精品解析：福建省泉州实验中学2026年九年级下学期阶段考试（五）数学试卷

福建省泉州实验中学2026年九年级下学期阶段考试（五）数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 明天的天气是晴天 B. 从只有苹果的袋子中摸出梨 C. 任意画一个正方形是轴对称图形 D. 篮球运动员投篮一次，正好投中 4. 基于嫦娥六号月背样品，来自中国科学院地质与地球物理研究所等单位的科研人员首次揭示，月球背面月幔的水含量小于，数据0.000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5 7. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 25 C. 26 D. 8. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 分解因式：________． 12. 在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴，y轴的距离分别为3，4，则点A的坐标为______． 13. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有1，2，3的卡片在甲手中，标有4，5，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之和大于6的概率为___． 14. 物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 15. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为________． 16. 如图，在中，，点在延长线上，点在上，交于点，若，则的长为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，是的中线，的平分线交于点，延长至点，连接，．求证：． 20. 某农业试验基地在相同环境条件下，研究甲、乙两种小麦的苗高分布，以评估其生长稳定性和产量潜力，通过科学分析，为优化种植方案提供依据． 【整理数据】从两种小麦试验田中各随机抽取50株麦苗，在技术人员的指导下，测量每株麦苗的苗高（单位：），并将数据分组整理如下： 甲、乙两种小麦苗高频数分布表 苗高分组 甲种小麦频数 乙种小麦频数 ① 9 12 ② 21 10 ③ 13 18 ④ 7 10 【分析数据】整理以上数据，得到以下统计量． 平均数 中位数 方差 优质小麦占比 甲种小麦 12.08 11.5 8.5 乙种小麦 12.56 11.91 （注：通过大量试验发现，苗高在的小麦为优质小麦，产量更具潜力） 根据以上数据，回答下列问题． （1）填空：__________，乙种小麦的中位数落在第__________组（填序号）． （2）若乙种小麦试验田中约有小麦800株，则苗高不低于的株数约为__________． （3）综合上表中的统计量，分析应选择哪一种小麦进行种植，并说明理由． 21. 如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，两点在抛物线上， （1）求证： （2）已知点在该抛物线上．若，请判断的大小关系并说明理由． 23. 在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为（如图1-1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）． 场景1：如图1-2，当遇到转角为直角的地面时（），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿切割后拼接铺入该转角处； 场景2：如图1-3，当遇到转角为60度的地面时（），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿切割后拼接铺入该转角处． 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴的两边，再将乙种地板的长边紧贴的一边推至紧靠甲种地板（如图2-1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边上的端点即可标记为，此时即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2-2），也可在乙种地板上确定切割线． （1）在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即________； （2）在场景2中（图1-3），求乙种地板切割后产生的锐角的正切值； （3）小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 1．将甲种地板的长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止； 2．将乙种地板的长边紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边推至其短边的一个顶点落在上为止，标记此时该顶点的位置； 3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止，此时顶点与前一步标记的点的连线即为切割线． 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）求证：当时，抛物线与轴有两个交点； （2）抛物线与轴有两个交点，，其中为正整数，且． ①设抛物线与轴交于点，是否能存在成立？若能，求此时的数量关系：若不能，请说明理由； ②求证：当为正整数时，． 25. 已知，是半径为的的弦，的另一条弦满足，且于点（其中点在圆内，且，）． （1）在图中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； （3）如图，延长至点，使得，连接，的平分线交的延长线于点，点为的中点，连接，若．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省泉州实验中学2026年九年级下学期阶段考试（五）数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“负数的绝对值等于它的相反数”即可计算出结果． 【详解】解：． 2. 下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不合题意； B.不是轴对称图形，不合题意； C.不是轴对称图形，不合题意； D.是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 明天的天气是晴天 B. 从只有苹果的袋子中摸出梨 C. 任意画一个正方形是轴对称图形 D. 篮球运动员投篮一次，正好投中 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，进而选出不可能事件． 【详解】解：选项“明天的天气是晴天”，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求； 选项袋子中只有苹果，一定不可能摸出梨，是一定不发生的不可能事件，符合要求； 选项任意正方形一定是轴对称图形，是必然事件，不符合要求； 选项篮球运动员投篮一次正好投中，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求． 4. 基于嫦娥六号月背样品，来自中国科学院地质与地球物理研究所等单位的科研人员首次揭示，月球背面月幔的水含量小于，数据0.000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法表示较小数的形式为，其中，为正整数，的值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：数据0.000002用科学记数法表示为． 5. 斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 6. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 7. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 25 C. 26 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 8. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 9. 如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． 10. 二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，容易求得，结合，分两种情况讨论：当时和当时． 【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为，且开口向下，所以． （Ⅰ）当时，可得 解不等式，得 （不符合题意，舍去）． （Ⅱ）当时，可知且，可得 解不等式组，得 ． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴，y轴的距离分别为3，4，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，结合第二象限的点的符号特征进行求解即可. 【详解】解：由题意，点的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点到x轴，y轴的距离分别为3，4， ∴. 13. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有1，2，3的卡片在甲手中，标有4，5，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之和大于6的概率为___． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图，如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中两张卡片上的数字和大于6的结果有6种， 两张卡片上的数字和大于6的概率是． 14. 物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 【答案】18 【解析】 【分析】设阻力和阻力臂的函数解析式为，得出，再根据阻力阻力臂动力动力臂求解即可． 【详解】解：由题意得，设和阻力臂的函数解析式为， 将代入，得， ∵阻力阻力臂动力动力臂， 动力， ∴动力为18． 15. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故． 【详解】解：都是正方形， ， ， ， ， 与的面积比为， ， 设，则， ， 在中， ， 由“青朱出入图”可知：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理． 16. 如图，在中，，点在延长线上，点在上，交于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，作，，交的延长线于点M，过点D作，根据相似三角形的判定和性质得出，，，确定，再由正切函数得出，，设，利用正切函数得出，建立方程求解即可，关键是构建相似三角形． 【详解】解：∵中，， ∴， 作，，交的延长线于点M，过点D作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】9 【解析】 【分析】先分别计算负整数指数幂、立方根、二次根式的除法及绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】原分式方程无解 【解析】 【分析】先对分母因式分解，再将分式方程化为整式方程求解，最后检验根是否使原方程分母为零，即可判断方程解的情况． 【详解】解：， ， ， ， 经检验：当时，原分式方程分母，，分式无意义， ∴是方程的增根，原分式方程无解． 19. 如图，是的中线，的平分线交于点，延长至点，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据以及角平分线的定义得到，再由是的中线得到，最后证明即可得出结论． 【详解】证明：是的平分线， ， 又， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ． 20. 某农业试验基地在相同环境条件下，研究甲、乙两种小麦的苗高分布，以评估其生长稳定性和产量潜力，通过科学分析，为优化种植方案提供依据． 【整理数据】从两种小麦试验田中各随机抽取50株麦苗，在技术人员的指导下，测量每株麦苗的苗高（单位：），并将数据分组整理如下： 甲、乙两种小麦苗高频数分布表 苗高分组 甲种小麦频数 乙种小麦频数 ① 9 12 ② 21 10 ③ 13 18 ④ 7 10 【分析数据】整理以上数据，得到以下统计量． 平均数 中位数 方差 优质小麦占比 甲种小麦 12.08 11.5 8.5 乙种小麦 12.56 11.91 （注：通过大量试验发现，苗高在的小麦为优质小麦，产量更具潜力） 根据以上数据，回答下列问题． （1）填空：__________，乙种小麦的中位数落在第__________组（填序号）． （2）若乙种小麦试验田中约有小麦800株，则苗高不低于的株数约为__________． （3）综合上表中的统计量，分析应选择哪一种小麦进行种植，并说明理由． 【答案】（1），③ （2） （3）甲种小麦，理由见详解 【解析】 【分析】（1），由，，根据中位数的定义即可求解； （2）由样本估计总体得即可求解； （3）分别从方差和优质小麦占比来比较，即可求解． 【小问1详解】 解：， ； 乙种小麦样本总数为50，中位数为第25和第26个数据的平均数，由频数分布表可知，前两组的累积频数为，前三组的累积频数为，因为且，所以第25和第26个数据均落在第③组，故中位数落在第③组； 【小问2详解】 解：（株）， 故苗高不低于的株数约为株； 【小问3详解】 解：选甲种小麦，从方差来看，甲种小麦的方差为，小于乙种小麦的方差，甲种小麦更整齐；从优质小麦占比来看，甲种小麦的优质小麦占比为，大于乙种小麦的优质小麦占比为，甲种小麦更好；综上选甲种小麦． 21. 如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）证明，可得，从而得到，即可求证； （2）先求出，可得，然后根据，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，两点在抛物线上， （1）求证： （2）已知点在该抛物线上．若，请判断的大小关系并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2），理由见详解 【解析】 【分析】（1）依据题意，由两点在抛物线上，则，从而计算可以得解； （2）根据可得，再根据可得答案． 【小问1详解】 解：由两点在抛物线上，可得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴，即， ∴与异号， ∵， ∴， ∵在该抛物线上， ∴， ∵， ∴． 23. 在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为（如图1-1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）． 场景1：如图1-2，当遇到转角为直角的地面时（），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿切割后拼接铺入该转角处； 场景2：如图1-3，当遇到转角为60度的地面时（），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿切割后拼接铺入该转角处． 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴的两边，再将乙种地板的长边紧贴的一边推至紧靠甲种地板（如图2-1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边上的端点即可标记为，此时即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2-2），也可在乙种地板上确定切割线． （1）在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即________； （2）在场景2中（图1-3），求乙种地板切割后产生的锐角的正切值； （3）小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 1．将甲种地板的长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止； 2．将乙种地板的长边紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边推至其短边的一个顶点落在上为止，标记此时该顶点的位置； 3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止，此时顶点与前一步标记的点的连线即为切割线． 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由． 【答案】（1） （2） （3）符合场景2的要求，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， （1）先延长，交于点D，可知，再根据可得答案； （2）先作，作，交于点E，再设，则，然后根据勾股定理分别表示出，进而求出，最后根据得出答案； （3）先根据题意可知再表示出，，即可得出，然后再表示出，接着求出，则此题可解． 【小问1详解】 解：如图所示，延长，交于点D，可知， ∴， 在中，． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，过点O作，交的延长线于点C，过点B作，于点D，交于点E， 设，则， ∵， ∴，， 可知， ∴， 根据勾股定理，得， 解得，，则 ∴， ∴； 【小问3详解】 解：符合场景2的要求，理由如下： 根据题意可知， 在中，， 则． 在中，， ∴， 则， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 所以此方案所作的乙种地板的切割线符合场景2的要求． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）求证：当时，抛物线与轴有两个交点； （2）抛物线与轴有两个交点，，其中为正整数，且． ①设抛物线与轴交于点，是否能存在成立？若能，求此时的数量关系：若不能，请说明理由； ②求证：当为正整数时，． 【答案】（1）见解析 （2）①不存在成立，理由见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、根与系数的关系、相似三角形的判定与性质、不等式的性质等知识点，灵活运用反证法成为解题的关键． （1）当时，抛物线的解析式为：，然后根据一元二次根的判别式解答即可； （2）①由题意可知：画图如下：连接，先证明可得，再求得、、，进而得到、，然后代入可得；再根据根与系数的关系可得，然后进行整理即可解答； ②假设，则或，然后运用反证法即可证明结论． 【小问1详解】 解：当时，抛物线的解析式为：， ∴抛物线与x轴交点的横坐标为方程的解， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根， ∴当时，抛物线与轴有两个交点． 【小问2详解】 解：①不存在．理由如下： 由题意可知：画图如下：连接， ∵， ∴， ∴， 令时，则，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵、是抛物线与x轴的两个交点， ∴方程的两个根为a，b， ∴， ∵a为正整数，且， ∴，， ∴，即， 由得或, ∴不存在成立； ②假设，则或， 将代入中得，即， ∴， 当时，该等式不成立， 当时，， ∵a、b均为正整数， ∴t为正整数， 由①知，又， ∴为正整数，则k为整数，且， 又， ∴k为正整数， ∴为整数，且能被2整除， ∴的值可以为，， 又∵， ∴， ∴，此时，，，这与矛盾， 故假设不成立， ∴当为正整数时，． 25. 已知，是半径为的的弦，的另一条弦满足，且于点（其中点在圆内，且，）． （1）在图中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； （3）如图，延长至点，使得，连接，的平分线交的延长线于点，点为的中点，连接，若．求证：． 【答案】（1）见详解 （2）不变， （3）证明见详解 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形中位线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）作线段的垂直平分线，与圆交于点 、，再作线段的垂直平分线，并在上截取，在直线上截取线段，作线段的垂直平分线，与圆交于点、，与线段交于点，即为所求． （2）连接，连接并延长交于，连接，，过作于，于，证明四边形是正方形，则可证是等腰直角三角形，则，继而证明是等腰直角三角形，继而求得线段的长度是定长，及其值． （3）延长、，交点为，证明是的中位线，得到，继而得到，通过证明，继而证明，作的外接圆，延长交外接圆于点，连接、，通过证明，得到，继而得到． 【小问1详解】 解：如图，以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，与交点为，，与交点为，则，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，以为圆心，长为半径画弧与交点为，则，以为圆心，长为半径画弧，交直线于，以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，与交点为，，与交点为，即、点即为所求． ； 【小问2详解】 如图，连接，连接并延长交于，连接，，过作于，于， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵、是同弧所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴线段的长是定长，值为； 【小问3详解】 证明：如图，延长、，交点为， ∵， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 如图，作的外接圆，延长交外接圆于点，连接、， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $