第03讲 等式性质与不等式性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦等式与不等式性质高考核心考点，按“基础回顾-题型分类-方法提炼”逻辑架构知识点，涵盖比较大小、判断不等式、求取值范围三大题型。通过考点梳理、方法指导、真题训练及分层练习环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点，体现复习教学的系统性与针对性。 资料突出数学思维与数学语言培养，如比较大小采用构造函数法发展推理能力，求取值范围强调整体等量关系避免范围扩大。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合模拟题精讲，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第03讲 等式性质与不等式性质 题型一 数(式)的大小比较 2 题型二 判断不等式正确性 7 题型三 利用不等式求值或取值范围 11 课时精练 16 【基础回顾】 知识点1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R)． 知识点2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 【必备知识】 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0,0<c<d⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质（糖水不等式） <，>(b－m>0)； ②假分数的性质 >，<(b－m>0)． 题型一 数(式)的大小比较 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 【例题精讲】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质判断A；由三角函数的性质判断B；由对数的公式判断C；由对数函数和指数的单调性判断D. 【详解】对于A，因为， ， 由于，则， 即，故A错误； 对于B，由，则，而，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，， 则，故D正确. 2．（2026·山东聊城·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知要么都大于，要么都在内，再由分类讨论和两种情况，分别比较的大小，最后判断与的大小关系. 【详解】因为所以：若，则； 若，则，同理由可知与要么都大于，要么都在内， 因此，满足以下两种情况之一：；. 下面分类讨论： 情况一：， 此时，所以， 由得 因为，所以 又因为 ，故从而 由于时，函数单调递增，所以即 情况二：， 此时 ，所以 . 由得 因为，两边同除以 时不等号方向改变，故 又因为，所以从而 由于时，函数单调递减，所以即 综上，无论哪种情况，都有 所以正确选项是D. 3．（2026·广东揭阳·二模）已知a，b，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，满足，而，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递增，且，则，故D正确. 4．（2026·四川攀枝花·二模）若正实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到或，再结合函数单调性，作差法，举出反例进行判断，得到答案. 【详解】当，即， 又，故， 当，即时，又，故， A选项，若，则，A错误； B选项，， 当时，，，，B错误； C选项，， 不论，，均有， 即，又在R上单调递增，故，C正确； D选项，当时，不妨设，此时， 显然，D错误. 5．（2026·甘肃·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 6．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性判断A，构造且，导数研究其单调性得到大小关系判断B，应用不等式的性质判断C，由余弦、正切函数的性质，举反例判断D. 【详解】由，则，故，A为假命题， 令且，则，故在上单调递增， 由，则，B为真命题， 由，则，故，即，C为假命题， 若，反例：如，则，D为假命题. 7．（2026·天津南开·一模）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析后可得正确的选项. 【详解】对于A，因为，故，故， 故，故A成立； 对于B，因为，故，又，故，故B成立； 对于C，因为，故，又，故，故C成立； 对于D，因为，故，故，故D不成立. （多选）8．（2026·陕西·模拟预测）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉即可；选项D，用作差法即可判断. 【详解】对于A：取，则，故A错误； 对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确； 对于C：取，，此时，故C错误； 对于D：， 因为，所以；又，， 即，故，故D正确. （多选）9．（2026·安徽合肥·一模）已知正实数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据绝对值的性质，结合已知，，对与1的大小关系进行分析，再根据不等式的性质判断各选项的正误即可. 【详解】若，因为，则，所以， 与矛盾，故不成立，所以，故A正确； 若，因为，则，所以， 与矛盾，故不成立，所以， 取，满足，，此时，故B错误； 因为，，，所以，所以， 又，所以，所以，故C正确； 取，满足，， 所以满足，此时，故D错误. 故选：AC. （多选）10．（2026·黑龙江大庆·二模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对A，取可判断；对B、C，由不等式性质可判断；对D，取可判断. 【详解】对A，当时，不成立，故A错误； 对B，若，则，由不等式的性质，故B正确； 对C，若，则，C正确； 对D，若，不妨取，则，D错误. 故选：BC. 题型二 判断不等式正确性 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． 【例题精讲】 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，所以， 所以由，因此选项A错误，选项D正确； 若，显然，，此时， 若，显然，，此时， 所以选项BC都不恒成立，所以选项BC都不正确. 2．（2026·青海西宁·二模）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质以及特殊值求解. 【详解】选项A： 因为，，所以，错误. 选项B：. ，取，则，错误. 选项C： . 因为，，故，即，C正确. 选项D：取，满足，则左边，右边，，D错误. 3．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误； 对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误； 对于选项C，因为，所以， 可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到， 所以，选项C正确； 对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误； 4．（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意； 此时，，得到，故B不符合题意； 此时，得到，故D不符合题意； 对于C，因为在上单调递增， 所以，一定有成立，故C符合题意. 5．（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明. 【详解】对于A：当时，不等式不成立，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误. 6．（2026·辽宁抚顺·一模）若且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，由，得，故A错误； 对于B，当时，有，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，若，，则，不满足，故D错误. 7．（2026·山东日照·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性判断A，利用基本不等式判断B，利用作差法即可求解BD. 【详解】由可得 对于A，由于，函数为单调递增函数，故 ，故A错误， 对于B， ，由于 ，故 ， 故，则，故B错误， 对于C，由于故 ，故C错误， 对于D， ，由于得，故. （多选）8．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则“”是“”的充要条件 C．的最小值为3 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B；利用基本不等式求出最小值判断C；利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A，解不等式，得，因此，A正确； 对于B，当时，或，即能推出，但不能推出， 因此“”是“”的充分不必要条件，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为3，C正确； 对于D，，当时，，D错误. （多选）9．（2026·山西吕梁·二模）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，取，此时，但，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，因为，故，而，故，故C正确； 对于D，， 若，则， 故即，故D错误. （多选）10．（2026·河北沧州·二模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可得，进而可判断A；根据基本不等式“1”的妙用计算可判断B；根据基本不等式计算可判断C；利用换元法结合二次函数性质计算可判断D. 【详解】对于A选项，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A选项不正确； 对于B选项，因为， 当且仅当时取等号，所以B选项正确； 对于C选项，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C选项正确； 对于D选项，因为，，， 所以， 又因为，所以，所以D选项正确. 题型三 利用不等式求值或取值范围 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·江西·月考）已知，，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质待定系数计算即可． 【详解】设， 则，解得． 因为，， 所以，， 所以． 故选：D 2．（25-26高一上·河南·开学考试）已知表示中的最大者，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设，由最值性质建立的不等式，求出的范围，得到最小值. 【详解】设， 则. 因为，所以. 所以，所以， 所以，解得， 所以的最小值为，即的最小值为. 故选：B. 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的同向可加性得到结果. 【详解】因为，得，，所以． 故选：B． 4．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 5．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 6．（2026·山东·模拟预测）当时，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由指数函数的单调性确定，再结合对数函数的图像和性质分两类讨论可得. 【详解】因为，函数在单调递增，所以. 当时，因为，所以，故不等式不成立； 当时，函数在单调递减，要使不等式成立，只需， 得，解得（舍去），又因为，所以. 故选：B 7．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，判断的关系及的符号，再结合基本（均值）不等式求范围即可. 【详解】因为的解集为， 所以，为方程的解， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 故选：A （多选）8．（25-26高三上·云南楚雄·期中）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，由，得；由，得，则， 因此，即，D正确. 故选：BD （多选）9．（25-26高二上·广东·期中）已知，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．当时，的最小值为4 D．当时，的最小值为2 【答案】ACD 【分析】对于A：由，代入即可判断，对于B：通过举例即可判断，对于C，由基本不等式乘1法可判断，对于D，由基本不等式即可判断. 【详解】对于A，若，由得0，又， 所以，即，代入2，可得，即，又，故，故A正确； 对于B，当时，，满足且，但不满足，故B错误； 对于C：， 又，故， 则，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为4，故C正确； 对于D，当时，且，则， 也即，解得，当且仅当即取等号， 所以的最小值为2，故D正确． 故选：ACD （多选）10．（25-26高一上·湖北十堰·期中）下列是真命题的是（   ）． A．已知，且，则 的最大值为5 B．已知，则的取值范围为 C．已知且恒成立，实数的最大值是 D．若则的最大值是6． 【答案】BCD 【分析】由基本不等式求解可判断A；由不等式的性质可判断B；转化为进行求解可判断C；由基本不等式求解可判断D. 【详解】对于A， 且，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值，故A错误； 对于B，由，可得， 又因为 ，所以则的取值范围为，故B正确； 对于C，由题意，，，， 所以转化为， 可得，即， 因为， 当且仅当时等号成立，所以实数的最大值是，故C正确； 对于D，由可得， 两边同乘以， ， 又因为，所以， 当且仅当时等号成立， 令，则有，即， 解得，因此的最小值为， 此时且满足； 的最大值为，此时且满足，故D正确． 故选：BCD 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，A错误； 对于B，因为，，所以，同乘以 ，所以，B正确； 对于C，因为，，所以，C错误； 对于D，因为，，所以，D错误. 2．（2026·上海松江·模拟预测）若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于ABC，当时，满足，此时，，故A错误，B错误，C错误； 对于D，因为，故D正确. 3．（25-26高一下·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【分析】举反例判断A，B；根据不等式的性质判断C，D. 【详解】对于A，取，满足，， 则，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为且， 所以，， 即， 两边同时乘以， 则，故D正确. 4．（2026·山东德州·二模）已知为正实数，为实数，则“”的充要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反例判断ABC，根据函数单调性判断D. 【详解】对于AB，若，此时且 则推不出，也推不出，故AB错误； 取，成立，但，故C也错误； 设， 因为均为上的增函数，故为上的增函数， 故时必有即； 而即，故， 故是的充要条件，D正确. 5．（25-26高一下·浙江·期中）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，由不等式的基本性质可得， 即“”“”； 若，不妨取，，，则， 但，所以“”“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 7．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）设a，b，c为非零实数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特殊值计算可判断ABD，根据不等式性质计算可判断C. 【详解】对于A，当，时，不成立, 对于B，当，时，不成立, 对于C，，成立, 对于D，时，不成立. 8．（25-26高一上·山东济南·期末）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的基本性质，结合作差法判断各个选项. 【详解】因为，， 根据不等式的性质 则，，A、B错误； ，所以，C正确； ，所以，D错误. 故选：C 二、多选题 （多选）9．（25-26高一下·河南信阳·期中）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．若命题，则命题的否定为： C．若，则或 D．若，且，则 【答案】AB 【分析】对于选项A，判断充分性和必要性是否成立； 对于选项B，根据特称命题的否定规则进行判断； 对于选项C，通过举反例来判断； 对于选项D，根据不等式的性质，举例即可进行判断. 【详解】对于A选项，当时，，此时成立，所以充分性成立， 由，可得，解得或， 所以当时，不一定等于，所以必要性不成立，故选项A正确； 对于B选项，根据特称命题的否定规则，可知命题“”的否定为：“”，故选项B正确； 对于C选项，设，，则，但且，故选项C错误； 对于D选项，设，，，，满足且，则，，此时，故选项D错误. 综上所述，故选项AB正确. （多选）10．（25-26高二下·浙江舟山·期中）下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．“”是“”的充要条件 C．若，则的最小值是5 D．不等式对一切实数恒成立，则 【答案】AC 【详解】对于A，， 因为，所以可知，即，故A正确； 对于B，充分性：若，则且，充分性成立， 必要性：若，当时，可得，即， 当时，可得，即， 综上解集为或，所以必要性不成立，故B错误； 对于C，令，则可变为， 等号当且仅当即，成立，所以原式最小值为5，故C正确； 对于D，当时，不等式为，恒成立， 当时，需满足，解得， 综上，，故D错误． （多选）11．（25-26高三下·江西抚州·月考）若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】是任意正实数，， 对于A，由，得，故A正确； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，因为，所以， 当时，在上单调递减， 又因为，所以， 当，则， 当时，在上单调递增， 又因为，所以，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递减， 又因为，所以，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高一下·山东德州·月考）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 13．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知，，，且，则下列命题中正确的是____. （1）的最大值为；（2）的最小值为； （3）的最小值为；（4）. 【答案】（1）（3） 【分析】对于（1）和（2），根据条件，利用基本不等式，即可求解；对（3）根据条件得，即可求解；对（4），根据条件，利用作差法，即可求解. 【详解】对于命题（1），因为，，且， 则，当且仅当，即时取等号， 所以命题（1）正确， 对于命题（2），因为， 当且仅当，即时取等号，所以命题（2）错误， 对于命题（3），因为，则，且，即， 所以， 当时，取到最小值，所以命题（3）正确， 对于命题（4），因为，则， 又，，，则，所以，即， 所以命题（4）错误， 故答案为：（1）（3）. 14．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由题得中一个为正，两个为负，不妨设，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，所以中一个为正，两个为负， 不妨设，所以， 又， 当且仅当即时等号成立， 所以，所以，所以， 所以的最小值为. 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等式性质与不等式性质 题型一 数(式)的大小比较 2 题型二 判断不等式正确性 7 题型三 利用不等式求值或取值范围 11 课时精练 16 【基础回顾】 知识点1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R)． 知识点2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 【必备知识】 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0,0<c<d⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质（糖水不等式） <，>(b－m>0)； ②假分数的性质 >，<(b－m>0)． 题型一 数(式)的大小比较 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 【例题精讲】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东揭阳·二模）已知a，b，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川攀枝花·二模）若正实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 7．（2026·天津南开·一模）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（2026·陕西·模拟预测）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （多选）9．（2026·安徽合肥·一模）已知正实数满足，且，则（   ） A． B． C． D． （多选）10．（2026·黑龙江大庆·二模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二 判断不等式正确性 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． 【例题精讲】 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·青海西宁·二模）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）若且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山东日照·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． （多选）8．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则“”是“”的充要条件 C．的最小值为3 D．若，则 （多选）9．（2026·山西吕梁·二模）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． （多选）10．（2026·河北沧州·二模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型三 利用不等式求值或取值范围 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·江西·月考）已知，，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南·开学考试）已知表示中的最大者，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东·模拟预测）当时，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高三上·云南楚雄·期中）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高二上·广东·期中）已知，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．当时，的最小值为4 D．当时，的最小值为2 （多选）10．（25-26高一上·湖北十堰·期中）下列是真命题的是（   ）． A．已知，且，则 的最大值为5 B．已知，则的取值范围为 C．已知且恒成立，实数的最大值是 D．若则的最大值是6． 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海松江·模拟预测）若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 4．（2026·山东德州·二模）已知为正实数，为实数，则“”的充要条件可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江·期中）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 7．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）设a，b，c为非零实数，且，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·山东济南·期末）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 （多选）9．（25-26高一下·河南信阳·期中）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．若命题，则命题的否定为： C．若，则或 D．若，且，则 （多选）10．（25-26高二下·浙江舟山·期中）下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．“”是“”的充要条件 C．若，则的最小值是5 D．不等式对一切实数恒成立，则 （多选）11．（25-26高三下·江西抚州·月考）若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一下·山东德州·月考）已知，则的取值范围为______ 13．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知，，，且，则下列命题中正确的是____. （1）的最大值为；（2）的最小值为； （3）的最小值为；（4）. 14．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等式性质与不等式性质 题型一 数(式)的大小比较 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】BD 9．【答案】AC 10．【答案】BC 题型二 判断不等式正确性 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】AC 9．【答案】BC 10．【答案】BCD 题型三 利用不等式求值或取值范围 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】BD 9．【答案】ACD 10．【答案】BCD 课时精练 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】AB 10．【答案】AC 11．【答案】ABD 12．【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 13．【答案】（1）（3） 【分析】对于（1）和（2），根据条件，利用基本不等式，即可求解；对（3）根据条件得，即可求解；对（4），根据条件，利用作差法，即可求解. 【详解】对于命题（1），因为，，且， 则，当且仅当，即时取等号， 所以命题（1）正确， 对于命题（2），因为， 当且仅当，即时取等号，所以命题（2）错误， 对于命题（3），因为，则，且，即， 所以， 当时，取到最小值，所以命题（3）正确， 对于命题（4），因为，则， 又，，，则，所以，即， 所以命题（4）错误， 故答案为：（1）（3）. 14．【答案】 【分析】由题得中一个为正，两个为负，不妨设，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，所以中一个为正，两个为负， 不妨设，所以， 又， 当且仅当即时等号成立， 所以，所以，所以， 所以的最小值为. 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $