精品解析：福建省泉州实验中学2025-2026学年九年级下学期考前预测数学试卷

泉州实验中学2026届初三下学期阶段考试（三） 数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 7. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点E．若的半径为5，且，则的长度为（ ）． A. 5 B. 6 C. D. 9. 小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了档案盒的厚度，它是（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 10. 若整数x，y满足方程组，且，，则m的最大值为（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. -3 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 因式分解：__________ 12. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 13. 如图，与是以点O为位似中心的图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点D的坐标为 ____________． 14. 某校体育期末考核“立定跳远”和“50米”两项，两项成绩分别按的比例算出期末成绩．小林这两项的成绩分别为85分、90分，则小林的体育期末成绩为______分． 15. 如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 16. 如图，在正方形中，，点M为线段上一点，将沿所在直线翻折得到（点E在正方形内部），连接，，，若，则的长为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 泉州市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测．每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a，b，c的值，______，______，______； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率． 21. 如图，在平行四边形中． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）条件下若，，平分，求的长． 22. 如图，的直角边在x轴上，，，将绕点O逆时针旋转得到，抛物线经过B、D两点． （1）求二次函数的解析式； （2）连接，点P是抛物线上一点，直线把的周长分成相等的两部分，求点P的坐标． 23. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）连接，直线分别交于点E、G，交于点，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 24. 已知二次函数过点，． （1）求二次函数解析式； （2）已知，是二次函数图象上不同的两个点． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）存在实数，使得，求t的取值范围． 25. 如图，内接于，过A作的角平分线，交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若时， ①求的值． ②作的角平分线，交于点F，在圆上有一点G，若F和G恰好关于的中点对称，请用含k的代数式表示的面积，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州实验中学2026届初三下学期阶段考试（三） 数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是2， 故选：D 2. 如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案． 【详解】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：． 4. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是：， 其解集在数轴上表示如下： ， 故选：C． 6. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的外角和为360度，据此求出边数即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为5，即该多边形是 正五边形， 故选：C． 7. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需要日，乙走完全程需要日， ∴甲的速度为，乙的速度为， 设甲乙再经过日相逢，则甲走的路程为，乙一共走了日，乙的总路程为， ∵相遇时甲乙的路程和等于总路程， ∴． 8. 如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点E．若的半径为5，且，则的长度为（ ）． A. 5 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，，根据题意得到，证明四边形为矩形，再根据，的半径为5，得到四边形为正方形，求出，即可得到答案． 【详解】解：连接，，， 与正方形的两边，相切，且与相切于点E， ， 正方形，且， ， ， 四边形为矩形， ，的半径为5， 四边形为正方形， ， ． 9. 小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了档案盒的厚度，它是（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，利用正弦定义求出即可求解． 【详解】解：由题意，在中，，，， ∴， ∴， ∴档案盒的厚度为， 故选：C． 10. 若整数x，y满足方程组，且，，则m的最大值为（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】先解方程组得到，进而得出m关于x的二次函数，改为顶点式，找出对称轴，再根据x的取值范围即可求出m的最大值． 【详解】解： ①-②得， ， ， ， ， 由①得， 将代入得， ， 关于x的函数图像为开口向下的抛物线，对称轴为， 或时，对应的m值相等， 且x是整数， 或时，m取最大值，最大值， 故选B． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和求二次函数的最值，有一定难度，解题的关键时通过解方程组得到x与y的关系，进而得到m关于x的二次函数． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 【答案】 5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 13. 如图，与是以点O为位似中心的图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点D的坐标为 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过B作轴于E，过点C作轴于F，再证，然后根据相似的性质求出和即可； 本题主要考查了位似变换、坐标与图形性质，理解位似的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：过B作轴于E，过点C作轴于F，即：, ∵点B的坐标为， ∴， ∵与是以点O为位似中心的图形，且相似比为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴,即, ∴点D的坐标为． 故答案为：． 14. 某校体育期末考核“立定跳远”和“50米”两项，两项成绩分别按的比例算出期末成绩．小林这两项的成绩分别为85分、90分，则小林的体育期末成绩为______分． 【答案】87 【解析】 【详解】解：由题意可知，小林的体育期末成绩为（分）． 15. 如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置关系，判断出和的符号，进而确定的符号． 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，， ， ， ， 靠近，意味着点到点的距离小于点到点的距离， 点到点的距离为， 点到点的距离为， ， ， 故函数的图象在第一、三象限． 16. 如图，在正方形中，，点M为线段上一点，将沿所在直线翻折得到（点E在正方形内部），连接，，，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设与交于点，延长交于点，过点作延长线于点，根据翻折的性质得到，证明，得到，设，，证明是等腰直角三角形，得到，推出，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设与交于点，延长交于点，过点作延长线于点， 在正方形中， ， ， 将沿所在直线翻折得到（点E在正方形内部）， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先得出，，再证出即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式混合运算进行化简，再将数值代入，分母有理化进行求值． 【详解】解：原式 ； 将代入，原式 20. 泉州市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测．每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a，b，c的值，______，______，______； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数和方差的定义进行计算即可； （2）利用列表法或画树状图求出所有等可能的情况，再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，农村学校10名学生的中位数是第位数据的平均数， 故； 众数； ； 【小问2详解】 解：农村95分以上的记为，城区95分以上的记为， 总共有种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有种， ． 21. 如图，在平行四边形中． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）条件下若，，平分，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，交于点，交于点，连接即可； （2）根据平行四边形的性质得到，根据菱形的性质证明，证明，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：菱形即为所求作； 【小问2详解】 解：平行四边形中， ， 菱形， ， ， 平分， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ． 22. 如图，的直角边在x轴上，，，将绕点O逆时针旋转得到，抛物线经过B、D两点． （1）求二次函数的解析式； （2）连接，点P是抛物线上一点，直线把的周长分成相等的两部分，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）由旋转性质可得，，从而得出点B、D坐标，代入解析式即可得出答案； （2）由直线把的周长分成相等的两部分且，，即点Q为的中点，从而得出点Q坐标，求得直线解析式，代入抛物线解析式可得点P坐标． 【小问1详解】 解：∵绕点O逆时针旋转90°得到， ∴，， ∴点、，代入解析式， 得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，∵直线把的周长分成相等的两部分，且， ∴，即点Q为BD的中点， ∴点Q坐标为（， 设直线解析式为，将点Q坐标代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 代入，得：， 解得：或． 当时，， 当时，， ∴点P坐标为或． 【点睛】本题主要考查旋转的性质及待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数的应用等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 23. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）连接，直线分别交于点E、G，交于点，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，得到，由勾股定理得，则； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）设分两种情形：①当点E在线段上时，②当点E在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图所示，连接，延长交于， ∵O为矩形的中心， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接， ∵， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴ ∵，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴ 如图所示，当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， ∴． ∵，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或。 24. 已知二次函数过点，． （1）求二次函数解析式； （2）已知，是二次函数图象上不同的两个点． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）存在实数，使得，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）（ⅰ）根据（1）所求可得对称轴为直线，且二次函数的图象开口向上，则离对称轴越近，函数值越小，根据对称性可推出，根据得到，据此可证明结论；（ⅱ）当时，，则，可得， ；根据，可推出，则，可证明，则关于m的方程必须有一个正实数根，根据判别式求出t的取值范围，再根据关于m的方程必须有一个正实数根讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数过点，， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：（ⅰ）由（1）得二次函数的解析式为，则对称轴为直线， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∵，是二次函数图象上不同的两个点， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （ⅱ）在中，当时，， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且，是二次函数图象上不同的两个点， ∴， ∴关于m的方程必须有一个正实数根， ∴， ∴， ∴， ∴或； 当时，， ∴此时关于m的方程的两个实数根都是正数，符合题意； 当时，， ∴此时关于m的方程的两个实数根都是负数，不符合题意； 当时，， ∴此时关于m的方程的两个实数根一正一负，符合题意； 综上所述，或． 25. 如图，内接于，过A作的角平分线，交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若时， ①求的值． ②作的角平分线，交于点F，在圆上有一点G，若F和G恰好关于的中点对称，请用含k的代数式表示的面积，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）连接，根据是的角平分线，得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，证明即可得到结论； （2）①由题意得到，证明，求出，即可得到答案； ②取的中点，连接并延长交于点，连接，为平分线与的交点，即为的内心， F和G恰好关于的中点对称，且在圆上，为等边三角形，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①连接， ， ， 是的角平分线， ， ∴ ∵， ， ， 即， ， ， ∴； ②取的中点，连接并延长交于点，连接，如图： ∵点关于点对称， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分，平分 ∴点是的内心，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $