第07讲不等式的性质与解法（知识清单+4典例精讲+6方法技巧+分层训练）-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式的性质与解法，涵盖不等式基本性质、一元一次（组）、一元二次、分式及绝对值不等式等高考核心考点，按“性质-解法-应用”逻辑构建知识体系。通过知识清单梳理、典例精讲、方法技巧提炼和分层训练，系统帮助学生突破含参不等式求解、恒成立问题等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“解题大招”驱动方法创新，如用图像辅助法解一元二次不等式，培养学生数学思维与几何直观。设置基础过关、拔高选练、错题复盘三级训练，结合真题情境强化应用，确保学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第07讲不等式的性质与解法 （知识清单+4典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 一元二次不等式解法（因式分解）、集合交集运算 单选题/填空题/解答题 5分/10分 不等式性质判断、比较大小 单选题/填空题 5分 含参一元一次不等式组求解、整数解判断 单选题填空题/解答题 5分/10分 分式不等式转化、解集求解（结合定义域限制） 单选题 5分 【知识点01】不等式的基本性质 核心性质（前提：，重点区分“可加性”“可乘性”条件）： 1. 对称性：若，则；反之亦然（双向等价）； 2. 传递性：若，，则（注意：同向不等式可传递，异向不可）； 3. 可加性：若，则（两边加同一个数/整式，不等号方向不变）； 4. 可乘性：若，，则；若，，则（关键：乘负数，不等号方向改变）； 5. 同向可加：若，，则； 6. 同向同正可乘：若，，则； 7. 乘方性质：若，则（）； 8. 开方性质：若，则（）。 易错提醒：① 可乘性必须注意的符号，无符号则无法判断不等号方向；② 异向不等式不可传递（如，，无法推出）。 【例1】判断下列命题的真假，并说明理由。 （1）若，则；（2）若，，则；（3）若，则。 【知识点02】一元一次不等式（组）的解法 先化简不等式，转化为（或、、）的标准形式，再根据的符号求解，重点关注的特殊情况。 标准解法步骤： 1. 去分母（两边同乘各分母的最小公倍数，注意分母不为0，且乘负数时不等号方向改变）； 2. 去括号（遵循去括号法则，符号不变）； 3. 移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号）； 4. 合并同类项（化简为形式）； 5. 系数化为1（根据的符号，判断不等号方向是否改变）。 【例2】解不等式，并写出它的整数解。 【知识点03】一元二次不等式的解法 一元二次不等式的标准形式为（或、、），其中，解题核心是“结合二次函数图像”，根据判别式判断方程的根，再结合的符号确定不等式的解集。 核心步骤（以为例）： 1. 计算判别式； 2. 求方程的根（求根公式，或因式分解）； 3. 根据的符号，结合二次函数开口方向，确定解集： ① 若，方程有两个不相等实根，则的解集为，的解集为； ② 若，方程有两个相等实根，则的解集为，的解集为； ③ 若，方程无实根，则的解集为，的解集为； 4. 若，先两边同乘（不等号方向改变），转化为的情况求解。 【例3】：解下列一元二次不等式： （1）；（2）。 【知识点04】分式不等式的解法 分式不等式的标准形式为（或、、），解题核心是“转化为整式不等式”，注意分母不能为0。 核心转化规则（等价转化）： 1. （且）； 2. （且）； 3. ； 4. 。 【例4】解分式不等式。 【知识点05】绝对值不等式的基础解法 核心要点：绝对值不等式的核心是“去掉绝对值符号”，转化为不含绝对值的不等式，常见形式及解法如下（）： 1. 或； 2. ； 3. 或； 4. 。 注意：若，需结合绝对值的非负性判断（如，解集为；，解集为）。 【例5】解下列绝对值不等式： （1）；（2）。 【题型一】不等式的性质 【例1】（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【例2】（多选）（2024·江西·模拟预测）已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为_______． 【变式1】（2026·辽宁盘锦·一模）若实数且，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2026·陕西·模拟预测）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（2025·福建福州·模拟预测）已知，对于任意的，都有，则________ 【题型二】一元二次不等式的解法 【例4】（2026·江苏·三模）已知集合，，则中元素的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例5】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【例6】（2026·陕西渭南·二模）不等式的解集为______． 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【变式3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）若关于的不等式的解集为，则实数_________． 【题型三】一元二次不等式恒成立问题 【例7】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例8】（2026·广东汕头·模拟预测）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 【例9】（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 【变式1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________. 【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【题型四】其他不等式 【例10】（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例11】（2026·新疆·三模）不等式的解集为__________. 【例12】（2026·安徽安庆·二模）设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 【变式1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏宿迁·二模）设函数， 其中.若不等式对任意恒成立，则________. 【变式3】（2025·四川·模拟预测）关于的不等式的解集记为．关于的不等式的解集记为． (1)求集合； (2)若“”是 “”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解题大招01】性质判断法——抓条件、避陷阱 判断不等式命题真假、比较大小，核心是紧扣不等式8条基本性质，重点关注3个易错陷阱：① 可乘性中“乘数符号”；② 同向不等式不可直接相减、异向不可传递；③ 乘方、开方仅适用于“正数同向”，避免忽略特殊情况（如c=0、负数底数）。 性质应用优先“找条件、举反例”，遇到无明确符号的参数（如c），必分类讨论。 【例1】已知a、b、c为实数，判断下列命题的真假，并说明理由。 （1）若a > b，则ac > bc；（2）若a > b > 0，则；（3）若a > b，c < d，则a - c > b - d。 【解题大招02】分步化简法——定步骤、防出错（适配一元一次不等式/组） 解一元一次不等式（组），严格遵循“5步标准化流程”，避免跳步出错：① 去分母（乘最小公倍数，注意符号）；② 去括号（符号不变）；③ 移项（变号）；④ 合并同类项；⑤ 系数化为1（注意不等号方向）；解不等式组需“分别解、求交集”，最后结合整数解、参数范围筛选。 易错点集中在“去分母漏乘、移项不变号、系数化为1变号失误”，每一步都需核对符号。 【例2】解不等式，并写出它的非负整数解。 【解题大招03】图像辅助法——定开口、找根定解集（适配一元二次不等式） 解一元二次不等式的核心是“数形结合”，3步快速求解：① 化标准形式（保证二次项系数a≠0，优先转化为a > 0，方便判断开口）；② 求方程ax² + bx + c = 0的根（因式分解优先，无法分解用求根公式）；③ 结合二次函数开口方向，“大于取两边、小于取中间”（注意等号是否包含根）。 当a < 0时，务必先转化为a > 0，避免开口方向判断错误；Δ=0时，注意“大于0取两边（不包含等根）、小于0无解”。 【例3】解下列一元二次不等式：（1）x² - 4x + 3 < 0；（2）-2x² + 5x + 3 ≥ 0。 【解题大招04】等价转化法——化分式为整式、避分母为0（适配分式不等式） 分式不等式不能直接去分母（分母符号未知），核心是“等价转化为整式不等式”，同时严格保证“分母不为0”，4类核心转化（g(x)≠0）： 1. ；2. ； 3. ；4. 。 易错点是忘记排除分母为0的情况，转化后需单独标注“g(x)≠0”，最后筛选解集。 【例4】解分式不等式。 【解题大招05】绝对值拆分法——定符号、去绝对值 解绝对值不等式的关键是“去掉绝对值符号”，核心拆分规则（a > 0）： 1. |x| > a ⇔ x < -a 或 x > a；2. |x| < a ⇔ -a < x < a； 3. |ax + b| > c ⇔ ax + b < -c 或 ax + b > c；4. |ax + b| < c ⇔ -c < ax + b < c； 若a ≤ 0，结合绝对值非负性判断（如|x| > -2，解集为R；|x| < -2，解集为空集）。 拆分后注意解两个不等式（“或”取并集、“且”取交集），系数化为1时关注不等号方向。 【例5】解下列绝对值不等式：（1）|3x - 2| > 4；（2）|2x + 1| ≤ 3。 【解题大招06】分类讨论法——定参数、分情况 解含参数的不等式（如ax² + bx + c > 0），核心是“按参数影响解集的关键节点分类”，优先分类依据：① 二次项系数a的符号（a=0、a>0、a<0）；② 判别式Δ的大小（Δ>0、Δ=0、Δ<0）；③ 方程根的大小（含参数的根），分类时不重不漏。 分类讨论的关键是“找分类节点”，优先判断二次项系数是否为0，再判断Δ，最后比较根的大小，避免重复或遗漏。 【例6】解关于x的不等式ax² - 2x + 1 < 0（a ∈ R）。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·广西贵港·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东枣庄·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·三模）已知集合则=（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·河南新乡·二模）已知集合则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东·模拟预测）已知全集，集合，若有4个子集，且，则（    ） A． B．集合有3个真子集 C． D． 三、填空题 6．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合，集合，若，则______． 7．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是_________． 四、解答题 8．（2023·河南南阳·模拟预测）设p：实数x满足，q：实数x满足． (1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围； (2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·江苏·模拟预测）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·云南昆明·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2025·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 三、填空题 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为偶函数，则不等式的解集为______． 5．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知，则的取值范围为______ 四、解答题 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数． (1)求极值点的个数，并解不等式； (2)求证：若，则 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·二模）已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（2026·青海海东·二模）已知函数存在两个极值点、，则（   ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 三、填空题 4．（2025·甘肃白银·三模）定义：表示不等式的整数解，已知，，若与有唯一公共解，则实数的取值范围是______． 四、解答题 5．（2024·吉林长春·模拟预测）定义区间、、、的长度均为，其中． (1)若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值； (2)若且，求关于的不等式的解集区间长度范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲不等式的性质与解法 （知识清单+4典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 一元二次不等式解法（因式分解）、集合交集运算 单选题/填空题/解答题 5分/10分 不等式性质判断、比较大小 单选题/填空题 5分 含参一元一次不等式组求解、整数解判断 单选题填空题/解答题 5分/10分 分式不等式转化、解集求解（结合定义域限制） 单选题 5分 【知识点01】不等式的基本性质 核心性质（前提：，重点区分“可加性”“可乘性”条件）： 1. 对称性：若，则；反之亦然（双向等价）； 2. 传递性：若，，则（注意：同向不等式可传递，异向不可）； 3. 可加性：若，则（两边加同一个数/整式，不等号方向不变）； 4. 可乘性：若，，则；若，，则（关键：乘负数，不等号方向改变）； 5. 同向可加：若，，则； 6. 同向同正可乘：若，，则； 7. 乘方性质：若，则（）； 8. 开方性质：若，则（）。 易错提醒：① 可乘性必须注意的符号，无符号则无法判断不等号方向；② 异向不等式不可传递（如，，无法推出）。 【例1】判断下列命题的真假，并说明理由。 （1）若，则；（2）若，，则；（3）若，则。 解析：结合不等式性质逐一判断： （1）假命题。理由：未说明的符号，若，则（如，，，则）； （2）假命题。理由：未满足“同向同正”，若，，，，则，，此时； （3）真命题。理由：，则，两边同时除以（正数，不等号方向不变），得，即，故。 【知识点02】一元一次不等式（组）的解法 先化简不等式，转化为（或、、）的标准形式，再根据的符号求解，重点关注的特殊情况。 标准解法步骤： 1. 去分母（两边同乘各分母的最小公倍数，注意分母不为0，且乘负数时不等号方向改变）； 2. 去括号（遵循去括号法则，符号不变）； 3. 移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号）； 4. 合并同类项（化简为形式）； 5. 系数化为1（根据的符号，判断不等号方向是否改变）。 【例2】解不等式，并写出它的整数解。 解析：按步骤化简求解： 1. 去分母：两边同乘6（正数，不等号方向不变），得； 2. 去括号：； 3. 移项：； 4. 合并同类项：； 5. 整数解：所有大于10的整数（如11，12，13，...）。 【知识点03】一元二次不等式的解法 一元二次不等式的标准形式为（或、、），其中，解题核心是“结合二次函数图像”，根据判别式判断方程的根，再结合的符号确定不等式的解集。 核心步骤（以为例）： 1. 计算判别式； 2. 求方程的根（求根公式，或因式分解）； 3. 根据的符号，结合二次函数开口方向，确定解集： ① 若，方程有两个不相等实根，则的解集为，的解集为； ② 若，方程有两个相等实根，则的解集为，的解集为； ③ 若，方程无实根，则的解集为，的解集为； 4. 若，先两边同乘（不等号方向改变），转化为的情况求解。 【例3】：解下列一元二次不等式： （1）；（2）。 解析：按核心步骤求解，注意的符号： （1）解不等式： ① ，判别式； ② 求方程的根，因式分解得，根为，（）； ③ 结合开口向上，解集为。 （2）解不等式： ① 先转化为的形式，两边同乘（不等号方向改变），得； ② ，判别式； ③ 求方程的根，因式分解得，根为，（）； ④ 结合开口向上，的解集为，即原不等式的解集为。 【知识点04】分式不等式的解法 分式不等式的标准形式为（或、、），解题核心是“转化为整式不等式”，注意分母不能为0。 核心转化规则（等价转化）： 1. （且）； 2. （且）； 3. ； 4. 。 【例4】解分式不等式。 解析：等价转化为整式不等式，注意分母不为0： 1. 等价转化：； 2. 解整式不等式，求根得，，解集为； 3. 排除分母为0的情况：； 4. 综上，原不等式的解集为。 【知识点05】绝对值不等式的基础解法 核心要点：绝对值不等式的核心是“去掉绝对值符号”，转化为不含绝对值的不等式，常见形式及解法如下（）： 1. 或； 2. ； 3. 或； 4. 。 注意：若，需结合绝对值的非负性判断（如，解集为；，解集为）。 【例5】解下列绝对值不等式： （1）；（2）。 解析：去掉绝对值符号，转化为整式不等式求解： （1）解： 等价于或； 分别求解：；； 解集为。 （2）解： 等价于； 移项得； 系数化为1，得； 解集为。 【题型一】不等式的性质 【例1】（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明. 【详解】对于A：当时，不等式不成立，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误. 【例2】（多选）（2024·江西·模拟预测）已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，当，，，时，，故C不正确； 对于D，因为，所以，又，所以.故D正确. 故选：ABD. 【例3】（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为_______． 【答案】/ 【分析】当取最小的正整数时，所求最大. 【详解】，要使其最大，则都最小即可， 因为，且为正整数，故取， 此时， 故答案为： 【变式1】（2026·辽宁盘锦·一模）若实数且，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A，当时，满足题意，但不成立，故A错； 对B，当时，满足题意，但不成立，故B错； 对C，根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向会发生改变， 因为，所以，故C对； 对D，等价于，取，满足题意， 但，不成立，故D错. 【变式2】（多选）（2026·陕西·模拟预测）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉即可；选项D，用作差法即可判断. 【详解】对于A：取，则，故A错误； 对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确； 对于C：取，，此时，故C错误； 对于D：， 因为，所以；又，， 即，故，故D正确. 【变式3】（2025·福建福州·模拟预测）已知，对于任意的，都有，则________ 【答案】2 【分析】根据绝对值不等式的性质以及已知条件，通过分析与任意正数的关系，得出的值，进而求出的值. 【详解】已知对于任意的，都有. 因为是一个确定的非负实数，而可以取任意大于的数. 假设，那么我们总可以找到一个正数，使得，这与已知条件“对于任意的，都有”矛盾. 所以只能等于，即. 根据绝对值的性质，若，则，所以由可得，解得. 故答案为：2. 【题型二】一元二次不等式的解法 【例4】（2026·江苏·三模）已知集合，，则中元素的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先解集合中的一元二次不等式，再根据集合的交集运算求出，进而即可得到中元素的个数． 【详解】由，解得，即， 所以，所以中元素的个数是． 【例5】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求解集合的具体范围，再利用集合交集的定义得出结果. 【详解】集合， 由，解得，故； 因此. 【例6】（2026·陕西渭南·二模）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分和两种情况求解一元二次不等式的解集，最后求并集即得到结果. 【详解】当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 所以不等式的解集为. 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，， 所以. 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 【变式3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）若关于的不等式的解集为，则实数_________． 【答案】 【详解】由题意知和6是方程的两个实数根， 所以，所以． 【题型三】一元二次不等式恒成立问题 【例7】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 【例8】（2026·广东汕头·模拟预测）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，结合条件，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则，即， 所以关于b的一元二次不等式有解，且， 所以， 因为，所以，解得或， 当时，不等式为，得，符合题意； 当时，不等式为，得，符合题意， 则t的取值范围是. 故答案为： 【例9】（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 【变式2】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】令，根据函数的单调性可得，利用通向可加性即可求解. 【详解】令，则为单调函数或常数函数， 若当时，不等式恒成立， 则， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】. 【分析】根据题意分离参数，进而构造函数求定区间的最值即可. 【详解】当时，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则， 令，则在单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 【题型四】其他不等式 【例10】（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 【例11】（2026·新疆·三模）不等式的解集为__________. 【答案】或. 【详解】由可得， 故或， 故不等式的解集为或. 【例12】（2026·安徽安庆·二模）设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，则， 故， 即，解得， 故原不等式的解集为. （2）因， 由，可得为奇函数. 又，因，，则 故在上单调递增. 故存在使得等价于存在使得， 等价于存在使得， 即存在使得， 因，， 则当时，取得最小值，故得. 故实数的取值范围是. 【变式1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解分式不等式得集合，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】分式不等式等价于，解得 ，又因为，因此， 已知集合，所以. 【变式2】（2025·江苏宿迁·二模）设函数， 其中.若不等式对任意恒成立，则________. 【答案】/ 【分析】先设，代入函数解析式计算得出根，再对应相等计算求解. 【详解】若 ，取，所以， 则， 所以的根为且，的根为且， 由于与均为首项系数为正的三次多项式，要使其乘积恒成立，则它们的零点必须完全相同， 所以只有当时，成立， 所以，所以. 故答案为：. 【变式3】（2025·四川·模拟预测）关于的不等式的解集记为．关于的不等式的解集记为． (1)求集合； (2)若“”是 “”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解二次不等式即可得到集合； （2）根据题意求出集合，再由“”是 “”的必要不充分条件，得到集合是集合的真子集，则，解不等式即可． 【详解】（1）不等式， 即，解得， ； （2）不等式， 即，解得， 所以集合， 又因为“”是 “”的必要不充分条件， 集合是集合的真子集， ，解得， 则实数的取值范围是． 【解题大招01】性质判断法——抓条件、避陷阱 判断不等式命题真假、比较大小，核心是紧扣不等式8条基本性质，重点关注3个易错陷阱：① 可乘性中“乘数符号”；② 同向不等式不可直接相减、异向不可传递；③ 乘方、开方仅适用于“正数同向”，避免忽略特殊情况（如c=0、负数底数）。 性质应用优先“找条件、举反例”，遇到无明确符号的参数（如c），必分类讨论。 【例1】已知a、b、c为实数，判断下列命题的真假，并说明理由。 （1）若a > b，则ac > bc；（2）若a > b > 0，则；（3）若a > b，c < d，则a - c > b - d。 解析：运用性质判断法，逐一规避陷阱： （1）假命题。陷阱：忽略c的符号。当c ≤ 0时，ac ≤ bc（例：a=3，b=2，c=-1，3×(-1) < 2×(-1)）；只有当c > 0时，ac > bc才成立。 （2）真命题。符合“正数同向可乘性”推论：a > b > 0，则ab > 0，两边同除以正数ab，不等号方向不变，得，即。 （3）真命题。转化为同向可加：c < d ⇒ -c > -d，又a > b，根据“同向可加”性质，a + (-c) > b + (-d)，即a - c > b - d。 【解题大招02】分步化简法——定步骤、防出错（适配一元一次不等式/组） 解一元一次不等式（组），严格遵循“5步标准化流程”，避免跳步出错：① 去分母（乘最小公倍数，注意符号）；② 去括号（符号不变）；③ 移项（变号）；④ 合并同类项；⑤ 系数化为1（注意不等号方向）；解不等式组需“分别解、求交集”，最后结合整数解、参数范围筛选。 易错点集中在“去分母漏乘、移项不变号、系数化为1变号失误”，每一步都需核对符号。 【例2】解不等式，并写出它的非负整数解。 解析：按分步化简法，规范求解： 1. 去分母：两边同乘12（各分母4、6的最小公倍数，正数，不等号不变），得3(2x - 3) - 2(x + 1) ≥ 12； 2. 去括号：6x - 9 - 2x - 2 ≥ 12； 3. 移项：6x - 2x ≥ 12 + 9 + 2（移项变号，-9、-2移到右边变为+9、+2）； 4. 合并同类项：4x ≥ 23； 5. 系数化为1：x ≥ （即5.75）； 非负整数解：6、7、8、... 【解题大招03】图像辅助法——定开口、找根定解集（适配一元二次不等式） 解一元二次不等式的核心是“数形结合”，3步快速求解：① 化标准形式（保证二次项系数a≠0，优先转化为a > 0，方便判断开口）；② 求方程ax² + bx + c = 0的根（因式分解优先，无法分解用求根公式）；③ 结合二次函数开口方向，“大于取两边、小于取中间”（注意等号是否包含根）。 当a < 0时，务必先转化为a > 0，避免开口方向判断错误；Δ=0时，注意“大于0取两边（不包含等根）、小于0无解”。 【例3】解下列一元二次不等式：（1）x² - 4x + 3 < 0；（2）-2x² + 5x + 3 ≥ 0。 解析：运用图像辅助法，分步求解： （1）解x² - 4x + 3 < 0： ① 标准形式：a=1 > 0，开口向上； ② 求根：因式分解得(x - 1)(x - 3) = 0，根为x₁=1，x₂=3（x₁ < x₂）； ③ 定解集：a > 0，不等式“< 0”，取两根之间，即(1, 3)。 （2）解-2x² + 5x + 3 ≥ 0： ① 转化标准形式：两边同乘-1（不等号改变），得2x² - 5x - 3 ≤ 0，a=2 > 0，开口向上； ② 求根：因式分解得(2x + 1)(x - 3) = 0，根为x₁=-，x₂=3（x₁ < x₂）； ③ 定解集：a > 0，不等式“≤ 0”，取两根之间，即[-, 3]。 【解题大招04】等价转化法——化分式为整式、避分母为0（适配分式不等式） 分式不等式不能直接去分母（分母符号未知），核心是“等价转化为整式不等式”，同时严格保证“分母不为0”，4类核心转化（g(x)≠0）： 1. ；2. ； 3. ；4. 。 易错点是忘记排除分母为0的情况，转化后需单独标注“g(x)≠0”，最后筛选解集。 【例4】解分式不等式。 解析：运用等价转化法，规避分母为0陷阱： 1. 等价转化：； 2. 解整式不等式(3x - 1)(x - 2) ≤ 0：求根得x₁=，x₂=2，解集为[, 2]； 3. 排除分母为0：x - 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2； 4. 综上，原不等式解集为[, 2)。 【解题大招05】绝对值拆分法——定符号、去绝对值 解绝对值不等式的关键是“去掉绝对值符号”，核心拆分规则（a > 0）： 1. |x| > a ⇔ x < -a 或 x > a；2. |x| < a ⇔ -a < x < a； 3. |ax + b| > c ⇔ ax + b < -c 或 ax + b > c；4. |ax + b| < c ⇔ -c < ax + b < c； 若a ≤ 0，结合绝对值非负性判断（如|x| > -2，解集为R；|x| < -2，解集为空集）。 拆分后注意解两个不等式（“或”取并集、“且”取交集），系数化为1时关注不等号方向。 【例5】解下列绝对值不等式：（1）|3x - 2| > 4；（2）|2x + 1| ≤ 3。 解析：运用绝对值拆分法，分步去绝对值： （1）解|3x - 2| > 4： 等价于3x - 2 < -4 或 3x - 2 > 4； 分别求解：3x < -2 ⇒ x < -；3x > 6 ⇒ x > 2； 解集为(-∞, -) ∪ (2, +∞)。 （2）解|2x + 1| ≤ 3： 等价于-3 ≤ 2x + 1 ≤ 3； 移项得-4 ≤ 2x ≤ 2； 系数化为1：-2 ≤ x ≤ 1； 解集为[-2, 1]。 【解题大招06】分类讨论法——定参数、分情况 解含参数的不等式（如ax² + bx + c > 0），核心是“按参数影响解集的关键节点分类”，优先分类依据：① 二次项系数a的符号（a=0、a>0、a<0）；② 判别式Δ的大小（Δ>0、Δ=0、Δ<0）；③ 方程根的大小（含参数的根），分类时不重不漏。 分类讨论的关键是“找分类节点”，优先判断二次项系数是否为0，再判断Δ，最后比较根的大小，避免重复或遗漏。 【例6】解关于x的不等式ax² - 2x + 1 < 0（a ∈ R）。 解析：运用分类讨论法，按a的取值分类求解： 1. 当a = 0时，不等式化为-2x + 1 < 0，解得x > ，解集为(, +∞)； 2. 当a > 0时，Δ = (-2)² - 4a×1 = 4 - 4a： ① 若Δ > 0（即0 < a < 1），方程ax² - 2x + 1 = 0的根为x₁=，x₂=（x₁ < x₂），解集为(x₁, x₂)； ② 若Δ = 0（即a = 1），方程化为(x - 1)² = 0，根为x₁=x₂=1，不等式为(x - 1)² < 0，解集为空集； ③ 若Δ < 0（即a > 1），方程无实根，二次函数开口向上，解集为空集； 3. 当a < 0时，Δ = 4 - 4a > 0（a<0时，-4a>0，Δ恒正），方程根为x₁=，x₂=（a<0，x₁ > x₂），二次函数开口向下，解集为(-∞, x₂) ∪ (x₁, +∞)。 综上： 当a < 0时，解集为(-∞, ) ∪ (, +∞)； 当a = 0时，解集为(, +∞)； 当0 < a < 1时，解集为(, )； 当a ≥ 1时，解集为空集。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·广西贵港·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，故， u，故. 2．（2026·山东枣庄·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，， 故ACD错误，B正确. 3．（2026·重庆·三模）已知集合则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由不等式，得且，解得， 则，而， 所以． 二、多选题 4．（2024·河南新乡·二模）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先求解不等式得集合，利用集合的交集、并集、补集定义运算和集合间的包含关系即可一一判断正误. 【详解】由可得或，即或. 对于A项，或，故A项错误； 对于B项，或,故B项正确； 对于C项，因或，故，故C项正确； 对于D项，，故D项正确. 故选：BCD. 5．（2024·广东·模拟预测）已知全集，集合，若有4个子集，且，则（    ） A． B．集合有3个真子集 C． D． 【答案】ACD 【分析】解一元二次不等式化简集合，结合已知得出，由此即可逐一判断各个选项. 【详解】依题意，， 而有4个子集，，故，故集合有7个真子集，B错误， ，，，ACD均正确. 故选：ACD. 三、填空题 6．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合，集合，若，则______． 【答案】0或1 【分析】先求出集合，再由可求出的值. 【详解】由，得，解得， 因为，所以， 所以， 因为，且， 所以或， 故答案为：0或1 7．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得，所以， 故答案为： 四、解答题 8．（2023·河南南阳·模拟预测）设p：实数x满足，q：实数x满足． (1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围； (2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据一元二次不等式求解p，q为真命题时的范围，即可求解， （2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解. 【详解】（1）当时，由，得， 解得，即p为真命题时，实数x的取值范围是 由，解得， 即q为真命题时，实数x的取值范围是． 所以若p，q均为真命题，则实数x的取值范围为． （2）由，得， 因为，所以，故p：． 若是的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件， 所以，解可得．故实数a的取值范围是 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·江苏·模拟预测）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，，，， 又时，取，，此时， 所以，则“”是“”的充分不必要条件. 2．（2026·云南昆明·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解分式不等式得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】，即，，解得， 又因为集合，则. 二、多选题 3．（2025·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD. 【详解】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB． 三、填空题 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为偶函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据偶函数的定义，由可求a的值，然后将不等式看作关于的二次不等式求解即可． 【详解】已知，则， 由，得 即对所有成立． 若，化简得，不满足对所有成立，舍去； 若，化简得，解得． 将代入，得 不等式，即，即，即， ∵，∴，即， ∴． 故答案为：． 5．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用换底公式换为，结合对勾函数求解即可. 【详解】因为， 所以令，则，所以，由的图象可知， 所以，，所以. 故答案为：. 四、解答题 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数． (1)求极值点的个数，并解不等式； (2)求证：若，则 【答案】(1)2个；； (2)证明见解析 【分析】（1）求导，由不同实根的个数判断；由，利用穿根法求解； （2）由，设，代入求解. 【详解】（1）因为， 所以， 令， 因为，两个根为， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极值，所以有两个极值点； 由， 当时，，则； 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以的解集为：. （2）由， 设， 则， ， 所以， 所以当时，. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【详解】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 2．（2026·浙江·二模）已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为， 由，所以，故，充分性成立， 由，得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 二、多选题 3．（2026·青海海东·二模）已知函数存在两个极值点、，则（   ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BC 【分析】分析可知关于的方程有两个不等的正根、，利用二次方程根的分布结合韦达定理逐项判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根、， 所以，解得，即实数的取值范围为， 故，A错D错，B对C对. 三、填空题 4．（2025·甘肃白银·三模）定义：表示不等式的整数解，已知，，若与有唯一公共解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据新定义及绝对值不等式的解法求解，根据新定义及一元二次不等式的解法求解，根据唯一公共解列不等式组求解即可. 【详解】得，所以或，即或， 即的整数解为或内的整数， 得， 所以，由题意满足，所以， 所以的解为， 即的整数解为内的整数， 因为与有唯一公共解，所以，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 5．（2024·吉林长春·模拟预测）定义区间、、、的长度均为，其中． (1)若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值； (2)若且，求关于的不等式的解集区间长度范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设出不等式的解集区间，借助韦达定理及区间长度列式计算即得. （2）由给定条件，可得及，再求出不等式的解集区间即可. 【详解】（1）依题意，设不等式的解集区间为， 则是方程的两个不等实根，且，， 即有，由，得， 解得，满足题意， 所以的值是． （2）由且，得， 由及，得，则， 不等式化为，即，解得， 所以其解集区间长度为，范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $