精品解析：安徽省太和中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷

太和中学2025-2026学年高二年级期中考试 数学试卷 （满分：150分：考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数的导函数为，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，. 2. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，则. 3. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.3 【答案】C 【解析】 【详解】记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以， 所以. 4. 今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【详解】已知5名新进教师分到3个不同年级，每个年级至少1人，共两种分法： ①：； ②：； 不同的分配方案共有种． 5. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确. 6. 幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（ ） A. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法 B. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法 C. 将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法 D. 将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案 【答案】D 【解析】 【详解】将汽车玩具作为一个整体，共有种不同的排法，故A正确； 先排恐龙玩具，再将汽车玩具插空，共有种不同的排法，故B正确； 先将所有玩具排列，再利用定序法求解，共有种不同的排法，故C正确； 先给甲3个，再给乙3个，共有种不同的分配方案，故D错误. 7. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的点，直线的斜率为1，若，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，由直线的斜率求得，可得数列是以2为首项，4为公差的等差数列，进而求得，进而求解即可. 【详解】依题意，， 直线的斜率为， 则，又, 所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列， 则， 则，即的坐标为. 故选：A. 8. 已知实数x，y满足且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分离同构，得到，设,则上式表明,利用导数研究函数单调性，并结合由已知条件得到的和的取值范围，得到,进而，然后将表示为的函数，利用导数求其最小值. 【详解】∵，∴，∴，即， 设,则上式表明, 求导得，当时，,单调递减， 由于，∴，∴， ∴,∴，∴,令, ,当时，单调递减；当时，单调递增， ∴, 故选：D. 【点睛】本题关键难点在于将已知条件整理得到两边同构的形式，构造同构函数，然后利用函数单调区间上的函数值与自变量的一一对应关系得到. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 被16除的余数是15 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的性质，通过赋值法来求解各项系数的值，再根据余数的定义判断被16除的余数. 【详解】已知， 令，可得，即，所以选项错误.  展开式的通项为. 当为偶数时，；当为奇数时，. 所以. 令，则，即，所以选项正确.  令，则. 又因为，所以，所以选项正确.  .根据二项式定理展开可得： . 所以. 则被16除的余数是1，所以选项错误.  故选：BC. 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 数列的前项和小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用求解；对于B，利用的关系求出的通项公式，再进行证明；对于C，求出，，进行比较；对于D，利用裂项相消法求出数列的和即可证明. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，， 符合上式，所以，所以， 所以当时，，所以是等比数列，B错误； 对于C，，， 所以，C正确； 对于D，， 设数列的前项和为， 则 ，D正确. 11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（ ）. A. B. 主持人打开3号箱的概率 C. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，故A错误； 对于B，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 由全概率公式可得：，故B正确； 对于C、D， （1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 . 从而. （2）当甲更改选择时 ①若甲改选号箱，甲中奖的概率为， ②若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 因此甲更改选择，获奖的概率为，故C正确； 而，即甲改选号箱与改选号箱的中奖概率一样，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为12，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先写出通项公式，即可求出的值. 【详解】解：因为的展开式的通项为： ， 又因为的系数为12， 所以当时，， 所以， 解得. 故答案为： 13. 射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是__________． 【答案】4.2## 【解析】 【详解】设射击3次击中目标的次数为，的可能取值为，每次射击击中目标的概率为， 且每次射击击中目标与否互不影响，则， ， 因为每次射击击中目标得2分，所以射击3次的得分的数学期望是. 14. 椭圆的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆定义结合已知条件求出，利用椭圆第二定义及抛物线定义列方程求解离心率. 【详解】 根据题意，，， 所以，， 设的横坐标为，，解得， 抛物线的焦点为右焦点，可得， 可得，椭圆的离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人． （1）求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种； （2）若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）首先从，，，这四组编号中选出一组，再从其余人中选个人，利用组合数公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 选出的3个人中有相同编号，则其中两人的编号相同， 首先从，，，这四组双编号组中选出一组，有种选法， 再从选过后的人中选个人，有种选法， 所以选出的3个人中有相同编号的情况有种； 【小问2详解】 依题意的可能取值为，，，， 所以，， ，. 所以的分布列为 2 3 4 5 所以的数学期望. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点． （1）若为的中点，证明：平面； （2）若，设直线与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，通过线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，通过求出平面的法向量，结合夹角公式进行求解. 【小问1详解】 设线段的中点为，连接，，如下图所示 ， 在中，为的中点，为的中点,所以， 在矩形中，且， 所以四边形是平行四边形，因此 ， 因为，为的中点，所以为的中点， 因为为的中点，在中有，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由题意如图建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，，，，，， 设，且 ，,则，， 设平面的法向量为，因为，， 所以，故可取， 因此， 令，则， 所以当，即， 时，有最大值． 17. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数单调性； （3）分类讨论确定零点个数，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，进而求出a的取值范围． 【小问1详解】 当时，，， 求导得，则切线斜率， 切线方程为：． 【小问2详解】 ，求导得 ， 恒成立， 当时，，，在上单调递减； 当时，令，解得， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增；在上单调递减． 【小问3详解】 当时， 在上单调递减，至多有1个零点，不符合题意； 若，由（2）知，当时，取得最小值为. 设，则， 故在上单调递增，又. （i）当时，，故此时没有两个零点； （ii）当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则， 故，即，又易知 则，即 因此在上也有一个零点. 综上，若有两个零点，实数的取值范围为. 18. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知点，设过点的直线与交于两点． ①若的斜率分别为，证明：； ②若点在线段上，且．证明：轴． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，则有即可求解； （2）①设直线方程，联立椭圆方程，由韦达定理有，代入两点斜率公式化简即可证明； ②由题意，设，不妨取在轴的上方，根据坐标运算得，根据求得，代入直线的方程得，即可证明. 【小问1详解】 设，动点满足直线和直线的斜率乘积为， 所以，即，即，. 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 ①由题意，直线的斜率不为0，设直线， 联立直线与椭圆E的方程消去x整理得， 则，即，可得：或，则， 所以，所以 ． 综上，． ②因为点在线段上，且，所以，且D为内比分点， 由题意在轴的上方或下方，根据对称性不妨取在轴的上方，如图， 所以存在实数，使得，设， 所以，化简得， 由①知，所以， 所以，即，所以轴. 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 【答案】（1），； （2），证明见详解； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出，根据泰勒公式可得； （2）构造函数，利用导数判断单调性，结合可证； （3）利用（2）中结论令，结合裂项相消法可证，构造函数证明，令，利用裂项相消法可证. 【小问1详解】 因为， 所以 所以的泰勒公式为：， 所以 【小问2详解】 记， 因为，所以在上单调递增， 又，所以时有， 所以. 【小问3详解】 由（2）知，，即， 所以， 即. 令，则， 所以在上单调递减，所以，故， 所以， 则，即. 综上，时，. 【点睛】关键点睛：第三问关键在于构造差函数证明，结合（2）中结论令，使用裂项相消法即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和中学2025-2026学年高二年级期中考试 数学试卷 （满分：150分：考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数的导函数为，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 3. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.3 4. 今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（ ） A. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法 B. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法 C. 将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法 D. 将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案 7. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的点，直线的斜率为1，若，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数x，y满足且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 被16除的余数是15 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 数列的前项和小于 11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（ ）. A. B. 主持人打开3号箱的概率 C. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为12，则的值为______． 13. 射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是__________． 14. 椭圆的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人． （1）求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种； （2）若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点． （1）若为的中点，证明：平面； （2）若，设直线与平面所成的角为，求的最大值． 17. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求a的取值范围． 18. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知点，设过点的直线与交于两点． ①若的斜率分别为，证明：； ②若点在线段上，且．证明：轴． 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $