第05讲 一元二次方程、不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次方程与不等式核心考点，涵盖解法、根的分布、恒成立与能成立问题及实际应用，按基础知识点-题型突破-综合训练逻辑架构知识体系。通过基础回顾梳理关系、题型精讲提炼方法、课时精练强化应用，帮助学生系统突破重点难点。 讲义采用分类讨论与数形结合策略，如根的分布问题结合判别式、对称轴及端点函数值分析，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置分层例题与精练题，基础题巩固知识，综合题提升应用，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解题效率与应考能力。

专题05 一元二次方程、不等式 题型一 求解含参或不含参一元二次不等式 2 题型二 一元二次方程根的分布 6 题型三 一元二次不等式恒成立问题 13 题型四 一元二次不等式能成立问题 18 题型五 一元二次不等式的实际应用 23 课时精练 27 【基础回顾】 知识点1． 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a>0），不等式ax2＋bx＋c>0（a>0）的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 的图像 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式 的解集 {x|x<x1或x>x2} R 知识点2.分式不等式与整式不等式 (1) >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0）； (2) ≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0）且g(x)≠0. 知识点3．简单的绝对值不等式 |x|>a（a>0）的解集为（－∞，－a）∪（a，＋∞），|x|<a（a>0）的解集为（－a，a）。 【必备知识】 1.一元二次不等式恒成立问题 （1）不等式ax2＋bx＋c>0（a≠0），x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； （2）不等式ax2＋bx＋c<0（a≠0），x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； （3）若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形。 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，需要讨论a＝0时的情形。 题型一 求解含参或不含参一元二次不等式 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 （1）根据二次项系数为正、负及零进行分类。 （2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数。 （3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论。 【例题精讲】 1．（2026·广东深圳·二模）已知集合，则（   ） A． B．{1} C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交集运算求解. 【详解】， 得 2．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 3．（2027高三·全国·专题练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，然后对于二次项系数不为零的情况，利用二次函数图像开口向上且与横轴无交点得出判别式小于零，再结合二次项系数大于零的条件解出参数范围． 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为在上恒成立， 所以 解得．综上， 故选：C． 4．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】不等式 可化为， 当 时，不等式为 ，不满足对任意的 恒成立； 当 时， 的图像开口向下，不满足题意， 所以 ，且 ，所以 ， 所以 ，且 ； 所以 ，当且仅当 ， 即 时等号成立，所以 的最小值为 . 5．（25-26高一下·湖北十堰·月考）已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】C 【详解】若，则， 故不等式的解集为，故A正确； ， 若，则，则不等式的解集为，故B正确； ， 若，则对恒成立； 若，由于对恒成立， 所以，得， 故整数k的取值集合为，故C错误； 若，则，有无数个整数解，不符合； 若，则图像开口朝下，有无数个整数解，不符合； 故，则不等式的解集为， 欲使解集中仅存在两个整数，则，得，故D正确. 6．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据方程的根与不等式的解集之间的关系求解即可. 【详解】易知是方程的根， 即，所以, 当时，不等式为，即,其解集为或. 故实数的值为1. 7．（25-26高一下·山东德州·月考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 又，则，当且仅当时取等号， 所以其最小值为. （多选）8．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 【答案】ACD 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，，， 所以，，因此选项A正确，选项B错误； ，因此选项C正确； 若，则，即， 解得，选项D正确. （多选） 9．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】A选项，转化为为一元二次方程的两个根，且，由韦达定理得到答案；B选项，根据得到B不正确；C选项，在A基础上不等式变形为，解出解集；D选项，不等式变形为，求出解集. 【详解】A选项，由题意得为一元二次方程的两个根，且， 故，即，A正确； B选项，，B不正确； C选项，由A选项可知，，解得，C正确； D选项，， 又，故，解得或，D正确. 故选：ACD （多选）10．（25-26高一上·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. 题型二 一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解。 （1）判别式Δ的符号。 （2）对称轴x＝－与所给区间的位置关系。 （3）区间端点处函数值的符号。 【例题精讲】 1．（25-26高三下·四川德阳·阶段检测）已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若为真命题，则命题为假命题，所以关于的方程没有两个不相等的实根， 即：有两个相等的实根或者没有实根，则， 解得：，所以的取值范围是. 2．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 4．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出解集，对参数进行分类讨论，判断解集中仅有两个整数时的范围，进而求出结果. 【详解】由题可知，则，即，解得， 可知，化简为，解得， 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 所以实数a的取值范围是. 5．（25-26高一上·河南新乡·期末）已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将整理成，设，由中恰有三个正整数得到有两个不同的解，故解得的范围，求出的两个根为，由得到，此不等式的解集为，由中恰有三个正整数得到，从而得到，经过计算得到实数的取值范围是. 【详解】， ， ， ， 设， 中恰有三个正整数， 有两个不同的解， ，， 的两个根为， ，， 转化为， 的解集为， 中恰有三个正整数，故， ， ， ，，， ，， ，，， ，，， 综上可知，， 实数的取值范围是. 故选：B. 6．（25-26高三·全国·一轮复习）若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题，即在上有两个不同的零点，结合二次函数图像与性质列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题， 令，则在上有两个不同的零点， 即，即，解得：．故的范围为． 故选：D． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图像特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． （多选）8．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 【答案】ABD 【分析】求出方程的两根为即可分析求解判断AB；由题设得到不等式即可求解判断C；分、和分析函数单调性求出最小值即可求解m判断D. 【详解】因为二次函数， 所以方程， 所以，故A正确； 方程的两根为，且， 所以一元二次不等式的解集为，故B正确； 若且，则，故C错误； 二次函数对称轴为，开口向上， 所以当时，函数的图像在上单调递减， 所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递增， 所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递减，在上单调递增， 所以函数最小值为，故此情况无解， 综上，的值为或4，故D正确； 故选：ABD （多选）9．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. （多选）10．（25-26高一上·福建·期中）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，且，，则 【答案】ABD 【分析】利用判别式和根与系数关系逐项判断即得. 【详解】对于A，因为，当时，有，方程有两实数根，故A正确； 对于B，当时，有，所以方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C，当时，方程变为，即无实数解，故C错误； 对于D，若方程有两个实数根，且，等价于， ，所以，得，故D正确. 故选：ABD. 题型三 一元二次不等式恒成立问题 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数。一般情况下，求谁的范围，谁就是参数。 （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论。 【例题精讲】 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 2．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（   ） A．命题，，则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 【答案】B 【分析】对于A，根据全称量词的命题的否定要求判断；对于B，利用不等式的性质与举反例说明即可；对于C，利用三个二次的关系，数形结合列不等式求解即可判断；对于D，根据参数的取值分类讨论，并结合图像列不等式求解即得. 【详解】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论， 故命题，的否定是：，，故A错误； 对于B，由可得；但时，满足，却得不到， 故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，设，则方程的两根都大于1等价于： ，解得，故C错误； 对于D，对于x的不等式，当时，不等式恒成立， 当时，不等式对一切实数x恒成立等价于，解得. 综上可得，是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件，故D错误. 3．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【详解】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 4．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为不等式恒成立， 所以. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以，所以， 所以实数m的取值范围是． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵不存在，使得不等式成立， ∴对任意，不等式恒成立， ∴方程对应的，解得． 6．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到，由，，结合，有，整理得到，求解即可. 【详解】因为， 所以，即，， 可得，又，故， 即，即， 即， 由题意知，则恒成立， 所以，即， 当时，，， 满足， 所以最大值为4， 故选：B 7．（25-26高一上·广东·期末）若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把分式不等式恒成立转化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式可得答案. 【详解】由 ，得： ， 由于分母 ，故只需满足 ， 即原不等式恒成立等价于对任意实数恒成立， 即：， 解得： . 故选：D （多选）8．（25-26高一上·云南昆明·期末）下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】BCD 【分析】当时，可知A错误；由解一元二次不等式的方法判断B；由基本不等式验证C；借助二次函数性质判断D. 【详解】对于A，当，时，则，故A错误； 对于B， 可化为，解得，故B正确； 对于C，当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为5，C正确； 对于D，当时，不等式可化为恒成立，符合题意； 当时，由题意可知，解得； 综上所述，k的取值范围是，故D正确. 故选：BCD （多选）9．（25-26高一上·四川成都·月考）已知，若对任意的，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】先通过提取公因式化简整理原不等式，结合不等式的性质进行分类讨论，判断 三个选项，最后运用均值不等式求得选项. 【详解】因为， 恒成立，即恒成立， 因为，所以当时，，则需， 当时，，则需， 故当时，，即， 所以且， 故选项正确，选项错误，正确； 所以， 当且仅当时，即时取等，故选项正确； 故选：. （多选）10．（25-26高三上·福建漳州·月考）下列说法正确的是（    ） A．若实数，，满足，则； B．若，则函数的最小值为； C．不等式的解集为； D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是． 【答案】AC 【分析】由不等式的性质可判断A；由换元法和对勾函数的单调性可判断B；由二次不等式的解法可判断C；对讨论，结合二次函数的图像和性质可判断D． 【详解】若实数，，满足，可得，则，故A正确； 若，设 ，函数 即， 由对勾函数的性质可知，函数在递增， 则函数的最小值为 ，故B错误； 不等式即为，解得， 即不等式的解集为，故C正确； 当时，不等式恒成立， 若，则恒成立； 若，则，解得． 综上的取值范围是，故D错误． 故选：AC 题型四 一元二次不等式能成立问题 【例题精讲】 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 2．（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 3．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化成“小于或等于的最大值”，再利用配方法求最大值即可. 【详解】因为， 所以， 要存在，使得不等式成立，则小于或等于的最大值， 因为，当时，取“”， 所以， 故选：C. 4．（25-26高一上·天津河北·月考）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得为真命题，令函数，讨论函数的对称轴，即可求得函数的最小值，建立不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴. ∴， 故选：A. 5．（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 6．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 7．（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用基本不等式求得的最小值，存在使成立，即，解不等式即可. 【详解】正实数满足，得 . 当且仅当且，即时，等号成立. 存在使不等式有解，即 ，可解得或，即. 故选：B. （多选）8．（25-26高一上·山西晋城·期末）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图像是开口向下的抛物线，根据图像特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． （多选）9．（25-26高一上·四川广元·月考）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是或 【答案】BC 【分析】对于A选项，根据不等式的解集结构即可判断；对于B选项，由解集得到，，从而化为，求出解集；对于选项C，将，代入即可；对于选项D，先求出，从而根据不等式有解得到，求解即可. 【详解】对于选项A，因为不等式的解集为，所以，故A错误； 对于选项B，可以知道，是方程的两个不等实根， 所以，，所以，， 所以，即， 得，故B正确； 对于选项C，，，所以，因为，所以，故C正确； 对于选项D，关于的不等式有解，即求的最小值， 令，因为，所以，所以， 所以，在时单调递增， 所以，所以，解得或，故D错误. 故选： （多选）10．（25-26高一上·江苏无锡·月考）关于x的不等式的解集M有下列结论，其中正确的是（   ） A．M可以是 B．M可以是 C．M可以是 D．M可以是 【答案】BD 【分析】根据不等式在上有解，分类讨论参数，结合对应方程、二次函数的性质分析不等式的解集，即可得. 【详解】由在上有解， 当时，开口向下，显然， 若且是的两个根，则不等式解集为，D可能满足； 当时，， 若，则且，则解集为； 若恒有，则解集为，满足B； 若，则且，则解集为，不满足A； 当时，开口向上，不等式必有解， 若，则不等式解集为，满足B； 若，且是的两个根，则不等式解集为； 综上，不等式解集不可能为、，有可能为、. 故选：BD 题型五 一元二次不等式的实际应用 【例题精讲】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设风暴中心最初在A处，经后到达B处，自B向x轴作垂线，垂足为C.若在点B处受到热带风暴的影响，则，所以，即，两边平方并化简，整理得，解得或（舍去）.所以进港避风的时间最迟应在13点40分. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】规定向上为正方向，根据，有，解得，，则排球在抛出点以上停留的时间． 5．（25-26高一上·江苏·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，然后通过计算及，即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 6．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【分析】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 7．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可以验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【答案】 【分析】先设出售价，再根据条件列不等式求解. 【详解】设这批削笔器的销售价格为元/个， ，由题意得到， 即 ，解得 ， 又因为，所以， 故销售价格的范围为 ； 故答案为： 9．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 10．（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 【答案】2 【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液； 故答案为: 课时精练 一、单选题 1．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知集合，集合，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ，中所有的元素都在中，故选项A正确. 2．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知是一元二次方程的两个正根，则“且”是“且”的条件（    ） A．充分必要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】直接分别判断验证充分性及必要性是否成立可得. 【详解】由于是一元二次方程的两个正根，则： ，解得①. 充分性验证：若“且”，则由不等式的性质可得： ，所以充分性成立. 必要性验证：举反例，取，此时且， 满足“且”，但，不满足“且”，所以必要性不成立. 因此，“且”是“且”的充分不必要条件. 3．（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得最小值，即可得与有关不等式，解出即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 4．（25-26高一上·广东广州·期中）若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，分三种情况讨论，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 5．（25-26高一上·陕西·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 6．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解集可求得实数的取值范围. 【详解】因为命题为真命题， 所以不等式的解集为， 若，则不等式可化为，满足题意； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：， 解得，综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 7．（25-26高三上·河北衡水·月考）若不等式的解集是，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，符合题意，当时，结合二次函数开口和判别式即可得到不等式组，解出即可. 【详解】当，即时， 原不等式可化为恒成立， 满足不等式解集为， 当，即时， 若不等式的解集是， 则，解得：； 综上所述，的取值范围为． 故选：A 8．（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 二、多选题 （多选）9．（25-26高一上·江苏苏州·期中）下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】对于A：令，则即可求得的范围；对于B：根据题意求出和的关系，化简即可求出解集；对于C：令，则即可求得的范围；对于D，求出集合中只有一个元素时参数的值，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：在上恒成立，令， 则，即，解得，即实数的取值范围是，故A正确； 对于B：关于的不等式的解集是，， 则关于的不等式等价于，即，即，解得或， 所以关于的不等式的解集是，故B正确； 对于C：要使关于的方程的一根比大且另一根比小， 令，则，即， 解得，所以的取值范围为，故C错误； 对于D：若集合中只有一个元素， 当时，符合题意； 当时，则，解得； 综上可得或， 所以由“集合中只有一个元素”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“集合中只有一个元素”，故必要性成立； 所以“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. （多选）10．（25-26高一·全国·寒假作业）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则常数a可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解法，一元一次不等式的性质，求出不等式的解集，根据题目条件判断解集之间的关系，求出参数范围即可. 【详解】由题意可知，使不等式成立的任意一个x都满足不等式， 即不等式的解集是不等式解集的子集， 由，解得， 由，因式分解得， 当，即时，解得， 可知，即时符合条件； 当，即时，解得， 当时，，即，即当时符合条件； 综上，常数a可以是. 故选：ABD. （多选）11．（25-26高一上·河南南阳·月考）不等式对都成立，则下列数值可以为的值的是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【分析】分离参数得，结合基本不等式求解即可. 【详解】原不等式等价于对都成立， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即时等号成立， 所以时，的最小值为， 故实数的取值范围为， 故AB满足题意，CD不满足题意. 故选：AB 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏南通·月考）写出使得命题“”是假命题的一个实数的值_____． 【答案】（答案不唯一，满足的都可以） 【分析】由全称量词命题为真求出，再取补集即可． 【详解】假设命题“”是真命题， 则恒成立，即恒成立， 因为时，，当且仅当等号成立，所以， 因此若命题“”是假命题，则， 所以所求实数的一个值为． 故答案为：. 13．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数，若在区间上恒大于0，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意知，当时，，根据基本不等式求出的最小值，即可求出答案. 【详解】由题意知，当时，，即， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·陕西渭南·期末）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】不等式在上恒成立，则需区间都落在解集内，这等价于要求与开区间没有交集，从而得出的取值范围. 【详解】由化简得：， 不等式等价于， 解得 要使此不等式对任意恒成立， 则区间必须完全包含在解集中， 等价于与开区间的交集为空集， 区间在左侧，即，解得， 区间在右侧，即，解得， 当，则与必有交集，不满足条件， 综上，实数的取值范围是或， 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一下·北京·月考）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为函数在上的最小值大于在上的最大值，结合二次函数与一次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. （3）当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 17．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，． 由，得，即， 解得或，即不等式的解集为． （2）因为开口向上，在区间上的最大值必在端点处取得， 所以要使对于任意的恒成立，需满足， 即， 解不等式组得，所以 ， 即的取值范围为． 18．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将代入函数的表达式，通过解具体的一元二次不等式求其解集 （2）先将不等式进行化简，然后通过分离参数法，将问题转化为求函数的最值问题，进而求出实数的取值范围。 【详解】（1）（1）当时，， 则， 解得：或，即不等式的解集为：； （2）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则， 令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立， 则， 所以实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·天津·月考）设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； (3). 【分析】（1）代入得到二次函数解析式，由对称轴求出单调区间，从而求出值域； （2）对分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法要求，得出对应解集； （3）由不等式化简后整理得到，求出的最小值即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 的图像的对称轴为，故在上单调递减， 当时，；当时，， 故在上的值域为； （2）当时，，由得：； 当时，， 当时，，由得：； 当时，即，由得：或； 当时，即，，由得：解得； 当时，即，由得：或； 综上：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； （3）由得， 即，由于 得： 即，因，故， 故 ， 令，现求在上的最小值，即， 设，则，代入得： 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号）. 此时对应，不等式可取等号， 故， 故，即的取值范围为. 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程、不等式 题型一 求解含参或不含参一元二次不等式 2 题型二 一元二次方程根的分布 3 题型三 一元二次不等式恒成立问题 5 题型四 一元二次不等式能成立问题 7 题型五 一元二次不等式的实际应用 8 课时精练 10 【基础回顾】 知识点1． 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a>0），不等式ax2＋bx＋c>0（a>0）的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 的图像 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式 的解集 {x|x<x1或x>x2} R 知识点2.分式不等式与整式不等式 (1) >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0）； (2) ≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0）且g(x)≠0. 知识点3．简单的绝对值不等式 |x|>a（a>0）的解集为（－∞，－a）∪（a，＋∞），|x|<a（a>0）的解集为（－a，a）。 【必备知识】 1.一元二次不等式恒成立问题 （1）不等式ax2＋bx＋c>0（a≠0），x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； （2）不等式ax2＋bx＋c<0（a≠0），x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； （3）若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形。 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，需要讨论a＝0时的情形。 题型一 求解含参或不含参一元二次不等式 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 （1）根据二次项系数为正、负及零进行分类。 （2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数。 （3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论。 【例题精讲】 1．（2026·广东深圳·二模）已知集合，则（   ） A． B．{1} C． D． 2．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2027高三·全国·专题练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（25-26高一下·湖北十堰·月考）已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 6．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．（25-26高一下·山东德州·月考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． （多选）8．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 （多选） 9．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 （多选）10．（25-26高一上·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 题型二 一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解。 （1）判别式Δ的符号。 （2）对称轴x＝－与所给区间的位置关系。 （3）区间端点处函数值的符号。 【例题精讲】 1．（25-26高三下·四川德阳·阶段检测）已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 4．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南新乡·期末）已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 （多选）9．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 （多选）10．（25-26高一上·福建·期中）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，且，，则 题型三 一元二次不等式恒成立问题 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数。一般情况下，求谁的范围，谁就是参数。 （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论。 【例题精讲】 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（   ） A．命题，，则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 3．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D． 7．（25-26高一上·广东·期末）若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·云南昆明·期末）下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 （多选）9．（25-26高一上·四川成都·月考）已知，若对任意的，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D．的最小值为 （多选）10．（25-26高三上·福建漳州·月考）下列说法正确的是（    ） A．若实数，，满足，则； B．若，则函数的最小值为； C．不等式的解集为； D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是． 题型四 一元二次不等式能成立问题 【例题精讲】 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津河北·月考）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 6．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·山西晋城·期末）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 （多选）9．（25-26高一上·四川广元·月考）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是或 （多选）10．（25-26高一上·江苏无锡·月考）关于x的不等式的解集M有下列结论，其中正确的是（   ） A．M可以是 B．M可以是 C．M可以是 D．M可以是 题型五 一元二次不等式的实际应用 【例题精讲】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 3．（25-26高一上·全国·课后作业）用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 7．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 9．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 10．（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 课时精练 一、单选题 1．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知集合，集合，则可以为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知是一元二次方程的两个正根，则“且”是“且”的条件（    ） A．充分必要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 3．（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东广州·期中）若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·陕西·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 6．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河北衡水·月考）若不等式的解集是，则的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 （多选）9．（25-26高一上·江苏苏州·期中）下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 （多选）10．（25-26高一·全国·寒假作业）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则常数a可以是（    ） A．1 B．0 C． D． （多选）11．（25-26高一上·河南南阳·月考）不等式对都成立，则下列数值可以为的值的是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏南通·月考）写出使得命题“”是假命题的一个实数的值_____． 13．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数，若在区间上恒大于0，则实数的取值范围为______. 14．（25-26高一上·陕西渭南·期末）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 四、解答题 15．（25-26高一下·北京·月考）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 16．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 17．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 18．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·天津·月考）设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程、不等式 题型一 求解含参或不含参一元二次不等式 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】ACD 9．【答案】ACD 10．【答案】ACD 题型二 一元二次方程根的分布 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】ABD 9．【答案】AB 10．【答案】ABD 题型三 一元二次不等式恒成立问题 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】BCD 9．【答案】ACD 10．【答案】AC 题型四 一元二次不等式能成立问题 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】BD 9．【答案】BC 10．【答案】BD 题型五 一元二次不等式的实际应用 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】 【分析】先设出售价，再根据条件列不等式求解. 【详解】设这批削笔器的销售价格为元/个， ，由题意得到， 即 ，解得 ， 又因为，所以， 故销售价格的范围为 ； 故答案为： 9．【答案】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 10．【答案】2 【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液； 故答案为: 课时精练 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】ABD 10．【答案】ABD 11．【答案】AB 12．【答案】（答案不唯一，满足的都可以） 【分析】由全称量词命题为真求出，再取补集即可． 【详解】假设命题“”是真命题， 则恒成立，即恒成立， 因为时，，当且仅当等号成立，所以， 因此若命题“”是假命题，则， 所以所求实数的一个值为． 故答案为：. 13．【答案】 【分析】由题意知，当时，，根据基本不等式求出的最小值，即可求出答案. 【详解】由题意知，当时，，即， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．【答案】 【分析】不等式在上恒成立，则需区间都落在解集内，这等价于要求与开区间没有交集，从而得出的取值范围. 【详解】由化简得：， 不等式等价于， 解得 要使此不等式对任意恒成立， 则区间必须完全包含在解集中， 等价于与开区间的交集为空集， 区间在左侧，即，解得， 区间在右侧，即，解得， 当，则与必有交集，不满足条件， 综上，实数的取值范围是或， 故答案为： 15．【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为函数在上的最小值大于在上的最大值，结合二次函数与一次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. （3）当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16．【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 17．【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，． 由，得，即， 解得或，即不等式的解集为． （2）因为开口向上，在区间上的最大值必在端点处取得， 所以要使对于任意的恒成立，需满足， 即， 解不等式组得，所以 ， 即的取值范围为． 18．【答案】(1) (2). 【分析】（1）将代入函数的表达式，通过解具体的一元二次不等式求其解集 （2）先将不等式进行化简，然后通过分离参数法，将问题转化为求函数的最值问题，进而求出实数的取值范围。 【详解】（1）（1）当时，， 则， 解得：或，即不等式的解集为：； （2）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则， 令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立， 则， 所以实数的取值范围是. 19．【答案】(1)； (2)当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； (3). 【分析】（1）代入得到二次函数解析式，由对称轴求出单调区间，从而求出值域； （2）对分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法要求，得出对应解集； （3）由不等式化简后整理得到，求出的最小值即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 的图像的对称轴为，故在上单调递减， 当时，；当时，， 故在上的值域为； （2）当时，，由得：； 当时，， 当时，，由得：； 当时，即，由得：或； 当时，即，，由得：解得； 当时，即，由得：或； 综上：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； （3）由得， 即，由于 得： 即，因，故， 故 ， 令，现求在上的最小值，即， 设，则，代入得： 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号）. 此时对应，不等式可取等号， 故， 故，即的取值范围为. 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $