮食产量再创新高，达 吨，较上年增长 ，增速居粮食主产区第位．数据 用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 为了解某校学生的户外运动时间，现对该校学生进行抽样调查，下列抽样方式较合理的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校名学生 C. 在操场上随机抽取名学生 D. 随机抽取该校名男生 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抽样调查的合理性判断，合理抽样要求样本具有广泛性和代表性，能够反映总体的真实情况． 【详解】解：∵ 调查目的是了解某校全体学生的户外运动时间，样本需能代表全校不同群体的情况， ∴ 逐一分析选项： A选项，仅抽取该校一个班级的学生，样本范围局限，代表性不足，抽样不合理； B选项，从全校随机抽取50名学生，样本具有广泛性和代表性，抽样合理； C选项，仅在操场上抽样，抽到的多为爱好运动的学生，抽样存在偏向，不能代表全体学生，不合理； D选项，仅抽取男生，忽略了女生群体，样本不全面，存在偏差，不合理． 4. 科技小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，图1是密度计浸在某种液体中的示意图．已知该密度计竖直漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，其图象如图2所示（）．当此密度计浸在某种液体中的高度为时，该液体的密度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出h与ρ之间的函数关系式，再将代入计算即可． 【详解】解：设h与ρ之间的函数关系式为（k为常数，且）， 将坐标代入上式，得，解得， 与ρ之间的函数关系式为， 当时，． 5. 一副三角板按如图所示的方式摆放，顶点A，E，C，F在同一条直线上，，，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再用外角解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 6. 唐三彩是唐代经典的低温釉陶器，也是我国古代陶瓷艺术的杰出代表（如图1）．如图2，小颖依据该唐三彩器物的纹样，用木棒摆放如下规律图案：第①个图案中有10根木棒，第②个图案中有16根木棒，第③个图案中有22根木棒，…，按照这一规律，第⑤个图案中木棒的根数是（ ） A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】先计算相邻两个图案的木棒数量差值，判断木棒数变化的规律，因为已知前三个图案的木棒数，且相邻两项差值固定，所以可确定该规律的表达式，将代入公式，计算得到对应木棒数． 【详解】找规律： 第①个图案：根木棒， 第②个图案：根木棒 ， 第③个图案：根木棒 ， 可得规律：第个图案的木棒根数为 ，后一个图案比前一个图案多6根木棒， ∴第⑤个图案的木棒数： 将代入公式，得 ， ∴第⑤个图案有34根木棒， 7. 某班组织趣味活动，共设计了两个不同的项目，甲、乙两名同学分别从这两个项目中随机选一个参加，他们选中同一个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图，列出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设两个项目分别为和，如图， 共有种等可能的结果，其中两人选中同一个项目的结果有种， 所求概率． 8. 实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数轴可知，，，，，逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， 故A、B、C错误，不符合题意； 由数轴可知，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故D正确，符合题意． 9. 如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正多边形的性质求出扇形的圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴扇形的面积是， 故选：C． 10. 如图，在菱形中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F；以点A为圆心，长为半径作弧，分别交，于点，；以点为圆心，长为半径作弧，交上一段弧于点G；作射线，交于点M，交延长线于点N．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图方法可知：，由菱形的性质得，，证明，根据相似三角形的性质得，即可求出，再根据即可求解． 【详解】解：根据作图方法可知：， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接．若，则的长为__________． 【答案】2 【解析】 【详解】∵平移， ∴， 且， ∴， 又∵D为中点， ∴． 13. 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，并规定它的运算法则为．例如：．若，则x的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二阶行列式的运算法则，将已知等式转化为关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解： 根据运算法则可得 化简得 合并同类项得 系数化为得． 14. 小明与小亮计划周末一同到辽沈战役纪念馆参观．小明家、小亮家和纪念馆的方位如图所示．若小亮家在小明家的正东方向，小亮家到纪念馆的距离为，则小明家与小亮家的距离约为_________．（参考数据：，，） 【答案】7 【解析】 【分析】过点C作于点D，则，进而求出，，在中，，，在中，，再由即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D，则， 根据题意得，，，，， ∴，， 在中，， ， 在中，，， ∴， ∴， 即小明家与小亮家的距离约为． 15. 在正方形中，，P是正方形内的一点，连接，，，，记的面积为，的面积为．若，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的长度，根据轴对称求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，最后根据两点之间，线段最短，即可得答案． 【详解】解：如下图，过点P作，过点P作，作点A关于直线的对称点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 的值最小， 三点共线， 在中，， 的最小值是． 三、解答题（本题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算负整数指数幂、乘法运算、立方根及去绝对值运算，再由实数加减运算法则求解即可； （2）先对分式分子分母因式分解，先计算括号内分式加法运算，再将除法转化为乘法，最后约分即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再由可推出，根据四边形的对边平行且相等即可得出结论； （2）根据平分，得，由得，则，，即可求解． 【小问1详解】 证明：在中，，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 的周长． 18. 为丰富学生校园体育生活，引导学生积极参与体育锻炼，某校利用大课间开展足球、篮球、排球、乒乓球、羽毛球五项球类活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间球类活动情况，随机抽取了该校60名学生进行调查，得到如下两幅不完整的统计图（图1和图2）： （1）请将球类活动调查数据条形统计图补充完整； （2）求球类活动调查数据扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形圆心角的度数； （3）为备战篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入篮球队．已知甲、乙两名同学近6周定点投篮测试成绩（每次测试时间为3分钟，共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图3所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）建议选拔乙同学加入篮球队（答案不唯一），见解析 【解析】 【分析】（1）求出参加篮球类活动的人数，即可求解； （2）用360度乘以“乒乓球”类活动人数所占的百分比，即可求解； （3）根据平均数和方差的意义解答即可． 【小问1详解】 解：参加篮球类活动的人数为（人）． 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：． 即扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形圆心角的度数为． 【小问3详解】 解： （次）， （次）． ， 乙的成绩比甲的成绩稳定， 建议选拔乙同学加入篮球队． 19. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求k的值； （2）若直线与直线的交点在x轴的上方，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一次函数的图象过点，直接将点P坐标代入即可求解； （2）由（1）可知直线的函数表达式，联立直线与直线的函数表达式解出交点坐标，再根据交点在x轴的上方即可求解出t的取值范围． 【小问1详解】 解：一次函数的图象过点， ， 解得：； 【小问2详解】 由（1）可知：直线的表达式为：， 联立， 解得：， 直线与直线的交点坐标为， 直线与直线的交点在x轴的上方， ， , 则t的取值范围为． 20. 综合与实践 项目主题 均衡膳食 科学运动 项目背景 健康生活，既要均衡膳食，也要坚持运动．某校数学兴趣小组的同学们计划查阅资料，利用所学知识，为同学们提供科学的膳食搭配参考与合理的运动建议． 项目资料1 表1：食材营养含量表 食材 蛋白质 碳水化合物 蛋清 燕麦 项目资料2 表2：常见运动热量消耗 运动项目 热量消耗 1组开合跳 30千卡 1组仰卧起坐 25千卡 项目任务 （1）若一种早餐由若干份蛋清（每份）和若干份燕麦（每份）制成．其营养成分表显示蛋白质含量共，碳水化合物含量共．求这份早餐需要的蛋清和燕麦的份数； （2）维持身体热量平衡，合理饮食与适量运动缺一不可．结合青少年健康成长规律，初中生除日常基础消耗外，还需要通过运动消耗400千卡热量．若用开合跳和仰卧起坐两种运动组合起来进行日常锻炼，共有哪几种运动方案？（运动方案中要同时包含开合跳和仰卧起坐两种运动） 【答案】（1）这份早餐需要蛋清2份，燕麦1份 （2）共有2种运动方案，方案1：用5组开合跳，10组仰卧起坐来进行日常锻炼；方案2：用10组开合跳，4组仰卧起坐来进行日常锻炼 【解析】 【分析】（1）设这份早餐中蛋清x份，燕麦y份，列方程组解答即可； （2）设用a组开合跳，b组仰卧起坐来进行日常锻炼，根据题意列方程，然后写出所有符合题意的结果即可． 【小问1详解】 解：设这份早餐需要蛋清x份，燕麦y份． 根据题意，得 解得： 答：这份早餐需要蛋清2份，燕麦1份． 【小问2详解】 解：设用a组开合跳，b组仰卧起坐来进行日常锻炼， 根据题意，得 ． ， a，b均为正整数， 或， 共有2种运动方案， 方案1：用5组开合跳，10组仰卧起坐来进行日常锻炼； 方案2：用10组开合跳，4组仰卧起坐来进行日常锻炼． 21. 如图，在中，，以为直径在的上方作半圆O，分别交，于点D，E，过点B的直线交射线于点F，． （1）求证：是半圆O的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，再结合，得，进而可推出，进而可得结论； （2）连接，，由，，得，则，由四边形为圆内接四边形，由内接四边形的性质及平角的定义推出，证明，根据，设，，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接． 为半圆O的直径， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即， ， 是半圆O的半径， 是半圆O的切线； 【小问2详解】 解：如图2，连接，， ， 又，， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， 设，， ， ． 22. 数学活动课上，同学们对角平分线的尺规作图进行了深入研究，智慧小组的作法如下： 如图1，在的两边，上分别取点A，B（）；以点O为圆心，长为半径作弧交射线于点E；再以点O为圆心，长为半径作弧交射线于点F；连接，交于点C；作射线，则射线即为的平分线． 【思路研讨】 勤学小组提出：可通过3次三角形全等，证明智慧小组的作法正确；善思小组认为：通过添加适当的辅助线，仅用1次或2次三角形全等即可完成证明． 【推理验证】 （1）请证明智慧小组上述作法的正确性； 【变式探究】 （2）智慧小组发现，按上述方法作出角平分线后，保持A，B，C三点的位置不变，改变点E，F的位置（如图2），使与相交于点P．若，，则与存在确定的数量关系，请写出该数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，H为的平分线上的一点，连接，作于点Q．若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据尺规作图的过程，得到、，且与为公共角，可证明，得到对应角相等；再结合边的关系证明与全等，得到；最后证明，即可得到，证明是角平分线； （2）先利用是角平分线得到，结合已知的边相等条件，证明包含和的三角形全等，即可得到二者的数量关系； （3）过点H作的垂线，根据角平分线的性质得到该垂线段长度等于；结合，先在中利用角度条件和的长度求出与的关系，再结合角平分线的性质、角度条件构造直角三角形，利用线段和差关系求解． 【小问1详解】 （1）证明：如图1，连接． ， ， ， ， 即． ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， 是的平分线． 【小问2详解】 （2）． 如图2，在上取一点G，使得，连接． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 （3）如答图3，在上取一点G，使得，连接，分别过点A作于点E，于点F． ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则 ， ， 在中，， ， 解得：， 即． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点，且过点，其对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线平移后得到抛物线，使抛物线的顶点落在直线上，当时，抛物线上存在一点的纵坐标与该点横坐标的差有最小值，求满足条件的抛物线的顶点坐标； （3）点M在直线上且位于x轴下方，N为抛物线上的一点．若满足的点N恰好只有3个，求点M，N的坐标． 【答案】（1） （2）抛物线的顶点坐标为或 （3）点M的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）把， 代入列方程计算即可． （2）先求出点E的坐标为，直线的表达式为，即可设抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式为：．再根据当时，抛物线上存在一点的纵坐标与该点横坐标的差有最小值，列方程计算即可． （3）满足的点N恰好只有3个，则在下方必定有两个点，，在上方必定只有一个点，设过点且平行于的直线的表达式为：，则直线与抛物线有且只有一个交点，联立后根据，解得：．得到点的坐标为，直线与轴交点坐标为，取一点，使为中点，则，过作平行于的直线与抛物线交于点，，求出直线的表达式为：，与抛物线联立求出点和的坐标，设点的坐标为．表示出和，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把， 代入得， 解得：， 所求抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：抛物线， 点E的坐标为， ∵， ∴设直线的表达式为，把代入得，解得， 直线的表达式为． 设抛物线的顶点坐标为， 则抛物线的表达式为：． 令， 对称轴为． ∵当时，抛物线上存在一点的纵坐标与该点横坐标的差有最小值， ∴当时，有最小值， ①当，即时， 时，z有最小值． ， 解得：，（舍）． 抛物线的顶点坐标为． ②当，即时， 时，z有最小值． ， 解得：，（舍）． 抛物线的顶点坐标为． 综上，抛物线的顶点坐标为或． 【小问3详解】 解：∵满足的点N恰好只有3个， ∴在下方必定有两个点，，在上方必定只有一个点，且到的距离等于，到的距离， 如答图所示．连接，过点D作轴，交于点P，则点P的坐标为． 设过点且平行于的直线的表达式为：，则直线与抛物线有且只有一个交点， ∴令，即． ． 解得：． 点的坐标为， 直线与轴交点坐标为， 取一点，使为中点，则， 过作平行于的直线与抛物线交于点，， 设直线的表达式为：，代入得， 解得：． 直线的表达式为：， 令， 解得：，． 点的坐标为，点的坐标为， 设点的坐标为． ， ， ． 解得：． 点M的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $